आइसिंग मॉडल: Difference between revisions
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ईईज़िंग मॉडल (जर्मन उच्चारण: [iːzɪŋ]) (या लेन्ज़-आइज़िंग मॉडल या इस्सिंग-लेनज़ मॉडल), जिसका नाम भौतिकविदों अर्नस्ट इस्सिंग और विल्हेम लेन्ज़ के नाम पर रखा गया है, सांख्यिकीय यांत्रिकी में लोह-चुंबकत्व का एक गणितीय मॉडल है। मॉडल में असतत चर होते हैं जो परमाणु "प्रचक्रण" के चुंबकीय द्विध्रुवीय | '''''ईईज़िंग मॉडल''''' (जर्मन उच्चारण: [iːzɪŋ]) (या '''लेन्ज़-आइज़िंग मॉडल''' या '''इस्सिंग-लेनज़ मॉडल'''), जिसका नाम भौतिकविदों अर्नस्ट इस्सिंग और विल्हेम लेन्ज़ के नाम पर रखा गया है, सांख्यिकीय यांत्रिकी में लोह-चुंबकत्व का एक गणितीय मॉडल है। मॉडल में असतत चर होते हैं जो परमाणु "प्रचक्रण" के चुंबकीय द्विध्रुवीय आघूर्ण का प्रतिनिधित्व करते हैं जो दो स्थितियों (+1 या -1) में से एक में हो सकते हैं। प्रचक्रण (स्पिन) को एक रेखाचित्र में व्यवस्थित किया जाता है, सामान्य रूप से लैटिस (जहां स्थानीय संरचना सभी दिशाओं में समय-समय पर पुनरावृत्त करती है), जिससे प्रत्येक प्रचक्रण अपने प्रतिवेशों के साथ संपर्क कर सके। प्रतिवेशी प्रचक्रण जो सहमत हैं उनमें असहमत होने वालों की तुलना में कम ऊर्जा होती है; प्रणाली सबसे कम ऊर्जा की ओर जाता है लेकिन ऊष्मा इस प्रवृत्ति को विक्षुब्ध करती है, इस प्रकार विभिन्न संरचनात्मक चरणों की संभावना उत्पन्न करती है। मॉडल वास्तविकता के सरलीकृत मॉडल के रूप में प्रावस्था संक्रमण की पहचान की स्वीकृति देता है। प्रावस्था संक्रमण दिखाने के लिए द्वि-आयामी वर्ग-लैटिस आइसिंग मॉडल सबसे सरल सांख्यिकीय मॉडल में से एक है।<ref>See {{harvtxt|Gallavotti|1999}}, Chapters VI-VII.</ref> | ||
ईज़िंग मॉडल का आविष्कार भौतिक विज्ञानी विल्हेम लेन्ज़ (1920) द्वारा किया गया था, जिन्होंने इसे अपने छात्र अर्न्स्ट इस्सिंग को एक समस्या के रूप में दिया था। एक आयामी ईज़िंग मॉडल को ईज़िंग (1925) ने अकेले 1924 की अपनी | ईज़िंग मॉडल का आविष्कार भौतिक विज्ञानी विल्हेम लेन्ज़ (1920) द्वारा किया गया था, जिन्होंने इसे अपने छात्र अर्न्स्ट इस्सिंग को एक समस्या के रूप में दिया था। एक आयामी ईज़िंग मॉडल को ईज़िंग (1925) ने अकेले 1924 की अपनी अभिधारणा में संशोधन किया था;<ref>[http://www.hs-augsburg.de/~harsch/anglica/Chronology/20thC/Ising/isi_fm00.html Ernst Ising, ''Contribution to the Theory of Ferromagnetism'']</ref> इसका कोई प्रावस्था संक्रमण नहीं है। द्वि-आयामी वर्ग-लैटिस ईज़िंग मॉडल बहुत कठिन है और लार्स ऑनसेगर (1944) द्वारा केवल एक विश्लेषणात्मक विवरण दिया गया था। यह सामान्य रूप से [[स्थानांतरण-मैट्रिक्स विधि|स्थानांतरण-आव्यूह विधि]] द्वारा संशोधन किया जाता है, हालांकि [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] से संबंधित विभिन्न दृष्टिकोण सम्मिलित हैं। | ||
