कोण: Difference between revisions

[[File:Two rays and one vertex.png|thumb|right|एक शीर्ष से निकलने वाली दो किरणों द्वारा निर्मित कोण।]]

[[ यूक्लिडियन ज्यामिति |यूक्लिडियन ज्यामिति]] में, एक कोण दो रेखाओं द्वारा बनाई गई आकृति है, जो एक ही बिंदु पर मिलती है, जिसे कोण का शीर्ष कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Sidorov|2001|ignore-err=yes}}</ref> दोनों रेखाएं तथा इनसे बनने वाले कोण एक ही तल में होते हैं। दो तलों के प्रतिच्छेदन से तथा दो वक्रो के प्रतिच्छेदन से भी एक कोण बनता हैं, जिन्हे द्वितल (डायहेड्रल) तथा वक्रीय कोण कहा जाता है। जो कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर संबंधित वक्रों की स्पर्शरेखा वाली रेखाओं का कोण होता है।

कोण का उपयोग कोण या घूर्णन के माप को देखने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक वृत्ताकार चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और रेखाओं द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन कि स्थिति में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है तथा किसी अन्य बिंदु से तथा घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है।

यूक्लिड एक समतल कोण को, उस तल में, जहां दो तिरछी रेखाएँ, एक दूसरे से मिलती हैं, एक दूसरे के झुकाव के रूप में परिभाषित किया जाता है। '<nowiki/>'''प्रोक्लस'''<nowiki/>' के अनुसार, कोण या तो गुणवत्ता या मात्रा, या संबंध होना चाहिए। पहली अवधारणा का उपयोग ''''यूडेमस'''<nowiki/>' द्वारा किया गया था, जो एक कोण को एक सीधी रेखा से विचलन के रूप में मानते थे, दूसरी ''''अन्ताकिया के कार्पस'''<nowiki/>' द्वारा, जिसने इसे प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का अंतराल या स्थान माना था तथा यूक्लिड ने तीसरी अवधारणा को अपनाया।<ref>{{harvnb|Chisholm|1911}}; {{harvnb|Heiberg|1908|pp=177–178}}</ref>

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|caption2=Acute (<var>a</var>), obtuse (<var>b</var>), and straight (<var>c</var>) angles. The acute and obtuse angles are also known as oblique angles.

 

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* दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से बनी X-समान आकृति मे एक दूसरे विपरीत मुख के बने एक कोण युग्म को उर्ध्वाधर कोण या सम्मुख कोण या लंबवत सम्मुख कोण कहते हैं। उन्हें vert. opp. ∠s के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.<ref name="tb">{{harvnb|Wong|Wong|2009|pp=161–163}}</ref>  उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के ''''यूडेमस'''<nowiki/>' ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।<ref>{{cite book|author=Euclid|author-link=Euclid|title=The Elements|title-link=Euclid's Elements}} प्रस्ताव I:13.</ref>{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के समपूरक हैं, लंबवत कोण माप में बराबर होते हैं। एक ऐतिहासिक टिप्पणी के अनुसार,{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} जब '<nowiki/>'''थेल्स'<nowiki/>''' ने देखा कि जब मिस्रवासी दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ खींचते हैं, तो वे यह सुनिश्चित करने के लिए लंबवत कोणों को मापते हैं, कि वे समान हैं। '<nowiki/>'''थेल्स'''' ने निष्कर्ष निकाला कि कोई यह साबित कर सकता है, कि सभी लंबवत कोण समान होते हैं, यदि कोई कुछ सामान्य धारणाओं को स्वीकार करता है, जैसे

*: यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक साधारण उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों का योग, यदि प्रत्येक शीर्ष पर दो बाह्य कोणों में से केवल एक माना जाता है, तो एक पूर्ण मोड़ (360°) होगा। यहाँ बाह्य कोण को पूरक बाह्य कोण कहा जा सकता है। नियमित बहुभुज बनाते समय बाह्य कोणों का उपयोग प्रायः लोगो टर्टल कार्यक्रमों में किया जाता है।

