कोण: Difference between revisions

Latest revision as of 13:39, 9 September 2022

एक शीर्ष से निकलने वाली दो किरणों द्वारा निर्मित कोण.

यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक कोण दो रेखाओं द्वारा बनाई गई आकृति है, जो एक ही बिंदु पर मिलती है, जिसे कोण का शीर्ष (वर्टेक्स ज्योमेट्) कहा जाता है।^[1] दोनों रेखाएं तथा इनसे बनने वाले कोण एक ही तल में होते हैं। दो तलों के प्रतिच्छेदन से तथा दो वक्रो के प्रतिच्छेदन से भी एक कोण बनता हैं, जिन्हे द्वितल (डायहेड्रल) तथा वक्रीय कोण कहा जाता है। जो कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर संबंधित वक्रों की स्पर्शरेखा वाली रेखाओं का कोण होता है।

कोण का उपयोग कोण या घूर्णन के माप को देखने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक वृत्ताकार चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और रेखाओं द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन कि स्थिति में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है तथा किसी अन्य बिंदु से तथा घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है।

इतिहास और व्युत्पत्ति

कोण शब्द लैटिन शब्द एंगुलस से आया है, जिसका अर्थ "कोना" है।^[2]

यूक्लिड एक समतल कोण को, उस तल में, जहां दो तिरछी रेखाएँ, एक दूसरे से मिलती हैं, एक दूसरे के झुकाव के रूप में इसको परिभाषित किया जाता है। 'प्रोक्लस' के अनुसार, कोण या तो गुणवत्ता या मात्रा, या संबंध होना चाहिए। पहली अवधारणा का उपयोग 'यूडेमस' द्वारा किया गया था, जो एक कोण को एक सीधी रेखा से विचलन के रूप में मानते थे, दूसरी 'अन्ताकिया के कार्पस' द्वारा, जिसने इसे प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का अंतराल या स्थान माना था तथा यूक्लिड ने तीसरी अवधारणा को अपनाया।^[3]

कोणों की पहचान

गणितीय व्यंजको में, ग्रीक अक्षरों (α, β, γ, θ, φ, . . . ) किसी कोण के आकार को दर्शाने वाले चर के रूप (इसके अन्य अर्थ के साथ अस्पष्टता से बचने के लिए, प्रतीक $π$ प्रायः पर इस उद्देश्य के लिए उपयोग नहीं किया जाता है) मे उपयोग करना सामान्य है। छोटे रोमन अक्षरों (a, b, c, . . . ) का भी उपयोग किया जाता है। ऐसे परिस्थिति में जहां यह अस्पष्ट नहीं है, एक कोण को बड़े रोमन अक्षर द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो इसके शीर्ष को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस आलेख में आंकड़े देखें।

ज्यामितीय आकृतियों में, कोणों को उन तीन बिंदुओं से भी पहचाना जा सकता है, जो उन्हें परिभाषित करते हैं। उदाहरण के लिए, एबी (AB) तथा एसी (AC) रेखाओं (अर्थात बिंदु ए (A) से बिंदु बी (b) तथा सी (C) तक की रेखाओं) द्वारा गठित शीर्ष ए (A) वाले कोण को $∠BAC$ या ${\widehat {\rm {BAC}}}$ से दर्शाया गया है। जहां अस्पष्टता का कोई संकट नहीं है, कोण को कभी-कभी केवल इसके शीर्ष द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है।

संभावित रूप से, ∠BAC के रूप में निरूपित एक कोण, चार कोणों में से किसी को भी प्रदर्शित कर सकता है, बी (B) से सी (C) तक का दक्षिणावर्त कोण, बी (B) से सी (C) का वामावर्त कोण, सी (C) से बी (B) का दक्षिणावर्त कोण, या सी (C) से बी (B) का वामावर्त कोण, जहां कोण के माप की दिशा उसका संकेत निर्धारित करती है (धनात्मक और ऋणात्मक कोण देखें)। हालांकि, कई ज्यामितीय स्थितियों में, संदर्भ से यह स्पष्ट है कि धनात्मक कोण 180° डिग्री से कम या उसके बराबर है, ऐसी स्थिति में कोई अस्पष्टता नहीं होती है। अन्यथा, एक समझौता अपनाया जा सकता है ताकि $∠BAC$ हमेशा बी (B) से सी (C) तक वामावर्त (धनात्मक) कोण को संदर्भित करता है, तथा $∠CAB$ सी (C) से बी (B) तक वामावर्त (धनात्मक) कोण।

