त्रिकोणमितीय पहचान की सूची

त्रिकोणमिति में, त्रिकोणमितीय पहचान समानताएं होती हैं जो त्रिकोणमितीय कार्यों को शामिल करती हैं और घटित चर के प्रत्येक मूल्य के लिए सही होती हैं, जिसके लिए समानता के दोनों पक्षों को परिभाषित किया जाता है।ज्यामितीय रूप से, ये एक या एक से अधिक कोणों के कुछ कार्यों से जुड़ी पहचान हैं।वे त्रिभुज पहचान से अलग हैं, जो संभावित रूप से कोणों को शामिल करने वाली पहचान हैं, लेकिन एक त्रिभुज की लंबाई या अन्य लंबाई भी शामिल हैं।

जब भी त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़े अभिव्यक्तियों को सरल बनाने की आवश्यकता होती है, तो ये पहचान उपयोगी होती हैं।एक महत्वपूर्ण एप्लिकेशन गैर-सैन्य-संबंधी कार्यों का एकीकरण है: एक सामान्य तकनीक में पहले एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के साथ प्रतिस्थापन नियम का उपयोग करना शामिल होता है, और फिर एक त्रिकोणमितीय पहचान के साथ परिणामी अभिन्न को सरल बनाता है।

पाइथागोरियन पहचान

Main article: Pythagorean trigonometric identity

ट्राइगोनोमेट्रिक फ़ंक्शंस और यूनिट सर्कल पर उनके पारस्परिकता।सभी दाहिने-कोण वाले त्रिकोण समान हैं, अर्थात् उनके संबंधित पक्षों के बीच अनुपात समान हैं।पाप के लिए, कॉस और टैन यूनिट-लेंथ त्रिज्या त्रिभुज के हाइपोटेनस को बनाता है जो उन्हें परिभाषित करता है।पारस्परिक पहचान त्रिकोणों में पक्षों के अनुपात के रूप में उत्पन्न होती है जहां यह यूनिट लाइन अब हाइपोटेनस नहीं है।त्रिभुज छायांकित नीला पहचान को दिखाता है $1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta$, और लाल त्रिकोण से पता चलता है कि $\tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta$।

साइन और कोसाइन के बीच मूल संबंध पाइथागोरियन पहचान द्वारा दिया गया है:

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$

कहाँ पे $\sin ^{2}\theta$ साधन $(\sin \theta )^{2}$ तथा $\cos ^{2}\theta$ साधन $(\cos \theta )^{2}.$ इसे पाइथागोरियन प्रमेय के एक संस्करण के रूप में देखा जा सकता है, और समीकरण से अनुसरण करता है $x^{2}+y^{2}=1$ यूनिट सर्कल के लिए।इस समीकरण को साइन या कोसाइन के लिए हल किया जा सकता है:

${\begin{aligned}\sin \theta &=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }},\\\cos \theta &=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\end{aligned}}$

जहां संकेत के चतुर्थांश पर निर्भर करता है $\theta .$ इस पहचान को विभाजित करना $\sin ^{2}\theta$, $\cos ^{2}\theta$, या दोनों निम्नलिखित पहचान प्राप्त करते हैं:

$1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta$

$\tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta$

$\sec ^{2}\theta +\csc ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \csc ^{2}\theta$

इन पहचानों का उपयोग करते हुए, किसी भी अन्य (प्लस या माइनस साइन तक) के संदर्भ में किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को व्यक्त करना संभव है:

Each trigonometric function in terms of each of the other five.

in terms of	$\sin \theta$	$\csc \theta$	$\cos \theta$	$\sec \theta$	$\tan \theta$	$\cot \theta$
$\sin \theta =$	$\sin \theta$	${\frac {1}{\csc \theta }}$	$\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}$	$\pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
$\csc \theta =$	${\frac {1}{\sin \theta }}$	$\csc \theta$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}$	$\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}$
$\cos \theta =$	$\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}$	$\cos \theta$	${\frac {1}{\sec \theta }}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
$\sec \theta =$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	${\frac {1}{\cos \theta }}$	$\sec \theta$	$\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}$
$\tan \theta =$	$\pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}$	$\pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}$	$\tan \theta$	${\frac {1}{\cot \theta }}$
$\cot \theta =$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}$	$\pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}$	$\pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	${\frac {1}{\tan \theta }}$	$\cot \theta$

प्रतिबिंब, बदलाव, और आवधिकता

यूनिट सर्कल की जांच करके, कोई त्रिकोणमितीय कार्यों के निम्नलिखित गुणों को स्थापित कर सकता है।

