कोण: Difference between revisions

(17 intermediate revisions by 8 users not shown)

Line 1:

[[File:Two rays and one vertex.png|thumb|right|एक शीर्ष से निकलने वाली दो किरणों द्वारा निर्मित ~~कोण।~~]]

[[File:Two rays and one vertex.png|thumb|right|एक शीर्ष से निकलने वाली दो किरणों द्वारा निर्मित कोण.]]

[~~[ यूक्लिडियन ज्यामिति~~ |यूक्लिडियन ज्यामिति]] में, एक कोण दो रेखाओं द्वारा बनाई गई आकृति है, जो एक ही बिंदु पर मिलती है, जिसे कोण का शीर्ष कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Sidorov|2001|ignore-err=yes}}</ref> दोनों रेखाएं तथा इनसे बनने वाले कोण एक ही तल में होते हैं। दो तलों के प्रतिच्छेदन से तथा दो वक्रो के प्रतिच्छेदन से भी एक कोण बनता हैं, जिन्हे द्वितल (डायहेड्रल) तथा वक्रीय कोण कहा जाता है। जो कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर संबंधित वक्रों की स्पर्शरेखा वाली रेखाओं का कोण होता है।

[https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_geometry|'''यूक्लिडियन ज्यामिति'''] में, एक कोण दो रेखाओं द्वारा बनाई गई आकृति है, जो एक ही बिंदु पर मिलती है, जिसे कोण का [[शीर्ष (ज्यामिति)|शीर्ष (वर्टेक्स ज्योमेट्)]] कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Sidorov|2001|ignore-err=yes}}</ref> दोनों रेखाएं तथा इनसे बनने वाले कोण एक ही तल में होते हैं। दो तलों के प्रतिच्छेदन से तथा दो वक्रो के प्रतिच्छेदन से भी एक कोण बनता हैं, जिन्हे द्वितल (डायहेड्रल) तथा वक्रीय कोण कहा जाता है। जो कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर संबंधित वक्रों की [[स्पर्शरेखा]] वाली रेखाओं का कोण होता है।

कोण का उपयोग कोण या घूर्णन के माप को देखने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक वृत्ताकार चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और रेखाओं द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन कि स्थिति में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है तथा किसी अन्य बिंदु से तथा घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है।

कोण का उपयोग कोण या [[घूर्णन]] के माप को देखने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक [https://en.wikipedia.org/wiki/Curve#Differentiable_arc|'''वृत्ताकार चाप'''] की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और रेखाओं द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन कि स्थिति में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है तथा किसी अन्य बिंदु से तथा घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है।

==इतिहास और व्युत्पत्ति ==

कोण शब्द लैटिन शब्द एंगुलस से आया है, जिसका अर्थ "कोना" है।<ref>{{harvnb|Slocum|2007}}</ref>

यूक्लिड एक समतल कोण को, उस तल में, जहां दो तिरछी रेखाएँ, एक दूसरे से मिलती हैं, एक दूसरे के झुकाव के रूप में परिभाषित किया जाता है। '<nowiki/>'''प्रोक्लस'''<nowiki/>' के अनुसार, कोण या तो गुणवत्ता या मात्रा, या संबंध होना चाहिए। पहली अवधारणा का उपयोग ''''यूडेमस'''<nowiki/>' द्वारा किया गया था, जो एक कोण को एक सीधी रेखा से विचलन के रूप में मानते थे, दूसरी ''''अन्ताकिया के कार्पस'''<nowiki/>' द्वारा, जिसने इसे प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का अंतराल या स्थान माना था तथा यूक्लिड ने तीसरी अवधारणा को अपनाया।<ref>{{harvnb|Chisholm|1911}}; {{harvnb|Heiberg|1908|pp=177–178}}</ref>

यूक्लिड एक समतल कोण को, उस तल में, जहां दो तिरछी रेखाएँ, एक दूसरे से मिलती हैं, एक दूसरे के झुकाव के रूप में इसको परिभाषित किया जाता है। '<nowiki/>'''प्रोक्लस'''<nowiki/>' के अनुसार, कोण या तो गुणवत्ता या मात्रा, या संबंध होना चाहिए। पहली अवधारणा का उपयोग ''''यूडेमस'''<nowiki/>' द्वारा किया गया था, जो एक कोण को एक [[:en:Line_(geometry)|'''सीधी रेखा''']] से विचलन के रूप में मानते थे, दूसरी ''''अन्ताकिया के कार्पस'''<nowiki/>' द्वारा, जिसने इसे प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का अंतराल या स्थान माना था तथा यूक्लिड ने तीसरी अवधारणा को अपनाया।<ref>{{harvnb|Chisholm|1911}}; {{harvnb|Heiberg|1908|pp=177–178}}</ref>

== कोणों की पहचान ==

गणितीय व्यंजको में, ग्रीक अक्षरों (<var>α</var>, <var>β</var>, <var>γ</var>, <var>θ</var>, <var >φ</var>, . . . ) किसी कोण के आकार को दर्शाने वाले चर के रूप (इसके अन्य अर्थ के साथ अस्पष्टता से बचने के लिए, प्रतीक {{math|[[Pi|π]]}} प्रायः पर इस उद्देश्य के लिए उपयोग नहीं किया जाता है) मे उपयोग करना सामान्य है। छोटे रोमन अक्षरों (a, b, c, . . . ) का भी उपयोग किया जाता है। ऐसे परिस्थिति में जहां यह अस्पष्ट नहीं है, एक कोण को बड़े रोमन अक्षर द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो इसके शीर्ष को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस आलेख में आंकड़े देखें।

Line 33:

{{Multiple image

|align=right

| align = right

|direction=horizontal

| direction = horizontal

|image1=Right angle.svg

| image1 = Right angle.svg

|width1=~~111~~

| width1 = 80

|caption1=[[~~Right angle~~]]

| caption1 = [[समकोण]]

| image2 = Angle obtuse acute straight.svg

|image2=Angle obtuse acute straight.svg

| width2 = 160

|width2=~~200~~

| caption2 = न्यून (<var>a</var>), अधिक (<var>b</var>), और सीधा (<var>c</var>) angles. न्यून और अधिक कोणों को तिरछा कोण भी कहा जाता है.

|caption2=~~Acute~~ (<var>a</var>), ~~obtuse~~ (<var>b</var>), ~~and straight~~ (<var>c</var>) angles. ~~The acute and obtuse angles are also known as oblique angles~~.

| image3 = Reflex angle.svg

| width3 = 60

|image3=Reflex angle.svg

| caption3 = वृहत्तकोण

|width3=81

|caption3=~~Reflex angle~~

}}

Line 80:

Line 78:

|style = "background:#f2f2f2; text-align:center;" | [[Degree (angle)|डिग्री]]

|style = "width:3em;" | 0°

|style = "width:3em;" | (0,~~ ~~90)°

|style = "width:3em;" | (0, 90)°

|style = "width:3em;" | 90°

|style = "width:3em;" | (90,~~ ~~180)°

|style = "width:3em;" | (90,180)°

|style = "width:3em;" | 180°

|style = "width:3em;" | (180,~~ ~~360)°

|style = "width:3em;" | (180, 360)°

|style = "width:3em;" | 360°

|-

|style = "background:#f2f2f2; text-align:center;" | [[Gradian|गोन]]

|style = "width:3em;" | 0g

|style = "width:3em;" | (0,~~ ~~100)g

|style = "width:3em;" | (0,100)g

|style = "width:3em;" | 100g

|style = "width:3em;" | (100,~~ ~~200)g

|style = "width:3em;" | (100, 200)g

|style = "width:3em;" | 200g

|style = "width:3em;" | (200,~~ ~~400)g

|style = "width:3em;" | (200, 400)g

|style = "width:3em;" | 400g

|-

Line 106:

Line 104:

[[File:Vertical Angles.svg|thumb|150px|right|कोण समानता दिखाने के लिए यहां हैच के निशान का उपयोग किया जाता है।]]

जब दो सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेदन से चार कोण बनते हैं। जोड़ी में इन कोणों को एक दूसरे के सापेक्ष उनके स्थान के अनुसार नाम दिए गए है।

* दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से बनी X-समान आकृति मे एक दूसरे विपरीत मुख के बने एक कोण युग्म को उर्ध्वाधर कोण या सम्मुख कोण या लंबवत सम्मुख कोण कहते हैं। उन्हें vert. opp. ∠s के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.<ref name="tb">{{harvnb|Wong|Wong|2009|pp=161–163}}</ref> उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के ''''यूडेमस'''<nowiki/>' ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।<ref>{{cite book|author=Euclid|author-link=Euclid|title=The Elements|title-link=Euclid's Elements}} प्रस्ताव I:13.</ref>{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के समपूरक हैं, लंबवत कोण माप में बराबर होते हैं। एक ऐतिहासिक टिप्पणी के अनुसार,{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} जब '~~<nowiki/>~~'''थेल्स'~~<nowiki/>~~''' ने देखा कि जब मिस्रवासी दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ खींचते हैं, तो वे यह सुनिश्चित करने के लिए लंबवत कोणों को मापते हैं, कि वे समान हैं। '~~<nowiki/>~~'''थेल्स'''' ने निष्कर्ष निकाला कि कोई यह साबित कर सकता है, कि सभी लंबवत कोण समान होते हैं, यदि कोई कुछ सामान्य धारणाओं को स्वीकार करता है, जैसे

* दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से बनी X-समान आकृति मे एक दूसरे विपरीत मुख के बने एक कोण युग्म को उर्ध्वाधर कोण या सम्मुख कोण या लंबवत सम्मुख कोण कहते हैं। उन्हें vert. opp. ∠s के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.<ref name="tb">{{harvnb|Wong|Wong|2009|pp=161–163}}</ref> उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के ''''यूडेमस'''<nowiki/>' ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।<ref>{{cite book|author=Euclid|author-link=Euclid|title=The Elements|title-link=Euclid's Elements}} प्रस्ताव I:13.</ref>{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के समपूरक हैं, लंबवत कोण माप में बराबर होते हैं। एक ऐतिहासिक टिप्पणी के अनुसार,{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} जब ''''थेल्स'''' ने देखा कि जब मिस्रवासी दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ खींचते हैं, तो वे यह सुनिश्चित करने के लिए लंबवत कोणों को मापते हैं, कि वे समान हैं। ''''थेल्स'''' ने निष्कर्ष निकाला कि कोई यह साबित कर सकता है, कि सभी लंबवत कोण समान होते हैं, यदि कोई कुछ सामान्य धारणाओं को स्वीकार करता है, जैसे

:* सभी समकोण समान होते हैं।

:* बराबर में जोड़े गए बराबर बराबर होते हैं।

Line 132:

Line 130:

:(एक कोण की स्पर्श रेखा उसके पूरक के सह-स्पर्शरेखा के बराबर होती है और उसका छेदक उसके पूरक के सह-छेदक के बराबर होती है।)

:कुछ त्रिकोणमितीय अनुपातों के नामों में उपसर्ग "सह" समपूरक शब्द को संदर्भित करता है।

~~[[File:Angle obtuse acute straight.svg|thumb|right|300px|कोण <var>a</var> और <var>b</var> संपूरक कोण हैं।]]~~

* दो कोण जो एक ऋजु कोण का योग करते हैं ({{sfrac|2}} मोड़ (टर्न), 180° (डिग्री), या {{math|π}} रेडियन) समपूरक कोण कहलाते हैं।<ref>{{Cite web|title=Supplementary Angles|url=https://www.mathsisfun.com/geometry/supplementary-angles.html|access-date=2020-08-17|website=www.mathsisfun.com}}</ref> यदि दो समपूरक कोण आसन्न हैं (अर्थात एक उभयनिष्ठ शीर्ष है), तो उनकी वह भुजाएँ जो उभयनिष्ठ नहीं होती, एक सीधी रेखा बनाती हैं। ऐसे कोणों को कोणों का रैखिक युग्म कहा जाता है।{{sfn|Jacobs|1974|p=97}} हालांकि, समपूरक कोणों का एक ही रेखा पर होना जरूरी नहीं है। उदाहरण के लिए, समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण तथा [[ चक्रीय चतुर्भुज |चक्रीय चतुर्भुज]] (जिसके शीर्ष सभी एक ही वृत्त पर पड़ते हैं) के सम्मुख कोण समपूरक होते हैं।

:यदि एक बिंदु पी (P) केंद्र ओ (O) वाले वृत्त के बाहर है, और यदि पी (P) से स्पर्श रेखाएँ वृत्त को बिंदु टी (T) और क्यू (Q) पर स्पर्श करती हैं, तो ∠टीपीक्यू (∠TPQ) और ∠टीओक्यू (∠TOQ) पूरक हैं।

Line 138:

Line 136:

:यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज के दो कोणों का योग तीसरे का समपूरक होता है, क्योंकि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग एक ऋजु कोण होता है।

~~[[File:Reflex angle.svg|thumb|right|150px|दो पूरक कोणों का योग एक पूर्ण कोण होता है।]]~~

* दो कोण जिनका योग एक पूर्ण कोण (1 मोड़ (टर्न), 360° (डिग्री), या 2{{math|π}} रेडियन) होता है, समपूरक कोण या संयुग्म कोण कहलाते हैं। एक कोण और एक पूर्ण कोण के बीच के अंतर को कोण का योग या कोण का संयुग्मी कहा जाता है।

===बहुभुज-संबंधित कोण===

~~[[File:ExternalAngles.svg|thumb|300px|right|आंतरिक और बाहरी कोण।]]~~

* एक [[ साधारण बहुभुज |साधारण बहुभुज]] के अंदर का कोण एक आंतरिक कोण कहलाता है। एक साधारण [[ अवतल बहुभुज |अवतल बहुभुज]] में कम से कम एक आंतरिक कोण होता है जो एक प्रतिवर्त कोण होता है।

*: यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज के आंतरिक कोणों के मापों का योग {{math|π}} रेडियन, 180° (डिग्री) या {{sfrac|2}} मोड़ (टर्न) तक होता है। एक साधारण उत्तल चतुर्भुज के आंतरिक कोणों के मापों योग 2{{math|π}} रेडियन, 360° (डिग्री) या 1 मोड़ (टर्न) तक होता हैं। सामान्यतः, n भुजाओं वाले एक साधारण [[ उत्तल बहुभुज |उत्तल बहुभुज]] के आंतरिक कोणों के मापों का योग (n − 2) {{math|π}} रेडियन, (n − 2)180° (डिग्री), (n − 2)2 समकोण, या (n − 2){{sfrac|1|2}} मोड़ (टर्न) होता है।

* एक आंतरिक कोण के पूरक को एक बाह्य कोण कहा जाता है, अर्थात एक आंतरिक कोण और एक बाह्य कोण, कोणों का एक रैखिक युग्म बनाते हैं। बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष पर दो बाहरी कोण होते हैं, प्रत्येक को शीर्ष पर मिलने वाली दो रेखाओ में से एक को विस्तारित करके प्राप्त करते है, ये दो कोण लंबवत तथा बराबर हैं। एक बाह्य कोण बहुभुज का पता लगाने के लिए एक शीर्ष पर घूर्णन की मात्रा को मापता है।{{sfn|Henderson|Taimina|2005|p=104}} यदि संगत आंतरिक कोण एक प्रतिवर्त कोण है, तो बाह्य कोण को ऋणात्मक माना जाना चाहिए। यहां तक कि एक आसाधारण बहुभुज में भी बाह्य कोण को परिभाषित करना संभव हो सकता है, लेकिन बाह्य कोण माप के चिन्ह को तय करने के लिए किसी को समतल (या सतह) का एक अभिविन्यास चुनना होगा।

*: यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक साधारण उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों का योग, यदि प्रत्येक शीर्ष पर दो बाह्य कोणों में से केवल एक माना ~~जाता है,~~ तो एक पूर्ण मोड़ (360°) होगा। यहाँ बाह्य कोण को पूरक बाह्य कोण कहा जा सकता है। नियमित बहुभुज बनाते समय बाह्य कोणों का उपयोग प्रायः लोगो टर्टल कार्यक्रमों में किया जाता है।

*: यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक साधारण उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों का योग, यदि प्रत्येक शीर्ष पर दो बाह्य कोणों में से केवल एक माना जाए तो एक पूर्ण मोड़ (टर्न) 360°(डिग्री) होगा। यहाँ बाह्य कोण को पूरक बाह्य कोण कहा जा सकता है। नियमित बहुभुज बनाते समय बाह्य कोणों का उपयोग प्रायः लोगो टर्टल कार्यक्रमों में किया जाता है।

* एक त्रिभुज में, दो बाह्य कोणों के समद्विभाजक और दूसरे आंतरिक कोण के समद्विभाजक समवर्ती होते हैं (एक बिंदु पर मिलते हैं)।<ref name=Johnson>जॉनसन, रोजर ए. एडवांस्ड यूक्लिडियन ज्योमेट्री, डोवर पब्लिकेशन्स, 2007.</ref>

* एक त्रिभुज में, तीन प्रतिच्छेदन बिंदु, प्रत्येक बाह्य कोण का समद्विभाजक, जिसकी विपरीत विस्तारित भुजा होती है, संरेख होते हैं।<ref name=Johnson/>

* एक त्रिभुज में, तीन प्रतिच्छेदन बिंदु, उनमें से दो एक आंतरिक कोण समद्विभाजक और विपरीत भुजा ~~के बीच~~, और तीसरा बाह्य कोण समद्विभाजक और विपरीत विस्तारित भुजा के बीच, संरेख हैं।<ref name=Johnson/>

