कोण: Difference between revisions
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[[File:Two rays and one vertex.png|thumb|right|एक शीर्ष से निकलने वाली दो किरणों द्वारा निर्मित | [[File:Two rays and one vertex.png|thumb|right|एक शीर्ष से निकलने वाली दो किरणों द्वारा निर्मित कोण.]] | ||
[ | [https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_geometry|'''यूक्लिडियन ज्यामिति'''] में, एक कोण दो रेखाओं द्वारा बनाई गई आकृति है, जो एक ही बिंदु पर मिलती है, जिसे कोण का [[शीर्ष (ज्यामिति)|शीर्ष (वर्टेक्स ज्योमेट्)]] कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Sidorov|2001|ignore-err=yes}}</ref> दोनों रेखाएं तथा इनसे बनने वाले कोण एक ही तल में होते हैं। दो तलों के प्रतिच्छेदन से तथा दो वक्रो के प्रतिच्छेदन से भी एक कोण बनता हैं, जिन्हे द्वितल (डायहेड्रल) तथा वक्रीय कोण कहा जाता है। जो कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर संबंधित वक्रों की [[स्पर्शरेखा]] वाली रेखाओं का कोण होता है। | ||
कोण का उपयोग कोण या घूर्णन के माप को देखने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक वृत्ताकार चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और रेखाओं द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन कि स्थिति में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है तथा किसी अन्य बिंदु से तथा घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है। | कोण का उपयोग कोण या [[घूर्णन]] के माप को देखने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक [https://en.wikipedia.org/wiki/Curve#Differentiable_arc|'''वृत्ताकार चाप'''] की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और रेखाओं द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन कि स्थिति में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है तथा किसी अन्य बिंदु से तथा घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है। | ||
==इतिहास और व्युत्पत्ति == | ==इतिहास और व्युत्पत्ति == | ||
कोण शब्द लैटिन शब्द एंगुलस से आया है, जिसका अर्थ | कोण शब्द लैटिन शब्द एंगुलस से आया है, जिसका अर्थ "कोना" है।<ref>{{harvnb|Slocum|2007}}</ref> | ||
यूक्लिड एक समतल कोण को | यूक्लिड एक समतल कोण को, उस तल में, जहां दो तिरछी रेखाएँ, एक दूसरे से मिलती हैं, एक दूसरे के झुकाव के रूप में इसको परिभाषित किया जाता है। '<nowiki/>'''प्रोक्लस'''<nowiki/>' के अनुसार, कोण या तो गुणवत्ता या मात्रा, या संबंध होना चाहिए। पहली अवधारणा का उपयोग ''''यूडेमस'''<nowiki/>' द्वारा किया गया था, जो एक कोण को एक [[:en:Line_(geometry)|'''सीधी रेखा''']] से विचलन के रूप में मानते थे, दूसरी ''''अन्ताकिया के कार्पस'''<nowiki/>' द्वारा, जिसने इसे प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का अंतराल या स्थान माना था तथा यूक्लिड ने तीसरी अवधारणा को अपनाया।<ref>{{harvnb|Chisholm|1911}}; {{harvnb|Heiberg|1908|pp=177–178}}</ref> | ||
== कोणों की पहचान == | == कोणों की पहचान == | ||
