एरलांग वितरण: Difference between revisions
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{{short description|Family of continuous probability distributions}} | {{short description|Family of continuous probability distributions}} | ||
{{Probability distribution | {{Probability distribution | ||
|name =Erlang | |name =Erlang | ||
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|char =<math> \left(1 - \frac{it}{\lambda}\right)^{-k}</math>| | |char =<math> \left(1 - \frac{it}{\lambda}\right)^{-k}</math>| | ||
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एरलांग वितरण [[समर्थन (गणित)]] <math> x \in [0, \infty)</math> के साथ | एरलांग वितरण [[समर्थन (गणित)|समर्थन]] <math> x \in [0, \infty)</math> के साथ सतत प्रायिकता वितरण के दो-पैरामीटर वर्ग है। दो पैरामीटर इस प्रकार हैं: | ||
* एक | * एक धनात्मक पूर्णांक <math>k,</math> <nowiki>''आकार''</nowiki>, और | ||
* एक | * एक धनात्मक वास्तविक संख्या <math>\lambda,</math> <nowiki>''दर''</nowiki> और "मापक", <math>\beta,</math> दर का पारस्परिक, कभी-कभी इसके बदले प्रयोग किया जाता है। | ||
एरलांग वितरण प्रत्येक <math>1/\lambda</math> माध्य के साथ <math>k</math> | एरलांग वितरण प्रत्येक <math>1/\lambda</math> माध्य के साथ <math>k</math> स्वतंत्र घातीय चर के योग का वितरण है। समतुल्य रूप से, यह <math>\lambda</math> की दर के साथ प्वाइजन प्रक्रिया की kवीं घटना तक के समय का वितरण है। एरलांग और प्वाइजन वितरण पूरक हैं, जबकि प्वाइजन वितरण निश्चित समय में होने वाली घटनाओं की संख्या की गणना करते है, एरलांग वितरण घटनाओं की एक निश्चित संख्या के होने तक समय की मात्रा की गणना करते है। जब <math>k=1</math>, वितरण घातीय वितरण के लिए सरल हो जाता है। एरलांग वितरण [[गामा वितरण]] का एक विशेष प्रकरण है जिसमें वितरण का आकार भिन्न होता है। | ||
एरलांग वितरण को A. K. एरलांग द्वारा विकसित किया गया था ताकि स्विचिंग स्टेशनों के संचालक को एक ही समय में किए जाने वाले टेलीफोन कॉल की संख्या की जांच की जा सके। सामान्यतः | एरलांग वितरण को A. K. एरलांग द्वारा विकसित किया गया था ताकि स्विचिंग स्टेशनों के संचालक को एक ही समय में किए जाने वाले टेलीफोन कॉल की संख्या की जांच की जा सके। सामान्यतः क़तार प्रणाली में प्रतीक्षा समय पर विचार करने के लिए टेलीफोन [[टेलीट्रैफिक इंजीनियरिंग|ट्रैफ़िक अभियांत्रिकी]] पर यह काम विस्तृत किया गया है। वितरण का उपयोग प्रसंभाव्य प्रक्रियाओं के क्षेत्र में भी किया जाता है। | ||
== विशेषता == | == विशेषता == | ||
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:<math>f(x; k,\lambda)={\lambda^k x^{k-1} e^{-\lambda x} \over (k-1)!}\quad\mbox{for }x, \lambda \geq 0,</math> | :<math>f(x; k,\lambda)={\lambda^k x^{k-1} e^{-\lambda x} \over (k-1)!}\quad\mbox{for }x, \lambda \geq 0,</math> | ||
पैरामीटर k को आकार | पैरामीटर k को आकार पैरामीटर कहा जाता है और पैरामीटर <math>\lambda</math> को दर पैरामीटर कहा जाता है। | ||