कोणों के प्रकार

व्यक्तिगत कोण

कोणों के लिए कुछ सामान्य शब्दावली है, जिसका माप हमेशा ऋणात्मक नहीं होता।^[4]^[5]

0° के बराबर या मुड़े हुए कोण को शून्य कोण कहा जाता है।

एक समकोण से छोटे (90° (डिग्री) से कम) कोण को न्यून कोण ("न्यून" अर्थात "स्पष्ट") कहा जाता है।
अभिलम्बवत दो रेखाओं द्वारा 1/4 मोड़ (टर्न) (90° (डिग्री) या $π$ /2 रेडियन) के बराबर के कोण को समकोण कहा जाता है।
एक समकोण से बड़ा और एक ऋजु कोण से छोटे (90° (डिग्री) और 180° (डिग्री) के बीच) कोण को अधिक कोण ("अधिक" अर्थात "कुंद") कहा जाता है।
1/2 मोड़ (टर्न) के बराबर कोण (180° (डिग्री) या $π$ रेडियन) को एक ऋजु कोण कहा जाता है।
एक कोण जो एक ऋजु कोण से बड़े तथा 1 मोड़ से कम (180° (डिग्री) और 360° (डिग्री) के बीच) का कोण प्रतिवर्ती कोण कहलाता है।
1 मोड़ के बराबर कोण (360° (डिग्री) या 2 $π$ रेडियन) को पूर्ण कोण, सम्पूर्ण कोण, गोलाकार कोण या पेरिगॉन कहा जाता है।
ऐसा कोण जो समकोण का गुणज न हो, तिर्यक कोण कहलाता है।

नाम, अंतराल और मापने की इकाइयाँ नीचे दी गई तालिका में दिखाई गई हैं।

समकोण

न्यून (a), अधिक (b), और सीधा (c) angles. न्यून और अधिक कोणों को तिरछा कोण भी कहा जाता है.

वृहत्तकोण

इकाइयाँ	अंतराल
नाम	शून्य	न्यून	समकोण	अधिक	ऋजु	प्रतिवर्ती	पेरिगॉन
मोड़ (टर्न)	0 turn	(0, 1/4) turn	1/4 turn	(1/4, 1/2) turn	1/2 turn	(1/2, 1) turn	1 turn
रेडियन	0 rad	(0, 1/2 $π$ ) rad	1/2 $π$ rad	(1/2 $π$ , $π$ ) rad	$π$ rad	( $π$ , 2 $π$ ) rad	2 $π$ rad
डिग्री	0°	(0, 90)°	90°	(90,180)°	180°	(180, 360)°	360°
गोन	0^g	(0,100)^g	100^g	(100, 200)^g	200^g	(200, 400)^g	400^g

तुल्यता कोण जोड़े

समान माप वाले कोण सर्वांगसम कहलाते हैं। एक कोण को उसके माप से परिभाषित किया जाता है और यह कोण की भुजाओं की लंबाई पर निर्भर नहीं होता है (उदाहरण के लिए सभी समकोण माप में बराबर होते हैं)।
दो कोण जो अंतिम रेखाओं का साझा करते हैं, लेकिन एक मोड़ (टर्न) के पूर्णांक गुणक द्वारा आकार में भिन्न होते हैं, कोटरमिनल कोण कहलाते हैं।
एक संदर्भ कोण किसी भी कोण का न्यून संस्करण है, जिसे बार-बार घटाकर या सीधे कोण (1/2 मोड़ (टर्न), 180° (डिग्री) या रेडियन) को जोड़कर निर्धारित किया जाता है,आवश्यकतानुसार परिणामों के लिए, जब तक परिणाम का परिमाण एक न्यून कोण न हो, 0 और1/4 मोड़ (टर्न) के बीच का मान, 90° (डिग्री), या $π$ /2 रेडियन। उदाहरण के लिए, 30° (डिग्री) के कोण में 30° डिग्री का संदर्भ कोण होता है, और 150° (डिग्री) के कोण में 30° (डिग्री) (180-150) का संदर्भ कोण भी होता है। 750° (डिग्री) के कोण का संदर्भ कोण 30° (डिग्री) (750-720) होता है।^[6]