चार से अधिक आयामों में, ईज़िंग मॉडल के प्रावस्था संक्रमण को [[माध्य-क्षेत्र सिद्धांत]] द्वारा वर्णित किया गया है। 1970 के दशक के उत्तरार्ध में विभिन्न ट्री सांस्थिति के संबंध में अधिक आयामों के लिए ईज़िंग मॉडल का भी पता लगाया गया, जो जो शून्य-क्षेत्र समय-स्वतंत्र बर्थ (1981) मॉडल के परिशुद्ध समाधान के रूप में यादृच्छिक शाखाओं के अनुपात के संवृत केली ट्री के लिए और इस तरह ट्री शाखाओं के अंदर यादृच्छिक रूप से बड़ी आयामीता का पता लगाया गया था। इस मॉडल के समाधान ने गैर-लुप्त होने वाली लंबी दूरी और निकटतम-प्रतिवेशी प्रचक्रण-प्रचक्रण सहसंबंधों के साथ एक नया, असामान्य प्रावस्था संक्रमण व्यवहार प्रदर्शित किया, जो इसके संभावित अनुप्रयोगों में से एक के रूप में बड़े तंत्रिका नेटवर्क के लिए प्रासंगिक माना जाता है। | चार से अधिक आयामों में, ईज़िंग मॉडल के प्रावस्था संक्रमण को [[माध्य-क्षेत्र सिद्धांत]] द्वारा वर्णित किया गया है। 1970 के दशक के उत्तरार्ध में विभिन्न ट्री सांस्थिति के संबंध में अधिक आयामों के लिए ईज़िंग मॉडल का भी पता लगाया गया, जो जो शून्य-क्षेत्र समय-स्वतंत्र बर्थ (1981) मॉडल के परिशुद्ध समाधान के रूप में यादृच्छिक शाखाओं के अनुपात के संवृत केली ट्री के लिए और इस तरह ट्री शाखाओं के अंदर यादृच्छिक रूप से बड़ी आयामीता का पता लगाया गया था। इस मॉडल के समाधान ने गैर-लुप्त होने वाली लंबी दूरी और निकटतम-प्रतिवेशी प्रचक्रण-प्रचक्रण सहसंबंधों के साथ एक नया, असामान्य प्रावस्था संक्रमण व्यवहार प्रदर्शित किया, जो इसके संभावित अनुप्रयोगों में से एक के रूप में बड़े तंत्रिका नेटवर्क के लिए प्रासंगिक माना जाता है। | ||
बाहरी क्षेत्र के बिना ईज़िंग समस्या को समतुल्य रूप से एक | बाहरी क्षेत्र के बिना ईज़िंग समस्या को समतुल्य रूप से एक रेखाचित्र (असतत गणित) अधिकतम विभाजन (मैक्स-विभाजन) समस्या के रूप में निर्मित किया जा सकता है जिसे संयोजी अनुकूलन के माध्यम से संशोधन किया जा सकता है। | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
लैटिस भागों के समुच्चय <math>\Lambda</math> , पर विचार करें, प्रत्येक आसन्न भागों के समुच्चय के साथ (जैसे एक | लैटिस भागों के समुच्चय <math>\Lambda</math>, पर विचार करें, प्रत्येक आसन्न भागों के समुच्चय के साथ (जैसे एक रेखाचित्र (असतत गणित)) एक बनाने <math>d</math>-आयामी लैटिस का निर्माण करता है। प्रत्येक लैटिस भाग के लिए <math>k\in\Lambda</math> एक असतत चर <math>\sigma_k</math> है जैसे कि <math>\sigma_k\in\{-1, +1\}</math>, भाग के प्रचक्रण का प्रतिनिधित्व करता है। प्रचक्रण विन्यास, <math>{\sigma} = \{\sigma_k\}_{k\in\Lambda}</math> प्रत्येक लैटिस भाग के लिए प्रचक्रण मान का एक निर्दिष्टीकरण है। | ||
किसी भी दो आसन्न भागों | किसी भी दो आसन्न भागों <math>i, j\in\Lambda</math> के लिए अंतःक्रिया <math>J_{ij}</math> होती है। साथ ही एक भाग <math>j\in\Lambda</math> बाहरी चुंबकीय क्षेत्र <math>h_j</math> है। जो इसके साथ परस्पर क्रिया करता है। विन्यास की ऊर्जा <math>{\sigma}</math> हैमिल्टनीय फलन द्वारा दी गई है | ||
