कोण: Difference between revisions

[[File:Two rays and one vertex.png|thumb|right|एक शीर्ष से निकलने वाली दो किरणों द्वारा निर्मित कोण।]]

[[ यूक्लिडियन ज्यामिति |यूक्लिडियन ज्यामिति]] में, एक कोण दो रेखाओं द्वारा बनाई गई आकृति है, जो एक ही बिंदु पर मिलती है, जिसे कोण का शीर्ष कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Sidorov|2001|ignore-err=yes}}</ref> दोनों रेखाएं तथा इनसे बनने वाले कोण एक ही तल में होते हैं। दो तलों के प्रतिच्छेदन से तथा दो वक्रो के प्रतिच्छेदन से भी एक कोण बनता हैं, जिन्हे द्वितल (डायहेड्रल) तथा वक्रीय कोण कहा जाता है। जो कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर संबंधित वक्रों की स्पर्शरेखा वाली रेखाओं का कोण होता है।

कोण का उपयोग कोण या घूर्णन के माप को देखने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक वृत्ताकार चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और रेखाओं द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन कि स्थिति में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है तथा किसी अन्य बिंदु से तथा घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है।

कोण शब्द लैटिन शब्द एंगुलस से आया है, जिसका अर्थ है "कोना"।<ref>{{harvnb|Slocum|2007}}</ref>

यूक्लिड एक समतल कोण को, उस तल में, जहां दो तिरछी रेखाएँ, एक दूसरे से मिलती हैं, एक दूसरे के झुकाव के रूप में परिभाषित किया जाता है। '<nowiki/>'''प्रोक्लस'''<nowiki/>' के अनुसार, कोण या तो गुणवत्ता या मात्रा, या संबंध होना चाहिए। पहली अवधारणा का उपयोग ''''यूडेमस'''<nowiki/>' द्वारा किया गया था, जो एक कोण को एक सीधी रेखा से विचलन के रूप में मानते थे, दूसरी ''''अन्ताकिया के कार्पस'''<nowiki/>' द्वारा, जिसने इसे प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का अंतराल या स्थान माना था तथा यूक्लिड ने तीसरी अवधारणा को अपनाया।<ref>{{harvnb|Chisholm|1911}}; {{harvnb|Heiberg|1908|pp=177–178}}</ref>

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|caption2=Acute (<var>a</var>), obtuse (<var>b</var>), and straight (<var>c</var>) angles. The acute and obtuse angles are also known as oblique angles.

 

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* दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से बनी X-समान आकृति मे एक दूसरे विपरीत मुख के बने एक कोण युग्म को उर्ध्वाधर कोण या सम्मुख कोण या लंबवत सम्मुख कोण कहते हैं। उन्हें vert. opp. ∠s के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.<ref name="tb">{{harvnb|Wong|Wong|2009|pp=161–163}}</ref>  उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के ''''यूडेमस'''<nowiki/>' ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।<ref>{{cite book|author=Euclid|author-link=Euclid|title=The Elements|title-link=Euclid's Elements}} प्रस्ताव I:13.</ref>{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के समपूरक हैं, लंबवत कोण माप में बराबर होते हैं। एक ऐतिहासिक टिप्पणी के अनुसार,{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} जब '<nowiki/>'''थेल्स'<nowiki/>''' ने देखा कि जब मिस्रवासी दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ खींचते हैं, तो वे यह सुनिश्चित करने के लिए लंबवत कोणों को मापते हैं, कि वे समान हैं। '<nowiki/>'''थेल्स'''' ने निष्कर्ष निकाला कि कोई यह साबित कर सकता है, कि सभी लंबवत कोण समान होते हैं, यदि कोई कुछ सामान्य धारणाओं को स्वीकार करता है, जैसे

* आसन्न कोण, प्रायः adj के रूप में संक्षिप्त। एस (s), ऐसे कोण हैं जो एक सामान्य शीर्ष और किनारे साझा करते हैं लेकिन कोई आंतरिक बिंदु साझा नहीं करते हैं। दूसरे शब्दों में, वे कोण होते हैं जो अगल-बगल होते हैं, या आसन्न होते हैं, एक भुजा का साझा करते हैं। आसन्न कोण जो एक समकोण, ऋजुकोण या पूर्ण कोण के योग होते हैं, विशेष होते हैं और क्रमशः समपूरक, अनुपूरक और पूरक कोण कहलाते हैं।