प्रतिबिंब

जब एक यूक्लिडियन वेक्टर की दिशा को एक कोण द्वारा दर्शाया जाता है $\theta ,$ यह मुक्त वेक्टर (मूल में शुरू) और सकारात्मक द्वारा निर्धारित कोण है $x$-इकाई वेक्टर।एक ही अवधारणा को एक यूक्लिडियन स्थान में लाइनों पर भी लागू किया जा सकता है, जहां कोण यह है कि मूल और सकारात्मक के माध्यम से दी गई रेखा के समानांतर द्वारा निर्धारित किया जाता है $x$-एक्सिस।यदि दिशा के साथ एक लाइन (वेक्टर) $\theta$ दिशा के साथ एक रेखा के बारे में परिलक्षित होता है $\alpha ,$ फिर दिशा कोण $\theta ^{\prime }$ इस परावर्तित लाइन (वेक्टर) का मान है

$$\theta ^{\prime }=2\alpha -\theta .$$

इन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान $\theta ,\;\theta ^{\prime }$ विशिष्ट कोणों के लिए $\alpha$ सरल पहचान को संतुष्ट करें: या तो वे समान हैं, या विपरीत संकेत हैं, या पूरक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को नियोजित करते हैं।इन्हें भी जाना जाता है reduction formulae.

$\theta$ reflected in $\alpha =0$ odd/even identities	$\theta$ reflected in $\alpha ={\frac {\pi }{4}}$	$\theta$ reflected in $\alpha ={\frac {\pi }{2}}$	$\theta$ reflected in $\alpha ={\frac {3\pi }{4}}$	$\theta$ reflected in $\alpha =\pi$ compare to $\alpha =0$
$\sin(-\theta )=-\sin \theta$	$\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta$	$\sin(\pi -\theta )=+\sin \theta$	$\sin \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\cos \theta$	$\sin(2\pi -\theta )=-\sin(\theta )=\sin(-\theta )$
$\cos(-\theta )=+\cos \theta$	$\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta$	$\cos(\pi -\theta )=-\cos \theta$	$\cos \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\sin \theta$	$\cos(2\pi -\theta )=+\cos(\theta )=\cos(-\theta )$
$\tan(-\theta )=-\tan \theta$	$\tan \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cot \theta$	$\tan(\pi -\theta )=-\tan \theta$	$\tan \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=+\cot \theta$	$\tan(2\pi -\theta )=-\tan(\theta )=\tan(-\theta )$
$\csc(-\theta )=-\csc \theta$	$\csc \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sec \theta$	$\csc(\pi -\theta )=+\csc \theta$	$\csc \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\sec \theta$	$\csc(2\pi -\theta )=-\csc(\theta )=\csc(-\theta )$
$\sec(-\theta )=+\sec \theta$	$\sec \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc \theta$	$\sec(\pi -\theta )=-\sec \theta$	$\sec \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\csc \theta$	$\sec(2\pi -\theta )=+\sec(\theta )=\sec(-\theta )$
$\cot(-\theta )=-\cot \theta$	$\cot \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\tan \theta$	$\cot(\pi -\theta )=-\cot \theta$	$\cot \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=+\tan \theta$	$\cot(2\pi -\theta )=-\cot(\theta )=\cot(-\theta )$

शिफ्ट और आवधिकता

कोण को स्थानांतरित करते समय निर्देशांक (ए, बी) का परिवर्तन $\theta$ की वृद्धि में ${\frac {\pi }{2}}$।

Shift by one quarter period	Shift by one half period	Shift by full periods	Period
$\sin(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \cos \theta$	$\sin(\theta +\pi )=-\sin \theta$	$\sin(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sin \theta$	$2\pi$
$\cos(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \sin \theta$	$\cos(\theta +\pi )=-\cos \theta$	$\cos(\theta +k\cdot 2\pi )=+\cos \theta$	$2\pi$
$\csc(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \sec \theta$	$\csc(\theta +\pi )=-\csc \theta$	$\csc(\theta +k\cdot 2\pi )=+\csc \theta$	$2\pi$
$\sec(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \csc \theta$	$\sec(\theta +\pi )=-\sec \theta$	$\sec(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sec \theta$	$2\pi$
$\tan(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta }}$	$\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\cot \theta$	$\tan(\theta +k\cdot \pi )=+\tan \theta$	$\pi$
$\cot(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\cot \theta \mp 1}{1\pm \cot \theta }}$	$\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\tan \theta$	$\cot(\theta +k\cdot \pi )=+\cot \theta$	$\pi$

कोण योग और अंतर पहचान

See also: Proofs of trigonometric identities § Angle sum identities, and Small-angle approximation § Angle sum and difference

तीव्र कोणों के साइन और कोसाइन के लिए कोण जोड़ के सूत्रों का चित्रण।जोर दिया खंड इकाई लंबाई का है।