: <math>H(\sigma) = -\sum_{\langle ij\rangle} J_{ij} \sigma_i \sigma_j - \mu \sum_j h_j \sigma_j,</math> | : <math>H(\sigma) = -\sum_{\langle ij\rangle} J_{ij} \sigma_i \sigma_j - \mu \sum_j h_j \sigma_j,</math> | ||
जहां पहला योग आसन्न प्रचक्रण के जोड़े पर है (प्रत्येक जोड़ी को एक बार गिना जाता है)। संकेतन <math>\langle ij\rangle</math> भागों को इंगित करता है कि भाग <math>i</math> और <math>j</math> निकटतम प्रतिवेशी हैं। चुंबकीय | जहां पहला योग आसन्न प्रचक्रण के जोड़े पर है (प्रत्येक जोड़ी को एक बार गिना जाता है)। संकेतन <math>\langle ij\rangle</math> भागों को इंगित करता है कि भाग <math>i</math> और <math>j</math> निकटतम प्रतिवेशी हैं। चुंबकीय आघूर्ण <math>\mu</math> द्वारा दिया जाता है ध्यान दें कि उपरोक्त हैमिल्टनियन के दूसरे पद में संकेत वास्तव में धनात्मक होना चाहिए क्योंकि इलेक्ट्रॉन का चुंबकीय आघूर्ण इसके प्रचक्रण के समानांतर है, लेकिन ऋणात्मक पद पारंपरिक रूप से प्रयोग किया जाता है।<ref>See {{harvtxt|Baierlein|1999}}, Chapter 16.</ref> अभिविन्यास की संभावना [[बोल्ट्जमैन वितरण]] द्वारा व्युत्क्रम तापमान <math>\beta\geq0</math> के साथ दी गई है: | ||
: <math>P_\beta(\sigma) = \frac{e^{-\beta H(\sigma)}}{Z_\beta},</math> | : <math>P_\beta(\sigma) = \frac{e^{-\beta H(\sigma)}}{Z_\beta},</math> | ||
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: <math>Z_\beta = \sum_\sigma e^{-\beta H(\sigma)}</math> | : <math>Z_\beta = \sum_\sigma e^{-\beta H(\sigma)}</math> | ||
विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) है। | विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) है। फलन के लिए स्पिन की संख्या (देखने योग्य), <math>f</math> द्वारा इंगित करता है | ||
: <math>\langle f \rangle_\beta = \sum_\sigma f(\sigma) P_\beta(\sigma)</math> | : <math>\langle f \rangle_\beta = \sum_\sigma f(\sigma) P_\beta(\sigma)</math> | ||
<math>f</math> की अपेक्षा (माध्य) | <math>f</math> की अपेक्षा (माध्य) मान। | ||
अभिविन्यास | अभिविन्यास संभावनाएं <math>P_{\beta}(\sigma)</math> संभाव्यता का प्रतिनिधित्व करते हैं कि (संतुलन में) प्रणाली अभिविन्यास <math>\sigma</math> के साथ एक अवस्था में है | ||
=== | === विचार-विमर्श === | ||
हैमिल्टनियन | हैमिल्टनियन फलन <math>H(\sigma)</math> के प्रत्येक पद पर ऋण चिह्न पारंपरिक है। इस चिह्न व्यवहार का उपयोग करते हुए, ईज़िंग मॉडल को यदि, किसी युग्म i, j के लिए अन्योन्यक्रिया के चिह्न के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है: | ||