* एक त्रिभुज में, तीन प्रतिच्छेदन बिंदु, उनमें से दो एक आंतरिक कोण समद्विभाजक और विपरीत भुजा के बीच, और तीसरा बाह्य कोण समद्विभाजक और विपरीत विस्तारित भुजा के बीच, संरेख हैं।<ref name=Johnson/>

* एक समतल और एक प्रतिच्छेदी सीधी रेखा के बीच का कोण प्रतिच्छेदन रेखा और प्रतिच्छेदन बिंदु से जाने वाली रेखा के बीच के कोण को घटाकर नब्बे (90) डिग्री के बराबर होता है और समतल के अभिलंबवत होता है।

 

 

एक ज्यामितीय कोण का आकार सामान्यतः सबसे छोटे घूर्णन के परिमाण की विशेषता होती है, जो एक किरण को दूसरे में मैप करता है। समान आकार वाले कोणों को समान या सर्वांगसम या माप में बराबर कहा जाता है।

कुछ संदर्भों में, जैसे किसी वृत्त पर एक बिंदु की पहचान करना या किसी संदर्भ अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) के सापेक्ष दो विमाओ में किसी वस्तु के अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) का वर्णन करना, पूर्ण मोड़ के निश्चित गुणक से भिन्न कोण, प्रभावी रूप से समतुल्य होते हैं। अन्य संदर्भों में, जैसे कि एक कुंडलित वक्र पर एक बिंदु की पहचान करना या किसी संदर्भ अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) के सापेक्ष दो विमाओ में किसी वस्तु के संचयी घूर्णन का वर्णन करना, एक पूर्ण मोड़ के अशून्य गुणक से भिन्न कोण, समतुल्य नहीं होते हैं।

कोण को एक और कोणीय इकाई से व्यक्त किया गया अतः कोण को {{sfrac|''k''|2{{math|π}}}} के रूप के उपयुक्त रूपांतरण स्थिरांक से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है, जहाँ k चुनी हुई इकाई में व्यक्त एक पूर्ण मोड़ का माप है (उदाहरण के लिए, {{nowrap|1= ''k'' = 360°}} के लिए डिग्री या 400 ग्रेड के लिए ग्रेडियन)।

कोण एओसी (∠AOC) कि माप कोण AOB के माप और कोण एओबी (∠BOC) के माप का योग होता है।

पूरे इतिहास में, कोणों को विभिन्न इकाइयों में मापा गया है। इन्हें '''कोणीय इकाइयों''' के रूप में जाना जाता है, जिनमें सबसे आधुनिक इकाइयाँ डिग्री (°), रेडियन (रेड), और ग्रेडियन (ग्रेड) हैं, इत्यादि का उपयोग इतिहास में किया गया है।<ref>{{Cite web|title=angular unit|url=https://www.thefreedictionary.com/angular+unit|access-date=2020-08-31|website=TheFreeDictionary.com}}</ref>

मात्राओं की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली में, कोण को एक विमाहीन राशि के रूप में परिभाषित है। यह प्रभावित करता है कि विमीय विश्लेषण में कोण कैसा व्यवहार करता है।।

कोणीय माप की अधिकांश इकाइयाँ इस प्रकार परिभाषित हैं कि किसी पूर्ण संख्या एन (n) के लिए एक मोड़ (अर्थात एक पूर्ण वृत्त) एन (n) इकाइयों के बराबर होता है। रेडियन (और इसके दशमलव उपगुणक) और व्यास दो अपवाद हैं।

एक रेडियन एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण होता है जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के समान होती है। रेडियन एसआई (SI) प्रणाली में कोणीय माप की व्युत्पन्न इकाई है। परिभाषा के अनुसार, यह विमाहीन है, हालांकि अस्पष्टता से बचने के लिए इसे रेड (rad) के रूप में दर्शाया जा सकता है। डिग्री में मापे गए कोणों को (°) के प्रतीक से दिखाया जाता है। डिग्री के उपखंड मिनट हैं (1 मिनट (′) = 1/60° (डिग्री)) और दूसरा (1 सेकंड (") = 1/3600° (डिग्री))। 360° का कोण एक पूर्ण वृत्त द्वारा अंतरित कोण के सामान होता है, और {{math|2''π''}} रेडियन, या 400 ग्रेडियन के बराबर होता है।