एक वैकल्पिक, लेकिन समतुल्य, प्राचलीकरण | एक वैकल्पिक, लेकिन समतुल्य, प्राचलीकरण मापक पैरामीटर <math>\beta</math> का उपयोग करता है, जो दर पैरामीटर का पारस्परिक है (अर्थात, <math>\beta = 1/\lambda</math>): | ||
:<math>f(x; k,\beta)=\frac{ x^{k-1} e^{-\frac{x}{\beta}} }{\beta^k (k-1)!}\quad\mbox{for }x, \beta \geq 0.</math> | :<math>f(x; k,\beta)=\frac{ x^{k-1} e^{-\frac{x}{\beta}} }{\beta^k (k-1)!}\quad\mbox{for }x, \beta \geq 0.</math> | ||
जब | जब मापक पैरामीटर <math>\beta</math> 2 के समान है, तो वितरण 2k डिग्री स्वतंत्रता के साथ [[ची-वर्ग वितरण]] को सरल करता है। इसलिए इसे स्वतंत्रता की डिग्री की सम संख्याओं के लिए [[सामान्यीकृत ची-वर्ग वितरण]] के रूप में माना जा सकता है। | ||
=== संचयी वितरण फलन (सीडीएफ) === | === संचयी वितरण फलन (सीडीएफ) === | ||
| Line 51: | Line 50: | ||
:<math>F(x; k,\lambda) = 1 - \sum_{n=0}^{k-1}\frac{1}{n!}e^{-\lambda x}(\lambda x)^n.</math> | :<math>F(x; k,\lambda) = 1 - \sum_{n=0}^{k-1}\frac{1}{n!}e^{-\lambda x}(\lambda x)^n.</math> | ||
=== एरलांग-k === | === एरलांग-k === | ||
एरलांग-k वितरण (जहाँ k एक | एरलांग-k वितरण (जहाँ k एक धनात्मक पूर्णांक है) <math>E_k(\lambda)</math> को एरलांग वितरण के पीडीएफ में k समायोजन करके परिभाषित किया गया है।<ref>{{Cite web |title=h1.pdf|url=https://www.win.tue.nl/~iadan/sdp/h1.pdf}}</ref> उदाहरण के लिए, एरलांग-2 वितरण <math>E_2(\lambda) ={\lambda^2 x} e^{-\lambda x} \quad\mbox{for }x, \lambda \geq 0</math> है, जो <math>f(x; 2,\lambda)</math> समान हैं। | ||
=== मध्य === | === मध्य === | ||
एरलांग वितरण के माध्यिका के लिए एक | एरलांग वितरण के माध्यिका के लिए एक उपगामी प्रसार जाना जाता है,<ref>{{Cite journal | last1 = Choi | first1 = K. P. | doi = 10.1090/S0002-9939-1994-1195477-8 | title = गामा बंटन की माध्यिकाओं पर और रामानुजन का एक समीकरण| journal = Proceedings of the American Mathematical Society | volume = 121 | pages = 245–251 | year = 1994 | jstor = 2160389| doi-access = free }}</ref> जिसके लिए गुणांकों की गणना की जा सकती है और सीमाएं ज्ञात हैं।<ref>{{Cite journal | last1 = Adell | first1 = J. A. | last2 = Jodrá | first2 = P. | doi = 10.1090/S0002-9947-07-04411-X | title = गामा बंटन की माध्यिका से जुड़े रामानुजन समीकरण पर| journal = Transactions of the American Mathematical Society | volume = 360 | issue = 7 | pages = 3631 | year = 2007 | doi-access = free }}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Jodrá | first1 = P. | title = Erlang बंटन के माध्यिका के स्पर्शोन्मुख विस्तार की गणना| doi = 10.3846/13926292.2012.664571 | journal = Mathematical Modelling and Analysis | volume = 17 | issue = 2 | pages = 281–292 | year = 2012 | doi-access = free }}</ref> एक सन्निकटन <math>\frac{k}{\lambda}\left(1-\dfrac{1}{3k+0.2}\right)</math>है, अर्थात माध्य <math>\frac{k}{\lambda}</math> से नीचे हैं। <ref name=Banneheka2009>{{cite journal | last1 = Banneheka | first1 = BMSG | last2 = Ekanayake | first2 = GEMUPD | year = 2009 | title = गामा वितरण के माध्यिका के लिए एक नया बिंदु अनुमानक| journal = Viyodaya J Science | volume = 14 | pages = 95–103 }}</ref> | ||