* पूरक कोण कोण युग्म होते हैं जिनकी मापों का योग एक समकोण होता है ({{sfrac|4}} मोड़, 90°, या {{sfrac|{{math|π}}|2}} रेडियन)।<ref>{{Cite web|title=Complementary Angles|url=https://www.mathsisfun.com/geometry/complementary-angles.html|access-date=2020-08-17|website=www.mathsisfun.com}}</ref> यदि दो पूरक कोण आसन्न हैं, तो उनकी वह भुजाएँ जो उभयनिष्ठ नहीं होती, एक समकोण बनाती हैं। यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक समकोण त्रिभुज में दो न्यून कोण पूरक होते हैं, क्योंकि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° (डिग्री) होता है, और समकोण स्वयं 90° (डिग्री) का होता है।

* दो कोण जो एक ऋजु कोण का योग करते हैं ({{sfrac|2}} मोड़ (टर्न), 180°, या {{math|π}} रेडियन) समपूरक कोण कहलाते हैं।<ref>{{Cite web|title=Supplementary Angles|url=https://www.mathsisfun.com/geometry/supplementary-angles.html|access-date=2020-08-17|website=www.mathsisfun.com}}</ref> यदि दो समपूरक कोण आसन्न हैं (अर्थात एक उभयनिष्ठ शीर्ष है), तो उनकी वह भुजाएँ जो उभयनिष्ठ नहीं होती, एक सीधी रेखा बनाती हैं। ऐसे कोणों को कोणों का रैखिक युग्म कहा जाता है।{{sfn|Jacobs|1974|p=97}} हालांकि, समपूरक कोणों का एक ही रेखा पर होना जरूरी नहीं है। उदाहरण के लिए, समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण तथा[[ चक्रीय चतुर्भुज ]](जिसके शीर्ष सभी एक ही वृत्त पर पड़ते हैं) के सम्मुख कोण समपूरक होते हैं।

* दो कोण जिनका योग एक पूर्ण कोण (1 मोड़ (टर्न), 360°, या 2{{math|π}} रेडियन) होता है, समपूरक कोण या संयुग्म कोण कहलाते हैं।  एक कोण और एक पूर्ण कोण के बीच के अंतर को कोण का योग या कोण का संयुग्मी कहा जाता है।

* एक कोण जो एक[[ साधारण बहुभुज ]] का भाग होता है, एक आंतरिक कोण कहलाता है यदि वह उस साधारण बहुभुज के अंदर स्थित हो। एक साधारण [[ अवतल बहुभुज ]]में कम से कम एक आंतरिक कोण होता है जो एक प्रतिवर्त कोण होता है।

*: यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज के आंतरिक कोणों के मापों का योग होता है {{math|π}} रेडियन, 180° या {{sfrac|2}} मोड़ तक जोड़ते हैं; एक साधारण उत्तल चतुर्भुज के आंतरिक कोणों के माप 2{{math|π}} रेडियन, 360° या 1 मोड़ तक जोड़ते हैं। सामान्यतः, n भुजाओं वाले एक साधारण [[ उत्तल बहुभुज ]] के आंतरिक कोणों के मापों का योग (n − 2) {{math|π}} रेडियन, (n − 2)180 डिग्री, (n − 2)2 समकोण, या (n − 2){{sfrac|1|2}} मोड़ होता है।।

* एक आंतरिक कोण के पूरक को एक बाह्य कोण कहा जाता है, अर्थात एक आंतरिक कोण और एक बाह्य कोण, कोणों का एक रैखिक युग्म बनाते हैं। बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष पर दो बाहरी कोण होते हैं, प्रत्येक को शीर्ष पर मिलने वाले बहुभुज के दो पक्षों (किनारो) में से एक को विस्तारित करके प्राप्त करते है, ये दो कोण लंबवत हैं और इसलिए बराबर हैं। एक बाह्य कोण बहुभुज का पता लगाने के लिए एक शीर्ष पर घूर्णन की मात्रा को मापता है।{{sfn|Henderson|Taimina|2005|p=104}} यदि संगत आंतरिक कोण एक प्रतिवर्त कोण है, तो बाह्य कोण को ऋणात्मक माना जाना चाहिए। यहां तक ​​कि एक आसाधारण बहुभुज में भी बाह्य कोण को परिभाषित करना संभव हो सकता है, लेकिन बाह्य कोण माप के चिन्ह को तय करने के लिए किसी को समतल (या सतह) का एक अभिविन्यास चुनना होगा।

