कोण: Difference between revisions

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[[File:Two rays and one vertex.png|thumb|right|एक शीर्ष से निकलने वाली दो किरणों द्वारा निर्मित ~~कोण।~~]]

[[File:Two rays and one vertex.png|thumb|right|एक शीर्ष से निकलने वाली दो किरणों द्वारा निर्मित कोण.]]

[~~[ यूक्लिडियन ज्यामिति~~ |यूक्लिडियन ज्यामिति]] में, एक कोण दो रेखाओं द्वारा बनाई गई आकृति है, जो एक ही बिंदु पर मिलती है, जिसे कोण का शीर्ष कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Sidorov|2001|ignore-err=yes}}</ref> दोनों रेखाएं तथा इनसे बनने वाले कोण एक ही तल में होते हैं। दो तलों के प्रतिच्छेदन से तथा दो वक्रो के प्रतिच्छेदन से भी एक कोण बनता हैं, जिन्हे द्वितल (डायहेड्रल) तथा वक्रीय कोण कहा जाता है। जो कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर संबंधित वक्रों की स्पर्शरेखा वाली रेखाओं का कोण होता है।

[https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_geometry|'''यूक्लिडियन ज्यामिति'''] में, एक कोण दो रेखाओं द्वारा बनाई गई आकृति है, जो एक ही बिंदु पर मिलती है, जिसे कोण का [[शीर्ष (ज्यामिति)|शीर्ष (वर्टेक्स ज्योमेट्)]] कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Sidorov|2001|ignore-err=yes}}</ref> दोनों रेखाएं तथा इनसे बनने वाले कोण एक ही तल में होते हैं। दो तलों के प्रतिच्छेदन से तथा दो वक्रो के प्रतिच्छेदन से भी एक कोण बनता हैं, जिन्हे द्वितल (डायहेड्रल) तथा वक्रीय कोण कहा जाता है। जो कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर संबंधित वक्रों की [[स्पर्शरेखा]] वाली रेखाओं का कोण होता है।

कोण का उपयोग कोण या घूर्णन के माप को देखने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक वृत्ताकार चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और रेखाओं द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन कि स्थिति में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है तथा किसी अन्य बिंदु से तथा घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है।

कोण का उपयोग कोण या [[घूर्णन]] के माप को देखने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक [https://en.wikipedia.org/wiki/Curve#Differentiable_arc|'''वृत्ताकार चाप'''] की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और रेखाओं द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन कि स्थिति में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है तथा किसी अन्य बिंदु से तथा घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है।

==इतिहास और व्युत्पत्ति ==

कोण शब्द लैटिन शब्द एंगुलस से आया है, जिसका अर्थ "कोना" है।<ref>{{harvnb|Slocum|2007}}</ref>

यूक्लिड एक समतल कोण को, उस तल में, जहां दो तिरछी रेखाएँ, एक दूसरे से मिलती हैं, एक दूसरे के झुकाव के रूप में परिभाषित किया जाता है। '<nowiki/>'''प्रोक्लस'''<nowiki/>' के अनुसार, कोण या तो गुणवत्ता या मात्रा, या संबंध होना चाहिए। पहली अवधारणा का उपयोग ''''यूडेमस'''<nowiki/>' द्वारा किया गया था, जो एक कोण को एक सीधी रेखा से विचलन के रूप में मानते थे, दूसरी ''''अन्ताकिया के कार्पस'''<nowiki/>' द्वारा, जिसने इसे प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का अंतराल या स्थान माना था तथा यूक्लिड ने तीसरी अवधारणा को अपनाया।<ref>{{harvnb|Chisholm|1911}}; {{harvnb|Heiberg|1908|pp=177–178}}</ref>

यूक्लिड एक समतल कोण को, उस तल में, जहां दो तिरछी रेखाएँ, एक दूसरे से मिलती हैं, एक दूसरे के झुकाव के रूप में इसको परिभाषित किया जाता है। '<nowiki/>'''प्रोक्लस'''<nowiki/>' के अनुसार, कोण या तो गुणवत्ता या मात्रा, या संबंध होना चाहिए। पहली अवधारणा का उपयोग ''''यूडेमस'''<nowiki/>' द्वारा किया गया था, जो एक कोण को एक [[:en:Line_(geometry)|'''सीधी रेखा''']] से विचलन के रूप में मानते थे, दूसरी ''''अन्ताकिया के कार्पस'''<nowiki/>' द्वारा, जिसने इसे प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का अंतराल या स्थान माना था तथा यूक्लिड ने तीसरी अवधारणा को अपनाया।<ref>{{harvnb|Chisholm|1911}}; {{harvnb|Heiberg|1908|pp=177–178}}</ref>

== कोणों की पहचान ==

गणितीय व्यंजको में, ग्रीक अक्षरों (<var>α</var>, <var>β</var>, <var>γ</var>, <var>θ</var>, <var >φ</var>, . . . ) किसी कोण के आकार को दर्शाने वाले चर के रूप (इसके अन्य अर्थ के साथ अस्पष्टता से बचने के लिए, प्रतीक {{math|[[Pi|π]]}} प्रायः पर इस उद्देश्य के लिए उपयोग नहीं किया जाता है) मे उपयोग करना सामान्य है। छोटे रोमन अक्षरों (a, b, c, . . . ) का भी उपयोग किया जाता है। ऐसे परिस्थिति में जहां यह अस्पष्ट नहीं है, एक कोण को बड़े रोमन अक्षर द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो इसके शीर्ष को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस आलेख में आंकड़े देखें।

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{{Multiple image

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| align = right

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|image1=Right angle.svg

| image1 = Right angle.svg

|width1=~~111~~

| width1 = 80

|caption1=[[~~Right angle~~]]

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|image2=Angle obtuse acute straight.svg

| width2 = 160

|width2=~~200~~

| caption2 = न्यून (<var>a</var>), अधिक (<var>b</var>), और सीधा (<var>c</var>) angles. न्यून और अधिक कोणों को तिरछा कोण भी कहा जाता है.

|caption2=~~Acute~~ (<var>a</var>), ~~obtuse~~ (<var>b</var>), ~~and straight~~ (<var>c</var>) angles. ~~The acute and obtuse angles are also known as oblique angles~~.

| image3 = Reflex angle.svg

| width3 = 60

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| caption3 = वृहत्तकोण

|width3=81

|caption3=~~Reflex angle~~

}}

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|style = "background:#f2f2f2; text-align:center;" | [[Degree (angle)|डिग्री]]

|style = "width:3em;" | 0°

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|-

|style = "background:#f2f2f2; text-align:center;" | [[Gradian|गोन]]

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|-

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Line 104:

[[File:Vertical Angles.svg|thumb|150px|right|कोण समानता दिखाने के लिए यहां हैच के निशान का उपयोग किया जाता है।]]

जब दो सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेदन से चार कोण बनते हैं। जोड़ी में इन कोणों को एक दूसरे के सापेक्ष उनके स्थान के अनुसार नाम दिए गए है।

* दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से बनी X-समान आकृति मे एक दूसरे विपरीत मुख के बने एक कोण युग्म को उर्ध्वाधर कोण या सम्मुख कोण या लंबवत सम्मुख कोण कहते हैं। उन्हें vert. opp. ∠s के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.<ref name="tb">{{harvnb|Wong|Wong|2009|pp=161–163}}</ref> उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के ''''यूडेमस'''<nowiki/>' ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।<ref>{{cite book|author=Euclid|author-link=Euclid|title=The Elements|title-link=Euclid's Elements}} प्रस्ताव I:13.</ref>{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के समपूरक हैं, लंबवत कोण माप में बराबर होते हैं। एक ऐतिहासिक टिप्पणी के अनुसार,{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} जब '~~<nowiki/>~~'''थेल्स'~~<nowiki/>~~''' ने देखा कि जब मिस्रवासी दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ खींचते हैं, तो वे यह सुनिश्चित करने के लिए लंबवत कोणों को मापते हैं, कि वे समान हैं। '~~<nowiki/>~~'''थेल्स'''' ने निष्कर्ष निकाला कि कोई यह साबित कर सकता है, कि सभी लंबवत कोण समान होते हैं, यदि कोई कुछ सामान्य धारणाओं को स्वीकार करता है, जैसे

* दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से बनी X-समान आकृति मे एक दूसरे विपरीत मुख के बने एक कोण युग्म को उर्ध्वाधर कोण या सम्मुख कोण या लंबवत सम्मुख कोण कहते हैं। उन्हें vert. opp. ∠s के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.<ref name="tb">{{harvnb|Wong|Wong|2009|pp=161–163}}</ref> उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के ''''यूडेमस'''<nowiki/>' ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।<ref>{{cite book|author=Euclid|author-link=Euclid|title=The Elements|title-link=Euclid's Elements}} प्रस्ताव I:13.</ref>{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के समपूरक हैं, लंबवत कोण माप में बराबर होते हैं। एक ऐतिहासिक टिप्पणी के अनुसार,{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} जब ''''थेल्स'''' ने देखा कि जब मिस्रवासी दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ खींचते हैं, तो वे यह सुनिश्चित करने के लिए लंबवत कोणों को मापते हैं, कि वे समान हैं। ''''थेल्स'''' ने निष्कर्ष निकाला कि कोई यह साबित कर सकता है, कि सभी लंबवत कोण समान होते हैं, यदि कोई कुछ सामान्य धारणाओं को स्वीकार करता है, जैसे

:* सभी समकोण समान होते हैं।

:* बराबर में जोड़े गए बराबर बराबर होते हैं।

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:(एक कोण की स्पर्श रेखा उसके पूरक के सह-स्पर्शरेखा के बराबर होती है और उसका छेदक उसके पूरक के सह-छेदक के बराबर होती है।)

:कुछ त्रिकोणमितीय अनुपातों के नामों में उपसर्ग "सह" समपूरक शब्द को संदर्भित करता है।

~~[[File:Angle obtuse acute straight.svg|thumb|right|300px|कोण <var>a</var> और <var>b</var> संपूरक कोण हैं।]]~~

* दो कोण जो एक ऋजु कोण का योग करते हैं ({{sfrac|2}} मोड़ (टर्न), 180° (डिग्री), या {{math|π}} रेडियन) समपूरक कोण कहलाते हैं।<ref>{{Cite web|title=Supplementary Angles|url=https://www.mathsisfun.com/geometry/supplementary-angles.html|access-date=2020-08-17|website=www.mathsisfun.com}}</ref> यदि दो समपूरक कोण आसन्न हैं (अर्थात एक उभयनिष्ठ शीर्ष है), तो उनकी वह भुजाएँ जो उभयनिष्ठ नहीं होती, एक सीधी रेखा बनाती हैं। ऐसे कोणों को कोणों का रैखिक युग्म कहा जाता है।{{sfn|Jacobs|1974|p=97}} हालांकि, समपूरक कोणों का एक ही रेखा पर होना जरूरी नहीं है। उदाहरण के लिए, समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण तथा [[ चक्रीय चतुर्भुज |चक्रीय चतुर्भुज]] (जिसके शीर्ष सभी एक ही वृत्त पर पड़ते हैं) के सम्मुख कोण समपूरक होते हैं।

:यदि एक बिंदु पी (P) केंद्र ओ (O) वाले वृत्त के बाहर है, और यदि पी (P) से स्पर्श रेखाएँ वृत्त को बिंदु टी (T) और क्यू (Q) पर स्पर्श करती हैं, तो ∠टीपीक्यू (∠TPQ) और ∠टीओक्यू (∠TOQ) पूरक हैं।

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:यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज के दो कोणों का योग तीसरे का समपूरक होता है, क्योंकि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग एक ऋजु कोण होता है।

~~[[File:Reflex angle.svg|thumb|right|150px|दो पूरक कोणों का योग एक पूर्ण कोण होता है।]]~~

* दो कोण जिनका योग एक पूर्ण कोण (1 मोड़ (टर्न), 360° (डिग्री), या 2{{math|π}} रेडियन) होता है, समपूरक कोण या संयुग्म कोण कहलाते हैं। एक कोण और एक पूर्ण कोण के बीच के अंतर को कोण का योग या कोण का संयुग्मी कहा जाता है।

===बहुभुज-संबंधित कोण===

~~[[File:ExternalAngles.svg|thumb|300px|right|आंतरिक और बाहरी कोण।]]~~

* एक [[ साधारण बहुभुज |साधारण बहुभुज]] के अंदर का कोण एक आंतरिक कोण कहलाता है। एक साधारण [[ अवतल बहुभुज |अवतल बहुभुज]] में कम से कम एक आंतरिक कोण होता है जो एक प्रतिवर्त कोण होता है।

*: यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज के आंतरिक कोणों के मापों का योग {{math|π}} रेडियन, 180° (डिग्री) या {{sfrac|2}} मोड़ (टर्न) तक होता है। एक साधारण उत्तल चतुर्भुज के आंतरिक कोणों के मापों योग 2{{math|π}} रेडियन, 360° (डिग्री) या 1 मोड़ (टर्न) तक होता हैं। सामान्यतः, n भुजाओं वाले एक साधारण [[ उत्तल बहुभुज |उत्तल बहुभुज]] के आंतरिक कोणों के मापों का योग (n − 2) {{math|π}} रेडियन, (n − 2)180° (डिग्री), (n − 2)2 समकोण, या (n − 2){{sfrac|1|2}} मोड़ (टर्न) होता है।

Line 155:

Line 152:

* दो तलों के बीच के कोण (जैसे एक बहुफलक के दो आसन्न फलक) को द्विफलकीय कोण कहा जाता है।<ref name="Chisholm 1911" /> यह समतल से लम्बवत दो रेखाओं के बीच न्यून कोण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

* एक समतल और एक प्रतिच्छेदी सीधी रेखा के बीच का कोण प्रतिच्छेदन रेखा और प्रतिच्छेदन बिंदु से जाने वाली रेखा के बीच के कोण को घटाकर नब्बे डिग्री (90°) के बराबर होता है तथा समतल के अभिलंबवत होता है।

'''<big>मापने के कोण</big>'''

Line 165:

Line 160:

[[File:Angle measure.svg|right|thumb|<nowiki>आर}} रेडियन}}।</nowiki>]]

कोण <var>θ</var> को मापने के लिए, कोण के शीर्ष को केंद्र मानकर एक वृत्ताकार चाप खींचा जाता है, उदाहरण के लिए परकार (कंपास) के एक जोड़े के साथ। चाप की लंबाई एस (<var>s)</var> का वृत्त की त्रिज्या आर (<var>r)</var> से अनुपात, कोण में रेडियन की संख्या है। परंपरागत रूप से, गणित और एसआई (SI) में, रेडियन को विमाहीन मान 1 के बराबर माना जाता है।

Line 202:

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|[[turn (geometry)|मोड़ (टर्न)]]||1||360° || मोड़ (टर्न), चक्र, परिक्रमण और घूर्णन, पूर्ण वृत्तीय गति या माप (उसी बिंदु पर लौटने के लिए) है। अनुप्रयोग के आधार पर एक मोड़ (टर्न) संक्षिप्त रूप से सीवाईसी (cyc),आरइवी (rev), या आरओटी (rot) है। एक मोड़ 2π रेडियन या 360° (डिग्री) के बराबर होता है।

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|{{pi}} के गुणज ||2||180° || ''{{pi}}'' रेडियन एमयूएल''{{pi}}'' (MUL{{pi}}) इकाई के गुणकों को [[Reverse Polish Notation|आरपीएन]] वैज्ञानिक कैलकुलेटर में लागू किया जाता है। [[WP 43S|WP 43S।]]<ref name="Bonin_2016"/><ref name="Bonin_2019_OG"/><ref name="Bonin_2019_RG"/> यह भी देखें [[IEEE 754 recommended operations]]

|{{pi}} के गुणज ||2||180° || ''{{pi}}'' रेडियन एमयूएल''{{pi}}'' (MUL{{pi}}) इकाई के गुणकों को [[Reverse Polish Notation|आरपीएन]] वैज्ञानिक कैलकुलेटर में लागू किया जाता है। [[WP 43S|WP 43S।]]<ref name="Bonin_2016"/><ref name="Bonin_2019_OG"/><ref name="Bonin_2019_RG"/> यह भी देखें [[IEEE 754 recommended operations|IEEE 754 अनुशंसित संचालन]]

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|[[circular sector|चतुर्थाँश]]||4||90°||एक चतुर्थांश एक 1/4 मोड़ (टर्न) और ''[[right angle|समकोण]]'' भी कहते है। चतुर्थांश [[Euclid's Elements|यूक्लिड के तत्वों]] में प्रयुक्त इकाई है। एक चतुर्थांश को दर्शाने के लिए प्रतीक ∟ का उपयोग किया गया है। 1 क्वाड = 90° = {{sfrac|{{pi}}|2}} रेड (rad) = {{sfrac|4}} टर्न = 100 ग्रेड (grad)।