टर्न में  

|[[turn (geometry)|टर्न]]||1||360° || मोड़ (टर्न), चक्र, परिक्रमण और घूर्णन, पूर्ण वृत्तीय गति या माप (उसी बिंदु पर लौटने के लिए) है। अनुप्रयोग के आधार पर एक मोड़ संक्षिप्त रूप से  

सीवाईसी (cyc),आरइवी (rev), या आरओटी (rot) है। एक मोड़ 2π रेडियन या 360° (डिग्री) के बराबर होता है।एक मोड़ (टर्न) 2π रेडियन या 360° (डिग्री) के बराबर होता है।

|{{pi}} के गुणज  ||2||180° || ''{{pi}}'' रेडियन (MUL{{pi}}) इकाई के गुणकों को [[Reverse Polish Notation|आरपीएन]] वैज्ञानिक कैलकुलेटर में लागू किया जाता है [[WP&nbsp;43S|WP 43S।]]<ref name="Bonin_2016"/><ref name="Bonin_2019_OG"/><ref name="Bonin_2019_RG"/> यह भी देखें [[IEEE 754 recommended operations]]

|[[circular sector|चतुर्थाँश]]||4||90°||एक चतुर्थांश एक 1/4 मोड़ (टर्न) है और इसे ''[[right angle|समकोण]]'' भी कहते है। चतुर्थांश [[Euclid's Elements|यूक्लिड के तत्वों]] में प्रयुक्त इकाई है। एक चतुर्थांश को दर्शाने के लिए प्रतीक ^∟ का उपयोग किया गया है। 1 क्वाड = 90° = {{sfrac|{{pi}}|2}} रेड (rad) = {{sfrac|4}} टर्न = 100 ग्रेड (grad)।

|[[circular sector|सेक्सटैंट]]||6||60°||सेक्स्टेंट [[Babylonians|बेबीलोनियों]] द्वारा उपयोग की जाने वाली इकाई थी, डिग्री, चाप का मिनट और चाप का सेकंड बेबीलोनियाई इकाई के [[sexagesimal|षाष्टिक (सेक्सेजिमल)]] उपइकाई हैं।,<ref name="Jeans_1947"/><ref name="Murnaghan_1946"/> यह विशेष रूप से पटरी और परकार से बनाना आसान है। यह ''[[equilateral triangle|समबाहु त्रिभुज]]''  का कोण है या 1/6 मोड़ (टर्न) है। 1 बेबीलोनियाई इकाई = 60° = {{pi}}/3 रेड ≈ 1.047197551 रेड  

|[[Radian|रेडियन]]||{{math|2''π''}}||57°17′||रेडियन एक वृत्त की परिधि से निर्धारित होता है जो वृत्त की त्रिज्या के बराबर लंबाई (n = 2π = 6.283...) का होता है। यह एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण होता है, जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के समान होती है। रेडियन का प्रतीक रेड (rad) है। एक मोड़ (टर्न) 2{{math|π}} रेडियन होता है, और एक रेडियन {{sfrac|180°|{{pi}}}} या लगभग 57.2958 डिग्री होता है। गणितीय ग्रंथों में, कोणों को अक्सर एक रेडियन के साथ विमाहीन माना जाता है, जिसके परिणामस्वरूप इकाई रेड (rad) को अक्सर छोड़ दिया जाता है।रेडियन का उपयोग लगभग सभी गणितीय कार्यों में किया जाता है, सरल प्रयोगिक ज्यामिति से परे, उदाहरण के लिए, मनभावन और "प्राकृतिक" गुणों के कारण जो [[trigonometric function|त्रिकोणमितीय फलन]] प्रदर्शित करते हैं जब उनके तर्क रेडियन में होते हैं।रेडियन [[SI|एसआई]] (SI) में कोणीय माप की (व्युत्पन्न) इकाई है, जो कोण को  