: <math>J_{ij} > 0</math>, | : <math>J_{ij} > 0</math>, पारस्परिक क्रिया को [[ लौह-चुंबकीय |लौह-चुंबकीय]] कहा जाता है, | ||
: <math>J_{ij} < 0</math>, | : <math>J_{ij} < 0</math>, पारस्परिक क्रिया को [[ प्रति-लौहचुंबकीय |प्रति-लौहचुंबकीय]] कहा जाता है, | ||
: <math>J_{ij} = 0</math>, प्रचक्रण गैर-सहभागी हैं। | : <math>J_{ij} = 0</math>, प्रचक्रण गैर-सहभागी हैं। | ||
प्रणाली को लोह चुंबकीय या प्रतिलोहचुंबकीय कहा जाता है यदि सभी पारस्परिक क्रिया लोह चुंबकीय हैं या सभी प्रतिलोहचुंबकीय हैं। मूल ईज़िंग मॉडल लोह चुंबकीय थे, और यह अभी भी प्रायः माना जाता है कि ईज़िंग मॉडल का अर्थ लोह चुंबकीय ईज़िंग मॉडल है। | |||
लोह चुंबकीय आइसिंग मॉडल में, प्रचक्रण को संरेखित करने का विचार होता है: अभिविन्यास जिसमें आसन्न प्रचक्रण समान संकेत के होते हैं, जिसमे उच्च संभावना होती है। प्रतिलोहचुंबकीय मॉडल में, आसन्न स्पिनों में विपरीत संकेत होते हैं। | |||
H(σ) की | H(σ) की चिह्न समागम यह भी बताती है कि प्रचक्रण भाग j बाहरी क्षेत्र के साथ कैसे परस्पर क्रिया करती है। अर्थात्, प्रचक्रण भाग बाहरी क्षेत्र के साथ पंक्तिबद्ध करना चाहती है। यदि: | ||
: <math>h_j > 0</math>, प्रचक्रण भाग j धनात्मक दिशा में पंक्तिबद्ध करना चाहता है, | : <math>h_j > 0</math>, प्रचक्रण भाग j धनात्मक दिशा में पंक्तिबद्ध करना चाहता है, | ||
: <math>h_j < 0</math>, प्रचक्रण भाग j ऋणात्मक दिशा में पंक्तिबद्ध करना चाहता है, | : <math>h_j < 0</math>, प्रचक्रण भाग j ऋणात्मक दिशा में पंक्तिबद्ध करना चाहता है, | ||
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=== सरलीकरण === | === सरलीकरण === | ||
आइसिंग मॉडल की प्रायः लैटिस के साथ परस्पर क्रिया करने वाले बाहरी क्षेत्र के बिना जांच की जाती है, अर्थात लैटिस Λ में सभी j के लिए h = | आइसिंग मॉडल की प्रायः लैटिस के साथ परस्पर क्रिया करने वाले बाहरी क्षेत्र के बिना जांच की जाती है, अर्थात लैटिस Λ में सभी j के लिए h = 0 है। इस सरलीकरण का उपयोग करते हुए हैमिल्टनियन बन जाता है | ||
: <math>H(\sigma) = -\sum_{\langle i~j\rangle} J_{ij} \sigma_i \sigma_j.</math> | : <math>H(\sigma) = -\sum_{\langle i~j\rangle} J_{ij} \sigma_i \sigma_j.</math> | ||
जब बाहरी क्षेत्र | जब बाहरी क्षेत्र प्रत्येक जगह शून्य h = 0 होता है, आइसिंग मॉडल सभी लैटिस भागों में प्रचक्रण के मान को स्विच करने के अंतर्गत सममित होता है; अशून्य क्षेत्र इस समरूपता को विभाजित करता है। | ||
अन्य सामान्य सरलीकरण यह मान लेना है कि सभी निकटतम प्रतिवेशी ⟨ij⟩ की अंतःक्रिया सामर्थ्य समान है। तब हम Λ में सभी जोड़े i, j के लिए ''J<sub>ij</sub>'' = ''J'' स्थापित कर सकते हैं। इस स्थिति में हैमिल्टनियन को अधिक सरल बनाया गया है | |||
: <math>H(\sigma) = -J \sum_{\langle i~j\rangle} \sigma_i \sigma_j.</math> | : <math>H(\sigma) = -J \sum_{\langle i~j\rangle} \sigma_i \sigma_j.</math> | ||