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=== अन्य वर्णनकर्ता ===

* घंटे का कोण (n = 24) खगोलीय घंटे का कोण {{sfrac|24}} मोड़ (टर्न) का होता है। चूंकि यह प्रणाली उन वस्तुओं को मापने के लिए उत्तरदायी है जो प्रति दिन एक बार परिक्रमण करते हैं (जैसे सितारों की सापेक्ष स्थिति), षाष्टिक (सेक्सजेसिमल) उपइकाई को समय का मिनट और समय का सेकंड कहा जाता है। ये चाप के मिनट और सेकंड से अलग और 15 गुना बड़े होते है। 1 घंटा = 15° = {{sfrac|{{pi}}|12}} रेड = {{sfrac|6}} क्वाड = {{sfrac|24}} मोड़ (टर्न) = {{sfrac|16|2|3}} ग्रेड।

* घंटे का कोण (n = 24) खगोलीय घंटे का कोण {{sfrac|24}} मोड़ (टर्न) का होता है। चूंकि यह प्रणाली उन वस्तुओं को मापने के लिए उत्तरदायी है जो प्रति दिन एक बार परिक्रमण करते हैं (जैसे सितारों की सापेक्ष स्थिति), षाष्टिक (सेक्सजेसिमल) उपइकाई को समय का मिनट और समय का सेकंड कहा जाता है। ये चाप के मिनट और सेकंड से अलग और 15 गुना बड़े होते है। 1 घंटा = 15° (डिग्री) = {{sfrac|{{pi}}|12}} रेड = {{sfrac|6}} क्वाड = {{sfrac|24}} मोड़ (टर्न) = {{sfrac|16|2|3}} ग्रेड।

* (कम्पास) बिंदु या विन्ड(n = 32), संचालन में उपयोग किया जाने वाला बिंदु है, जोकि एक मोड़ (टर्न) का {{sfrac|32}} है। 1 बिंदु = समकोण का {{sfrac|8}} = 11.25° = 12.5 ग्रेड। प्रत्येक बिंदु को चार तिमाही-अंकों में विभाजित किया जाता है ताकि 1 मोड़ 128 तिमाही-अंक के बराबर हो।

* (कम्पास) बिंदु या विन्ड (n = 32), संचालन में उपयोग किया जाने वाला बिंदु है, जोकि एक मोड़ (टर्न) का {{sfrac|32}} होता है। 1 बिंदु = समकोण का {{sfrac|8}} = 11.25° (डिग्री) = 12.5 ग्रेड। प्रत्येक बिंदु को चार तिमाही-अंकों में विभाजित किया जाता है ताकि 1 मोड़ (टर्न) 128 तिमाही-अंक के बराबर हो।

* पेचस (n = 144–180), पेचस एक बेबीलोनियाई इकाई थी जो लगभग 2° या {{sfrac|2|1|2}}° बराबर होती है।

* पेचस (n = 144–180), पेचस एक बेबीलोनियाई इकाई थी जो लगभग 2° (डिग्री) या {{sfrac|2|1|2}}° (डिग्री) बराबर होती है।

* टाऊ, एक मोड़ (टर्न) में रेडियन की संख्या (1 मोड़ (टर्न) = {{mvar|τ}} रेड), {{math|''τ'' {{=}} 2π}}।

* व्यास भाग (n = 376.99...), व्यास भाग लगभग 0.95493° और {{sfrac|60}} रेडियन होता है। प्रति मोड़ (टर्न) लगभग 376.991 व्यास भाग होते हैं।

* व्यास भाग (n = 376.99...), व्यास भाग लगभग 0.95493° (डिग्री) और {{sfrac|60}} रेडियन होता है। प्रति मोड़ (टर्न) लगभग 376.991 व्यास भाग होते हैं।

* मिली रेडियन और व्युत्पन्न परिभाषाएं, वास्तविक ~~मिलि~~ रेडियन को एक रेडियन का एक हजारवां भाग बताया गया है, जिसका अर्थ है कि एक मोड़ का घूर्णन ठीक 2000π मील (या लगभग 6283.185 मील) के बराबर होगा, और बंदूक आदि शस्त्र के लिए लगभग सभी कार्यक्षेत्र इस परिभाषा के लिए अंशांकित हैं। इसके अलावा, तोपखाने और संचालन के लिए उपयोग की जाने वाली तीन अन्य परिभाषाएँ हैं, जो लगभग एक मिली रेडियन के बराबर हैं। इन तीन अन्य परिभाषाओं के तहत एक मोड़ (टर्न) ठीक 6000, 6300 या 6400 मील के लिए बनाता है, जो 0.05625 से 0.06 डिग्री (3.375 से 3.6 मिनट) तक की सीमा के बराबर है। इसकी तुलना में, वास्तविक मिली रेडियन लगभग 0.~~05729578~~ डिग्री (3.~~43775~~ मिनट) का होता है। एक "नाटो मील" को एक वृत्त के {{sfrac|6400}} से परिभाषित किया गया है। वास्तविक ~~मिलि~~ रेडियन की तरह ही, अन्य परिभाषाओं में से प्रत्येक सबटेंशन की मील की उपयोगी सामग्री का शोषण करती है, अर्थात एक मिली रेडियन का मान लगभग 1 मीटर की चौड़ाई से घटाए गए कोण के बराबर होता है जैसा कि 1 किमी दूर से देखा जाता है ({{sfrac|2{{pi}}|6400}} = 0.0009817... ≈ 1/1000)।

* मिली रेडियन और व्युत्पन्न परिभाषाएं, वास्तविक मिली रेडियन को एक रेडियन का एक हजारवां भाग बताया गया है, जिसका अर्थ है कि एक मोड़ (टर्न) का घूर्णन ठीक 2000π मील (या लगभग 6283.185 मील) के बराबर होगा, और बंदूक आदि शस्त्र के लिए लगभग सभी कार्यक्षेत्र इस परिभाषा के लिए अंशांकित हैं। इसके अलावा, तोपखाने और संचालन के लिए उपयोग की जाने वाली तीन अन्य परिभाषाएँ हैं, जो लगभग एक मिली रेडियन के बराबर हैं। इन तीन अन्य परिभाषाओं के तहत एक मोड़ (टर्न) ठीक 6000, 6300 या 6400 मील के लिए बनाता है, जो 0.05625 से 0.06° (डिग्री) (3.375 से 3.6' (मिनट)) तक की सीमा के बराबर है। इसकी तुलना में, वास्तविक मिली रेडियन लगभग 0.05729578° डिग्री (3.43775° (मिनट)) का होता है। एक "नाटो मील" को एक वृत्त के {{sfrac|6400}} से परिभाषित किया गया है। वास्तविक मिली रेडियन की तरह ही, अन्य परिभाषाओं में से प्रत्येक सबटेंशन की मील की उपयोगी सामग्री का शोषण करती है, अर्थात एक मिली रेडियन का मान लगभग 1 मीटर की चौड़ाई से घटाए गए कोण के बराबर होता है, जैसा कि 1 किमी दूर से देखा जाता है ({{sfrac|2{{pi}}|6400}} = 0.0009817... ≈ 1/1000)।

* पुराने अरब में एक मोड़ (टर्न) को 32 अखनाम में विभाजित किया गया था और प्रत्येक अखनाम को 7 ज़म में विभाजित किया गया था, ताकि एक मोड़ (टर्न) 224 का ज़म हो।

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हालांकि एक कोण के मापन की परिभाषा एक ऋणात्मक कोण की अवधारणा का समर्थन नहीं करती है, यह प्रायः एक सम्मेलन को लागू करने के लिए उपयोगी होता है, जो धनात्मक और ऋणात्मक कोणीय मानो को कुछ संदर्भ के सापेक्ष विपरीत दिशाओं में अभिविन्यास या घुर्णन का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है।

