टर्मिनल वेग

For other uses, see टर्मिनल वेग (disambiguation).

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गुरुत्वाकर्षण का अधोमुखी बल (एफ_g) ड्रैग के निरोधक बल के बराबर है (F_d) प्लस उछाल। वस्तु पर कुल बल शून्य होता है, और परिणाम यह होता है कि वस्तु का वेग स्थिर रहता है।

टर्मिनल वेग किसी वस्तु द्वारा प्राप्त अधिकतम वेग (गति) है क्योंकि यह द्रव (हवा सबसे आम उदाहरण है) के माध्यम से गिरता है। यह तब होता है जब ड्रैग (भौतिकी) बल (F_d) और उछाल का योग वस्तु पर गुरुत्वाकर्षण (F_G)के नीचे की ओर बल के बराबर है। चूँकि वस्तु पर कुल बल शून्य है, इसलिए वस्तु का त्वरण शून्य है।

द्रव गतिकी में वस्तु अपने टर्मिनल वेग से गति कर रही है यदि इसकी गति तरल पदार्थ द्वारा लगाए गए निरोधक बल के कारण स्थिर है जिसके माध्यम से यह चल रहा है।

जैसे-जैसे किसी वस्तु की गति बढ़ती है, वैसे-वैसे उस पर कार्य करने वाला संकर्षण बल भी बढ़ता है, जो उस पदार्थ पर भी निर्भर करता है जिससे वह गुजर (उदाहरण के लिए हवा या पानी) रहा है। किसी गति पर, प्रतिरोध का खिंचाव या बल वस्तु पर गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के बराबर (उछाल को नीचे माना गया है) होगा। इस बिंदु पर वस्तु का त्वरण रुक जाता है और स्थिर गति से गिरना जारी रहता है जिसे टर्मिनल वेग (जिसे स्थिरीकरण वेग भी कहा जाता है) कहा जाता है। टर्मिनल वेग से नीचे की ओर तेजी से बढ़ने वाली वस्तु (उदाहरण के लिए क्योंकि इसे नीचे की ओर फेंका गया था, यह वायुमंडल के पतले भाग से गिरी थी, या इसका आकार बदल गया था) तब तक धीमी हो जाएगी जब तक कि यह टर्मिनल वेग तक नहीं पहुंच जाती हैं। ड्रैग अनुमानित क्षेत्र पर निर्भर करता है, यहां क्षैतिज तल में ऑब्जेक्ट के क्रॉस-सेक्शन या सिल्हूट द्वारा दर्शाया गया है। अपने द्रव्यमान के सापेक्ष बड़े अनुमानित क्षेत्र के साथ वस्तु, जैसे कि पैराशूट, उसके द्रव्यमान के सापेक्ष छोटे से अनुमानित क्षेत्र के साथ से कम टर्मिनल वेग होता है, जैसे कि डार्ट। सामान्यतः, समान आकार और सामग्री के लिए, किसी वस्तु का टर्मिनल वेग आकार के साथ बढ़ता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि नीचे की ओर बल (वजन) रैखिक आयाम के घन के समानुपाती होता है, लेकिन वायु प्रतिरोध क्रॉस-सेक्शन क्षेत्र के लगभग आनुपातिक होता है जो केवल रैखिक आयाम के वर्ग के रूप में बढ़ता है। धूल और धुंध जैसी बहुत छोटी वस्तुओं के लिए, टर्मिनल वेग आसानी से संवहन धाराओं से दूर हो जाता है जो उन्हें जमीन पर पहुंचने से बिल्कुल भी रोक सकता है, और इसलिए वे अनिश्चित काल तक हवा में निलंबित रह सकते हैं। वायु प्रदूषण और कोहरा संवहन धाराओं के उदाहरण हैं।

उदाहरण

File:Graph of velocity versus time of a skydiver reaching a terminal velocity.svg