लंबवत और आसन्न कोण जोड़े

कोण समानता दिखाने के लिए यहां हैच के निशान का उपयोग किया जाता है।

जब दो सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेदन से चार कोण बनते हैं। जोड़ी में इन कोणों को एक दूसरे के सापेक्ष उनके स्थान के अनुसार नाम दिए गए है।

दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से बनी X-समान आकृति मे एक दूसरे विपरीत मुख के बने एक कोण युग्म को उर्ध्वाधर कोण या सम्मुख कोण या लंबवत सम्मुख कोण कहते हैं। उन्हें vert. opp. ∠s के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.^[7] उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के 'यूडेमस' ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।^[8]^[9] प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के समपूरक हैं, लंबवत कोण माप में बराबर होते हैं। एक ऐतिहा�

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-[[:en:Euclidean_geometry|यूक्लिडियन ज्यामिति]] में, एक कोण दो रेखाओं द्वारा बनाई गई आकृति है, जो एक ही बिंदु पर मिलती है, जिसे कोण का [[शीर्ष (ज्यामिति)|शीर्ष (वर्टेक्स ज्योमेट्)]]  कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Sidorov|2001|ignore-err=yes}}</ref> दोनों रेखाएं तथा इनसे बनने वाले कोण एक ही तल में होते हैं। दो तलों के प्रतिच्छेदन से तथा दो वक्रो के प्रतिच्छेदन से भी एक कोण बनता हैं, जिन्हे द्वितल (डायहेड्रल) तथा वक्रीय कोण कहा जाता है। जो कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर संबंधित वक्रों की स्पर्शरेखा वाली रेखाओं का कोण होता है।
+[[File:Two rays and one vertex.png|thumb|right|एक शीर्ष से निकलने वाली दो किरणों द्वारा निर्मित कोण.]]
+[https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_geometry|'''यूक्लिडियन ज्यामिति'''] में, एक कोण दो रेखाओं द्वारा बनाई गई आकृति है, जो एक ही बिंदु पर मिलती है, जिसे कोण का [[शीर्ष (ज्यामिति)|शीर्ष (वर्टेक्स ज्योमेट्)]]  कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Sidorov|2001|ignore-err=yes}}</ref> दोनों रेखाएं तथा इनसे बनने वाले कोण एक ही तल में होते हैं। दो तलों के प्रतिच्छेदन से तथा दो वक्रो के प्रतिच्छेदन से भी एक कोण बनता हैं, जिन्हे द्वितल (डायहेड्रल) तथा वक्रीय कोण कहा जाता है। जो कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर संबंधित वक्रों की [[स्पर्शरेखा]] वाली रेखाओं का कोण होता है।
-कोण का उपयोग कोण या घूर्णन के माप को देखने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक वृत्ताकार चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और रेखाओं द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन कि स्थिति में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है तथा किसी अन्य बिंदु से तथा घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है।
+कोण का उपयोग कोण या [[घूर्णन]] के माप को देखने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक [https://en.wikipedia.org/wiki/Curve#Differentiable_arc|'''वृत्ताकार चाप'''] की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और रेखाओं द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन कि स्थिति में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है तथा किसी अन्य बिंदु से तथा घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है।
 ==इतिहास और व्युत्पत्ति ==