* एक त्रिभुज में, तीन प्रतिच्छेदन बिंदु, उनमें से दो एक आंतरिक कोण समद्विभाजक और विपरीत विस्तारित भुजा, और तीसरा बाह्य कोण समद्विभाजक और विपरीत विस्तारित भुजा के बीच, संरेख हैं।<ref name=Johnson/>

* कुछ लेखक साधारण बहुभुज के बाह्य कोण के नाम का उपयोग केवल आंतरिक कोण के बाह्य कोण (पूरक नहीं!) लागू करने के लिए करते हैं।<ref>{{citation|editor=D. Zwillinger|title=CRC Standard Mathematical Tables and Formulae|place=Boca Raton, FL|publisher=CRC Press|year=1995|page= 270}} जैसा कि में उद्धृत किया गया है {{MathWorld |urlname=ExteriorAngle |title=Exterior Angle}}</ref> यह उपरोक्त उपयोग के साथ विरोध करता है।

Line 154:

Line 151:

* दो तलों के बीच के कोण (जैसे एक बहुफलक के दो आसन्न फलक) को द्विफलकीय कोण कहा जाता है।<ref name="Chisholm 1911" /> यह समतल से लम्बवत दो रेखाओं के बीच न्यून कोण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

* एक समतल और एक प्रतिच्छेदी सीधी रेखा के बीच का कोण प्रतिच्छेदन रेखा और प्रतिच्छेदन बिंदु से जाने वाली रेखा के बीच के कोण को घटाकर नब्बे (90) ~~डिग्री~~ के बराबर होता है और समतल के अभिलंबवत होता है।

* एक समतल और एक प्रतिच्छेदी सीधी रेखा के बीच का कोण प्रतिच्छेदन रेखा और प्रतिच्छेदन बिंदु से जाने वाली रेखा के बीच के कोण को घटाकर नब्बे डिग्री (90°) के बराबर होता है तथा समतल के अभिलंबवत होता है।

'''<big>मापने के कोण</big>'''

एक ज्यामितीय कोण का आकार सामान्यतः सबसे छोटे घूर्णन के परिमाण की विशेषता होती है, जो एक ~~किरण~~ को दूसरे में मैप करता है। समान आकार वाले कोणों को समान या सर्वांगसम ~~या माप में बराबर~~ कहा जाता है।

एक ज्यामितीय कोण का आकार सामान्यतः सबसे छोटे घूर्णन के परिमाण की विशेषता होती है, जो एक रेखा को दूसरे में मैप करता है। समान आकार वाले कोणों को समान या सर्वांगसम कहा जाता है।

कुछ संदर्भों में, जैसे किसी वृत्त पर एक बिंदु की पहचान करना या किसी संदर्भ अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) के सापेक्ष दो विमाओ में किसी वस्तु के अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) का वर्णन करना, पूर्ण मोड़ के निश्चित गुणक से भिन्न कोण, प्रभावी रूप से समतुल्य होते हैं। अन्य संदर्भों में, जैसे कि एक कुंडलित वक्र पर एक बिंदु की पहचान करना या किसी संदर्भ अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) के सापेक्ष दो विमाओ में किसी वस्तु के संचयी घूर्णन का वर्णन करना, एक पूर्ण मोड़ के अशून्य गुणक से भिन्न कोण, समतुल्य नहीं होते हैं।

कुछ संदर्भों में, जैसे किसी वृत्त पर एक बिंदु की पहचान करना या किसी संदर्भ अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) के सापेक्ष दो विमाओ में किसी वस्तु के अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) का वर्णन करना, पूर्ण मोड़ (टर्न) के निश्चित गुणक से भिन्न कोण प्रभावी रूप से समतुल्य होते हैं। अन्य संदर्भों में, जैसे कि एक कुंडलित वक्र पर एक बिंदु की पहचान करना या किसी संदर्भ अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) के सापेक्ष दो विमाओ में किसी वस्तु के संचयी घूर्णन का वर्णन करना, एक पूर्ण मोड़ (टर्न) के अशून्य गुणक से भिन्न कोण समतुल्य नहीं होते हैं।

[[File:Angle measure.svg|right|thumb|<nowiki>आर}} रेडियन}}।</nowiki>]]

कोण <var>θ</var> को मापने के लिए, कोण के शीर्ष को केंद्र मानकर एक वृत्ताकार चाप खींचा जाता है, उदाहरण के लिए परकार (कंपास) के एक जोड़े के साथ। चाप की लंबाई एस (<var>s)</var> का वृत्त की त्रिज्या आर (<var>r)</var> से अनुपात, कोण में रेडियन की संख्या है। परंपरागत रूप से, गणित और एसआई (SI) में, रेडियन को विमाहीन मान 1 के बराबर माना जाता है।

कोण को एक और कोणीय इकाई से व्यक्त किया गया अतः कोण को {{sfrac|''k''|2{{math|π}}}} के रूप के उपयुक्त रूपांतरण स्थिरांक से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है, जहाँ k चुनी हुई इकाई में व्यक्त एक पूर्ण मोड़ का माप है (उदाहरण के लिए, {{nowrap|1= ''k'' = 360°}} के लिए डिग्री या 400 ग्रेड के लिए ग्रेडियन)।

कोण को एक और कोणीय इकाई से व्यक्त किया गया है, अतः कोण को {{sfrac|''k''|2{{math|π}}}} के रूप के उपयुक्त रूपांतरण स्थिरांक से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है, जहाँ k चुनी हुई इकाई में व्यक्त एक पूर्ण मोड़ (टर्न) का माप है (उदाहरण के लिए, {{nowrap|1= ''k'' = 360°}} के लिए डिग्री या 400 ग्रेड के लिए ग्रेडियन)।

:<math> \theta = \frac{k}{2\pi} \cdot \frac{s}{r}. </math>

Line 179:

Line 172:

:<math> m\angle \mathrm{AOC} = m\angle \mathrm{AOB} + m\angle \mathrm{BOC} </math>

कोण एओसी (∠AOC) कि माप कोण ~~AOB~~ के माप और कोण ~~एओबी~~ (∠BOC) के माप का योग होता है।

कोण एओसी (∠AOC) कि माप कोण एओबी (∠AOB) के माप और कोण बीओसी (∠BOC) के माप का योग होता है।

=== इकाइयां ===

[[Image:Angle radian.svg|right|thumb|1 रेडियन की परिभाषा]]

पूरे इतिहास में, कोणों को विभिन्न इकाइयों में मापा गया है। इन्हें '''कोणीय इकाइयों''' के रूप में जाना जाता है, जिनमें सबसे आधुनिक इकाइयाँ डिग्री (°), रेडियन (रेड), और ग्रेडियन (ग्रेड) ~~हैं,~~ इत्यादि ~~का उपयोग इतिहास में किया गया है।~~<ref>{{Cite web|title=angular unit|url=https://www.thefreedictionary.com/angular+unit|access-date=2020-08-31|website=TheFreeDictionary.com}}</ref>

पूरे इतिहास में, कोणों को विभिन्न इकाइयों में मापा गया है। इन्हें '''कोणीय इकाइयों''' के रूप में जाना जाता है, जिनमें सबसे आधुनिक इकाइयाँ डिग्री (°), रेडियन (रेड), और ग्रेडियन (ग्रेड) इत्यादि हैं।<ref>{{Cite web|title=angular unit|url=https://www.thefreedictionary.com/angular+unit|access-date=2020-08-31|website=TheFreeDictionary.com}}</ref>

मात्राओं की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली में, कोण को एक विमाहीन राशि के रूप में परिभाषित है। यह प्रभावित करता है कि विमीय विश्लेषण में कोण कैसा व्यवहार करता ~~है।।~~

मात्राओं की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली में, कोण एक विमाहीन राशि के रूप में परिभाषित है। यह प्रभावित करता है कि विमीय विश्लेषण में कोण कैसा व्यवहार करता है।

कोणीय माप की अधिकांश इकाइयाँ इस प्रकार परिभाषित हैं कि किसी पूर्ण संख्या एन (n) के लिए एक मोड़ (अर्थात एक पूर्ण वृत्त) एन (n) इकाइयों के बराबर होता है। रेडियन (और इसके दशमलव उपगुणक) और व्यास दो अपवाद हैं।

कोणीय माप की अधिकांश इकाइयाँ इस प्रकार परिभाषित हैं कि किसी पूर्ण संख्या एन (n) के लिए एक मोड़ (टर्न) (अर्थात एक पूर्ण वृत्त) एन (n) इकाइयों के बराबर होता है। रेडियन (और इसके दशमलव उपगुणक) और व्यास दो अपवाद हैं।