=== | === रेखाचित्र से संयोजन (असतत गणित) अधिकतम विभाजन === | ||
शीर्ष (रेखाचित्र सिद्धांत) का एक उपसमुच्चय S एक भारित अप्रत्यक्ष रेखाचित्र G का V(G) समुच्चय करता है जो S में रेखाचित्र G का एक विभाजन निर्धारित करता है और इसका [[पूरक ग्राफ|पूरक रेखाचित्र]] उपसमुच्चय G\S है। विभाजन का आकार S और G\S के बीच कोर के भार का योग है। अधिकतम विभाजन आकार कम से कम किसी अन्य विभाजन के आकार का होता है, जो अलग-अलग S होता है। | |||
रेखाचित्र G पर बाहरी क्षेत्र के बिना ईज़िंग मॉडल के लिए, हैमिल्टनियन रेखाचित्र कोर E(G) पर निम्नलिखित योग बन जाता है। | |||
<math>H(\sigma) = -\sum_{ij\in E(G)} J_{ij}\sigma_i\sigma_j</math>. | <math>H(\sigma) = -\sum_{ij\in E(G)} J_{ij}\sigma_i\sigma_j</math>. | ||
यहाँ | यहाँ रेखाचित्र का प्रत्येक शीर्ष i एक प्रचक्रण भाग है जो एक प्रचक्रण मान <math>\sigma_i = \pm 1 </math> लेती है। एक दिया गया प्रचक्रण विन्यास <math>\sigma</math> शीर्षों के समुच्चय को विभाजित करता है <math>V(G)</math> में दो <math>\sigma</math> आश्रित उपसमुच्चय, प्रचक्रित <math>V^+</math> और नीचे प्रचक्रण वाले <math>V^-</math> हम <math>\delta(V^+)</math> द्वारा निरूपित करते हैं और <math>\sigma</math> कोर का आश्रित समुच्चय जो दो पूरक शीर्ष <math>V^+</math> और <math>V^-</math>उपसमुच्चय को जोड़ता है अतः <math>\left|\delta(V^+)\right|</math> विभाजन का <math>\delta(V^+)</math> आकार अनिर्दिष्ट रेखाचित्र के लिए भारित अप्रत्यक्ष रेखाचित्र G को इस रूप में परिभाषित किया जा सकता है | ||
<math>\left|\delta(V^+)\right|=\frac12\sum_{ij\in \delta(V^+)} W_{ij}</math>, | <math>\left|\delta(V^+)\right|=\frac12\sum_{ij\in \delta(V^+)} W_{ij}</math>, | ||
जहाँ <math>W_{ij}</math> | जहाँ <math>W_{ij}</math> कोर <math>ij</math> के भार को दर्शाता है और अनुमाप परिवर्तन 1/2 समान भार <math>W_{ij}=W_{ji}</math> की दोहरी गणना के लिए समतुल्य करने के लिए प्रस्तुत किया गया है | ||
सर्वसमिका | |||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
| Line 74: | Line 74: | ||
&= - \sum_{ij \in E(G)} J_{ij} + 2 \sum_{ij\in \delta(V^+)} J_{ij}, | &= - \sum_{ij \in E(G)} J_{ij} + 2 \sum_{ij\in \delta(V^+)} J_{ij}, | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
जहां पहले | |||
<ref name=":0">{{Cite journal|last1=Barahona|first1=Francisco|last2=Grötschel|first2=Martin|last3=Jünger|first3=Michael|last4=Reinelt|first4=Gerhard|date=1988|title=सांख्यिकीय भौतिकी और सर्किट लेआउट डिजाइन के संयोजन अनुकूलन का एक अनुप्रयोग|journal=Operations Research|volume=36|issue=3|pages=493–513|issn=0030-364X|jstor=170992|doi=10.1287/opre.36.3.493}}</ref> विभाजन आकार | जहां पहले पद में समग्र योग <math>\sigma</math> निर्भर