| हेक्साकॉन्टेडे||60 ||6°||हेक्साकॉन्टेड एक इकाई है जिसका उपयोग [[Eratosthenes|एराटोस्थनीज]] द्वारा किया जाता है। यह 6° के बराबर होता है, जिससे एक पूरा मोड़ 60 हेक्साकॉन्टेड्स में विभाजित हो जाता है।

|[[Binary angular measurement|द्विआधारी  डिग्री]] ||256||1°33'45"  || बाइनरी डिग्री, जिसे ''[[binary radian|बाइनरी रेडियन]]''  या ब्रैड या बाइनरी कोणीय माप (BAM) से भी जाना जाता है।<ref name="ooPIC"/> बाइनरी डिग्री का उपयोग अभिकलन में किया जाता है ताकि एक कोण को एक [[byte|बाइट]] में अच्छे से दर्शाया जा सके (यद्यपि सीमित परिशुद्धता के लिए)। अभिकलन में प्रयुक्त कोण के अन्य माप, n के अन्य मान के लिए एक पूरे मोड़ को 2^''n'' बराबर भागों में विभाजित करने पर आधारित होते हैं।<ref name="Hargreaves_2010" /> यह एक मोड़ (टर्न) का {{sfrac|256}} है। <ref name="ooPIC" />

|[[degree (angle)|डिग्री]] ||360 ||1°|| इस पुराने [[sexagesimal|षाष्टिक (सेक्सजेसिमल)]] उपिकाई का एक फायदा यह है कि साधारण ज्यामिति में आम कई कोणों को डिग्री की एक पूरी संख्या के रूप में मापा जाता है। डिग्री के अंश सामान्य दशमलव संकेतन में लिखे जा सकते हैं (उदाहरण के लिए 3.5 डिग्री), लेकिन "डिग्री-मिनट-सेकंड" प्रणाली के "मिनट" और "सेकंड" षाष्टिक (सेक्सजेसिमल) उपिकाई भी उपयोग में हैं, विशेष रूप से [[Geographic coordinate system|भौगोलिक निर्देशांक]] के लिए और [[astronomy|खगोल विज्ञान]] और [[ballistics|अस्त्रविज्ञान]] में (n = 360)। ऊपर लिखे हुए एक छोटे वृत्त (°) द्वारा दर्शाई गई डिग्री, एक मोड़ (टर्न) का 1/360 है, इसलिए एक मोड़ (टर्न) 360° का होता है। पहले दिए गए सूत्र के लिए डिग्री का मामला, ''k'' = {{sfrac|360°|2{{pi}}}} सेट करके n = 360° (डिग्री) इकाई प्राप्त की जाती है।

| [[grad (angle)|ग्रेड]]||400 ||0°54′ || ग्रेड, जिसे, ग्रैड, [[gradian|ग्रेडियन]] या गॉन भी कहा जाता है। यह चतुर्थांश की दशमलव उपइकाई है। एक समकोण 100 ग्रैड होता है। एक [[kilometre|किलोमीटर]] को ऐतिहासिक रूप से पृथ्वी के एक [[meridian (geography)|मध्याह्न रेखा]] के साथ चाप के एक [[centi|सेंटी]]-ग्रेड के रूप में परिभाषित किया गया था, इसलिए किलोमीटर [[sexagesimal|षाष्टिक (सेक्सजेसिमल)]] [[nautical mile|समुद्री मील]] (n = 400) का दशमलव अनुरूप है। ग्रेड का उपयोग ज्यादातर त्रिभुज और महाद्वीपीय सर्वेक्षण में किया जाता है। ग्रेड का उपयोग ज्यादातर [[triangulation (surveying)|त्रिभुजन]] और महाद्वीपीय [[surveying|सर्वेक्षण]] में किया जाता है।  