एक रेडियन एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण होता है जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के समान होती है। रेडियन एसआई (SI) प्रणाली में कोणीय माप की व्युत्पन्न इकाई है। ~~परिभाषा के अनुसार, यह विमाहीन है,~~ हालांकि अस्पष्टता से बचने के लिए इसे रेड (rad) के रूप में दर्शाया जा सकता है। डिग्री में मापे गए कोणों को (°) के प्रतीक से दिखाया जाता है। डिग्री के उपखंड मिनट हैं (1 मिनट (′) = 1/60° (डिग्री)) और दूसरा (1 सेकंड (") = 1/3600° (डिग्री))। 360° का कोण एक पूर्ण वृत्त द्वारा अंतरित कोण के सामान होता है, और {{math|2''π''}} रेडियन, या 400 ग्रेडियन के बराबर होता है।

एक रेडियन एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण होता है जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के समान होती है। रेडियन एसआई (SI) प्रणाली में कोणीय माप की व्युत्पन्न इकाई है। हालांकि अस्पष्टता से बचने के लिए इसे रेड (rad) के रूप में दर्शाया जा सकता है। डिग्री में मापे गए कोणों को (°) प्रतीक से दिखाया जाता है। डिग्री के उपखंड मिनट हैं (1 मिनट (′) = 1/60° (डिग्री)) और दूसरा (1 सेकंड (") = 1/3600° (डिग्री)) है। 360° (डिग्री) का कोण एक पूर्ण वृत्त द्वारा अंतरित कोण के सामान होता है, {{math|2''π''}} रेडियन, या 400 ग्रेडियन के बराबर होता है।

कोणों को निरूपित करने के लिए प्रयुक्त अन्य इकाइयाँ निम्नलिखित तालिका में सूचीबद्ध हैं। इन इकाइयों को इस तरह परिभाषित किया गया है कि मोड़ (टर्न्स) की संख्या एक पूर्ण घूर्णन के बराबर है।

Line 195:

Line 188:

{|class = "wikitable"

!नाम !!एक

टर्न में

मोड़ (टर्न) में

संख्या

!डिग्री में !!विवरण

|-

|[[turn (geometry)|टर्न]]||1||360° || मोड़ (टर्न), चक्र, परिक्रमण और घूर्णन, पूर्ण वृत्तीय गति या माप (उसी बिंदु पर लौटने के लिए) है। अनुप्रयोग के आधार पर एक मोड़ संक्षिप्त रूप से

|[[turn (geometry)|मोड़ (टर्न)]]||1||360° || मोड़ (टर्न), चक्र, परिक्रमण और घूर्णन, पूर्ण वृत्तीय गति या माप (उसी बिंदु पर लौटने के लिए) है। अनुप्रयोग के आधार पर एक मोड़ (टर्न) संक्षिप्त रूप से सीवाईसी (cyc),आरइवी (rev), या आरओटी (rot) है। एक मोड़ 2π रेडियन या 360° (डिग्री) के बराबर होता है।

सीवाईसी (cyc),आरइवी (rev), या आरओटी (rot) है। एक मोड़ ~~2π रेडियन या 360° (डिग्री) के बराबर होता है।एक मोड़ (टर्न)~~ 2π रेडियन या 360° (डिग्री) के बराबर होता है।

|-

|{{pi}} के गुणज ||2||180° || ''{{pi}}'' रेडियन (MUL{{pi}}) इकाई के गुणकों को [[Reverse Polish Notation|आरपीएन]] वैज्ञानिक कैलकुलेटर में लागू किया जाता है [[WP 43S|WP 43S।]]<ref name="Bonin_2016"/><ref name="Bonin_2019_OG"/><ref name="Bonin_2019_RG"/> यह भी देखें [[IEEE 754 recommended operations]]

|{{pi}} के गुणज ||2||180° || ''{{pi}}'' रेडियन एमयूएल''{{pi}}'' (MUL{{pi}}) इकाई के गुणकों को [[Reverse Polish Notation|आरपीएन]] वैज्ञानिक कैलकुलेटर में लागू किया जाता है। [[WP 43S|WP 43S।]]<ref name="Bonin_2016"/><ref name="Bonin_2019_OG"/><ref name="Bonin_2019_RG"/> यह भी देखें [[IEEE 754 recommended operations|IEEE 754 अनुशंसित संचालन]]

|-

|[[circular sector|चतुर्थाँश]]||4||90°||एक चतुर्थांश एक 1/4 मोड़ (टर्न) है और ~~इसे~~ ''[[right angle|समकोण]]'' भी कहते है। चतुर्थांश [[Euclid's Elements|यूक्लिड के तत्वों]] में प्रयुक्त इकाई है। एक चतुर्थांश को दर्शाने के लिए प्रतीक ∟ का उपयोग किया गया है। 1 क्वाड = 90° = {{sfrac|{{pi}}|2}} रेड (rad) = {{sfrac|4}} टर्न = 100 ग्रेड (grad)।

|[[circular sector|चतुर्थाँश]]||4||90°||एक चतुर्थांश एक 1/4 मोड़ (टर्न) और ''[[right angle|समकोण]]'' भी कहते है। चतुर्थांश [[Euclid's Elements|यूक्लिड के तत्वों]] में प्रयुक्त इकाई है। एक चतुर्थांश को दर्शाने के लिए प्रतीक ∟ का उपयोग किया गया है। 1 क्वाड = 90° = {{sfrac|{{pi}}|2}} रेड (rad) = {{sfrac|4}} टर्न = 100 ग्रेड (grad)।

|-

|[[circular sector|सेक्सटैंट]]||6||60°||सेक्स्टेंट [[Babylonians|बेबीलोनियों]] द्वारा उपयोग की जाने वाली इकाई थी, डिग्री, चाप का मिनट और चाप का सेकंड बेबीलोनियाई इकाई के [[sexagesimal|षाष्टिक (सेक्सेजिमल)]] उपइकाई हैं।,<ref name="Jeans_1947"/><ref name="Murnaghan_1946"/> यह विशेष रूप से पटरी और परकार से बनाना आसान है। यह ''[[equilateral triangle|समबाहु त्रिभुज]]'' का कोण है या 1/6 मोड़ (टर्न) है। 1 बेबीलोनियाई इकाई = 60° = {{pi}}/3 रेड ≈ 1.047197551 रेड

|[[circular sector|सेक्सटैंट]]||6||60°||सेक्स्टेंट [[Babylonians|बेबीलोनियों]] द्वारा उपयोग की जाने वाली इकाई थी, डिग्री, चाप का मिनट और चाप का सेकंड बेबीलोनियाई इकाई कि [[sexagesimal|षाष्टिक (सेक्सेजिमल)]] उपइकाई हैं।<ref name="Jeans_1947"/><ref name="Murnaghan_1946"/> यह विशेष रूप से पटरी और परकार से बनाना आसान है। यह ''[[equilateral triangle|समबाहु त्रिभुज]]'' का कोण या 1/6 मोड़ (टर्न) होता है। 1 बेबीलोनियाई इकाई = 60° = {{pi}}/3 रेड ≈ 1.047197551 रेड

|-

|[[Radian|रेडियन]]||{{math|2''π''}}||57°17′||रेडियन एक वृत्त की परिधि से निर्धारित होता है जो वृत्त की त्रिज्या के बराबर लंबाई (n = 2π = 6.283...) का होता है। यह एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण होता है, जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के समान होती है। रेडियन का प्रतीक रेड (rad) है। एक मोड़ (टर्न) 2{{math|π}} रेडियन होता है, और एक रेडियन {{sfrac|180°|{{pi}}}} या लगभग 57.~~2958~~ डिग्री होता है। गणितीय ग्रंथों में, कोणों को अक्सर एक रेडियन ~~के साथ~~ विमाहीन माना जाता है, जिसके परिणामस्वरूप इकाई रेड (rad) को अक्सर छोड़ दिया जाता ~~है।रेडियन~~ का उपयोग लगभग सभी गणितीय कार्यों में किया जाता है, सरल प्रयोगिक ज्यामिति से परे, उदाहरण के लिए, मनभावन और "प्राकृतिक" गुणों के कारण जो [[trigonometric function|त्रिकोणमितीय फलन]] प्रदर्शित करते हैं जब उनके तर्क रेडियन में होते ~~हैं।रेडियन~~ [[SI|एसआई]] (SI) में कोणीय माप की (व्युत्पन्न) इकाई है, जो कोण को

|[[Radian|रेडियन]]||{{math|2''π''}}||57°17′||रेडियन एक वृत्त की परिधि से निर्धारित होता है जो वृत्त की त्रिज्या के बराबर लंबाई (n = 2π = 6.283...) का होता है। यह एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण होता है, जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के समान होती है। रेडियन का प्रतीक रेड (rad) है। एक मोड़ (टर्न) 2{{math|π}} रेडियन होता है, और एक रेडियन {{sfrac|180°|{{pi}}}} या लगभग 57.2958° (डिग्री) होता है। गणितीय ग्रंथों में, कोणों को अक्सर एक रेडियन को विमाहीन माना जाता है, जिसके परिणामस्वर