नहीं करता है इसका तात्पर्य है कि <math>H(\sigma)</math> में <math>\sigma</math> कम करना <math>\sum_{ij\in \delta(V^+)} J_{ij}</math> कम करने के बराबर है। कोर के भार को परिभाषित करना <math>W_{ij}=-J_{ij}</math> इस प्रकार किसी बाहरी क्षेत्र के बिना ईज़िंग समस्या को रेखाचित्र अधिकतम-विभाजन समस्या में बदल देता है<ref name=":0">{{Cite journal|last1=Barahona|first1=Francisco|last2=Grötschel|first2=Martin|last3=Jünger|first3=Michael|last4=Reinelt|first4=Gerhard|date=1988|title=सांख्यिकीय भौतिकी और सर्किट लेआउट डिजाइन के संयोजन अनुकूलन का एक अनुप्रयोग|journal=Operations Research|volume=36|issue=3|pages=493–513|issn=0030-364X|jstor=170992|doi=10.1287/opre.36.3.493}}</ref> विभाजन आकार <math>\left|\delta(V^+)\right|</math> को अधिकतम करना, जो इस्सिंग हैमिल्टनियन से निम्नानुसार संबंधित है, | ||
<math>H(\sigma) = \sum_{ij \in E(G)} W_{ij} - 4 \left|\delta(V^+)\right|.</math> | <math>H(\sigma) = \sum_{ij \in E(G)} W_{ij} - 4 \left|\delta(V^+)\right|.</math> | ||
=== प्रश्न === | === प्रश्न === | ||
इस मॉडल के बारे में पूछने के लिए महत्वपूर्ण संख्या में सांख्यिकीय प्रश्न बड़ी संख्या में | इस मॉडल के बारे में पूछने के लिए महत्वपूर्ण संख्या में सांख्यिकीय प्रश्न बड़ी संख्या में प्रचक्रण की सीमा में हैं: | ||
* | * विशिष्ट विन्यास में, अधिकांश प्रचक्रण +1 या -1 हैं, या क्या वे समान रूप से विभाजित हैं? | ||
* यदि किसी दिए गए स्थान i पर प्रचक्रण 1 है, तो क्या संभावना है कि स्थिति j पर प्रचक्रण भी 1 है? | * यदि किसी दिए गए स्थान i पर प्रचक्रण 1 है, तो क्या संभावना है कि स्थिति j पर प्रचक्रण भी 1 है? | ||
* यदि β बदल दिया गया है, तो क्या कोई प्रावस्था संक्रमण है? | * यदि β बदल दिया गया है, तो क्या कोई प्रावस्था संक्रमण है? | ||
* लैटिस Λ पर, +1 चक्रणों के एक बड़े समूह के आकार का | * लैटिस Λ पर, +1 चक्रणों के एक बड़े समूह के आकार का फ्रैक्टल आयाम क्या है? | ||
== मूल गुण और इतिहास == | == मूल गुण और इतिहास == | ||
[[File:Ising-tartan.png|thumb|right| | [[File:Ising-tartan.png|thumb|right|आयामी आइसिंग मॉडल के अनुवाद-अपरिवर्तनीय संभाव्यता माप का दृश्य]]ईज़िंग मॉडल का सबसे अधिक अध्ययन किया गया स्थिति d-आयाम लैटिस पर अनुवाद अपरिवर्तनीय लोह चुंबकीय शून्य क्षेत्र मॉडल है, अर्थात् जिसका नाम Λ = 'Z'<sup>d</sup>, J<sub>''ij''</sub>= 1, h = 0 है। | ||
=== | === आयाम में कोई प्रावस्था संक्रमण नहीं === | ||