* घंटे का कोण (n = 24) खगोलीय घंटे का कोण {{sfrac|24}} मोड़ (टर्न) का होता है। चूंकि यह प्रणाली उन वस्तुओं को मापने के लिए उत्तरदायी है जो प्रति दिन एक बार परिक्रमण करते हैं (जैसे सितारों की सापेक्ष स्थिति), षाष्टिक (सेक्सजेसिमल) उपइकाई को समय का मिनट और समय का सेकंड कहा जाता है। ये चाप के मिनट और सेकंड से अलग और 15 गुना बड़े होते है। 1 घंटा = 15° = {{sfrac|{{pi}}|12}} रेड = {{sfrac|6}} क्वाड = {{sfrac|24}} मोड़ (टर्न) = {{sfrac|16|2|3}} ग्रेड।

* (कम्पास) बिंदु या विन्ड(n = 32), संचालन में उपयोग किया जाने वाला बिंदु है, जोकि एक मोड़ (टर्न) का {{sfrac|32}} है। 1 बिंदु = समकोण का {{sfrac|8}} = 11.25° = 12.5 ग्रेड। प्रत्येक बिंदु को चार तिमाही-अंकों में विभाजित किया जाता है ताकि 1 मोड़ 128 तिमाही-अंक के बराबर हो।

* पेचस (n = 144–180), पेचस एक बेबीलोनियाई इकाई थी जो लगभग 2° या {{sfrac|2|1|2}}° बराबर होती है।

* व्यास भाग (n = 376.99...), व्यास भाग लगभग 0.95493° और {{sfrac|60}} रेडियन होता है। प्रति मोड़ (टर्न) लगभग 376.991 व्यास भाग होते हैं।

* मिली रेडियन और व्युत्पन्न परिभाषाएं, वास्तविक मिलि रेडियन को एक रेडियन का एक हजारवां भाग बताया गया है, जिसका अर्थ है कि एक मोड़ का घूर्णन ठीक 2000π मील (या लगभग 6283.185 मील) के बराबर होगा, और बंदूक आदि शस्त्र के लिए लगभग सभी कार्यक्षेत्र इस परिभाषा के लिए अंशांकित हैं। इसके अलावा, तोपखाने और संचालन के लिए उपयोग की जाने वाली तीन अन्य परिभाषाएँ हैं, जो लगभग एक मिली रेडियन के बराबर हैं। इन तीन अन्य परिभाषाओं के तहत एक मोड़ (टर्न) ठीक 6000, 6300 या 6400 मील के लिए बनाता है, जो 0.05625 से 0.06 डिग्री (3.375 से 3.6 मिनट) तक की सीमा के बराबर है। इसकी तुलना में, वास्तविक मिली रेडियन लगभग 0.05729578 डिग्री (3.43775 मिनट) का होता है। एक "नाटो मील" को एक वृत्त के {{sfrac|6400}} से परिभाषित किया गया है। वास्तविक मिलि रेडियन की तरह ही, अन्य परिभाषाओं में से प्रत्येक सबटेंशन की मील की उपयोगी सामग्री का शोषण करती है, अर्थात एक मिली रेडियन का मान लगभग 1 मीटर की चौड़ाई से घटाए गए कोण के बराबर होता है जैसा कि 1 किमी दूर से देखा जाता है ({{sfrac|2{{pi}}|6400}} = 0.0009817... ≈ 1/1000)।  

द्वि-विमीय कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में, कोण को विशिष्ट रूप से इसके दो पक्षों (भुजाओ) और मूल बिंदु पर शीर्ष द्वारा परिभाषित किया जाता है। प्रारंभिक पक्ष (भुजा) धनात्मक एक्स (x)-अक्ष पर है, जबकि दूसरा पक्ष (भुजा) या अंतिम पक्ष (भुजा), प्रारंभिक पक्ष (भुजा) द्वारा रेडियन, डिग्री या मोड़ (टर्न) में परिभाषित किया गया है। धनात्मक कोणों के साथ धनात्मक वाई (y)-अक्ष की ओर घूर्णन और ऋणात्मक कोणों के साथ, ऋणात्मक वाई (y)-अक्ष की ओर घूर्णन करते है। जब कार्तीय निर्देशांक मानक स्थिति द्वारा दर्शाए जाते हैं, जो एक्स (x)-अक्ष दाईं ओर और वाई (y)-अक्ष ऊपर की ओर परिभाषित होते हैं, धनात्मक घुर्णन वामावर्त होते हैं और ऋणात्मक घुर्णन दक्षिणावर्त होते हैं।