Anonymous

Search

कोण: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

@@ Line 1: / Line 1: @@
-[[File:Two rays and one vertex.png|thumb|right|एक शीर्ष से निकलने वाली दो किरणों द्वारा निर्मित कोण।]]
+[[File:Two rays and one vertex.png|thumb|right|एक शीर्ष से निकलने वाली दो किरणों द्वारा निर्मित कोण.]]
-[[ यूक्लिडियन ज्यामिति |यूक्लिडियन ज्यामिति]] में, एक कोण दो रेखाओं द्वारा बनाई गई आकृति है, जो एक ही बिंदु पर मिलती है, जिसे कोण का शीर्ष कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Sidorov|2001|ignore-err=yes}}</ref> दोनों रेखाएं तथा इनसे बनने वाले कोण एक ही तल में होते हैं। दो तलों के प्रतिच्छेदन से तथा दो वक्रो के प्रतिच्छेदन से भी एक कोण बनता हैं, जिन्हे द्वितल (डायहेड्रल) तथा वक्रीय कोण कहा जाता है। जो कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर संबंधित वक्रों की स्पर्शरेखा वाली रेखाओं का कोण होता है।
+[https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_geometry|'''यूक्लिडियन ज्यामिति'''] में, एक कोण दो रेखाओं द्वारा बनाई गई आकृति है, जो एक ही बिंदु पर मिलती है, जिसे कोण का [[शीर्ष (ज्यामिति)|शीर्ष (वर्टेक्स ज्योमेट्)]]  कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Sidorov|2001|ignore-err=yes}}</ref> दोनों रेखाएं तथा इनसे बनने वाले कोण एक ही तल में होते हैं। दो तलों के प्रतिच्छेदन से तथा दो वक्रो के प्रतिच्छेदन से भी एक कोण बनता हैं, जिन्हे द्वितल (डायहेड्रल) तथा वक्रीय कोण कहा जाता है। जो कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर संबंधित वक्रों की [[स्पर्शरेखा]] वाली रेखाओं का कोण होता है।
-कोण का उपयोग कोण या घूर्णन के माप को देखने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक वृत्ताकार चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और रेखाओं द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन कि स्थिति में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है तथा किसी अन्य बिंदु से तथा घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है।
+कोण का उपयोग कोण या [[घूर्णन]] के माप को देखने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक [https://en.wikipedia.org/wiki/Curve#Differentiable_arc|'''वृत्ताकार चाप'''] की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और रेखाओं द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन कि स्थिति में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है तथा किसी अन्य बिंदु से तथा घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है।
 ==इतिहास और व्युत्पत्ति ==
 कोण शब्द लैटिन शब्द एंगुलस से आया है, जिसका अर्थ "कोना" है।<ref>{{harvnb|Slocum|2007}}</ref>
-यूक्लिड एक समतल कोण को, उस तल में, जहां दो तिरछी रेखाएँ, एक दूसरे से मिलती हैं, एक दूसरे के झुकाव के रूप में परिभाषित किया जाता है। '<nowiki/>'''प्रोक्लस'''<nowiki/>' के अनुसार, कोण या तो गुणवत्ता या मात्रा, या संबंध होना चाहिए। पहली अवधारणा का उपयोग ''''यूडेमस'''<nowiki/>' द्वारा किया गया था, जो एक कोण को एक सीधी रेखा से विचलन के रूप में मानते थे, दूसरी ''''अन्ताकिया के कार्पस'''<nowiki/>' द्वारा, जिसने इसे प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का अंतराल या स्थान माना था तथा यूक्लिड ने तीसरी अवधारणा को अपनाया।<ref>{{harvnb|Chisholm|1911}}; {{harvnb|Heiberg|1908|pp=177–178}}</ref>
+यूक्लिड एक समतल कोण को, उस तल में, जहां दो तिरछी रेखाएँ, एक दूसरे से मिलती हैं, एक दूसरे के झुकाव के रूप में इसको परिभाषित किया जाता है। '<nowiki/>'''प्रोक्लस'''<nowiki/>' के अनुसार, कोण या तो गुणवत्ता या मात्रा, या संबंध होना चाहिए। पहली अवधारणा का उपयोग ''''यूडेमस'''<nowiki/>' द्वारा किया गया था, जो एक कोण को एक [[:en:Line_(geometry)|'''सीधी रेखा''']] से विचलन के रूप में मानते थे, दूसरी ''''अन्ताकिया के कार्पस'''<nowiki/>' द्वारा, जिसने इसे प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का अंतराल या स्थान माना था तथा यूक्लिड ने तीसरी अवधारणा को अपनाया।<ref>{{harvnb|Chisholm|1911}}; {{harvnb|Heiberg|1908|pp=177–178}}</ref>
 == कोणों की पहचान ==
 गणितीय व्यंजको में, ग्रीक अक्षरों (<var>α</var>, <var>β</var>, <var>γ</var>, <var>θ</var>, <var >φ</var>, . . . ) किसी कोण के आकार को दर्शाने वाले चर के रूप (इसके अन्य अर्थ के साथ अस्पष्टता से बचने के लिए, प्रतीक {{math|[[Pi|π]]}} प्रायः पर इस उद्देश्य के लिए उपयोग नहीं किया जाता है) मे उपयोग करना सामान्य है। छोटे रोमन अक्षरों (a, b, c, . . . ) का भी उपयोग किया जाता है। ऐसे परिस्थिति में जहां यह अस्पष्ट नहीं है, एक कोण को बड़े रोमन अक्षर द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो इसके शीर्ष को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस आलेख में आंकड़े देखें।
@@ Line 33: / Line 33: @@
 {{Multiple image
-|align=right
+| align             = right
-|direction=horizontal
+| direction         = horizontal
-|image1=Right angle.svg
+| image1            = Right angle.svg
-|width1=111
+| width1            = 80
-|caption1=[[Right angle]]
+| caption1          = [[समकोण]]
+| image2            = Angle obtuse acute straight.svg
-|image2=Angle obtuse acute straight.svg
+| width2            = 160
-|width2=200
+| caption2          = न्यून  (<var>a</var>), अधिक (<var>b</var>), और सीधा (<var>c</var>) angles. न्यून और अधिक कोणों को तिरछा कोण भी कहा जाता है.
-|caption2=Acute (<var>a</var>), obtuse (<var>b</var>), and straight (<var>c</var>) angles. The acute and obtuse angles are also known as oblique angles.
+| image3            = Reflex angle.svg
+| width3            = 60
-|image3=Reflex angle.svg
+| caption3          = वृहत्तकोण
-|width3=81
-|caption3=Reflex angle
 }}
@@ Line 80: / Line 78: @@
 |style = "background:#f2f2f2; text-align:center;" | [[Degree (angle)|डिग्री]]
 |style = "width:3em;" | 0°
-|style = "width:3em;" | (0,&nbsp;90)°
+|style = "width:3em;" | (0, 90)°
 |style = "width:3em;" | 90°
-|style = "width:3em;" | (90,&nbsp;180)°
+|style = "width:3em;" | (90,180)°
 |style = "width:3em;" | 180°
-|style = "width:3em;" | (180,&nbsp;360)°
+|style = "width:3em;" | (180, 360)°
 |style = "width:3em;" | 360°
 |-
 |style = "background:#f2f2f2; text-align:center;" | [[Gradian|गोन]]
 |style = "width:3em;" | 0<sup>g</sup>
-|style = "width:3em;" | (0,&nbsp;100)<sup>g</sup>
+|style = "width:3em;" | (0,100)<sup>g</sup>
 |style = "width:3em;" | 100<sup>g</sup>
-|style = "width:3em;" | (100,&nbsp;200)<sup>g</sup>
+|style = "width:3em;" | (100, 200)<sup>g</sup>
 |style = "width:3em;" | 200<sup>g</sup>
-|style = "width:3em;" | (200,&nbsp;400)<sup>g</sup>
+|style = "width:3em;" | (200, 400)<sup>g</sup>
 |style = "width:3em;" | 400<sup>g</sup>
 |-
@@ Line 106: / Line 104: @@