== एरलांग-वितरित यादृच्छिक चर उत्पन्न करना == | == एरलांग-वितरित यादृच्छिक चर उत्पन्न करना == | ||
निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके समान रूप से वितरित यादृच्छिक | निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके समान रूप से वितरित यादृच्छिक संख्या (<math>U \in [0,1]</math>) से एरलांग-वितरित यादृच्छिक चर उत्पन्न किए जा सकते हैं:<ref>{{cite web|url=http://www.xycoon.com/erlang_random.htm|title=सांख्यिकीय वितरण - एरलांग वितरण - यादृच्छिक संख्या जेनरेटर|last=Resa|website=www.xycoon.com|access-date=4 April 2018}}</ref> | ||
:<math>E(k,\lambda) = -\frac{1}\lambda \ln \prod_{i=1}^k U_{i} = -\frac{1}\lambda \sum_{i=1}^k \ln U_{i} </math> | :<math>E(k,\lambda) = -\frac{1}\lambda \ln \prod_{i=1}^k U_{i} = -\frac{1}\lambda \sum_{i=1}^k \ln U_{i} </math> | ||
== अनुप्रयोग == | == अनुप्रयोग == | ||
=== प्रतीक्षा | === प्रतीक्षा समय === | ||
कुछ औसत दर के साथ स्वतंत्र रूप से घटित होने वाली घटनाओं को एक पॉइसन प्रक्रिया के साथ प्रतिरूपित किया जाता है। घटना की k घटनाओं के मध्य प्रतीक्षा | कुछ औसत दर के साथ स्वतंत्र रूप से घटित होने वाली घटनाओं को एक पॉइसन प्रक्रिया के साथ प्रतिरूपित किया जाता है। घटना की k घटनाओं के मध्य प्रतीक्षा समय एरलांग वितरित किया जाता है। (किसी दिए गए समय में घटनाओं की संख्या से संबंधित प्रश्न [[पॉसों वितरण|प्वाइजन वितरण]] द्वारा वर्णित है।) | ||
एरलांग वितरण, जो | एरलांग वितरण, जो आवक कॉल के मध्य के समय को मापता है, एरलांग में मापे गए ट्रैफ़िक भार के बारे में जानकारी उत्पन्न करने के लिए आने वाली कॉल की अपेक्षित अवधि के संयोजन के साथ उपयोग किया जा सकता है। इसका उपयोग पैकेट के हानि या विलंब की संभावना को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, इस बारे में की गई विभिन्न धारणाओं के अनुसार कि क्या अवरूद्ध कॉल को निरस्त कर दिया गया है (एरलांग B सूत्र) या कतारबद्ध जब तक सेवा नहीं दी गई है (एरलांग C सूत्र)। [[कॉल सेंटर|कॉल केंद्रो]] के डिज़ाइन जैसे अनुप्रयोगों के लिए ट्रैफ़िक मॉडलिंग के लिए [[Erlang-B|एरलांग-B]] और C सूत्र अभी भी दैनिक के उपयोग में हैं। | ||
=== अन्य अनुप्रयोग === | === अन्य अनुप्रयोग === | ||
[[कैंसर]] रोग की घटनाओं का आयु वितरण प्रायः एरलांग वितरण का अनुसरण करता है, जबकि आकार और पैमाने के पैरामीटर क्रमशः चालक घटनाओं की संख्या और उनके मध्य समय अंतराल की भविष्यवाणी करते हैं।<ref>{{cite journal |last1=Belikov |first1=Aleksey V. |title=कैंसर की घटनाओं से प्रमुख कार्सिनोजेनिक घटनाओं की संख्या का अनुमान लगाया जा सकता है|journal=Scientific Reports |date=22 September 2017 |volume=7 |issue=1 |doi=10.1038/s41598-017-12448-7|pmc=5610194 |pmid=28939880 }}</ref><ref>{{Cite journal|last=Belikov|first=Aleksey V.|last2=Vyatkin|first2=Alexey|last3=Leonov|first3=Sergey V.