गणितीय | गणितीय व्यंजको में, ग्रीक अक्षरों (<var>α</var>, <var>β</var>, <var>γ</var>, <var>θ</var>, <var >φ</var>, . . . ) किसी कोण के आकार को दर्शाने वाले चर के रूप (इसके अन्य अर्थ के साथ अस्पष्टता से बचने के लिए, प्रतीक {{math|[[Pi|π]]}} प्रायः पर इस उद्देश्य के लिए उपयोग नहीं किया जाता है) मे उपयोग करना सामान्य है। छोटे रोमन अक्षरों (a, b, c, . . . ) का भी उपयोग किया जाता है। ऐसे परिस्थिति में जहां यह अस्पष्ट नहीं है, एक कोण को बड़े रोमन अक्षर द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो इसके शीर्ष को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस आलेख में आंकड़े देखें। | ||
ज्यामितीय आकृतियों में, कोणों को उन तीन बिंदुओं से भी पहचाना जा सकता है, जो उन्हें परिभाषित करते हैं। उदाहरण के लिए, एबी | ज्यामितीय आकृतियों में, कोणों को उन तीन बिंदुओं से भी पहचाना जा सकता है, जो उन्हें परिभाषित करते हैं। उदाहरण के लिए, एबी (AB) तथा एसी (AC) रेखाओं (अर्थात बिंदु ए (A) से बिंदु बी (b) तथा सी (C) तक की रेखाओं) द्वारा गठित शीर्ष ए (A) वाले कोण को {{math|∠BAC}} या <math>\widehat{\rm BAC}</math> से दर्शाया गया है। जहां अस्पष्टता का कोई संकट नहीं है, कोण को कभी-कभी केवल इसके शीर्ष द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है। | ||
संभावित रूप से, ∠BAC के रूप में निरूपित एक कोण, चार कोणों में से किसी को भी | संभावित रूप से, ∠BAC के रूप में निरूपित एक कोण, चार कोणों में से किसी को भी प्रदर्शित कर सकता है, बी (B) से सी (C) तक का दक्षिणावर्त कोण, बी (B) से सी (C) का वामावर्त कोण, सी (C) से बी (B) का दक्षिणावर्त कोण, या सी (C) से बी (B) का वामावर्त कोण, जहां कोण के माप की दिशा उसका संकेत निर्धारित करती है (धनात्मक और ऋणात्मक कोण देखें)। हालांकि, कई ज्यामितीय स्थितियों में, संदर्भ से यह स्पष्ट है कि धनात्मक कोण 180° डिग्री से कम या उसके बराबर है, ऐसी स्थिति में कोई अस्पष्टता नहीं होती है। अन्यथा, एक समझौता अपनाया जा सकता है ताकि {{math|∠BAC}} हमेशा बी (B) से सी (C) तक वामावर्त (धनात्मक) कोण को संदर्भित करता है, तथा {{math|∠CAB}} सी (C) से बी (B) तक वामावर्त (धनात्मक) कोण। | ||
== कोणों के प्रकार == | == कोणों के प्रकार == | ||
=== व्यक्तिगत कोण === | === व्यक्तिगत कोण === | ||
कोणों के लिए कुछ सामान्य शब्दावली है, जिसका माप हमेशा ऋणात्मक नहीं | कोणों के लिए कुछ सामान्य शब्दावली है, जिसका माप हमेशा ऋणात्मक नहीं होता।<ref>{{Cite web|title=Angles – Acute, Obtuse, Straight and Right|url=https://www.mathsisfun.com/angles.html|access-date=2020-08-17|website=www.mathsisfun.com}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Angle|url=https://mathworld.wolfram.com/Angle.html|access-date=2020-08-17|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> | ||
* 0° के बराबर या मुड़े हुए कोण को शून्य कोण कहा जाता है। | * 0° के बराबर या मुड़े हुए कोण को शून्य कोण कहा जाता है। | ||
* एक समकोण से छोटे (90° से कम) कोण को न्यून कोण (" | * एक समकोण से छोटे (90° (डिग्री) से कम) कोण को न्यून कोण ("न्यून" अर्थात "स्पष्ट") कहा जाता है। | ||
* {{sfrac|4}} मोड़ | * अभिलम्बवत दो रेखाओं द्वारा {{sfrac|4}} मोड़ (टर्न) (90° (डिग्री) या {{sfrac|{{math|π}}|2}} रेडियन) के बराबर के कोण को समकोण कहा जाता है। | ||
* एक समकोण से बड़ा और एक ऋजु कोण से छोटे (90° और 180° के बीच) कोण को अधिक कोण ("अधिक" | * एक समकोण से बड़ा और एक ऋजु कोण से छोटे (90° (डिग्री) और 180° (डिग्री) के बीच) कोण को अधिक कोण ("अधिक" अर्थात "कुंद") कहा जाता है। | ||