 [[File:Vertical Angles.svg|thumb|150px|right|कोण समानता दिखाने के लिए यहां हैच के निशान का उपयोग किया जाता है।]]
 जब दो सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेदन से चार कोण बनते हैं। जोड़ी में इन कोणों को एक दूसरे के सापेक्ष उनके स्थान के अनुसार नाम दिए गए है।
-* दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से बनी X-समान आकृति मे एक दूसरे विपरीत मुख के बने एक कोण युग्म को उर्ध्वाधर कोण या सम्मुख कोण या लंबवत सम्मुख कोण कहते हैं। उन्हें vert. opp. ∠s के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.<ref name="tb">{{harvnb|Wong|Wong|2009|pp=161–163}}</ref>  उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के ''''यूडेमस'''<nowiki/>' ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।<ref>{{cite book|author=Euclid|author-link=Euclid|title=The Elements|title-link=Euclid's Elements}} प्रस्ताव I:13.</ref>{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के समपूरक हैं, लंबवत कोण माप में बराबर होते हैं। एक ऐतिहासिक टिप्पणी के अनुसार,{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} जब '<nowiki/>'''थेल्स'<nowiki/>''' ने देखा कि जब मिस्रवासी दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ खींचते हैं, तो वे यह सुनिश्चित करने के लिए लंबवत कोणों को मापते हैं, कि वे समान हैं। '<nowiki/>'''थेल्स'''' ने निष्कर्ष निकाला कि कोई यह साबित कर सकता है, कि सभी लंबवत कोण समान होते हैं, यदि कोई कुछ सामान्य धारणाओं को स्वीकार करता है, जैसे
+* दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से बनी X-समान आकृति मे एक दूसरे विपरीत मुख के बने एक कोण युग्म को उर्ध्वाधर कोण या सम्मुख कोण या लंबवत सम्मुख कोण कहते हैं। उन्हें vert. opp. ∠s के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.<ref name="tb">{{harvnb|Wong|Wong|2009|pp=161–163}}</ref>  उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के ''''यूडेमस'''<nowiki/>' ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।<ref>{{cite book|author=Euclid|author-link=Euclid|title=The Elements|title-link=Euclid's Elements}} प्रस्ताव I:13.</ref>{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के समपूरक हैं, लंबवत कोण माप में बराबर होते हैं। एक ऐतिहासिक टिप्पणी के अनुसार,{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} जब ''''थेल्स'''' ने देखा कि जब मिस्रवासी दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ खींचते हैं, तो वे यह सुनिश्चित करने के लिए लंबवत कोणों को मापते हैं, कि वे समान हैं। ''''थेल्स'''' ने निष्कर्ष निकाला कि कोई यह साबित कर सकता है, कि सभी लंबवत कोण समान होते हैं, यदि कोई कुछ सामान्य धारणाओं को स्वीकार करता है, जैसे
 :* सभी समकोण समान होते हैं।
 :* बराबर में जोड़े गए बराबर बराबर होते हैं।
@@ Line 132: / Line 130: @@
 :(एक कोण की स्पर्श रेखा उसके पूरक के सह-स्पर्शरेखा के बराबर होती है और उसका छेदक उसके पूरक के सह-छेदक के बराबर होती है।)
 :कुछ त्रिकोणमितीय अनुपातों के नामों में उपसर्ग "सह" समपूरक शब्द को संदर्भित करता है।
-[[File:Angle obtuse acute straight.svg|thumb|right|300px|कोण <var>a</var> और <var>b</var> संपूरक कोण हैं।]]
 * दो कोण जो एक ऋजु कोण का योग करते हैं ({{sfrac|2}} मोड़ (टर्न), 180° (डिग्री), या {{math|π}} रेडियन) समपूरक कोण कहलाते हैं।<ref>{{Cite web|title=Supplementary Angles|url=https://www.mathsisfun.com/geometry/supplementary-angles.html|access-date=2020-08-17|website=www.mathsisfun.com}}</ref> यदि दो समपूरक कोण आसन्न हैं (अर्थात एक उभयनिष्ठ शीर्ष है), तो उनकी वह भुजाएँ जो उभयनिष्ठ नहीं होती, एक सीधी रेखा बनाती हैं। ऐसे कोणों को कोणों का रैखिक युग्म कहा जाता है।{{sfn|Jacobs|1974|p=97}} हालांकि, समपूरक कोणों का एक ही रेखा पर होना जरूरी नहीं है। उदाहरण के लिए, समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण तथा [[ चक्रीय चतुर्भुज |चक्रीय चतुर्भुज]] (जिसके शीर्ष सभी एक ही वृत्त पर पड़ते हैं) के सम्मुख कोण समपूरक होते हैं।
 :यदि एक बिंदु पी (P) केंद्र ओ (O) वाले वृत्त के बाहर है, और यदि पी (P) से स्पर्श रेखाएँ वृत्त को बिंदु टी (T) और क्यू (Q) पर स्पर्श करती हैं, तो ∠टीपीक्यू (∠TPQ) और ∠टीओक्यू (∠TOQ) पूरक हैं।
@@ Line 138: / Line 136: @@
 :यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज के दो कोणों का योग तीसरे का समपूरक होता है, क्योंकि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग एक ऋजु कोण होता है।
-[[File:Reflex angle.svg|thumb|right|150px|दो पूरक कोणों का योग एक पूर्ण कोण होता है।]]
 * दो कोण जिनका योग एक पूर्ण कोण (1 मोड़ (टर्न), 360° (डिग्री), या 2{{math|π}} रेडियन) होता है, समपूरक कोण या संयुग्म कोण कहलाते हैं।  एक कोण और एक पूर्ण कोण के बीच के अंतर को कोण का योग या कोण का संयुग्मी कहा जाता है।
 ===बहुभुज-संबंधित कोण===
-[[File:ExternalAngles.svg|thumb|300px|right|आंतरिक और बाहरी कोण।]]
 * एक [[ साधारण बहुभुज |साधारण बहुभुज]] के अंदर का कोण एक आंतरिक कोण कहलाता है। एक साधारण [[ अवतल बहुभुज |अवतल बहुभुज]] में कम से कम एक आंतरिक कोण होता है जो एक प्रतिवर्त कोण होता है।
 *: यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज के आंतरिक कोणों के मापों का योग {{math|π}} रेडियन, 180° (डिग्री) या {{sfrac|2}} मोड़ (टर्न) तक होता है। एक साधारण उत्तल चतुर्भुज के आंतरिक कोणों के मापों योग 2{{math|π}} रेडियन, 360° (डिग्री) या 1 मोड़ (टर्न) तक होता हैं। सामान्यतः, n भुजाओं वाले एक साधारण [[ उत्तल बहुभुज |उत्तल बहुभुज]] के आंतरिक कोणों के मापों का योग (n − 2) {{math|π}} रेडियन, (n − 2)180° (डिग्री), (n − 2)2 समकोण, या (n − 2){{sfrac|1|2}} मोड़ (टर्न) होता है।
 * एक आंतरिक कोण के पूरक को एक बाह्य कोण कहा जाता है, अर्थात एक आंतरिक कोण और एक बाह्य कोण, कोणों का एक रैखिक युग्म बनाते हैं। बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष पर दो बाहरी कोण होते हैं, प्रत्येक को शीर्ष पर मिलने वाली दो रेखाओ में से एक को विस्तारित करके प्राप्त करते है, ये दो कोण लंबवत तथा बराबर हैं। एक बाह्य कोण बहुभुज का पता लगाने के लिए एक शीर्ष पर घूर्णन की मात्रा को मापता है।{{sfn|Henderson|Taimina|2005|p=104}} यदि संगत आंतरिक कोण एक प्रतिवर्त कोण है, तो बाह्य कोण को ऋणात्मक माना जाना चाहिए। यहां तक कि एक आसाधारण बहुभुज में भी बाह्य कोण को परिभाषित करना संभव हो सकता है, लेकिन बाह्य कोण माप के चिन्ह को तय करने के लिए किसी को समतल (या सतह) का एक अभिविन्यास चुनना होगा।
-*: यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक साधारण उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों का योग, यदि प्रत्येक शीर्ष पर दो बाह्य कोणों में से केवल एक माना जाता है, तो एक पूर्ण मोड़ (360°) होगा। यहाँ बाह्य कोण को पूरक बाह्य कोण कहा जा सकता है। नियमित बहुभुज बनाते समय बाह्य कोणों का उपयोग प्रायः लोगो टर्टल कार्यक्रमों में किया जाता है।
