पारस्परिक वितरण: Difference between revisions

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संभाव्यता और सांख्यिकी में, पारस्परिक वितरण, जिसे लॉग-यूनिफ़ॉर्म वितरण के रूप में भी जाना जाता है, एक सतत संभाव्यता वितरण है। वितरण के समर्थन के भीतर, चर के गुणक व्युत्क्रम के समानुपाती होने के कारण, इसकी संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन की विशेषता है।
प्रायिकता और सांख्यिकी में, पारस्परिक वितरण, जिसे लॉग-एकसमान वितरण के रूप में भी जाना जाता है, एक सतत प्रायिकता वितरण है। वितरण के समर्थन के अंतर्गत, चर के गुणक व्युत्क्रम के आनुपातिक होने के कारण, इसकी प्रायिकता घनत्व फलन द्वारा विशेषता है।


पारस्परिक वितरण एक व्युत्क्रम वितरण का एक उदाहरण है, और एक पारस्परिक वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर के व्युत्क्रम (प्रतिलोम) में एक पारस्परिक वितरण होता है।
पारस्परिक वितरण एक व्युत्क्रम वितरण का एक उदाहरण है, और एक पारस्परिक वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर के व्युत्क्रम (प्रतिलोम) में एक पारस्परिक वितरण होता है।
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== परिभाषा ==
== परिभाषा ==


पारस्परिक बंटन का प्रायिकता घनत्व फलन (pdf) है
पारस्परिक वितरण का प्रायिकता घनत्व फलन (पीडीएफ) है


: <math> f( x; a,b ) = \frac{ 1 }{ x [ \log_e( b ) - \log_e( a ) ]} \quad  \text{ for } a \le x \le b \text{ and } a > 0.</math>
: <math> f( x; a,b ) = \frac{ 1 }{ x [ \log_e( b ) - \log_e( a ) ]} \quad  \text{ for } a \le x \le b \text{ and } a > 0.</math>
यहाँ, <math>a</math> और <math>b</math> वितरण के पैरामीटर हैं, जो वितरण के समर्थन की निचली और ऊपरी सीमाएँ हैं, और <math>\log_e</math> [[प्राकृतिक लॉग]] फ़ंक्शन है (आधार e (गणितीय स्थिरांक) का लघुगणक)संचयी वितरण समारोह है
यहाँ, <math>a</math> और <math>b</math> वितरण के प्राचल (पैरामीटर) हैं, जो समर्थन की निचली और ऊपरी सीमाएँ हैं, और <math>\log_e</math> [[प्राकृतिक लॉग]] फलन है (आधार e के लघुगणक) है। संचयी वितरण फलन है


: <math> F( x ; a,b) = \frac{ \log_e( x ) - \log_e( a ) }{ \log_e( b ) - \log_e( a ) } \quad  \text{ for } a \le x \le b.</math>
: <math> F( x ; a,b) = \frac{ \log_e( x ) - \log_e( a ) }{ \log_e( b ) - \log_e( a ) } \quad  \text{ for } a \le x \le b.</math>
== विशेषता ==
== विशेषता ==


=== लॉग-वर्दी और समान वितरण के बीच संबंध ===
=== लॉग-एकसमान और एकसमान वितरण के मध्य संबंध ===


[[File:Reciprocal Histogram.svg|thumb|left|पारस्परिक वितरण से यादृच्छिक विचलन का हिस्टोग्राम और लॉग-हिस्टोग्राम]]यदि X का लघुगणक समान रूप से वितरित है, तो एक सकारात्मक यादृच्छिक चर X लॉग-समान रूप से वितरित है,
[[File:Reciprocal Histogram.svg|thumb|left|पारस्परिक वितरण से यादृच्छिक विचलन का आयतचित्र और लॉग-आयतचित्र ]]यदि X का लघुगणक समान रूप से वितरित है, तो एक सकारात्मक यादृच्छिक चर X लॉग-समान रूप से वितरित है,