*: यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक साधारण उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों का योग, यदि प्रत्येक शीर्ष पर दो बाह्य कोणों में से केवल एक माना जाता है, तो एक पूर्ण मोड़ (360°) होगा। यहाँ बाह्य कोण को पूरक बाह्य कोण कहा जा सकता है। नियमित बहुभुज बनाते समय बाह्य कोणों का उपयोग प्रायः लोगो टर्टल कार्यक्रमों में किया जाता है।

* एक त्रिभुज में, तीन प्रतिच्छेदन बिंदु, उनमें से दो एक आंतरिक कोण समद्विभाजक और विपरीत भुजा के बीच, और तीसरा बाह्य कोण समद्विभाजक और विपरीत विस्तारित भुजा के बीच, संरेख हैं।<ref name=Johnson/>

* एक समतल और एक प्रतिच्छेदी सीधी रेखा के बीच का कोण प्रतिच्छेदन रेखा और प्रतिच्छेदन बिंदु से जाने वाली रेखा के बीच के कोण को घटाकर नब्बे (90) डिग्री के बराबर होता है और समतल के अभिलंबवत होता है।

 

 

एक ज्यामितीय कोण का आकार सामान्यतः सबसे छोटे घूर्णन के परिमाण की विशेषता होती है, जो एक किरण को दूसरे में मैप करता है। समान आकार वाले कोणों को समान या सर्वांगसम या माप में बराबर कहा जाता है।

कुछ संदर्भों में, जैसे किसी वृत्त पर एक बिंदु की पहचान करना या किसी संदर्भ अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) के सापेक्ष दो विमाओ में किसी वस्तु के अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) का वर्णन करना, पूर्ण मोड़ के निश्चित गुणक से भिन्न कोण, प्रभावी रूप से समतुल्य होते हैं। अन्य संदर्भों में, जैसे कि एक कुंडलित वक्र पर एक बिंदु की पहचान करना या किसी संदर्भ अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) के सापेक्ष दो विमाओ में किसी वस्तु के संचयी घूर्णन का वर्णन करना, एक पूर्ण मोड़ के अशून्य गुणक से भिन्न कोण, समतुल्य नहीं होते हैं।

कोण को एक और कोणीय इकाई से व्यक्त किया गया अतः कोण को {{sfrac|''k''|2{{math|π}}}} के रूप के उपयुक्त रूपांतरण स्थिरांक से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है, जहाँ k चुनी हुई इकाई में व्यक्त एक पूर्ण मोड़ का माप है (उदाहरण के लिए, {{nowrap|1= ''k'' = 360°}} के लिए डिग्री या 400 ग्रेड के लिए ग्रेडियन):

कोण एओसी (∠AOC) कि माप कोण AOB के माप और कोण एओबी (∠BOC) के माप का योग होता है।

पूरे इतिहास में, कोणों को विभिन्न इकाइयों में मापा गया है। इन्हें '''कोणीय इकाइयों''' के रूप में जाना जाता है, जिनमें सबसे आधुनिक इकाइयाँ डिग्री (°), रेडियन (रेड), और ग्रेडियन (ग्रेड) हैं, इत्यादि का उपयोग इतिहास में किया गया है।<ref>{{Cite web|title=angular unit|url=https://www.thefreedictionary.com/angular+unit|access-date=2020-08-31|website=TheFreeDictionary.com}}</ref>

मात्राओं की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली में, कोण को एक विमाहीन राशि के रूप में परिभाषित है। यह प्रभावित करता है कि विमीय विश्लेषण में कोण कैसा व्यवहार करता है।।

कोणीय माप की अधिकांश इकाइयाँ इस प्रकार परिभाषित हैं कि किसी पूर्ण संख्या एन (n) के लिए एक मोड़ (अर्थात एक पूर्ण वृत्त) एन (n) इकाइयों के बराबर होता है। रेडियन (और इसके दशमलव उपगुणक) और व्यास दो अपवाद हैं।

एक रेडियन एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण होता है जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के समान होती है। रेडियन एसआई (SI) प्रणाली में कोणीय माप की व्युत्पन्न इकाई है। परिभाषा के अनुसार, यह विमाहीन है, हालांकि अस्पष्टता से बचने के लिए इसे रेड (rad) के रूप में दर्शाया जा सकता है। डिग्री में मापे गए कोणों को (°) के प्रतीक से दिखाया जाता है। डिग्री के उपखंड मिनट हैं (1 मिनट (′) = 1/60° (डिग्री)) और दूसरा (1 सेकंड (") = 1/3600° (डिग्री))। 360° का कोण एक पूर्ण वृत्त द्वारा अंतरित कोण के सामान होता है, और {{math|2''π''}} रेडियन, या 400 ग्रेडियन के बराबर होता है।