+*: यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक साधारण उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों का योग, यदि प्रत्येक शीर्ष पर दो बाह्य कोणों में से केवल एक माना जाए तो एक पूर्ण मोड़ (टर्न) 360°(डिग्री) होगा। यहाँ बाह्य कोण को पूरक बाह्य कोण कहा जा सकता है। नियमित बहुभुज बनाते समय बाह्य कोणों का उपयोग प्रायः लोगो टर्टल कार्यक्रमों में किया जाता है।
 * एक त्रिभुज में, दो बाह्य कोणों के समद्विभाजक और दूसरे आंतरिक कोण के समद्विभाजक समवर्ती होते हैं (एक बिंदु पर मिलते हैं)।<ref name=Johnson>जॉनसन, रोजर ए. एडवांस्ड यूक्लिडियन ज्योमेट्री, डोवर पब्लिकेशन्स, 2007.</ref>
 * एक त्रिभुज में, तीन प्रतिच्छेदन बिंदु, प्रत्येक बाह्य कोण का समद्विभाजक, जिसकी विपरीत विस्तारित भुजा होती है, संरेख होते हैं।<ref name=Johnson/>
-* एक त्रिभुज में, तीन प्रतिच्छेदन बिंदु, उनमें से दो एक आंतरिक कोण समद्विभाजक और विपरीत भुजा के बीच, और तीसरा बाह्य कोण समद्विभाजक और विपरीत विस्तारित भुजा के बीच, संरेख हैं।<ref name=Johnson/>
+* एक त्रिभुज में, तीन प्रतिच्छेदन बिंदु, उनमें से दो एक आंतरिक कोण समद्विभाजक और विपरीत विस्तारित भुजा, और तीसरा बाह्य कोण समद्विभाजक और विपरीत विस्तारित भुजा के बीच, संरेख हैं।<ref name=Johnson/>
 * कुछ लेखक साधारण बहुभुज के बाह्य कोण के नाम का उपयोग केवल आंतरिक कोण के बाह्य कोण (पूरक नहीं!) लागू करने के लिए करते हैं।<ref>{{citation|editor=D. Zwillinger|title=CRC Standard Mathematical Tables and Formulae|place=Boca Raton, FL|publisher=CRC Press|year=1995|page= 270}} जैसा कि में उद्धृत किया गया है {{MathWorld |urlname=ExteriorAngle |title=Exterior Angle}}</ref> यह उपरोक्त उपयोग के साथ विरोध करता है।
@@ Line 154: / Line 151: @@
 * दो तलों के बीच के कोण (जैसे एक बहुफलक के दो आसन्न फलक) को द्विफलकीय कोण कहा जाता है।<ref name="Chisholm 1911" /> यह समतल से लम्बवत दो रेखाओं के बीच न्यून कोण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
-* एक समतल और एक प्रतिच्छेदी सीधी रेखा के बीच का कोण प्रतिच्छेदन रेखा और प्रतिच्छेदन बिंदु से जाने वाली रेखा के बीच के कोण को घटाकर नब्बे (90) डिग्री के बराबर होता है और समतल के अभिलंबवत होता है।
+* एक समतल और एक प्रतिच्छेदी सीधी रेखा के बीच का कोण प्रतिच्छेदन रेखा और प्रतिच्छेदन बिंदु से जाने वाली रेखा के बीच के कोण को घटाकर नब्बे डिग्री (90°) के बराबर होता है तथा समतल के अभिलंबवत होता है।
 '''<big>मापने के कोण</big>'''
-एक ज्यामितीय कोण का आकार सामान्यतः सबसे छोटे घूर्णन के परिमाण की विशेषता होती है, जो एक किरण को दूसरे में मैप करता है। समान आकार वाले कोणों को समान या सर्वांगसम या माप में बराबर कहा जाता है।
+एक ज्यामितीय कोण का आकार सामान्यतः सबसे छोटे घूर्णन के परिमाण की विशेषता होती है, जो एक रेखा को दूसरे में मैप करता है। समान आकार वाले कोणों को समान या सर्वांगसम कहा जाता है।
-कुछ संदर्भों में, जैसे किसी वृत्त पर एक बिंदु की पहचान करना या किसी संदर्भ अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) के सापेक्ष दो विमाओ में किसी वस्तु के अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) का वर्णन करना, पूर्ण मोड़ के निश्चित गुणक से भिन्न कोण, प्रभावी रूप से समतुल्य होते हैं। अन्य संदर्भों में, जैसे कि एक कुंडलित वक्र पर एक बिंदु की पहचान करना या किसी संदर्भ अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) के सापेक्ष दो विमाओ में किसी वस्तु के संचयी घूर्णन का वर्णन करना, एक पूर्ण मोड़ के अशून्य गुणक से भिन्न कोण, समतुल्य नहीं होते हैं।
+कुछ संदर्भों में, जैसे किसी वृत्त पर एक बिंदु की पहचान करना या किसी संदर्भ अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) के सापेक्ष दो विमाओ में किसी वस्तु के अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) का वर्णन करना, पूर्ण मोड़ (टर्न) के निश्चित गुणक से भिन्न कोण प्रभावी रूप से समतुल्य होते हैं। अन्य संदर्भों में, जैसे कि एक कुंडलित वक्र पर एक बिंदु की पहचान करना या किसी संदर्भ अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) के सापेक्ष दो विमाओ में किसी वस्तु के संचयी घूर्णन का वर्णन करना, एक पूर्ण मोड़ (टर्न) के अशून्य गुणक से भिन्न कोण समतुल्य नहीं होते हैं।
 [[File:Angle measure.svg|right|thumb|<nowiki>आर}} रेडियन}}।</nowiki>]]
 कोण <var>θ</var> को मापने के लिए, कोण के शीर्ष को केंद्र मानकर एक वृत्ताकार चाप खींचा जाता है, उदाहरण के लिए परकार (कंपास) के एक जोड़े के साथ। चाप की लंबाई एस (<var>s)</var> का वृत्त की त्रिज्या आर (<var>r)</var> से अनुपात, कोण में रेडियन की संख्या है। परंपरागत रूप से, गणित और एसआई (SI) में, रेडियन को विमाहीन मान 1 के बराबर माना जाता है।
-कोण को एक और कोणीय इकाई से व्यक्त किया गया अतः कोण को {{sfrac|''k''|2{{math|π}}}} के रूप के उपयुक्त रूपांतरण स्थिरांक से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है, जहाँ k चुनी हुई इकाई में व्यक्त एक पूर्ण मोड़ का माप है (उदाहरण के लिए, {{nowrap|1= ''k'' = 360°}} के लिए डिग्री या 400 ग्रेड के लिए ग्रेडियन)।
+कोण को एक और कोणीय इकाई से व्यक्त किया गया है, अतः कोण को {{sfrac|''k''|2{{math|π}}}} के रूप के उपयुक्त रूपांतरण स्थिरांक से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है, जहाँ k चुनी हुई इकाई में व्यक्त एक पूर्ण मोड़ (टर्न) का माप है (उदाहरण के लिए, {{nowrap|1= ''k'' = 360°}} के लिए डिग्री या 400 ग्रेड के लिए ग्रेडियन)।
 :<math> \theta = \frac{k}{2\pi} \cdot \frac{s}{r}. </math>
@@ Line 179: / Line 172: @@
 :<math> m\angle \mathrm{AOC} = m\angle \mathrm{AOB} + m\angle \mathrm{BOC} </math>
-कोण एओसी (∠AOC) कि माप कोण AOB के माप और कोण एओबी (∠BOC) के माप का योग होता है।
+कोण एओसी (∠AOC) कि माप कोण एओबी (∠AOB) के माप और कोण बीओसी (∠BOC) के माप का योग होता है।
 === इकाइयां ===
 [[Image:Angle radian.svg|right|thumb|1 रेडियन की परिभाषा]]
-पूरे इतिहास में, कोणों को विभिन्न इकाइयों में मापा गया है। इन्हें '''कोणीय इकाइयों''' के रूप में जाना जाता है, जिनमें सबसे आधुनिक इकाइयाँ डिग्री (°), रेडियन (रेड), और ग्रेडियन (ग्रेड) हैं, इत्यादि का उपयोग इतिहास में किया गया है।<ref>{{Cite web|title=angular unit|url=https://www.thefreedictionary.com/angular+unit|access-date=2020-08-31|website=TheFreeDictionary.com}}</ref>
+पूरे इतिहास में, कोणों को विभिन्न इकाइयों में मापा गया है। इन्हें '''कोणीय इकाइयों''' के रूप में जाना जाता है, जिनमें सबसे आधुनिक इकाइयाँ डिग्री (°), रेडियन (रेड), और ग्रेडियन (ग्रेड) इत्यादि हैं।<ref>{{Cite web|title=angular unit|url=https://www.thefreedictionary.com/angular+unit|access-date=2020-08-31|website=TheFreeDictionary.com}}</ref>
-मात्राओं की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली में, कोण को एक विमाहीन राशि के रूप में परिभाषित है। यह प्रभावित करता है कि विमीय विश्लेषण में कोण कैसा व्यवहार करता है।।
+मात्राओं की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली में, कोण एक विमाहीन राशि के रूप में परिभाषित है। यह प्रभावित करता है कि विमीय विश्लेषण में कोण कैसा व्यवहार करता है।