स्काईडाइवर के टर्मिनल वेग तक पहुंचने के वेग बनाम समय का ग्राफ।

हवा के प्रतिरोध के आधार पर, उदाहरण के लिए, बेली-टू-अर्थ (यानी, नीचे की ओर) मुक्त गिरावट की स्थिति में स्काइडाइविंग की टर्मिनल गति लगभग 55 m/s (180 ft/s) होती है। यह गति गति का स्पर्शोन्मुख सीमित मान है, और पिंड पर कार्य करने वाली शक्तियाँ दूसरे को अधिक से अधिक निकटता से संतुलित करती हैं जैसे कि टर्मिनल गति निकट आती है। इस उदाहरण में, टर्मिनल गति के 50% की गति केवल 3 सेकंड के बाद पहुँचती है, जबकि इसे 90% तक पहुँचने में 8 सेकंड लगते हैं, 99% तक पहुँचने में 15 सेकंड और इसी तरह आगे भी होता हैं।

यदि स्काइडाइवर उनके अंगों को खींच ले तो उच्च गति प्राप्त की जा सकती है (मुक्त उड़ान भी देखें)। इस स्थिति में, टर्मिनल गति लगभग 90 m/s (300 ft/s) बढ़ जाती है, जो अपने शिकार पर गोता लगाने वाले पेरेग्रीन बाज़ की लगभग टर्मिनल गति है। 1920 के अमेरिकी सेना आयुध अध्ययन के अनुसार, एक सामान्य .30-06 गोली नीचे की ओर गिरने के लिए समान टर्मिनल गति तक पहुँच जाती है, जब यह ऊपर की ओर दागी जाती है या एक टॉवर से गिराई जाती है।

प्रतियोगिता स्पीड स्काईडाइवर्स सिर से नीचे की स्थिति में उड़ान भरती है और 150 m/s (490 ft/s); की गति तक पहुंच सकती है; वर्तमान रिकॉर्ड फेलिक्स बॉमगार्टनर के पास है, जो 38,887 m (127,582 ft) की ऊंचाई से कूदे और 380 m/s (1,200 ft/s) तक पहुंचे, चूंकि उन्होंने इस गति को उच्च ऊंचाई पर हासिल किया जहां हवा का घनत्व बहुत कम है पृथ्वी की सतह की तुलना में एक समान रूप से कम ड्रैग फ़ोर्स का उत्पादन करता है।

जीवविज्ञानी जे.बी.एस. हाल्डेन ने लिखा,

चूहे और किसी भी छोटे जानवर [गुरुत्वाकर्षण] के लिए व्यावहारिक रूप से कोई खतरा नहीं है। आप एक चूहे को एक हज़ार-गज की खान शाफ्ट के नीचे गिरा सकते हैं; और नीचे पहुंचने पर उसे हल्का सा झटका लगता है और वह चला जाता है। एक चूहा मारा जाता है, एक आदमी टूट जाता है, एक घोड़ा छींटे मार देता है। हवा द्वारा गति के लिए प्रस्तुत प्रतिरोध गतिमान वस्तु की सतह के समानुपाती होता है। एक जानवर की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को दस से विभाजित करें; इसका वजन एक हजारवें हिस्से तक कम हो जाता है, किन्तु इसकी सतह केवल सौवें भाग तक ही रह जाती है। तो छोटे जानवर के मामले में गिरने का प्रतिरोध ड्राइविंग बल की तुलना में अपेक्षाकृत दस गुना अधिक है। बी. एस. |author-link=J. बी. एस. हाल्डेन |तिथि=मार्च 1926 |शीर्षक=सही आकार होने पर |जर्नल=हार्पर की पत्रिका |मात्रा=मार्च 1926 |यूआरएल=https://harpers.org/archive/1926/03/ऑन-बीइंग-द-राइट- size/|url-access=subscription |archive-url=https://web.archive.org/web/20150415022557/http://harpers.org/archive/1926/03/on-being-the-right-size /|आर्काइव-डेट=2015-04-15}} [https://archive.org/details/OnBeingTheRightSize-J.B.S.Haldane Alt URL]</ref>