* 1/2 मोड़ के बराबर कोण (180° या {{math|π}} रेडियन) को एक ऋजु कोण कहा जाता है। | * 1/2 मोड़ (टर्न) के बराबर कोण (180° (डिग्री) या {{math|π}} रेडियन) को एक ऋजु कोण कहा जाता है। | ||
* एक कोण जो एक ऋजु कोण से | * एक कोण जो एक ऋजु कोण से बड़े तथा 1 मोड़ से कम (180° (डिग्री) और 360° (डिग्री) के बीच) का कोण प्रतिवर्ती कोण कहलाता है। | ||
* 1 मोड़ के बराबर कोण (360° या 2{{math|π}} रेडियन) को पूर्ण कोण, सम्पूर्ण कोण, गोलाकार कोण या पेरिगॉन कहा जाता है। | * 1 मोड़ के बराबर कोण (360° (डिग्री) या 2{{math|π}} रेडियन) को पूर्ण कोण, सम्पूर्ण कोण, गोलाकार कोण या पेरिगॉन कहा जाता है। | ||
* ऐसा कोण जो समकोण का गुणज न हो, तिर्यक कोण कहलाता है। | * ऐसा कोण जो समकोण का गुणज न हो, तिर्यक कोण कहलाता है। | ||
नाम, अंतराल और मापने की इकाइयाँ नीचे दी गई तालिका में दिखाई गई | नाम, अंतराल और मापने की इकाइयाँ नीचे दी गई तालिका में दिखाई गई हैं। | ||
{{Multiple image | {{Multiple image | ||
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=== तुल्यता कोण जोड़े === | === तुल्यता कोण जोड़े === | ||
* समान माप वाले कोण | * समान माप वाले कोण सर्वांगसम कहलाते हैं। एक कोण को उसके माप से परिभाषित किया जाता है और यह कोण की भुजाओं की लंबाई पर निर्भर नहीं होता है (उदाहरण के लिए सभी समकोण माप में बराबर होते हैं)। | ||
* दो कोण जो अंतिम | * दो कोण जो अंतिम रेखाओं का साझा करते हैं, लेकिन एक मोड़ (टर्न) के पूर्णांक गुणक द्वारा आकार में भिन्न होते हैं, कोटरमिनल कोण कहलाते हैं। | ||
* एक संदर्भ कोण किसी भी कोण का न्यून संस्करण है, जिसे बार-बार घटाकर या सीधे कोण (1/2 मोड़, | * एक संदर्भ कोण किसी भी कोण का न्यून संस्करण है, जिसे बार-बार घटाकर या सीधे कोण (1/2 मोड़ (टर्न), 180° (डिग्री) या रेडियन) को जोड़कर निर्धारित किया जाता है,आवश्यकतानुसार परिणामों के लिए, जब तक परिणाम का परिमाण एक न्यून कोण न हो, 0 और{{sfrac|4}} मोड़ (टर्न) के बीच का मान, 90° (डिग्री), या {{sfrac|{{math|π}}|2}} रेडियन। उदाहरण के लिए, 30° (डिग्री) के कोण में 30° डिग्री का संदर्भ कोण होता है, और 150° (डिग्री) के कोण में 30° (डिग्री) (180-150) का संदर्भ कोण भी होता है। 750° (डिग्री) के कोण का संदर्भ कोण 30° (डिग्री) (750-720) होता है।<ref>{{cite web|url=http://www.mathwords.com/r/reference_angle.htm|title=Mathwords: Reference Angle|website=www.mathwords.com|access-date=26 April 2018|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20171023035017/http://www.mathwords.com/r/reference_angle.htm|archive-date=23 October 2017}}</ref> | ||
===लंबवत और आसन्न कोण जोड़े === | ===लंबवत और आसन्न कोण जोड़े === | ||
[[File:Vertical Angles.svg|thumb|150px|right|कोण समानता दिखाने के लिए यहां हैच के निशान का उपयोग किया जाता है।]] | [[File:Vertical Angles.svg|thumb|150px|right|कोण समानता दिखाने के लिए यहां हैच के निशान का उपयोग किया जाता है।]] | ||
जब दो सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर | जब दो सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेदन से चार कोण बनते हैं। जोड़ी में इन कोणों को एक दूसरे के सापेक्ष उनके स्थान के अनुसार नाम दिए गए है। | ||
* | * दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से बनी X-समान आकृति मे एक दूसरे विपरीत मुख के बने एक कोण युग्म को उर्ध्वाधर कोण या सम्मुख कोण या लंबवत सम्मुख कोण कहते हैं। उन्हें vert. opp. ∠s के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.<ref name="tb">{{harvnb|Wong|Wong|2009|pp=161–163}}</ref> उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के ''''यूडेमस'''<nowiki/>' ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।<ref>{{cite book|author=Euclid|author-link=Euclid|title=The Elements|title-link=Euclid's Elements}} प्रस्ताव I:13.</ref>{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के समपूरक हैं, लंबवत कोण माप में बराबर होते हैं। एक ऐतिहासिक टिप्पणी के अनुसार,{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} जब ''''थेल्स'''' ने देखा कि जब मिस्रवासी दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ खींचते हैं, तो वे यह सुनिश्चित करने के लिए लंबवत कोणों को मापते हैं, कि वे समान हैं। ''''थेल्स'''' ने निष्कर्ष निकाला कि कोई यह साबित कर सकता है, कि सभी लंबवत कोण समान होते हैं, यदि कोई कुछ सामान्य धारणाओं को स्वीकार करता है, जैसे | ||
:* सभी समकोण समान होते हैं। | :* सभी समकोण समान होते हैं। | ||
:* बराबर में जोड़े गए बराबर बराबर होते हैं। | :* बराबर में जोड़े गए बराबर बराबर होते हैं। | ||
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[[File:Adjacentangles.svg|right|thumb|225px|कोण A और B आसन्न हैं।]] | [[File:Adjacentangles.svg|right|thumb|225px|कोण A और B आसन्न हैं।]] | ||
* आसन्न कोण, प्रायः adj के रूप में संक्षिप्त। एस ( | * आसन्न कोण, प्रायः adj के रूप में संक्षिप्त। एस (∠s) ऐसे कोण हैं, जो एक सामान्य शीर्ष और रेखा साझा करते हैं लेकिन कोई आंतरिक बिंदु का साझा नहीं करते हैं। दूसरे शब्दों में, आसन्न कोण एक ही भुजा का साझा करते हैं। आसन्न कोण जो एक समकोण, ऋजुकोण या पूर्ण कोण का योग होते हैं, विशेष होते हैं और क्रमशः समपूरक, अनुपूरक और पूरक कोण कहलाते हैं। | ||
एक तिर्यक रेखा एक रेखा है जो (प्रायः समानांतर) रेखाओं की एक जोड़ी को काटती है, और वैकल्पिक आंतरिक कोणों, संगत कोणों, आंतरिक कोणों और बाहरी कोणों से जुड़ी होती है।{{sfn|Jacobs|1974|p=255}} | एक तिर्यक रेखा एक रेखा है जो (प्रायः समानांतर) रेखाओं की एक जोड़ी को काटती है, और वैकल्पिक आंतरिक कोणों, संगत कोणों, आंतरिक कोणों और बाहरी कोणों से जुड़ी होती है।{{sfn|Jacobs|1974|p=255}} | ||
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तीन विशेष कोण जोड़े में कोणों का योग शामिल होता है: | तीन विशेष कोण जोड़े में कोणों का योग शामिल होता है: | ||
[[File:Complement angle.svg|thumb|150px|पूरक कोण <var>a</var> और <var>b</var> (<var>b</var> <var>a</var> और <var>a</var> का पूरक है। > <var>b</var>) का पूरक है।]] | [[File:Complement angle.svg|thumb|150px|पूरक कोण <var>a</var> और <var>b</var> (<var>b</var> <var>a</var> और <var>a</var> का पूरक है। > <var>b</var>) का पूरक है।]] | ||
* पूरक कोण कोण युग्म होते हैं जिनकी मापों का योग एक समकोण | * पूरक कोण कोण युग्म होते हैं, जिनकी मापों का योग एक समकोण ({{sfrac|4}} मोड़, 90° (डिग्री), या {{sfrac|{{math|π}}|2}} रेडियन) होता है ।<ref>{{Cite web|title=Complementary Angles|url=https://www.mathsisfun.com/geometry/complementary-angles.html|access-date=2020-08-17|website=www.mathsisfun.com}}</ref> यदि दो पूरक कोण आसन्न हैं, तो उनकी वह भुजाएँ जो उभयनिष्ठ नहीं होती, एक समकोण बनाती हैं। यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक समकोण त्रिभुज में दो न्यून कोण पूरक होते हैं, क्योंकि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° (डिग्री) होता है, और समकोण स्वयं 90° (डिग्री) का होता है। | ||