 कोण शब्द लैटिन शब्द एंगुलस से आया है, जिसका अर्थ "कोना" है।<ref>{{harvnb|Slocum|2007}}</ref>
-यूक्लिड एक समतल कोण को, उस तल में, जहां दो तिरछी रेखाएँ, एक दूसरे से मिलती हैं, एक दूसरे के झुकाव के रूप में इसको परिभाषित किया जाता है। '<nowiki/>'''प्रोक्लस'''<nowiki/>' के अनुसार, कोण या तो गुणवत्ता या मात्रा, या संबंध होना चाहिए। पहली अवधारणा का उपयोग '<nowiki/>'''यूडेमस'''<nowiki/>' द्वारा किया गया था, जो एक कोण को एक सीधी रेखा से विचलन के रूप में मानते थे, दूसरी ''''अन्ताकिया के कार्पस'''<nowiki/>' द्वारा, जिसने इसे प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का अंतराल या स्थान माना था तथा यूक्लिड ने तीसरी अवधारणा को अपनाया।<ref>{{harvnb|Chisholm|1911}}; {{harvnb|Heiberg|1908|pp=177–178}}</ref>
+यूक्लिड एक समतल कोण को, उस तल में, जहां दो तिरछी रेखाएँ, एक दूसरे से मिलती हैं, एक दूसरे के झुकाव के रूप में इसको परिभाषित किया जाता है। '<nowiki/>'''प्रोक्लस'''<nowiki/>' के अनुसार, कोण या तो गुणवत्ता या मात्रा, या संबंध होना चाहिए। पहली अवधारणा का उपयोग ''''यूडेमस'''<nowiki/>' द्वारा किया गया था, जो एक कोण को एक [[:en:Line_(geometry)|'''सीधी रेखा''']] से विचलन के रूप में मानते थे, दूसरी ''''अन्ताकिया के कार्पस'''<nowiki/>' द्वारा, जिसने इसे प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का अंतराल या स्थान माना था तथा यूक्लिड ने तीसरी अवधारणा को अपनाया।<ref>{{harvnb|Chisholm|1911}}; {{harvnb|Heiberg|1908|pp=177–178}}</ref>
 == कोणों की पहचान ==
 गणितीय व्यंजको में, ग्रीक अक्षरों (<var>α</var>, <var>β</var>, <var>γ</var>, <var>θ</var>, <var >φ</var>, . . . ) किसी कोण के आकार को दर्शाने वाले चर के रूप (इसके अन्य अर्थ के साथ अस्पष्टता से बचने के लिए, प्रतीक {{math|[[Pi|π]]}} प्रायः पर इस उद्देश्य के लिए उपयोग नहीं किया जाता है) मे उपयोग करना सामान्य है। छोटे रोमन अक्षरों (a, b, c, . . . ) का भी उपयोग किया जाता है। ऐसे परिस्थिति में जहां यह अस्पष्ट नहीं है, एक कोण को बड़े रोमन अक्षर द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो इसके शीर्ष को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस आलेख में आंकड़े देखें।
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 {{Multiple image
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 [[File:Vertical Angles.svg|thumb|150px|right|कोण समानता दिखाने के लिए यहां हैच के निशान का उपयोग किया जाता है।]]
 जब दो सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेदन से चार कोण बनते हैं। जोड़ी में इन कोणों को एक दूसरे के सापेक्ष उनके स्थान के अनुसार नाम दिए गए है।
-* दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से बनी X-समान आकृति मे एक दूसरे विपरीत मुख के बने एक कोण युग्म को उर्ध्वाधर कोण या सम्मुख कोण या लंबवत सम्मुख कोण कहते हैं। उन्हें vert. opp. ∠s के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.<ref name="tb">{{harvnb|Wong|Wong|2009|pp=161–163}}</ref>  उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के ''''यूडेमस'''<nowiki/>' ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।<ref>{{cite book|author=Euclid|author-link=Euclid|title=The Elements|title-link=Euclid's Elements}} प्रस्ताव I:13.