भौतिकी

गणितीय शर्तों का उपयोग करते हुए, टर्मिनल गति - उछाल के प्रभावों पर विचार किए बिना - द्वारा दी गई है

$$V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}$$

जहाँ

• $V_{t}$ टर्मिनल वेग का प्रतिनिधित्व करता है,
• $m$ गिरने वाली वस्तु का द्रव्यमान है,
• $g$ पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण है,
• $C_{d}$ ड्रैग गुणांक है,
• $\rho$ द्रव का घनत्व है जिसके माध्यम से वस्तु गिर रही है, और
• $A$ वस्तु का अनुमानित क्षेत्र है।

वास्तव में, वस्तु अपनी टर्मिनल गति को स्पर्शोन्मुख रूप से प्राप्त करती है।

उछाल प्रभाव, आसपास के तरल पदार्थ द्वारा वस्तु पर ऊपर की ओर बल के कारण, उछाल का उपयोग करके ध्यान में रखा जा सकता है। आर्किमिडीज का सिद्धांत: द्रव्यमान $m$ को विस्थापित द्रव द्रव्यमान $\rho V$ द्वारा $V$का उपयोग करें।इसमें और बाद के सूत्रों में।

द्रव के गुणों, वस्तु के द्रव्यमान और उसके प्रक्षेपित क्रॉस-सेक्शनल सतह क्षेत्र के कारण किसी वस्तु की टर्मिनल गति बदल जाती है।

वायु घनत्व घटती ऊंचाई के साथ लगभग 1% प्रति 80 metres (260 ft) (बैरोमीटर का सूत्र देखें) पर बढ़ता है। वायुमंडल में गिरने वाली वस्तुओं के लिए, प्रत्येक के लिए 160 metres (520 ft) गिरावट की, टर्मिनल गति 1% कम हो जाती है। स्थानीय टर्मिनल वेग तक पहुँचने के बाद, गिरावट जारी रखते हुए, स्थानीय टर्मिनल गति के साथ बदलने के लिए गति कम हो जाती है।

टर्मिनल वेग के लिए व्युत्पत्ति

गणितीय शब्दों का प्रयोग करते हुए, डाउन को सकारात्मक परिभाषित करते हुए, पृथ्वी की सतह के पास गिरने वाली किसी वस्तु पर कार्य करने वाला शुद्ध बल (ड्रैग समीकरण के अनुसार):

$$F_{\text{net}}=ma=mg-{\frac {1}{2}}\rho v^{2}AC_{d},$$

के साथ v(t) समय t के कार्य के रूप में वस्तु का वेग है।

संतुलन के प्रकारों की सूची में, शुद्ध बल शून्य (F_net = 0) है और वेग टर्मिनल वेग lim_t→∞ v(t) = V_t बन जाता है:

$$mg-{1 \over 2}\rho V_{t}^{2}AC_{d}=0.$$

V_t के लिए समाधान उत्पन्न

$V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}.$

(5)