:विशेषण समपूरक लैटिन समपूरक से है, जो क्रिया के साथ जुड़ा है, "भरने के लिए"। एक समकोण बनाने के लिए इसके पूरक द्वारा एक न्यून कोण "भरा" जाता है। | :विशेषण समपूरक लैटिन समपूरक से है, जो क्रिया के साथ जुड़ा है, "भरने के लिए"। एक समकोण बनाने के लिए इसके पूरक द्वारा एक न्यून कोण "भरा" जाता है। | ||
: कोण और समकोण के बीच के अंतर को कोण का पूरक कहा जाता है।<ref name="Chisholm 1911">{{harvnb|Chisholm|1911}}</ref> यदि कोण ए (A) और बी (B) पूरक हैं, तो निम्नलिखित संबंध रखते | : कोण और समकोण के बीच के अंतर को कोण का पूरक कहा जाता है।<ref name="Chisholm 1911">{{harvnb|Chisholm|1911}}</ref> यदि कोण ए (A) और बी (B) पूरक हैं, तो निम्नलिखित संबंध रखते है। | ||
:: <math> | :: <math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
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:(एक कोण की स्पर्श रेखा उसके पूरक के सह-स्पर्शरेखा के बराबर होती है और उसका छेदक उसके पूरक के सह-छेदक के बराबर होती है।) | :(एक कोण की स्पर्श रेखा उसके पूरक के सह-स्पर्शरेखा के बराबर होती है और उसका छेदक उसके पूरक के सह-छेदक के बराबर होती है।) | ||
:कुछ त्रिकोणमितीय अनुपातों के नामों में उपसर्ग "सह" समपूरक शब्द को संदर्भित करता है। | :कुछ त्रिकोणमितीय अनुपातों के नामों में उपसर्ग "सह" समपूरक शब्द को संदर्भित करता है। | ||
* दो कोण जो एक ऋजु कोण का योग करते हैं ({{sfrac|2}} मोड़, 180°, या {{math|π}} रेडियन) समपूरक कोण कहलाते हैं।<ref>{{Cite web|title=Supplementary Angles|url=https://www.mathsisfun.com/geometry/supplementary-angles.html|access-date=2020-08-17|website=www.mathsisfun.com}}</ref> यदि दो समपूरक कोण आसन्न हैं (अर्थात एक उभयनिष्ठ शीर्ष है | * दो कोण जो एक ऋजु कोण का योग करते हैं ({{sfrac|2}} मोड़ (टर्न), 180° (डिग्री), या {{math|π}} रेडियन) समपूरक कोण कहलाते हैं।<ref>{{Cite web|title=Supplementary Angles|url=https://www.mathsisfun.com/geometry/supplementary-angles.html|access-date=2020-08-17|website=www.mathsisfun.com}}</ref> यदि दो समपूरक कोण आसन्न हैं (अर्थात एक उभयनिष्ठ शीर्ष है), तो उनकी वह भुजाएँ जो उभयनिष्ठ नहीं होती, एक सीधी रेखा बनाती हैं। ऐसे कोणों को कोणों का रैखिक युग्म कहा जाता है।{{sfn|Jacobs|1974|p=97}} हालांकि, समपूरक कोणों का एक ही रेखा पर होना जरूरी नहीं है। उदाहरण के लिए, समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण तथा [[ चक्रीय चतुर्भुज |चक्रीय चतुर्भुज]] (जिसके शीर्ष सभी एक ही वृत्त पर पड़ते हैं) के सम्मुख कोण समपूरक होते हैं। | ||
:यदि एक बिंदु पी (P) केंद्र ओ (O) वाले वृत्त के बाहर है, और यदि पी (P) से स्पर्श रेखाएँ वृत्त को बिंदु टी (T) और क्यू (Q) पर स्पर्श करती हैं, तो ∠टीपीक्यू (∠TPQ) और ∠टीओक्यू (∠TOQ) पूरक हैं। | :यदि एक बिंदु पी (P) केंद्र ओ (O) वाले वृत्त के बाहर है, और यदि पी (P) से स्पर्श रेखाएँ वृत्त को बिंदु टी (T) और क्यू (Q) पर स्पर्श करती हैं, तो ∠टीपीक्यू (∠TPQ) और ∠टीओक्यू (∠TOQ) पूरक हैं। | ||