-कोणीय माप की अधिकांश इकाइयाँ इस प्रकार परिभाषित हैं कि किसी पूर्ण संख्या एन (n) के लिए एक मोड़ (अर्थात एक पूर्ण वृत्त) एन (n) इकाइयों के बराबर होता है। रेडियन (और इसके दशमलव उपगुणक) और व्यास दो अपवाद हैं।
+कोणीय माप की अधिकांश इकाइयाँ इस प्रकार परिभाषित हैं कि किसी पूर्ण संख्या एन (n) के लिए एक मोड़ (टर्न) (अर्थात एक पूर्ण वृत्त) एन (n) इकाइयों के बराबर होता है। रेडियन (और इसके दशमलव उपगुणक) और व्यास दो अपवाद हैं।
-एक रेडियन एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण होता है जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के समान होती है। रेडियन एसआई (SI) प्रणाली में कोणीय माप की व्युत्पन्न इकाई है। परिभाषा के अनुसार, यह विमाहीन है, हालांकि अस्पष्टता से बचने के लिए इसे रेड (rad) के रूप में दर्शाया जा सकता है। डिग्री में मापे गए कोणों को (°) के प्रतीक से दिखाया जाता है। डिग्री के उपखंड मिनट हैं (1 मिनट (′) = 1/60° (डिग्री)) और दूसरा (1 सेकंड (") = 1/3600° (डिग्री))। 360° का कोण एक पूर्ण वृत्त द्वारा अंतरित कोण के सामान होता है, और {{math|2''π''}} रेडियन, या 400 ग्रेडियन के बराबर होता है।
+एक रेडियन एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण होता है जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के समान होती है। रेडियन एसआई (SI) प्रणाली में कोणीय माप की व्युत्पन्न इकाई है। हालांकि अस्पष्टता से बचने के लिए इसे रेड (rad) के रूप में दर्शाया जा सकता है। डिग्री में मापे गए कोणों को (°) प्रतीक से दिखाया जाता है। डिग्री के उपखंड मिनट हैं (1 मिनट (′) = 1/60° (डिग्री)) और दूसरा (1 सेकंड (") = 1/3600° (डिग्री)) है। 360° (डिग्री) का कोण एक पूर्ण वृत्त द्वारा अंतरित कोण के सामान होता है, {{math|2''π''}} रेडियन, या 400 ग्रेडियन के बराबर होता है।
 कोणों को निरूपित करने के लिए प्रयुक्त अन्य इकाइयाँ निम्नलिखित तालिका में सूचीबद्ध हैं। इन इकाइयों को इस तरह परिभाषित किया गया है कि मोड़ (टर्न्स) की संख्या एक पूर्ण घूर्णन के बराबर है।
@@ Line 195: / Line 188: @@
 {|class = "wikitable"
 !नाम !!एक
-टर्न में
+मोड़ (टर्न) में
 संख्या
 !डिग्री में !!विवरण
 |-
-|[[turn (geometry)|टर्न]]||1||360° || मोड़ (टर्न), चक्र, परिक्रमण और घूर्णन, पूर्ण वृत्तीय गति या माप (उसी बिंदु पर लौटने के लिए) है। अनुप्रयोग के आधार पर एक मोड़ संक्षिप्त रूप से
+|[[turn (geometry)|मोड़ (टर्न)]]||1||360° || मोड़ (टर्न), चक्र, परिक्रमण और घूर्णन, पूर्ण वृत्तीय गति या माप (उसी बिंदु पर लौटने के लिए) है। अनुप्रयोग के आधार पर एक मोड़ (टर्न) संक्षिप्त रूप से सीवाईसी (cyc),आरइवी (rev), या आरओटी (rot) है। एक मोड़ 2π रेडियन या 360° (डिग्री) के बराबर होता है।
-सीवाईसी (cyc),आरइवी (rev), या आरओटी (rot) है। एक मोड़ 2π रेडियन या 360° (डिग्री) के बराबर होता है।एक मोड़ (टर्न) 2π रेडियन या 360° (डिग्री) के बराबर होता है।
 |-
-|{{pi}} के गुणज  ||2||180° || ''{{pi}}'' रेडियन (MUL{{pi}}) इकाई के गुणकों को [[Reverse Polish Notation|आरपीएन]] वैज्ञानिक कैलकुलेटर में लागू किया जाता है [[WP&nbsp;43S|WP 43S।]]<ref name="Bonin_2016"/><ref name="Bonin_2019_OG"/><ref name="Bonin_2019_RG"/> यह भी देखें [[IEEE 754 recommended operations]]
+|{{pi}} के गुणज  ||2||180° || ''{{pi}}'' रेडियन एमयूएल''{{pi}}'' (MUL{{pi}}) इकाई के गुणकों को [[Reverse Polish Notation|आरपीएन]] वैज्ञानिक कैलकुलेटर में लागू किया जाता है। [[WP&nbsp;43S|WP 43S।]]<ref name="Bonin_2016"/><ref name="Bonin_2019_OG"/><ref name="Bonin_2019_RG"/> यह भी देखें [[IEEE 754 recommended operations|IEEE 754 अनुशंसित संचालन]]
 |-
-|[[circular sector|चतुर्थाँश]]||4||90°||एक चतुर्थांश एक 1/4 मोड़ (टर्न) है और इसे ''[[right angle|समकोण]]'' भी कहते है। चतुर्थांश [[Euclid's Elements|यूक्लिड के तत्वों]] में प्रयुक्त इकाई है। एक चतुर्थांश को दर्शाने के लिए प्रतीक <sup>∟</sup> का उपयोग किया गया है। 1 क्वाड = 90° = {{sfrac|{{pi}}|2}} रेड (rad) = {{sfrac|4}} टर्न = 100 ग्रेड (grad)।
+|[[circular sector|चतुर्थाँश]]||4||90°||एक चतुर्थांश एक 1/4 मोड़ (टर्न) और ''[[right angle|समकोण]]'' भी कहते है। चतुर्थांश [[Euclid's Elements|यूक्लिड के तत्वों]] में प्रयुक्त इकाई है। एक चतुर्थांश को दर्शाने के लिए प्रतीक <sup>∟</sup> का उपयोग किया गया है। 1 क्वाड = 90° = {{sfrac|{{pi}}|2}} रेड (rad) = {{sfrac|4}} टर्न = 100 ग्रेड (grad)।
 |-
-|[[circular sector|सेक्सटैंट]]||6||60°||सेक्स्टेंट [[Babylonians|बेबीलोनियों]] द्वारा उपयोग की जाने वाली इकाई थी, डिग्री, चाप का मिनट और चाप का सेकंड बेबीलोनियाई इकाई के [[sexagesimal|षाष्टिक (सेक्सेजिमल)]] उपइकाई हैं।,<ref name="Jeans_1947"/><ref name="Murnaghan_1946"/> यह विशेष रूप से पटरी और परकार से बनाना आसान है। यह ''[[equilateral triangle|समबाहु त्रिभुज]]''  का कोण है या 1/6 मोड़ (टर्न) है। 1 बेबीलोनियाई इकाई = 60° = {{pi}}/3 रेड ≈ 1.047197551 रेड
+|[[circular sector|सेक्सटैंट]]||6||60°||सेक्स्टेंट [[Babylonians|बेबीलोनियों]] द्वारा उपयोग की जाने वाली इकाई थी, डिग्री, चाप का मिनट और चाप का सेकंड बेबीलोनियाई इकाई कि [[sexagesimal|षाष्टिक (सेक्सेजिमल)]] उपइकाई हैं।<ref name="Jeans_1947"/><ref name="Murnaghan_1946"/> यह विशेष रूप से पटरी और परकार से बनाना आसान है। यह ''[[equilateral triangle|समबाहु त्रिभुज]]''  का कोण या 1/6 मोड़ (टर्न) होता है। 1 बेबीलोनियाई इकाई = 60° = {{pi}}/3 रेड ≈ 1.047197551 रेड
 |-
-|[[Radian|रेडियन]]||{{math|2''π''}}||57°17′||रेडियन एक वृत्त की परिधि से निर्धारित होता है जो वृत्त की त्रिज्या के बराबर लंबाई (n = 2π = 6.283...) का होता है। यह एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण होता है, जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के समान होती है। रेडियन का प्रतीक रेड (rad) है। एक मोड़ (टर्न) 2{{math|π}} रेडियन होता है, और एक रेडियन {{sfrac|180°|{{pi}}}} या लगभग 57.2958 डिग्री होता है। गणितीय ग्रंथों में, कोणों को अक्सर एक रेडियन के साथ विमाहीन माना जाता है, जिसके परिणामस्वरूप इकाई रेड (rad) को अक्सर छोड़ दिया जाता है।रेडियन का उपयोग लगभग सभी गणितीय कार्यों में किया जाता है, सरल प्रयोगिक ज्यामिति से परे, उदाहरण के लिए, मनभावन और "प्राकृतिक" गुणों के कारण जो [[trigonometric function|त्रिकोणमितीय फलन]] प्रदर्शित करते हैं जब उनके तर्क रेडियन में होते हैं।रेडियन [[SI|एसआई]] (SI) में कोणीय माप की (व्युत्पन्न) इकाई है, जो कोण को
+|[[Radian|रेडियन]]||{{math|2''π''}}||57°17′||रेडियन एक वृत्त की परिधि से निर्धारित होता है जो वृत्त की त्रिज्या के बराबर लंबाई (n = 2π = 6.283...) का होता है। यह एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण होता है, जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के समान होती है। रेडियन का प्रतीक रेड (rad) है। एक मोड़ (टर्न) 2{{math|π}} रेडियन होता है, और एक रेडियन {{sfrac|180°|{{pi}}}} या लगभग 57.2958° (डिग्री) होता है। गणितीय ग्रंथों में, कोणों को अक्सर एक रेडियन को विमाहीन माना जाता है, जिसके परिणामस्वर