वेग v के समाधान की व्युत्पत्ति समय t के फलन के रूप में

The drag equation is—assuming ρ, g and Cd to be constants: $$ma=m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg-{\frac {1}{2}}\rho v^{2}AC_{d}.$$ Although this is a Riccati equation that can be solved by reduction to a second-order linear differential equation, it is easier to separate variables. A more practical form of this equation can be obtained by making the substitution α2 = ρACd/2mg. Dividing both sides by m gives $${\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=g\left(1-\alpha ^{2}v^{2}\right).$$ The equation can be re-arranged into $$\mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} v}{g(1-\alpha ^{2}v^{2})}}.$$ Taking the integral of both sides yields $$\int _{0}^{t}{\mathrm {d} t'}={1 \over g}\int _{0}^{v}{\frac {\mathrm {d} v'}{1-\alpha ^{2}v^{\prime 2}}}.$$ After integration, this becomes $$t-0={1 \over g}\left[{\ln(1+\alpha v') \over 2\alpha }-{\frac {\ln(1-\alpha v')}{2\alpha }}+C\right]_{v'=0}^{v'=v}={1 \over g}\left[{\ln {\frac {1+\alpha v'}{1-\alpha v'}} \over 2\alpha }+C\right]_{v'=0}^{v'=v}$$ or in a simpler form $$t={1 \over 2\alpha g}\ln {\frac {1+\alpha v}{1-\alpha v}}={\frac {\mathrm {artanh} (\alpha v)}{\alpha g}},$$ with artanh the inverse hyperbolic tangent function. Alternatively, $${\frac {1}{\alpha }}\tanh(\alpha gt)=v,$$ with tanh the hyperbolic tangent function. Assuming that g is positive (which it was defined to be), and substituting α back in, the speed v becomes $$v={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}\tanh \left(t{\sqrt {\frac {g\rho AC_{d}}{2m}}}\right).$$ Using the formula for terminal velocity $$V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}$$ the equation can be rewritten as $$v=V_{t}\tanh \left(t{\frac {g}{V_{t}}}\right).$$ As time tends to infinity (t → ∞), the hyperbolic tangent tends to 1, resulting in the terminal speed $$V_{t}=\lim _{t\to \infty }v(t)={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}.$$

विसर्पी प्रवाह में टर्मिनल गति

File:Stokes sphere.svg

क्षेत्र से रेंगने वाला प्रवाह: स्ट्रीमलाइन, स्ट्रीकलाइन और पाथलाइन, ड्रैग फ़ोर्स F_d और गुरुत्वाकर्षण एफ द्वारा बल_g

द्रव की बहुत धीमी गति के लिए, अन्य बलों की तुलना में द्रव की जड़ता बल नगण्य (द्रव्यमान रहित द्रव की धारणा) हैं। इस तरह के प्रवाह को स्टोक्स प्रवाह कहा जाता है और प्रवाह के विसर्पी प्रवाह के लिए संतुष्ट होने की स्थिति रेनॉल्ड्स संख्या, $Re\ll 1$है। रेंगने वाले प्रवाह के लिए गति का समीकरण (सरलीकृत नेवियर-स्टोक्स समीकरण) द्वारा दिया गया है

$${\mathbf {\nabla } }p=\mu \nabla ^{2}{\mathbf {v} }$$

जहाँ

• $\mathbf {v}$ द्रव वेग वेक्टर क्षेत्र है,
• $p$ द्रव दबाव क्षेत्र है,
• $\mu$ तरल/तरल श्यानता है।

क्षेत्र के चारों ओर रेंगने वाले प्रवाह के लिए विश्लेषणात्मक समाधान पहली बार 1851 में जॉर्ज गेब्रियल स्टोक्स द्वारा दिया गया था।

स्टोक्स के समाधान से, व्यास के गोले पर कार्य करने वाला कर्षण बल $d$ के रूप में प्राप्त किया जा सकता है

$D=3\pi \mu dV\qquad {\text{or}}\qquad C_{d}={\frac {24}{Re}}$

(6)

जहां रेनॉल्ड्स संख्या, $Re={\frac {\rho d}{\mu }}V$ है। समीकरण द्वारा दिए गए ड्रैग फोर्स के लिए अभिव्यक्ति (6) को स्टोक्स का नियम कहते हैं।

जब का मान $C_{d}$ समीकरण में प्रतिस्थापित किया गया है (5), हम रेंगने वाली प्रवाह स्थितियों के तहत चलती गोलाकार वस्तु की टर्मिनल गति के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:

$$V_{t}={\frac {gd^{2}}{18\mu }}\left(\rho _{s}-\rho \right),$$

जहाँ $\rho _{s}$ वस्तु का घनत्व है।

आवेदन

रेंगने वाले प्रवाह के परिणामों को समुद्र के तल के पास तलछट के जमाव और वातावरण में नमी की बूंदों के गिरने का अध्ययन करने के लिए प्रायुक्त किया जा सकता है। सिद्धांत को विस्कोमीटर फॉलिंग स्फेयर विस्कोमीटर में भी प्रायुक्त किया जाता है, प्रायोगिक उपकरण जिसका उपयोग अत्यधिक चिपचिपे तरल पदार्थों की श्यानता को मापने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए तेल, पैराफिन, टार आदि।