:संपूरक कोणों की ज्या बराबर होती है। उनके कोज्या और स्पर्श रेखाएं (जब तक कि | :संपूरक कोणों की ज्या बराबर होती है। उनके कोज्या और स्पर्श रेखाएं (जब तक कि परिभाषित है) परिमाण में बराबर होते हैं, लेकिन विपरीत चिह्न होते हैं। | ||
:यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज के दो कोणों का योग तीसरे का समपूरक होता है, क्योंकि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग एक ऋजु कोण होता है। | :यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज के दो कोणों का योग तीसरे का समपूरक होता है, क्योंकि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग एक ऋजु कोण होता है। | ||
* दो कोण जिनका योग एक पूर्ण कोण (1 मोड़ (टर्न), 360° (डिग्री), या 2{{math|π}} रेडियन) होता है, समपूरक कोण या संयुग्म कोण कहलाते हैं। एक कोण और एक पूर्ण कोण के बीच के अंतर को कोण का योग या कोण का संयुग्मी कहा जाता है। | |||
* दो कोण जिनका योग एक पूर्ण कोण (1 मोड़, 360°, या 2{{math|π}} रेडियन) होता है, समपूरक कोण या संयुग्म कोण कहलाते हैं। एक कोण और एक पूर्ण कोण के बीच के अंतर को कोण का योग या कोण का संयुग्मी कहा जाता है। | |||
===बहुभुज-संबंधित कोण=== | ===बहुभुज-संबंधित कोण=== | ||
* | * एक [[ साधारण बहुभुज |साधारण बहुभुज]] के अंदर का कोण एक आंतरिक कोण कहलाता है। एक साधारण [[ अवतल बहुभुज |अवतल बहुभुज]] में कम से कम एक आंतरिक कोण होता है जो एक प्रतिवर्त कोण होता है। | ||
*: यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज के आंतरिक कोणों के मापों का योग | *: यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज के आंतरिक कोणों के मापों का योग {{math|π}} रेडियन, 180° (डिग्री) या {{sfrac|2}} मोड़ (टर्न) तक होता है। एक साधारण उत्तल चतुर्भुज के आंतरिक कोणों के मापों योग 2{{math|π}} रेडियन, 360° (डिग्री) या 1 मोड़ (टर्न) तक होता हैं। सामान्यतः, n भुजाओं वाले एक साधारण [[ उत्तल बहुभुज |उत्तल बहुभुज]] के आंतरिक कोणों के मापों का योग (n − 2) {{math|π}} रेडियन, (n − 2)180° (डिग्री), (n − 2)2 समकोण, या (n − 2){{sfrac|1|2}} मोड़ (टर्न) होता है। | ||
* एक आंतरिक कोण के पूरक को एक बाह्य कोण कहा जाता है, अर्थात एक आंतरिक कोण और एक बाह्य कोण, कोणों का एक रैखिक युग्म बनाते हैं। बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष पर दो बाहरी कोण होते हैं, प्रत्येक को शीर्ष पर मिलने | * एक आंतरिक कोण के पूरक को एक बाह्य कोण कहा जाता है, अर्थात एक आंतरिक कोण और एक बाह्य कोण, कोणों का एक रैखिक युग्म बनाते हैं। बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष पर दो बाहरी कोण होते हैं, प्रत्येक को शीर्ष पर मिलने वाली दो रेखाओ में से एक को विस्तारित करके प्राप्त करते है, ये दो कोण लंबवत तथा बराबर हैं। एक बाह्य कोण बहुभुज का पता लगाने के लिए एक शीर्ष पर घूर्णन की मात्रा को मापता है।{{sfn|Henderson|Taimina|2005|p=104}} यदि संगत आंतरिक कोण एक प्रतिवर्त कोण है, तो बाह्य कोण को ऋणात्मक माना जाना चाहिए। यहां तक कि एक आसाधारण बहुभुज में भी बाह्य कोण को परिभाषित करना संभव हो सकता है, लेकिन बाह्य कोण माप के चिन्ह को तय करने के लिए किसी को समतल (या सतह) का एक अभिविन्यास चुनना होगा। | ||
*: यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक साधारण उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों का योग, यदि प्रत्येक शीर्ष पर दो बाह्य कोणों में से केवल एक माना | |||