|date=2021-08-06|title=Erlang वितरण बचपन और युवा वयस्कता के कैंसर की घटनाओं के आयु वितरण का अनुमान लगाता है|url=https://peerj.com/articles/11976|journal=PeerJ|language=en|volume=9|pages=e11976|pmid=34434669| doi=10.7717/peerj.11976| pmc=8351573|issn=2167-8359|doi-access=free}}</ref> अधिक सामान्यतः, बहुचरण मॉडल के परिणाम के रूप में, एरलांग वितरण को सेल | [[कैंसर]] रोग की घटनाओं का आयु वितरण प्रायः एरलांग वितरण का अनुसरण करता है, जबकि आकार और पैमाने के पैरामीटर क्रमशः चालक घटनाओं की संख्या और उनके मध्य समय अंतराल की भविष्यवाणी करते हैं।<ref>{{cite journal |last1=Belikov |first1=Aleksey V. |title=कैंसर की घटनाओं से प्रमुख कार्सिनोजेनिक घटनाओं की संख्या का अनुमान लगाया जा सकता है|journal=Scientific Reports |date=22 September 2017 |volume=7 |issue=1 |doi=10.1038/s41598-017-12448-7|pmc=5610194 |pmid=28939880 }}</ref><ref>{{Cite journal|last=Belikov|first=Aleksey V.|last2=Vyatkin|first2=Alexey|last3=Leonov|first3=Sergey V.|date=2021-08-06|title=Erlang वितरण बचपन और युवा वयस्कता के कैंसर की घटनाओं के आयु वितरण का अनुमान लगाता है|url=https://peerj.com/articles/11976|journal=PeerJ|language=en|volume=9|pages=e11976|pmid=34434669| doi=10.7717/peerj.11976| pmc=8351573|issn=2167-8359|doi-access=free}}</ref> अधिक सामान्यतः, बहुचरण मॉडल के परिणाम के रूप में, एरलांग वितरण को सेल आवर्तन समय वितरण के अच्छे सन्निकटन के रूप में सूचित किया गया है।<ref>{{cite journal |last1=Yates |first1=Christian A. |title=मार्कोव प्रक्रिया के रूप में सेल प्रसार का एक बहु-स्तरीय प्रतिनिधित्व|journal=Bulletin of Mathematical Biology |date=21 April 2017 |volume=79 |issue=1 |doi=10.1007/s11538-017-0356-4 |pages=2905–2928|doi-access=free }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Gavagnin |first1=Enrico |title=यथार्थवादी सेल चक्र समय वितरण के साथ सेल माइग्रेशन मॉडल की आक्रमण गति|journal=Journal of Theoretical Biology |date=14 October 018 |volume=79 |issue=1 |doi=10.1016/j.jtbi.2018.09.010|arxiv=1806.03140 |pages=91–99 }}</ref> | ||
अंतरखरीद समय का वर्णन करने के लिए इसका उपयोग व्यावसायिक अर्थशास्त्र में भी किया गया है।<ref>C. Chatfield and G.J. Goodhardt: “A Consumer Purchasing Model with Erlang Interpurchase Times”; ''Journal of the American Statistical Association'', Dec. 1973, Vol.68, pp.828-835</ref> | |||
== गुण == | == गुण == | ||
*अगर <math> X \sim \operatorname{Erlang}(k, \lambda)</math> तो <math> a \cdot X \sim \operatorname{Erlang}\left(k, \frac{\lambda}{a}\right)</math> साथ में <math> a \in \mathbb{R}</math> | *अगर <math> X \sim \operatorname{Erlang}(k, \lambda)</math> तो <math> a \cdot X \sim \operatorname{Erlang}\left(k, \frac{\lambda}{a}\right)</math> साथ में <math> a \in \mathbb{R}</math> | ||
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== संबंधित वितरण == | == संबंधित वितरण == | ||