उछाल बल की उपस्थिति में टर्मिनल वेग

File:Settling velocity quartz.png

स्थिर वेग W_s बालू के दाने का (व्यास d, घनत्व 2650 किग्रा/मी³) 20 डिग्री सेल्सियस पर पानी में, सोल्सबी (1997) के सूत्र के साथ गणना की गई।

जब उत्प्लावकता प्रभाव को ध्यान में रखा जाता है, तो अपने स्वयं के वजन के तहत तरल पदार्थ के माध्यम से गिरने वाली वस्तु टर्मिनल वेग (स्थिर वेग) तक पहुंच सकती है यदि वस्तु पर कार्य करने वाला शुद्ध बल शून्य हो जाता है। जब टर्मिनल वेग तक पहुँच जाता है तो वस्तु का भार उर्ध्वगामी उछाल बल और संकर्षण बल द्वारा बिल्कुल संतुलित होता है। वह है

$W=F_{b}+D$

(1)

जहाँ

• $W$ वस्तु का भार है,
• $F_{b}$ वस्तु पर कार्य करने वाला उछाल बल है, और
• $D$ वस्तु पर कार्य करने वाला ड्रैग फोर्स है।

यदि गिरने वाली वस्तु गोलाकार है, तो तीन बलों के लिए व्यंजक नीचे दिया गया है:

$W={\frac {\pi }{6}}d^{3}\rho _{s}g,$

(2)

$F_{b}={\frac {\pi }{6}}d^{3}\rho g,$

(3)

$D=C_{d}{\frac {1}{2}}\rho V^{2}A,$

(4)

जहाँ

• $d$ गोलाकार वस्तु का व्यास है,
• $g$ गुरुत्वाकर्षण त्वरण है,
• $\rho$ द्रव का घनत्व है,
• $\rho _{s}$ वस्तु का घनत्व है,
• $A={\frac {1}{4}}\pi d^{2}$ गोले का अनुमानित क्षेत्र है,
• $C_{d}$ ड्रैग गुणांक है, और
• $V$ विशेषता वेग (टर्मिनल वेग $V_{t}$ के रूप में लिया जाता है) हैं।

समीकरणों का प्रतिस्थापन (2–4) समीकरण में (1) और टर्मिनल वेग के लिए समाधान करना, $V_{t}$ निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए

$V_{t}={\sqrt {{\frac {4gd}{3C_{d}}}\left({\frac {\rho _{s}-\rho }{\rho }}\right)}}.$

(5)

समीकरण में (1), यह माना जाता है कि वस्तु द्रव से सघन है। यदि नहीं, तो कर्षण बल के चिह्न को ऋणात्मक बनाया जाना चाहिए क्योंकि वस्तु गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध ऊपर की ओर गति कर रही होगी। उदाहरण शैम्पेन ग्लास और हीलियम गुब्बारे के तल पर बने बुलबुले हैं। ऐसे स्थितियों में टर्मिनल वेग का ऋणात्मक मान होगा, जो ऊपर उठने की दर के अनुरूप होगा।

यह भी देखें

• स्टोक्स का नियम
• टर्मिनल बैलिस्टिक

बाहरी संबंध

• Terminal Velocity - NASA site
• Onboard video of Space Shuttle Solid Rocket Boosters rapidly decelerating to terminal velocity on entry to the thicker atmosphere, from 2,900 miles per hour (Mach 3.8) at 5:15 in the video, to 220  mph at 6:45 when the parachutes are deployed 90 seconds later—NASA video and sound, @ io9.com.
• Terminal settling velocity of a sphere at all realistic Reynolds Numbers, by Heywood Tables approach.