द्वि-विमीय कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में, कोण को विशिष्ट रूप से ~~इसके दो पक्षों (भुजाओ)~~ और मूल बिंदु पर शीर्ष द्वारा परिभाषित किया जाता है। प्रारंभिक ~~पक्ष (भुजा)~~ धनात्मक एक्स (x)-अक्ष पर है, जबकि ~~दूसरा पक्ष (भुजा)~~ या अंतिम ~~पक्ष (भुजा)~~, प्रारंभिक ~~पक्ष (भुजा)~~ द्वारा रेडियन, डिग्री या मोड़ (टर्न) में परिभाषित किया गया है। धनात्मक कोणों के साथ धनात्मक वाई (y)-अक्ष की ओर घूर्णन और ऋणात्मक कोणों के साथ, ऋणात्मक वाई (y)-अक्ष की ओर घूर्णन करते है। जब कार्तीय निर्देशांक मानक स्थिति द्वारा दर्शाए जाते हैं, जो एक्स (x)-अक्ष दाईं ओर और वाई (y)-अक्ष ऊपर की ओर परिभाषित होते हैं, धनात्मक घुर्णन वामावर्त होते हैं और ऋणात्मक घुर्णन दक्षिणावर्त होते हैं।

द्वि-विमीय कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में, कोण को विशिष्ट रूप से इसकी दोनो रेखाओ और मूल बिंदु पर शीर्ष द्वारा परिभाषित किया जाता है। प्रारंभिक रेखा धनात्मक एक्स (x)-अक्ष पर है, जबकि दुसरी रेखा या अंतिम रेखा, प्रारंभिक रेखा द्वारा रेडियन, डिग्री या मोड़ (टर्न) में परिभाषित किया गया है। धनात्मक कोणों के साथ धनात्मक वाई (y)-अक्ष की ओर घूर्णन और ऋणात्मक कोणों के साथ, ऋणात्मक वाई (y)-अक्ष की ओर घूर्णन करते है। जब कार्तीय निर्देशांक मानक स्थिति द्वारा दर्शाए जाते हैं, जो एक्स (x)-अक्ष दाईं ओर और वाई (y)-अक्ष ऊपर की ओर परिभाषित होते हैं, धनात्मक घुर्णन वामावर्त होते हैं और ऋणात्मक घुर्णन दक्षिणावर्त होते हैं।

कई संदर्भों में, −θ का कोण प्रभावी रूप से एक पूर्ण मोड़ (टर्न) न्यूनता के कोण के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, −45° (डिग्री) के रूप में दर्शाया गया एक अभिविन्यास प्रभावी रूप से 360°, − 45° या 315° के रूप में दर्शाए गए अभिविन्यास के बराबर है। हालांकि अंतिम स्थिति समान है, -45° का एक भौतिक घूर्णन (संचलन) 315° के घूर्णन के समान नहीं होता है (उदाहरण के लिए, धूल भरे फर्श पर झाड़ू रखने वाले व्यक्ति के घूमने से फर्श पर घूमें हुए क्षेत्रों के अलग-अलग निशान छुट जाते है)।

कई संदर्भों में, −θ का कोण प्रभावी रूप से एक पूर्ण मोड़ (टर्न) न्यूनता के कोण के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, −45° (डिग्री) के रूप में दर्शाया गया एक अभिविन्यास प्रभावी रूप से 360° (डिग्री), − 45° (डिग्री) या 315° (डिग्री) के रूप में दर्शाए गए अभिविन्यास के बराबर है। हालांकि अंतिम स्थिति समान है, -45° (डिग्री) का एक भौतिक घूर्णन (संचलन) 315° (डिग्री) के घूर्णन के समान नहीं होता है (उदाहरण के लिए, धूल भरे फर्श पर झाड़ू रखने वाले व्यक्ति के घूमने से फर्श पर घूमें हुए क्षेत्रों के अलग-अलग निशान छुट जाते है)।

त्रि-विमीय ज्यामिति में, दक्षिणावर्त और वामावर्त का कोई पूर्ण अर्थ नहीं है, इसलिए धनात्मक और ऋणात्मक कोणों की दिशा को कुछ निर्देशो के सापेक्ष परिभाषित किया जाना चाहिए, उस तल मे जिसमें कोण की किरणें होती हैं, प्रया: कोण के शीर्ष से गुजरने वाला एक सदिश और समतल के लंबवत होता है।

संचालन में, बियरिंग्स या दिगंश (अज़ीमुथ) को उत्तर के सापेक्ष मापा जाता है। परिपाटी के अनुसार, ऊपर से देखने पर, बेयरिंग कोण धनात्मक दक्षिणावर्त होते हैं, इसलिए 45° का बेयरिंग उत्तर-पूर्व अभिविन्यास के सामान होता है। संचालन में ऋणात्मक बियरिंग्स का उपयोग नहीं किया जाता है, इसलिए उत्तर-पश्चिम अभिविन्यास 315° (डिग्री) के बेयरिंग के सामान होता है।

संचालन में, बियरिंग्स या दिगंश (अज़ीमुथ) को उत्तर के सापेक्ष मापा जाता है। परिपाटी के अनुसार, ऊपर से देखने पर, बेयरिंग कोण धनात्मक दक्षिणावर्त होते हैं, इसलिए 45° (डिग्री) का बेयरिंग उत्तर-पूर्व अभिविन्यास के सामान होता है। संचालन में ऋणात्मक बियरिंग्स का उपयोग नहीं किया जाता है, इसलिए उत्तर-पश्चिम अभिविन्यास 315° (डिग्री) के बेयरिंग के सामान होता है।

=== कोण के आकार को मापने के वैकल्पिक तरीके ===

एक कोणीय इकाई के लिए, यह निश्चित है कि कोण योग अभिधारणा रखते है। कुछ कोण माप जहां कोण योग अभिधारणा नहीं रखते है, उनमें शामिल हैं:

* ढलान या ढाल कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है, एक ढाल को प्राय: प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है। बहुत छोटे मान (5% से कम) के लिए, ढलान का ग्रेड लगभग रेडियन में कोण का माप होता है।

* दो रेखाओं के बीच के प्रसार को [[ परिमेय ज्यामिति ]] में रेखाओं के बीच के कोण की ज्या के वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूँकि किसी कोण की ज्या और उसके संपूरक कोण की ज्या समान होती है, कोई भी घूर्णन कोण जो किसी एक रेखा को दूसरी रेखा में मैप करता है, रेखाओं के बीच प्रसार के लिए समान मान की ओर ले जाता है।

* दो रेखाओं के बीच के प्रसार को[[ परिमेय ज्यामिति | परिमेय ज्यामिति]] में रेखाओं के बीच के कोण की ज्या के वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूँकि किसी कोण की ज्या और उसके संपूरक कोण की ज्या समान होती है, कोई भी घूर्णन कोण जो किसी एक रेखा को दूसरी रेखा में मैप करता है, रेखाओं के बीच प्रसार के लिए समान मान की ओर ले जाता है।

* हालांकि शायद ही कभी, कोई [[ त्रिकोणमितीय कार्य |त्रिकोणमितीय कार्य]] के प्रत्यक्ष परिणामों का वर्णन कर सकता है, जैसे कोण की ज्या।

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=== आंतरिक उत्पाद ===

एक सामान्य वास्तविक आंतरिक गुणन स्थान में कोणों को परिभाषित करने के लिए, हम यूक्लिडियन आदिश-गुणनफल ( · ) को आंतरिक गुणन से बदलते हैं <math> \langle \cdot , \cdot \rangle </math>, अर्थात

:<math> \langle \mathbf{u} , \mathbf{v} \rangle = \cos(\theta)\ \left\| \mathbf{u} \right\| \left\| \mathbf{v} \right\|</math>

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Line 295:

=== उप-स्थानों के बीच कोण ===

एक-आयामी ~~उप-स्थानों~~ के बीच कोण की परिभाषा <math>\operatorname{span}(\mathbf{u})</math> तथा <math>\operatorname{span}(\mathbf{v})</math> के द्वारा दिया गया

एक-आयामी सबस्पेस के बीच कोण की परिभाषा <math>\operatorname{span}(\mathbf{u})</math> तथा <math>\operatorname{span}(\mathbf{v})</math> के द्वारा दिया गया

:<math> \left| \langle \mathbf{u} , \mathbf{v} \rangle \right| = \left| \cos(\theta) \right| \left\| \mathbf{u} \right\| \left\| \mathbf{v} \right\|. </math>

हिल्बर्ट स्पेस में किसी भी परिमित विमा के सबस्पेस तक बढ़ाया जा सकता है। दो सबस्पेस दिए गए हैं, <math> \mathcal{U} </math>, <math> \mathcal{W} </math> और <math> \dim ( \mathcal{U}) := k \leq \dim ( \mathcal{W}) := l </math>, यह <math>k</math> कोणों की परिभाषा की ओर ले जाता है, सबस्पेस के बीच के कोणों को कैनोनिकल या प्रमुख कोण कहा जाता है।