:<math> \ln(X) \sim \mathcal U(\ln(a), \ln(b)).</math>
:<math> \ln(X) \sim \mathcal U(\ln(a), \ln(b)).</math>
लॉगरिदमिक या एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन के आधार पर ध्यान दिए बिना यह संबंध सत्य है। अगर <math>\log_a(Y)</math> एकसमान वितरित है, तो ऐसा है <math>\log_b(Y)</math>, किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं के लिए <math>a,b\neq 1</math>. इसी तरह अगर <math>e^X</math> लॉग-वर्दी वितरित है, तो ऐसा है <math>a^X</math>, कहाँ <math>0 < a \neq 1</math>.
लघुगणकीय या चरघातांकी फलन के आधार पर ध्यान दिए बिना यह संबंध सत्य है। यदि<math>\log_a(Y)</math> एकसमान वितरित है, तो <math>\log_b(Y)</math>भी समान रूप से वितरित है, किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं <math>a,b\neq 1</math> के लिए। इसी तरह अगर <math>e^X</math> लॉग-एकसमान वितरित है, तो <math>a^X</math>, जहां <math>0 < a \neq 1</math> है।


== अनुप्रयोग ==
== अनुप्रयोग ==


[[संख्यात्मक विश्लेषण]] में पारस्परिक वितरण का काफी [[महत्व]] है, क्योंकि एक [[कंप्यूटर]] के अंकगणितीय संचालन एक सीमित वितरण के रूप में पारस्परिक वितरण में प्रारंभिक स्वैच्छिक वितरण के महत्व को बदलते हैं।<ref name=Hamming1970>[[Richard Hamming|Hamming R. W.]] (1970) [https://archive.org/details/bstj49-8-1609 "On the distribution of numbers"], ''The Bell System Technical Journal'' 49(8) 1609–1625</ref>
[[संख्यात्मक विश्लेषण]] में पारस्परिक वितरण का बहुत [[महत्व]] है, क्योंकि एक [[कंप्यूटर]] के अंकगणितीय संचालन एक सीमित वितरण के रूप में प्रारंभिक स्वैच्छिक वितरण के साथ प्रारंभ को पारस्परिक वितरण में बदल देते हैं।<ref name=Hamming1970>[[Richard Hamming|Hamming R. W.]] (1970) [https://archive.org/details/bstj49-8-1609 "On the distribution of numbers"], ''The Bell System Technical Journal'' 49(8) 1609–1625</ref>
 
 
==संदर्भ==
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Revision as of 15:16, 25 March 2023

Reciprocal
Probability density function
Probability density function
Cumulative distribution function
Cumulative distribution function
Parameters
Support
PDF
CDF
Mean
Median
Variance

प्रायिकता और सांख्यिकी में, पारस्परिक वितरण, जिसे लॉग-एकसमान वितरण के रूप में भी जाना जाता है, एक सतत प्रायिकता वितरण है। वितरण के समर्थन के अंतर्गत, चर के गुणक व्युत्क्रम के आनुपातिक होने के कारण, इसकी प्रायिकता घनत्व फलन द्वारा विशेषता है।

पारस्परिक वितरण एक व्युत्क्रम वितरण का एक उदाहरण है, और एक पारस्परिक वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर के व्युत्क्रम (प्रतिलोम) में एक पारस्परिक वितरण होता है।

परिभाषा

पारस्परिक वितरण का प्रायिकता घनत्व फलन (पीडीएफ) है

यहाँ, और वितरण के प्राचल (पैरामीटर) हैं, जो समर्थन की निचली और ऊपरी सीमाएँ हैं, और प्राकृतिक लॉग फलन है (आधार e के लघुगणक) है। संचयी वितरण फलन है

विशेषता

लॉग-एकसमान और एकसमान वितरण के मध्य संबंध

पारस्परिक वितरण से यादृच्छिक विचलन का आयतचित्र और लॉग-आयतचित्र

यदि X का लघुगणक समान रूप से वितरित है, तो एक सकारात्मक यादृच्छिक चर X लॉग-समान रूप से वितरित है,

लघुगणकीय या चरघातांकी फलन के आधार पर ध्यान दिए बिना यह संबंध सत्य है। यदि एकसमान वितरित है, तो भी समान रूप से वितरित है, किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं के लिए। इसी तरह अगर लॉग-एकसमान वितरित है, तो , जहां है।

अनुप्रयोग

संख्यात्मक विश्लेषण में पारस्परिक वितरण का बहुत महत्व है, क्योंकि एक कंप्यूटर के अंकगणितीय संचालन एक सीमित वितरण के रूप में प्रारंभिक स्वैच्छिक वितरण के साथ प्रारंभ को पारस्परिक वितरण में बदल देते हैं।[1]

संदर्भ

  1. Hamming R. W. (1970) "On the distribution of numbers", The Bell System Technical Journal 49(8) 1609–1625