कई संदर्भों में, −θ का कोण प्रभावी रूप से एक पूर्ण मोड़ (टर्न) न्यूनता के कोण के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, −45° (डिग्री) के रूप में दर्शाया गया एक अभिविन्यास प्रभावी रूप से 360°, − 45° या 315° के रूप में दर्शाए गए अभिविन्यास के बराबर है। हालांकि अंतिम स्थिति समान है, -45° का एक भौतिक घूर्णन (संचलन) 315° के घूर्णन के समान नहीं होता है (उदाहरण के लिए, धूल भरे फर्श पर झाड़ू रखने वाले व्यक्ति के घूमने से फर्श पर घूमें हुए क्षेत्रों के अलग-अलग निशान छुट जाते है)।

संचालन में, बियरिंग्स या दिगंश (अज़ीमुथ) को उत्तर के सापेक्ष मापा जाता है। परिपाटी के अनुसार, ऊपर से देखने पर, बेयरिंग कोण धनात्मक दक्षिणावर्त होते हैं, इसलिए 45° का बेयरिंग उत्तर-पूर्व अभिविन्यास के सामान होता है। संचालन में ऋणात्मक बियरिंग्स का उपयोग नहीं किया जाता है, इसलिए उत्तर-पश्चिम अभिविन्यास 315° (डिग्री) के बेयरिंग के सामान होता है।

* दो रेखाओं के बीच के प्रसार को [[ परिमेय ज्यामिति ]] में रेखाओं के बीच के कोण की ज्या के वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूँकि किसी कोण की ज्या और उसके संपूरक कोण की ज्या समान होती है, कोई भी घूर्णन कोण जो किसी एक रेखा को दूसरी रेखा में मैप करता है, रेखाओं के बीच प्रसार के लिए समान मान की ओर ले जाता है।

एक सामान्य वास्तविक आंतरिक गुणन स्थान में कोणों को परिभाषित करने के लिए, हम यूक्लिडियन आदिश-गुणनफल ( · ) को आंतरिक गुणन से बदलते हैं <math> \langle \cdot , \cdot \rangle </math>, अर्थात

एक-आयामी उप-स्थानों के बीच कोण की परिभाषा <math>\operatorname{span}(\mathbf{u})</math> तथा  <math>\operatorname{span}(\mathbf{v})</math> के द्वारा दिया गया

=== [[ रीमैनियन ज्यामिति ]] में कोण ===

एक अतिपरवलयिक कोण एक अतिपरवलयिक फलन का तर्क है जिस प्रकार वृत्ताकार कोण एक वृत्तीय फलन का तर्क है। तुलना को एक अतिपरवलयिक क्षेत्र और एक वृत्ताकार क्षेत्र के मुख के आकार के रूप में देखा जा सकता है क्योंकि इन क्षेत्रों के क्षेत्र प्रत्येक स्थिति में कोण परिमाण के अनुरूप होते हैं। वृत्ताकार कोण के विपरीत, अतिपरवलयिक कोण असीम होता है। जब चक्रीय और अतिपरवलयिक तर्क को उनके कोण तर्क में अनंत श्रृंखला के रूप में देखा जाता है, तो चक्रीय वाले अतिपरवलयिक तर्क के केवल वैकल्पिक श्रृंखला रूप होते हैं। दो प्रकार के कोण और कार्य के इस वयन को 'लियोनहार्ड यूलर' द्वारा अनंत के विश्लेषण के परिचय में समझाया गया था।