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-[[File:Two rays and one vertex.png|thumb|right|एक शीर्ष से निकलने वाली दो किरणों द्वारा निर्मित कोण।]]
+[[File:Two rays and one vertex.png|thumb|right|एक शीर्ष से निकलने वाली दो किरणों द्वारा निर्मित कोण.]]
-[[ यूक्लिडियन ज्यामिति |यूक्लिडियन ज्यामिति]] में, एक कोण दो रेखाओं द्वारा बनाई गई आकृति है, जो एक ही बिंदु पर मिलती है, जिसे कोण का शीर्ष कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Sidorov|2001|ignore-err=yes}}</ref> दोनों रेखाएं तथा इनसे बनने वाले कोण एक ही तल में होते हैं। दो तलों के प्रतिच्छेदन से तथा दो वक्रो के प्रतिच्छेदन से भी एक कोण बनता हैं, जिन्हे द्वितल (डायहेड्रल) तथा वक्रीय कोण कहा जाता है। जो कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर संबंधित वक्रों की स्पर्शरेखा वाली रेखाओं का कोण होता है।
+[https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_geometry|'''यूक्लिडियन ज्यामिति'''] में, एक कोण दो रेखाओं द्वारा बनाई गई आकृति है, जो एक ही बिंदु पर मिलती है, जिसे कोण का [[शीर्ष (ज्यामिति)|शीर्ष (वर्टेक्स ज्योमेट्)]]  कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Sidorov|2001|ignore-err=yes}}</ref> दोनों रेखाएं तथा इनसे बनने वाले कोण एक ही तल में होते हैं। दो तलों के प्रतिच्छेदन से तथा दो वक्रो के प्रतिच्छेदन से भी एक कोण बनता हैं, जिन्हे द्वितल (डायहेड्रल) तथा वक्रीय कोण कहा जाता है। जो कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर संबंधित वक्रों की [[स्पर्शरेखा]] वाली रेखाओं का कोण होता है।
-कोण का उपयोग कोण या घूर्णन के माप को देखने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक वृत्ताकार चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और रेखाओं द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन कि स्थिति में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है तथा किसी अन्य बिंदु से तथा घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है।
+कोण का उपयोग कोण या [[घूर्णन]] के माप को देखने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक [https://en.wikipedia.org/wiki/Curve#Differentiable_arc|'''वृत्ताकार चाप'''] की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और रेखाओं द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन कि स्थिति में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है तथा किसी अन्य बिंदु से तथा घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है।
 ==इतिहास और व्युत्पत्ति ==
 कोण शब्द लैटिन शब्द एंगुलस से आया है, जिसका अर्थ "कोना" है।<ref>{{harvnb|Slocum|2007}}</ref>
-यूक्लिड एक समतल कोण को, उस तल में, जहां दो तिरछी रेखाएँ, एक दूसरे से मिलती हैं, एक दूसरे के झुकाव के रूप में परिभाषित किया जाता है। '<nowiki/>'''प्रोक्लस'''<nowiki/>' के अनुसार, कोण या तो गुणवत्ता या मात्रा, या संबंध होना चाहिए। पहली अवधारणा का उपयोग ''''यूडेमस'''<nowiki/>' द्वारा किया गया था, जो एक कोण को एक सीधी रेखा से विचलन के रूप में मानते थे, दूसरी ''''अन्ताकिया के कार्पस'''<nowiki/>' द्वारा, जिसने इसे प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का अंतराल या स्थान माना था तथा यूक्लिड ने तीसरी अवधारणा को अपनाया।<ref>{{harvnb|Chisholm|1911}}; {{harvnb|Heiberg|1908|pp=177–178}}</ref>
+यूक्लिड एक समतल कोण को, उस तल में, जहां दो तिरछी रेखाएँ, एक दूसरे से मिलती हैं, एक दूसरे के झुकाव के रूप में इसको परिभाषित किया जाता है। '<nowiki/>'''प्रोक्लस'''<nowiki/>' के अनुसार, कोण या तो गुणवत्ता या मात्रा, या संबंध होना चाहिए। पहली अवधारणा का उपयोग ''''यूडेमस'''<nowiki/>' द्वारा किया गया था, जो एक कोण को एक [[:en:Line_(geometry)|'''सीधी रेखा''']] से विचलन के रूप में मानते थे, दूसरी ''''अन्ताकिया के कार्पस'''<nowiki/>' द्वारा, जिसने इसे प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का अंतराल या स्थान माना था तथा यूक्लिड ने तीसरी अवधारणा को अपनाया।<ref>{{harvnb|Chisholm|1911}}; {{harvnb|Heiberg|1908|pp=177–178}}</ref>
 == कोणों की पहचान ==
 गणितीय व्यंजको में, ग्रीक अक्षरों (<var>α</var>, <var>β</var>, <var>γ</var>, <var>θ</var>, <var >φ</var>, . . . ) किसी कोण के आकार को दर्शाने वाले चर के रूप (इसके अन्य अर्थ के साथ अस्पष्टता से बचने के लिए, प्रतीक {{math|[[Pi|π]]}} प्रायः पर इस उद्देश्य के लिए उपयोग नहीं किया जाता है) मे उपयोग करना सामान्य है। छोटे रोमन अक्षरों (a, b, c, . . . ) का भी उपयोग किया जाता है। ऐसे परिस्थिति में जहां यह अस्पष्ट नहीं है, एक कोण को बड़े रोमन अक्षर द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो इसके शीर्ष को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस आलेख में आंकड़े देखें।
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 {{Multiple image
-|align=right
+| align             = right
-|direction=horizontal
+| direction         = horizontal
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+| caption2          = न्यून  (<var>a</var>), अधिक (<var>b</var>), और सीधा (<var>c</var>) angles. न्यून और अधिक कोणों को तिरछा कोण भी कहा जाता है.
-|caption2=Acute (<var>a</var>), obtuse (<var>b</var>), and straight (<var>c</var>) angles. The acute and obtuse angles are also known as oblique angles.
+| image3            = Reflex angle.svg
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+| caption3          = वृहत्तकोण
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-|caption3=Reflex angle
 }}
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 |style = "background:#f2f2f2; text-align:center;" | [[Degree (angle)|डिग्री]]
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-|style = "width:3em;" | (0,&nbsp;90)°
+|style = "width:3em;" | (0, 90)°
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 |-
 |style = "background:#f2f2f2; text-align:center;" | [[Gradian|गोन]]
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 |-
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 [[File:Vertical Angles.svg|thumb|150px|right|कोण समानता दिखाने के लिए यहां हैच के निशान का उपयोग किया जाता है।]]
 जब दो सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेदन से चार कोण बनते हैं। जोड़ी में इन कोणों को एक दूसरे के सापेक्ष उनके स्थान के अनुसार नाम दिए गए है।
-* दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से बनी X-समान आकृति मे एक दूसरे विपरीत मुख के बने एक कोण युग्म को उर्ध्वाधर कोण या सम्मुख कोण या लंबवत सम्मुख कोण कहते हैं। उन्हें vert. opp. ∠s के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.<ref name="tb">{{harvnb|Wong|Wong|2009|pp=161–163}}</ref>  उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के ''''यूडेमस'''<nowiki/>' ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।<ref>{{cite book|author=Euclid|author-link=Euclid|title=The Elements|title-link=Euclid's Elements}} प्रस्ताव I:13.</ref>{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के समपूरक हैं, लंबवत कोण माप में बराबर होते हैं। एक ऐतिहासिक टिप्पणी के अनुसार,{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} जब '<nowiki/>'''थेल्स'<nowiki/>''' ने देखा कि जब मिस्रवासी दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ खींचते हैं, तो वे यह सुनिश्चित करने के लिए लंबवत कोणों को मापते हैं, कि वे समान हैं। '<nowiki/>'''थेल्स'''' ने निष्कर्ष निकाला कि कोई यह साबित कर सकता है, कि सभी लंबवत कोण समान होते हैं, यदि कोई कुछ सामान्य धारणाओं को स्वीकार करता है, जैसे
+* दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से बनी X-समान आकृति मे एक दूसरे विपरीत मुख के बने एक कोण युग्म को उर्ध्वाधर कोण या सम्मुख कोण या लंबवत सम्मुख कोण कहते हैं। उन्हें vert. opp. ∠s के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.<ref name="tb">{{harvnb|Wong|Wong|2009|pp=161–163}}</ref>  उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के ''''यूडेमस'''<nowiki/>' ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।<ref>{{cite book|author=Euclid|author-link=Euclid|title=The Elements|title-link=Euclid's Elements}} प्रस्ताव I:13.</ref>{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के समपूरक हैं, लंबवत कोण माप में बराबर होते हैं। एक ऐतिहासिक टिप्पणी के अनुसार,{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} जब ''''थेल्स'''' ने देखा कि जब मिस्रवासी दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ खींचते हैं, तो वे यह सुनिश्चित करने के लिए लंबवत कोणों को मापते हैं, कि वे समान हैं। ''''थेल्स'''' ने निष्कर्ष निकाला कि कोई यह साबित कर सकता है, कि सभी लंबवत कोण समान होते हैं, यदि कोई कुछ सामान्य धारणाओं को स्वीकार करता है, जैसे
 :* सभी समकोण समान होते हैं।
 :* बराबर में जोड़े गए बराबर बराबर होते हैं।
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 :(एक कोण की स्पर्श रेखा उसके पूरक के सह-स्पर्शरेखा के बराबर होती है और उसका छेदक उसके पूरक के सह-छेदक के बराबर होती है।)
 :कुछ त्रिकोणमितीय अनुपातों के नामों में उपसर्ग "सह" समपूरक शब्द को संदर्भित करता है।
-[[File:Angle obtuse acute straight.svg|thumb|right|300px|कोण <var>a</var> और <var>b</var> संपूरक कोण हैं।]]
 * दो कोण जो एक ऋजु कोण का योग करते हैं ({{sfrac|2}} मोड़ (टर्न), 180° (डिग्री), या {{math|π}} रेडियन) समपूरक कोण कहलाते हैं।<ref>{{Cite web|title=Supplementary Angles|url=https://www.mathsisfun.com/geometry/supplementary-angles.html|access-date=2020-08-17|website=www.mathsisfun.com}}</ref> यदि दो समपूरक कोण आसन्न हैं (अर्थात एक उभयनिष्ठ शीर्ष है), तो उनकी वह भुजाएँ जो उभयनिष्ठ नहीं होती, एक सीधी रेखा बनाती हैं। ऐसे कोणों को कोणों का रैखिक युग्म कहा जाता है।{{sfn|Jacobs|1974|p=97}} हालांकि, समपूरक कोणों का एक ही रेखा पर होना जरूरी नहीं है। उदाहरण के लिए, समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण तथा [[ चक्रीय चतुर्भुज |चक्रीय चतुर्भुज]] (जिसके शीर्ष सभी एक ही वृत्त पर पड़ते हैं) के सम्मुख कोण समपूरक होते हैं।
 :यदि एक बिंदु पी (P) केंद्र ओ (O) वाले वृत्त के बाहर है, और यदि पी (P) से स्पर्श रेखाएँ वृत्त को बिंदु टी (T) और क्यू (Q) पर स्पर्श करती हैं, तो ∠टीपीक्यू (∠TPQ) और ∠टीओक्यू (∠TOQ) पूरक हैं।
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 :यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज के दो कोणों का योग तीसरे का समपूरक होता है, क्योंकि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग एक ऋजु कोण होता है।
-[[File:Reflex angle.svg|thumb|right|150px|दो पूरक कोणों का योग एक पूर्ण कोण होता है।]]
 * दो कोण जिनका योग एक पूर्ण कोण (1 मोड़ (टर्न), 360° (डिग्री), या 2{{math|π}} रेडियन) होता है, समपूरक कोण या संयुग्म कोण कहलाते हैं।  एक कोण और एक पूर्ण कोण के बीच के अंतर को कोण का योग या कोण का संयुग्मी कहा जाता है।
 ===बहुभुज-संबंधित कोण===
-[[File:ExternalAngles.svg|thumb|300px|right|आंतरिक और बाहरी कोण।]]
 * एक [[ साधारण बहुभुज |साधारण बहुभुज]] के अंदर का कोण एक आंतरिक कोण कहलाता है। एक साधारण [[ अवतल बहुभुज |अवतल बहुभुज]] में कम से कम एक आंतरिक कोण होता है जो एक प्रतिवर्त कोण होता है।
 *: यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज के आंतरिक कोणों के मापों का योग {{math|π}} रेडियन, 180° (डिग्री) या {{sfrac|2}} मोड़ (टर्न) तक होता है। एक साधारण उत्तल चतुर्भुज के आंतरिक कोणों के मापों योग 2{{math|π}} रेडियन, 360° (डिग्री) या 1 मोड़ (टर्न) तक होता हैं। सामान्यतः, n भुजाओं वाले एक साधारण [[ उत्तल बहुभुज |उत्तल बहुभुज]] के आंतरिक कोणों के मापों का योग (n − 2) {{math|π}} रेडियन, (n − 2)180° (डिग्री), (n − 2)2 समकोण, या (n − 2){{sfrac|1|2}} मोड़ (टर्न) होता है।
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 * दो तलों के बीच के कोण (जैसे एक बहुफलक के दो आसन्न फलक) को द्विफलकीय कोण कहा जाता है।<ref name="Chisholm 1911" /> यह समतल से लम्बवत दो रेखाओं के बीच न्यून कोण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
 * एक समतल और एक प्रतिच्छेदी सीधी रेखा के बीच का कोण प्रतिच्छेदन रेखा और प्रतिच्छेदन बिंदु से जाने वाली रेखा के बीच के कोण को घटाकर नब्बे डिग्री (90°) के बराबर होता है तथा समतल के अभिलंबवत होता है।
 '''<big>मापने के कोण</big>'''
@@ Line 165: / Line 160: @@
 [[File:Angle measure.svg|right|thumb|<nowiki>आर}} रेडियन}}।</nowiki>]]
 कोण <var>θ</var> को मापने के लिए, कोण के शीर्ष को केंद्र मानकर एक वृत्ताकार चाप खींचा जाता है, उदाहरण के लिए परकार (कंपास) के एक जोड़े के साथ। चाप की लंबाई एस (<var>s)</var> का वृत्त की त्रिज्या आर (<var>r)</var> से अनुपात, कोण में रेडियन की संख्या है। परंपरागत रूप से, गणित और एसआई (SI) में, रेडियन को विमाहीन मान 1 के बराबर माना जाता है।
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 |[[turn (geometry)|मोड़ (टर्न)]]||1||360° || मोड़ (टर्न), चक्र, परिक्रमण और घूर्णन, पूर्ण वृत्तीय गति या माप (उसी बिंदु पर लौटने के लिए) है। अनुप्रयोग के आधार पर एक मोड़ (टर्न) संक्षिप्त रूप से सीवाईसी (cyc),आरइवी (rev), या आरओटी (rot) है। एक मोड़ 2π रेडियन या 360° (डिग्री) के बराबर होता है।