</ref>{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के समपूरक हैं, लंबवत कोण माप में बराबर होते हैं। एक ऐतिहासिक टिप्पणी के अनुसार,{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} जब '<nowiki/>'''थेल्स'''' ने देखा कि जब मिस्रवासी दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ खींचते हैं, तो वे यह सुनिश्चित करने के लिए लंबवत कोणों को मापते हैं, कि वे समान हैं। ''''थेल्स'''' ने निष्कर्ष निकाला कि कोई यह साबित कर सकता है, कि सभी लंबवत कोण समान होते हैं, यदि कोई कुछ सामान्य धारणाओं को स्वीकार करता है, जैसे
+* दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से बनी X-समान आकृति मे एक दूसरे विपरीत मुख के बने एक कोण युग्म को उर्ध्वाधर कोण या सम्मुख कोण या लंबवत सम्मुख कोण कहते हैं। उन्हें vert. opp. ∠s के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.<ref name="tb">{{harvnb|Wong|Wong|2009|pp=161–163}}</ref>  उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के ''''यूडेमस'''<nowiki/>' ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।<ref>{{cite book|author=Euclid|author-link=Euclid|title=The Elements|title-link=Euclid's Elements}} प्रस्ताव I:13.</ref>{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के समपूरक हैं, लंबवत कोण माप में बराबर होते हैं। एक ऐतिहासिक टिप्पणी के अनुसार,{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} जब ''''थेल्स'''' ने देखा कि जब मिस्रवासी दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ खींचते हैं, तो वे यह सुनिश्चित करने के लिए लंबवत कोणों को मापते हैं, कि वे समान हैं। ''''थेल्स'''' ने निष्कर्ष निकाला कि कोई यह साबित कर सकता है, कि सभी लंबवत कोण समान होते हैं, यदि कोई कुछ सामान्य धारणाओं को स्वीकार करता है, जैसे
 :* सभी समकोण समान होते हैं।
 :* बराबर में जोड़े गए बराबर बराबर होते हैं।
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 :संपूरक कोणों की ज्या बराबर होती है। उनके कोज्या और स्पर्श रेखाएं (जब तक कि परिभाषित है) परिमाण में बराबर होते हैं, लेकिन विपरीत चिह्न होते हैं।
 :यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज के दो कोणों का योग तीसरे का समपूरक होता है, क्योंकि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग एक ऋजु कोण होता है।
 * दो कोण जिनका योग एक पूर्ण कोण (1 मोड़ (टर्न), 360° (डिग्री), या 2{{math|π}} रेडियन) होता है, समपूरक कोण या संयुग्म कोण कहलाते हैं।  एक कोण और एक पूर्ण कोण के बीच के अंतर को कोण का योग या कोण का संयुग्मी कहा जाता है।
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 * दो तलों के बीच के कोण (जैसे एक बहुफलक के दो आसन्न फलक) को द्विफलकीय कोण कहा जाता है।<ref name="Chisholm 1911" /> यह समतल से लम्बवत दो रेखाओं के बीच न्यून कोण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
 * एक समतल और एक प्रतिच्छेदी सीधी रेखा के बीच का कोण प्रतिच्छेदन रेखा और प्रतिच्छेदन बिंदु से जाने वाली रेखा के बीच के कोण को घटाकर नब्बे डिग्री (90°) के बराबर होता है तथा समतल के अभिलंबवत होता है।
 '''<big>मापने के कोण</big>'''
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 [[File:Angle measure.svg|right|thumb|<nowiki>आर}} रेडियन}}।</nowiki>]]