अपने 1924 के पीएचडी | अपने 1924 के पीएचडी अभिधारणा में, ईज़िंग ने d = 1 स्थिति के लिए मॉडल को संशोधन किया, जिसे एक रैखिक क्षैतिज लैटिस के रूप में माना जा सकता है जहां प्रत्येक भाग केवल अपने बाएं और दाएं प्रतिवेशी के साथ परस्पर क्रिया करती है। आयाम में, समाधान प्रावस्था संक्रमण को स्वीकार नहीं करता है।<ref>{{Cite journal |url=http://users-phys.au.dk/fogedby/statphysII/no-PT-in-1D.pdf |title=Solving the 3d Ising Model with the Conformal Bootstrap II. C -Minimization and Precise Critical Exponents |journal=Journal of Statistical Physics |volume=157 |issue=4–5 |pages=869–914 |last1=El-Showk |first1=Sheer |last2=Paulos |first2=Miguel F. |last3=Poland |first3=David |last4=Rychkov |first4=Slava |last5=Simmons-Duffin |first5=David |last6=Vichi |first6=Alessandro |year=2014 |doi=10.1007/s10955-014-1042-7 |arxiv=1403.4545 |access-date=2013-04-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140407154639/http://users-phys.au.dk/fogedby/statphysII/no-PT-in-1D.pdf |archive-date=2014-04-07 |url-status=dead |bibcode=2014JSP...157..869E|s2cid=119627708 }}</ref> अर्थात्, किसी भी धनात्मक β के लिए, पारस्परिक संबंध ⟨σ<sub>''i''</sub>σ<sub>''j''</sub>⟩ |i − j| में चरघातांकी रूप से क्षय होता है: | ||
: <math>\langle \sigma_i \sigma_j \rangle_\beta \leq C \exp\big(-c(\beta) |i - j|\big),</math> | : <math>\langle \sigma_i \sigma_j \rangle_\beta \leq C \exp\big(-c(\beta) |i - j|\big),</math> | ||
| Line 97: | Line 98: | ||
=== प्रावस्था संक्रमण और दो आयामों में परिशुद्ध समाधान === | === प्रावस्था संक्रमण और दो आयामों में परिशुद्ध समाधान === | ||
ईज़िंग मॉडल एक [[आदेशित चरण]] और एक [[अव्यवस्थित चरण]] के बीच 2 आयामों या अधिक में एक प्रावस्था संक्रमण से गुजरता है। अर्थात्, | ईज़िंग मॉडल एक [[आदेशित चरण|क्रमित चरण]] और एक [[अव्यवस्थित चरण]] के बीच 2 आयामों या अधिक में एक प्रावस्था संक्रमण से गुजरता है। अर्थात्, प्रणाली छोटे β के लिए अव्यवस्थित है, जबकि बड़े β के लिए प्रणाली लोह चुंबकीय क्रम प्रदर्शित करता है: | ||
: <math>\langle \sigma_i \sigma_j \rangle_\beta \geq c(\beta) > 0.</math> | : <math>\langle \sigma_i \sigma_j \rangle_\beta \geq c(\beta) > 0.</math> | ||
यह पहली बार 1936 में [[रुडोल्फ पीयरल्स]] द्वारा सिद्ध किया गया था,<ref>{{Cite journal |doi=10.1017/S0305004100019174 |title=ईज़िंग के फेरोमैग्नेटिज़्म के मॉडल पर|journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society |volume=32 |issue=3 |pages=477 |year=1936 |last1=Peierls |first1=R. |last2=Born |first2=M. |bibcode=1936PCPS...32..477P|s2cid=122630492 }}</ref> जिसे अब | यह पहली बार 1936 में [[रुडोल्फ पीयरल्स]] द्वारा सिद्ध किया गया था,<ref>{{Cite journal |doi=10.1017/S0305004100019174 |title=ईज़िंग के फेरोमैग्नेटिज़्म के मॉडल पर|journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society |volume=32 |issue=3 |pages=477 |year=1936 |last1=Peierls |first1=R. |last2=Born |first2=M. |bibcode=1936PCPS...32..477P|s2cid=122630492 }}</ref> जिसे अब पीयरल्स तर्क कहा जाता है। | ||