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-|{{pi}} के गुणज  ||2||180° || ''{{pi}}'' रेडियन एमयूएल''{{pi}}'' (MUL{{pi}}) इकाई के गुणकों को [[Reverse Polish Notation|आरपीएन]] वैज्ञानिक कैलकुलेटर में लागू किया जाता है। [[WP&nbsp;43S|WP 43S।]]<ref name="Bonin_2016"/><ref name="Bonin_2019_OG"/><ref name="Bonin_2019_RG"/> यह भी देखें [[IEEE 754 recommended operations]]
+|{{pi}} के गुणज  ||2||180° || ''{{pi}}'' रेडियन एमयूएल''{{pi}}'' (MUL{{pi}}) इकाई के गुणकों को [[Reverse Polish Notation|आरपीएन]] वैज्ञानिक कैलकुलेटर में लागू किया जाता है। [[WP&nbsp;43S|WP 43S।]]<ref name="Bonin_2016"/><ref name="Bonin_2019_OG"/><ref name="Bonin_2019_RG"/> यह भी देखें [[IEEE 754 recommended operations|IEEE 754 अनुशंसित संचालन]]
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 |[[circular sector|चतुर्थाँश]]||4||90°||एक चतुर्थांश एक 1/4 मोड़ (टर्न) और ''[[right angle|समकोण]]'' भी कहते है। चतुर्थांश [[Euclid's Elements|यूक्लिड के तत्वों]] में प्रयुक्त इकाई है। एक चतुर्थांश को दर्शाने के लिए प्रतीक <sup>∟</sup> का उपयोग किया गया है। 1 क्वाड = 90° = {{sfrac|{{pi}}|2}} रेड (rad) = {{sfrac|4}} टर्न = 100 ग्रेड (grad)।
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 === अन्य वर्णनकर्ता ===
-* घंटे का कोण (n = 24) खगोलीय घंटे का कोण {{sfrac|24}} मोड़ (टर्न) का होता है। चूंकि यह प्रणाली उन वस्तुओं को मापने के लिए उत्तरदायी है जो प्रति दिन एक बार परिक्रमण करते हैं (जैसे सितारों की सापेक्ष स्थिति), षाष्टिक (सेक्सजेसिमल) उपइकाई को समय का मिनट और समय का सेकंड कहा जाता है। ये चाप के मिनट और सेकंड से अलग और 15 गुना बड़े होते है। 1 घंटा = 15° = {{sfrac|{{pi}}|12}} रेड = {{sfrac|6}} क्वाड = {{sfrac|24}} मोड़ (टर्न) = {{sfrac|16|2|3}} ग्रेड।
+* घंटे का कोण (n = 24) खगोलीय घंटे का कोण {{sfrac|24}} मोड़ (टर्न) का होता है। चूंकि यह प्रणाली उन वस्तुओं को मापने के लिए उत्तरदायी है जो प्रति दिन एक बार परिक्रमण करते हैं (जैसे सितारों की सापेक्ष स्थिति), षाष्टिक (सेक्सजेसिमल) उपइकाई को समय का मिनट और समय का सेकंड कहा जाता है। ये चाप के मिनट और सेकंड से अलग और 15 गुना बड़े होते है। 1 घंटा = 15° (डिग्री) = {{sfrac|{{pi}}|12}} रेड = {{sfrac|6}} क्वाड = {{sfrac|24}} मोड़ (टर्न) = {{sfrac|16|2|3}} ग्रेड।
-* (कम्पास) बिंदु या विन्ड(n = 32), संचालन में उपयोग किया जाने वाला बिंदु है, जोकि एक मोड़ (टर्न) का {{sfrac|32}} है। 1 बिंदु = समकोण का {{sfrac|8}} = 11.25° = 12.5 ग्रेड। प्रत्येक बिंदु को चार तिमाही-अंकों में विभाजित किया जाता है ताकि 1 मोड़ 128 तिमाही-अंक के बराबर हो।
+* (कम्पास) बिंदु या विन्ड (n = 32), संचालन में उपयोग किया जाने वाला बिंदु है, जोकि एक मोड़ (टर्न) का {{sfrac|32}} होता है। 1 बिंदु = समकोण का {{sfrac|8}} = 11.25° (डिग्री) = 12.5 ग्रेड। प्रत्येक बिंदु को चार तिमाही-अंकों में विभाजित किया जाता है ताकि 1 मोड़ (टर्न) 128 तिमाही-अंक के बराबर हो।
-* पेचस (n = 144–180), पेचस एक बेबीलोनियाई इकाई थी जो लगभग 2° या {{sfrac|2|1|2}}° बराबर होती है।
+* पेचस (n = 144–180), पेचस एक बेबीलोनियाई इकाई थी जो लगभग 2° (डिग्री) या {{sfrac|2|1|2}}° (डिग्री) बराबर होती है।
 * टाऊ, एक मोड़ (टर्न) में रेडियन की संख्या (1 मोड़ (टर्न) = {{mvar|τ}} रेड), {{math|''τ'' {{=}} 2π}}।
-* व्यास भाग (n = 376.99...), व्यास भाग लगभग 0.95493° और {{sfrac|60}} रेडियन होता है। प्रति मोड़ (टर्न) लगभग 376.991 व्यास भाग होते हैं।
+* व्यास भाग (n = 376.99...), व्यास भाग लगभग 0.95493° (डिग्री) और {{sfrac|60}} रेडियन होता है। प्रति मोड़ (टर्न) लगभग 376.991 व्यास भाग होते हैं।
-* मिली रेडियन और व्युत्पन्न परिभाषाएं, वास्तविक मिलि रेडियन को एक रेडियन का एक हजारवां भाग बताया गया है, जिसका अर्थ है कि एक मोड़ का घूर्णन ठीक 2000π मील (या लगभग 6283.185 मील) के बराबर होगा, और बंदूक आदि शस्त्र के लिए लगभग सभी कार्यक्षेत्र इस परिभाषा के लिए अंशांकित हैं। इसके अलावा, तोपखाने और संचालन के लिए उपयोग की जाने वाली तीन अन्य परिभाषाएँ हैं, जो लगभग एक मिली रेडियन के बराबर हैं। इन तीन अन्य परिभाषाओं के तहत एक मोड़ (टर्न) ठीक 6000, 6300 या 6400 मील के लिए बनाता है, जो 0.05625 से 0.06 डिग्री (3.375 से 3.6 मिनट) तक की सीमा के बराबर है। इसकी तुलना में, वास्तविक मिली रेडियन लगभग 0.05729578 डिग्री (3.43775 मिनट) का होता है। एक "नाटो मील" को एक वृत्त के {{sfrac|6400}} से परिभाषित किया गया है। वास्तविक मिलि रेडियन की तरह ही, अन्य परिभाषाओं में से प्रत्येक सबटेंशन की मील की उपयोगी सामग्री का शोषण करती है, अर्थात एक मिली रेडियन का मान लगभग 1 मीटर की चौड़ाई से घटाए गए कोण के बराबर होता है जैसा कि 1 किमी दूर से देखा जाता है ({{sfrac|2{{pi}}|6400}} = 0.0009817... ≈ 1/1000)।
+* मिली रेडियन और व्युत्पन्न परिभाषाएं, वास्तविक मिली रेडियन को एक रेडियन का एक हजारवां भाग बताया गया है, जिसका अर्थ है कि एक मोड़ (टर्न) का घूर्णन ठीक 2000π मील (या लगभग 6283.185 मील) के बराबर होगा, और बंदूक आदि शस्त्र के लिए लगभग सभी कार्यक्षेत्र इस परिभाषा के लिए अंशांकित हैं। इसके अलावा, तोपखाने और संचालन के लिए उपयोग की जाने वाली तीन अन्य परिभाषाएँ हैं, जो लगभग एक मिली रेडियन के बराबर हैं। इन तीन अन्य परिभाषाओं के तहत एक मोड़ (टर्न) ठीक 6000, 6300 या 6400 मील के लिए बनाता है, जो 0.05625 से 0.06° (डिग्री) (3.375 से 3.6' (मिनट)) तक की सीमा के बराबर है। इसकी तुलना में, वास्तविक मिली रेडियन लगभग 0.05729578° डिग्री (3.43775°      (मिनट)) का होता है। एक "नाटो मील" को एक वृत्त के {{sfrac|6400}} से परिभाषित किया गया है। वास्तविक मिली रेडियन की तरह ही, अन्य परिभाषाओं में से प्रत्येक सबटेंशन की मील की उपयोगी सामग्री का शोषण करती है, अर्थात एक मिली रेडियन का मान लगभग 1 मीटर की चौड़ाई से घटाए गए कोण के बराबर होता है, जैसा कि 1 किमी दूर से देखा जाता है ({{sfrac|2{{pi}}|6400}} = 0.0009817... ≈ 1/1000)।
 * पुराने अरब में एक मोड़ (टर्न) को 32 अखनाम में विभाजित किया गया था और प्रत्येक अखनाम को 7 ज़म में विभाजित किया गया था, ताकि एक मोड़ (टर्न) 224 का ज़म हो।
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 हालांकि एक कोण के मापन की परिभाषा एक ऋणात्मक कोण की अवधारणा का समर्थन नहीं करती है, यह प्रायः एक सम्मेलन को लागू करने के लिए उपयोगी होता है, जो धनात्मक और ऋणात्मक कोणीय मानो को कुछ संदर्भ के सापेक्ष विपरीत दिशाओं में अभिविन्यास या घुर्णन का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है।