* एरलांग वितरण k [[स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर]] के योग का वितरण है, प्रत्येक में एक घातीय वितरण है। | * एरलांग वितरण k [[स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर]] के योग का वितरण है, प्रत्येक में एक घातीय वितरण है। दीर्घसमयिक दर जिस पर घटनाएं घटित होती हैं, वह <math>X</math> की अपेक्षा का पारस्परिक है, अर्थात <math>\lambda/k</math> एरलांग वितरण की (आयु विशिष्ट घटना) दर, <math>k>1</math> के लिए, <math>x</math> में एकदिष्ट है, 0 से <math>x=0</math> पर बढ़ रहा है, <math>\lambda</math> के रूप में <math>x</math> अनंत की ओर जाता है।<ref>Cox, D.R. (1967) ''Renewal Theory'', p20, Methuen.</ref> | ||
*अर्थात्: अगर <math> X_i \sim \operatorname{Exponential}(\lambda),</math> तब <math display="block"> \sum_{i=1}^k{X_i} \sim \operatorname{Erlang}(k, \lambda)</math> | *अर्थात्: अगर <math> X_i \sim \operatorname{Exponential}(\lambda),</math> तब <math display="block"> \sum_{i=1}^k{X_i} \sim \operatorname{Erlang}(k, \lambda)</math> | ||
* पीडीएफ और सीडीएफ के भाजक में क्रमगुणित फलन के कारण, एरलांग वितरण केवल तभी परिभाषित होता है जब पैरामीटर k एक | * पीडीएफ और सीडीएफ के भाजक में क्रमगुणित फलन के कारण, एरलांग वितरण केवल तभी परिभाषित होता है जब पैरामीटर k एक धनात्मक पूर्णांक होता है। वास्तव में, इस वितरण को कभी-कभी एरलांग-k वितरण कहा जाता है (उदाहरण के लिए, एरलांग -2 वितरण <math>k=2</math> के साथ एरलांग वितरण है)। गामा वितरण क्रमगुणित फलन के बदले [[गामा समारोह|गामा फलन]] का उपयोग करके, किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या होने की अनुमति देकर एरलांग वितरण को सामान्यीकृत करता है। | ||
** अर्थात्: यदि k एक [[पूर्णांक]] है और <math> X \sim \operatorname{Gamma}(k, \lambda),</math> तब <math> X \sim \operatorname{Erlang}(k, \lambda)</math> | ** अर्थात्: यदि k एक [[पूर्णांक]] है और <math> X \sim \operatorname{Gamma}(k, \lambda),</math> तब <math> X \sim \operatorname{Erlang}(k, \lambda)</math> | ||
*अगर <math> U \sim \operatorname{Exponential}(\lambda)</math> और <math> V \sim \operatorname{Erlang}(n, \lambda)</math> तब <math> \frac{U}{V}+1 \sim \operatorname{Pareto}(1, n)</math> | *अगर <math> U \sim \operatorname{Exponential}(\lambda)</math> और <math> V \sim \operatorname{Erlang}(n, \lambda)</math> तब <math> \frac{U}{V}+1 \sim \operatorname{Pareto}(1, n)</math> | ||
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* [[चरण-प्रकार वितरण]] | * [[चरण-प्रकार वितरण]] | ||
* [[यातायात उत्पादन मॉडल|ट्रैफ़िक उत्पादन मॉडल]] | * [[यातायात उत्पादन मॉडल|ट्रैफ़िक उत्पादन मॉडल]] | ||
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*[http://www.eventhelix.com/RealtimeMantra/CongestionControl/resource_dimensioning_erlang_b_c.htm Resource Dimensioning Using एरलांग-B and एरलांग-C] | *[http://www.eventhelix.com/RealtimeMantra/CongestionControl/resource_dimensioning_erlang_b_c.htm Resource Dimensioning Using एरलांग-B and एरलांग-C] | ||
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