 कोण <var>θ</var> को मापने के लिए, कोण के शीर्ष को केंद्र मानकर एक वृत्ताकार चाप खींचा जाता है, उदाहरण के लिए परकार (कंपास) के एक जोड़े के साथ। चाप की लंबाई एस (<var>s)</var> का वृत्त की त्रिज्या आर (<var>r)</var> से अनुपात, कोण में रेडियन की संख्या है। परंपरागत रूप से, गणित और एसआई (SI) में, रेडियन को विमाहीन मान 1 के बराबर माना जाता है।
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 |[[turn (geometry)|मोड़ (टर्न)]]||1||360° || मोड़ (टर्न), चक्र, परिक्रमण और घूर्णन, पूर्ण वृत्तीय गति या माप (उसी बिंदु पर लौटने के लिए) है। अनुप्रयोग के आधार पर एक मोड़ (टर्न) संक्षिप्त रूप से सीवाईसी (cyc),आरइवी (rev), या आरओटी (rot) है। एक मोड़ 2π रेडियन या 360° (डिग्री) के बराबर होता है।
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-|{{pi}} के गुणज  ||2||180° || ''{{pi}}'' रेडियन एमयूएल''{{pi}}'' (MUL{{pi}}) इकाई के गुणकों को [[Reverse Polish Notation|आरपीएन]] वैज्ञानिक कैलकुलेटर में लागू किया जाता है। [[WP&nbsp;43S|WP 43S।]]<ref name="Bonin_2016"/><ref name="Bonin_2019_OG"/><ref name="Bonin_2019_RG"/> यह भी देखें [[IEEE 754 recommended operations]]
+|{{pi}} के गुणज  ||2||180° || ''{{pi}}'' रेडियन एमयूएल''{{pi}}'' (MUL{{pi}}) इकाई के गुणकों को [[Reverse Polish Notation|आरपीएन]] वैज्ञानिक कैलकुलेटर में लागू किया जाता है। [[WP&nbsp;43S|WP 43S।]]<ref name="Bonin_2016"/><ref name="Bonin_2019_OG"/><ref name="Bonin_2019_RG"/> यह भी देखें [[IEEE 754 recommended operations|IEEE 754 अनुशंसित संचालन]]
 |-
 |[[circular sector|चतुर्थाँश]]||4||90°||एक चतुर्थांश एक 1/4 मोड़ (टर्न) और ''[[right angle|समकोण]]'' भी कहते है। चतुर्थांश [[Euclid's Elements|यूक्लिड के तत्वों]] में प्रयुक्त इकाई है। एक चतुर्थांश को दर्शाने के लिए प्रतीक <sup>∟</sup> का उपयोग किया गया है। 1 क्वाड = 90° = {{sfrac|{{pi}}|2}} रेड (rad) = {{sfrac|4}} टर्न = 100 ग्रेड (grad)।
@@ Line 306: / Line 300: @@
 हिल्बर्ट स्पेस में किसी भी परिमित विमा के सबस्पेस तक बढ़ाया जा सकता है। दो सबस्पेस दिए गए हैं,  <math> \mathcal{U} </math>, <math> \mathcal{W} </math> और  <math> \dim ( \mathcal{U}) := k \leq \dim ( \mathcal{W}) := l </math>, यह <math>k</math> कोणों की परिभाषा की ओर ले जाता है, सबस्पेस के बीच के कोणों को कैनोनिकल या प्रमुख कोण कहा जाता है।
-=== [[ रीमैनियन ज्यामिति ]] में कोण ===
+=== रीमैनियन ज्यामिति  में कोण ===
 रीमैनियन ज्यामिति में, दो स्पर्शरेखाओं के बीच के कोण को परिभाषित करने के लिए मीट्रिक टेंसर का उपयोग किया जाता है। जहाँ U और V स्पर्शरेखा सदिश हैं और g<sub>''ij''</sub> मीट्रिक टेंसर G के घटक हैं,
@@ Line 383: / Line 377: @@
 * {{cite EB9 |wstitle=Angle |volume=2 |pages=29–30 |mode=cs2|short=x }}
-{{Authority control}}
+[[Category:AC with 0 elements]]
+[[Category:All articles with dead external links]]
+[[Category:Articles with dead external links from June 2020]]
+[[Category:Articles with invalid date parameter in template]]
+[[Category:Articles with permanently dead external links]]
+[[Category:CS1]]
+[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
+[[Category:CS1 maint]]
+[[Category:Commons category link is locally defined]]
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+[[Category:Interwiki link templates]]
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