बिना चुंबकीय क्षेत्र वाले द्वि-आयामी वर्ग लैटिस पर ईज़िंग मॉडल को विश्लेषणात्मक रूप से संशोधन किया गया | लार्स ऑनसेगर (1944) द्वारा बिना किसी चुंबकीय क्षेत्र वाले द्वि-आयामी वर्ग लैटिस पर ईज़िंग मॉडल को विश्लेषणात्मक रूप से संशोधन किया गया था। कि ईज़िंग मॉडल के पारस्परिक संबंध फलन और [[थर्मोडायनामिक मुक्त ऊर्जा|ऊष्मप्रवैगिकी मुक्त ऊर्जा]] एक गैर-बाधित लैटिस फ़र्मियन द्वारा निर्धारित की जाती है। ऑनसेजर ने 1949 में 2-आयामी मॉडल के लिए [[सहज चुंबकीयकरण|स्वतःप्रवर्तित चुंबकीयकरण]] के सूत्र की घोषणा की, लेकिन कोई व्युत्पत्ति नहीं दी। {{harvtxt|यांग|1952}} ने इस सूत्र का पहला प्रकाशित प्रमाण दिया, फ्रेडहोम निर्धारकों के लिए एक ज़ेगो सीमा प्रमेय का उपयोग करते हुए, 1951 में ऑनसेगर स्ज़ेगो द्वारा सिद्ध किया गया।<ref name="Montroll 1963 pages=308-309">{{harvnb|Montroll|Potts|Ward|1963|pages=308–309}}</ref> | ||
=== [[सहसंबंध असमानता]]एं === | === [[सहसंबंध असमानता|पारस्परिक संबंध असमानता]]एं === | ||
ईज़िंग प्रचक्रण सहसंबंधों (सामान्य लैटिस संरचनाओं के लिए) के लिए कई | ईज़िंग प्रचक्रण सहसंबंधों (सामान्य लैटिस संरचनाओं के लिए) के लिए कई पारस्परिक संबंध असमानताओं को दृढ़ता से प्राप्त किया गया है,जिसने गणितज्ञों को ईज़िंग मॉडल को संपर्क विच्छेद महत्व दोनों का अध्ययन करने में सक्षम बनाया। | ||
==== ग्रिफ़िथ असमानता ==== | ==== ग्रिफ़िथ असमानता ==== | ||
{{Main| | {{Main|ग्रिफ़िथ असमानता}} | ||
प्रचक्रण के किसी भी | प्रचक्रण के किसी भी उपसमुच्चय को देखते हुए <math>\sigma_A</math> और <math>\sigma_B</math> लैटिस पर, निम्नलिखित असमानता रखती है, | ||
<math>\langle \sigma_A \sigma_B \rangle \geq \langle \sigma_A \rangle \langle \sigma_B \rangle</math>, | <math>\langle \sigma_A \sigma_B \rangle \geq \langle \sigma_A \rangle \langle \sigma_B \rangle</math>, | ||
जिसका अर्थ है कि ईज़िंग | जिसका अर्थ है कि ईज़िंग लोह-चुंबक पर प्रचक्रण धनात्मक रूप से सहसंबद्ध हैं। इसका एक तात्कालिक अनुप्रयोग यह है कि प्रचक्रण के किसी भी समुच्चय का चुंबकीयकरण <math>\langle \sigma_A \rangle</math> युग्मन स्थिरांक <math>J_B</math> के किसी भी समुच्चय के संबंध में बढ़ रहा है। | ||
==== साइमन-लिब असमानता ==== | ==== साइमन-लिब असमानता ==== | ||
साइमन-लीब असमानता<ref>{{Cite journal |last=Simon |first=Barry |date=1980-10-01 |title=सहसंबंध असमानताएं और फेरोमैग्नेट्स में सहसंबंधों का क्षय|url=https://doi.org/10.1007/BF01982711 |journal=Communications in Mathematical Physics |language=en |volume=77 |issue=2 |pages=111–126 |doi=10.1007/BF01982711 |bibcode=1980CMaPh..77..111S |s2cid=17543488 |issn=1432-0916}}</ref> बताता है कि किसी भी समुच्चय | |||