-द्वि-विमीय कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में, कोण को विशिष्ट रूप से इसके दो पक्षों (भुजाओ) और मूल बिंदु पर शीर्ष द्वारा परिभाषित किया जाता है। प्रारंभिक पक्ष (भुजा) धनात्मक एक्स (x)-अक्ष पर है, जबकि दूसरा पक्ष (भुजा) या अंतिम पक्ष (भुजा), प्रारंभिक पक्ष (भुजा) द्वारा रेडियन, डिग्री या मोड़ (टर्न) में परिभाषित किया गया है। धनात्मक कोणों के साथ धनात्मक वाई (y)-अक्ष की ओर घूर्णन और ऋणात्मक कोणों के साथ, ऋणात्मक वाई (y)-अक्ष की ओर घूर्णन करते है। जब कार्तीय निर्देशांक मानक स्थिति द्वारा दर्शाए जाते हैं, जो एक्स (x)-अक्ष दाईं ओर और वाई (y)-अक्ष ऊपर की ओर परिभाषित होते हैं, धनात्मक घुर्णन वामावर्त होते हैं और ऋणात्मक घुर्णन दक्षिणावर्त होते हैं।
+द्वि-विमीय कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में, कोण को विशिष्ट रूप से इसकी दोनो रेखाओ और मूल बिंदु पर शीर्ष द्वारा परिभाषित किया जाता है। प्रारंभिक रेखा धनात्मक एक्स (x)-अक्ष पर है, जबकि दुसरी रेखा या अंतिम रेखा, प्रारंभिक रेखा द्वारा रेडियन, डिग्री या मोड़ (टर्न) में परिभाषित किया गया है। धनात्मक कोणों के साथ धनात्मक वाई (y)-अक्ष की ओर घूर्णन और ऋणात्मक कोणों के साथ, ऋणात्मक वाई (y)-अक्ष की ओर घूर्णन करते है। जब कार्तीय निर्देशांक मानक स्थिति द्वारा दर्शाए जाते हैं, जो एक्स (x)-अक्ष दाईं ओर और वाई (y)-अक्ष ऊपर की ओर परिभाषित होते हैं, धनात्मक घुर्णन वामावर्त होते हैं और ऋणात्मक घुर्णन दक्षिणावर्त होते हैं।
-कई संदर्भों में, −θ का कोण प्रभावी रूप से एक पूर्ण मोड़ (टर्न) न्यूनता के कोण के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, −45° (डिग्री) के रूप में दर्शाया गया एक अभिविन्यास प्रभावी रूप से 360°, − 45° या 315° के रूप में दर्शाए गए अभिविन्यास के बराबर है। हालांकि अंतिम स्थिति समान है, -45° का एक भौतिक घूर्णन (संचलन) 315° के घूर्णन के समान नहीं होता है (उदाहरण के लिए, धूल भरे फर्श पर झाड़ू रखने वाले व्यक्ति के घूमने से फर्श पर घूमें हुए क्षेत्रों के अलग-अलग निशान छुट जाते है)।
+कई संदर्भों में, −θ का कोण प्रभावी रूप से एक पूर्ण मोड़ (टर्न) न्यूनता के कोण के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, −45° (डिग्री) के रूप में दर्शाया गया एक अभिविन्यास प्रभावी रूप से 360° (डिग्री), − 45° (डिग्री) या 315° (डिग्री) के रूप में दर्शाए गए अभिविन्यास के बराबर है। हालांकि अंतिम स्थिति समान है, -45° (डिग्री) का एक भौतिक घूर्णन (संचलन) 315° (डिग्री) के घूर्णन के समान नहीं होता है (उदाहरण के लिए, धूल भरे फर्श पर झाड़ू रखने वाले व्यक्ति के घूमने से फर्श पर घूमें हुए क्षेत्रों के अलग-अलग निशान छुट जाते है)।
 त्रि-विमीय ज्यामिति में, दक्षिणावर्त और वामावर्त का कोई पूर्ण अर्थ नहीं है, इसलिए धनात्मक और ऋणात्मक कोणों की दिशा को कुछ निर्देशो के सापेक्ष परिभाषित किया जाना चाहिए, उस तल मे जिसमें कोण की किरणें होती हैं, प्रया: कोण के शीर्ष से गुजरने वाला एक सदिश और समतल के लंबवत होता है।
-संचालन में, बियरिंग्स या दिगंश (अज़ीमुथ) को उत्तर के सापेक्ष मापा जाता है। परिपाटी के अनुसार, ऊपर से देखने पर, बेयरिंग कोण धनात्मक दक्षिणावर्त होते हैं, इसलिए 45° का बेयरिंग उत्तर-पूर्व अभिविन्यास के सामान होता है। संचालन में ऋणात्मक बियरिंग्स का उपयोग नहीं किया जाता है, इसलिए उत्तर-पश्चिम अभिविन्यास 315° (डिग्री) के बेयरिंग के सामान होता है।
+संचालन में, बियरिंग्स या दिगंश (अज़ीमुथ) को उत्तर के सापेक्ष मापा जाता है। परिपाटी के अनुसार, ऊपर से देखने पर, बेयरिंग कोण धनात्मक दक्षिणावर्त होते हैं, इसलिए 45° (डिग्री) का बेयरिंग उत्तर-पूर्व अभिविन्यास के सामान होता है। संचालन में ऋणात्मक बियरिंग्स का उपयोग नहीं किया जाता है, इसलिए उत्तर-पश्चिम अभिविन्यास 315° (डिग्री) के बेयरिंग के सामान होता है।
 === कोण के आकार को मापने के वैकल्पिक तरीके ===
 एक कोणीय इकाई के लिए, यह निश्चित है कि कोण योग अभिधारणा रखते है। कुछ कोण माप जहां कोण योग अभिधारणा नहीं रखते है, उनमें शामिल हैं:
 * ढलान या ढाल कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है, एक ढाल को प्राय: प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है। बहुत छोटे मान (5% से कम) के लिए, ढलान का ग्रेड लगभग रेडियन में कोण का माप होता है।
-* दो रेखाओं के बीच के प्रसार को [[ परिमेय ज्यामिति ]] में रेखाओं के बीच के कोण की ज्या के वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूँकि किसी कोण की ज्या और उसके संपूरक कोण की ज्या समान होती है, कोई भी घूर्णन कोण जो किसी एक रेखा को दूसरी रेखा में मैप करता है, रेखाओं के बीच प्रसार के लिए समान मान की ओर ले जाता है।
+* दो रेखाओं के बीच के प्रसार को[[ परिमेय ज्यामिति | परिमेय ज्यामिति]] में रेखाओं के बीच के कोण की ज्या के वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूँकि किसी कोण की ज्या और उसके संपूरक कोण की ज्या समान होती है, कोई भी घूर्णन कोण जो किसी एक रेखा को दूसरी रेखा में मैप करता है, रेखाओं के बीच प्रसार के लिए समान मान की ओर ले जाता है।
 * हालांकि शायद ही कभी, कोई [[ त्रिकोणमितीय कार्य |त्रिकोणमितीय कार्य]] के प्रत्यक्ष परिणामों का वर्णन कर सकता है, जैसे कोण की ज्या।
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 === आंतरिक उत्पाद ===
-एक सामान्य वास्तविक आंतरिक गुणन स्थान में कोणों को परिभाषित करने के लिए, हम यूक्लिडियन आदिश-गुणनफल  ( · ) को आंतरिक गुणन से बदलते हैं <math> \langle \cdot , \cdot \rangle </math>, अर्थात
+एक सामान्य वास्तविक आंतरिक गुणन स्थान में कोणों को परिभाषित करने के लिए, हम यूक्लिडियन आदिश-गुणनफल ( · ) को आंतरिक गुणन से बदलते हैं <math> \langle \cdot , \cdot \rangle </math>, अर्थात
 :<math> \langle \mathbf{u} , \mathbf{v} \rangle = \cos(\theta)\ \left\| \mathbf{u} \right\| \left\| \mathbf{v} \right\|</math>
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 === उप-स्थानों के बीच कोण ===
-एक-आयामी उप-स्थानों के बीच कोण की परिभाषा <math>\operatorname{span}(\mathbf{u})</math> तथा  <math>\operatorname{span}(\mathbf{v})</math> के द्वारा दिया गया
+एक-आयामी सबस्पेस के बीच कोण की परिभाषा <math>\operatorname{span}(\mathbf{u})</math> तथा  <math>\operatorname{span}(\mathbf{v})</math> के द्वारा दिया गया
 :<math> \left| \langle \mathbf{u} , \mathbf{v} \rangle \right| = \left| \cos(\theta) \right| \left\| \mathbf{u} \right\| \left\| \mathbf{v} \right\|. </math>
 हिल्बर्ट स्पेस में किसी भी परिमित विमा के सबस्पेस तक बढ़ाया जा सकता है। दो सबस्पेस दिए गए हैं,  <math> \mathcal{U} </math>, <math> \mathcal{W} </math> और  <math> \dim ( \mathcal{U}) := k \leq \dim ( \mathcal{W}) := l </math>, यह <math>k</math> कोणों की परिभाषा की ओर ले जाता है, सबस्पेस के बीच के कोणों को कैनोनिकल या प्रमुख कोण कहा जाता है।