इन्हें भी के रूप में जाना जाता है angle addition and subtraction theorems (या formulae)।

${\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\\sin(\alpha -\beta )&=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha +\beta )&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha -\beta )&=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}$

इन पहचानों को निम्नलिखित तालिका की पहले दो पंक्तियों में संक्षेपित किया गया है, जिसमें अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए योग और अंतर पहचान भी शामिल हैं।

Sine	$\sin(\alpha \pm \beta )$			$=$	$\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
Cosine	$\cos(\alpha \pm \beta )$			$=$	$\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
Tangent	$\tan(\alpha \pm \beta )$			$=$	${\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$
Cosecant	$\csc(\alpha \pm \beta )$			$=$	${\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \beta }}$
Secant	$\sec(\alpha \pm \beta )$			$=$	${\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\csc \alpha \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta }}$
Cotangent	$\cot(\alpha \pm \beta )$			$=$	${\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}$
Arcsine	$\arcsin x\pm \arcsin y$			$=$	$\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}\pm y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$
Arccosine	$\arccos x\pm \arccos y$			$=$	$\arccos \left(xy\mp {\sqrt {\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)}}\right)$
Arctangent	$\arctan x\pm \arctan y$			$=$	$\arctan \left({\frac {x\pm y}{1\mp xy}}\right)$
Arccotangent	$\operatorname {arccot} x\pm \operatorname {arccot} y$			$=$	$\operatorname {arccot} \left({\frac {xy\mp 1}{y\pm x}}\right)$

सिन और अनंततापूर्ण रूप से कई कोणों के योगों के कोसाइन

जब श्रृंखला ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}$ तब बिल्कुल परिवर्तित होता है

$\sin \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)$

$\cos \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)\,.$

क्योंकि श्रृंखला ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}$ बिल्कुल परिवर्तित करता है, यह जरूरी है कि मामला है ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\theta _{i}=0,}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\sin \theta _{i}=0,}$ तथा ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\cos \theta _{i}=1.}$ विशेष रूप से, इन दो पहचानों में एक विषमता दिखाई देती है जो कि कई कोणों के योगों के मामले में नहीं देखी जाती है: प्रत्येक उत्पाद में, केवल कई साइन कारक होते हैं, लेकिन कई कोसाइन कारक होते हैं।असीम रूप से कई साइन कारकों के साथ शब्द आवश्यक रूप से शून्य के बराबर होंगे।

जब केवल कई कोणों के कई $\theta _{i}$ नॉनज़ेरो हैं, तो केवल दाईं ओर की कई शर्तें नॉनज़ेरो हैं क्योंकि सभी लेकिन सभी साइन कारक गायब हो जाते हैं।इसके अलावा, प्रत्येक शब्द में सभी लेकिन बारीक रूप से कई कोसाइन कारक एकता हैं।

स्पर्शरेखा और sums के cotangents

होने देना $e_{k}$ (के लिये $k=0,1,2,3,\ldots$) बनो kचरों में Th-degree प्राथमिक सममित बहुपद

$$x_{i}=\tan \theta _{i}$$

के लिये $i=0,1,2,3,\ldots ,$ वह है,

${\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{i}x_{i}&&=\sum _{i}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}&&=\sum _{i<j}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{i<j<k}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{i<j<k}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&{}\ \ \vdots &&{}\ \ \vdots \end{aligned}}$

फिर

${\begin{aligned}\tan \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {\sin \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)/\prod _{i}\cos \theta _{i}}{\cos \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)/\prod _{i}\cos \theta _{i}}}\\&={\frac {\displaystyle \sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}{\displaystyle \sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}}={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\\cot \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}$

ऊपर साइन और कोसाइन योग सूत्र का उपयोग करना।

दाईं ओर शर्तों की संख्या बाईं ओर शर्तों की संख्या पर निर्भर करती है।

उदाहरण के लिए:

और इसी तरह।गणितीय प्रेरण द्वारा केवल कई शर्तों का मामला साबित किया जा सकता है।

Secant और cosecant of sums

${\begin{aligned}\sec \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]\csc \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}$

कहाँ पे $e_{k}$ है kमें th- डिग्री प्राथमिक सममित बहुपद n चर $x_{i}=\tan \theta _{i},$ $i=1,\ldots ,n,$ और भाजक में शर्तों की संख्या और अंश में उत्पाद में कारकों की संख्या बाईं ओर राशि में शर्तों की संख्या पर निर्भर करती है।केवल कई शर्तों का मामला इस तरह की शर्तों की संख्या पर गणितीय प्रेरण द्वारा साबित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए,

${\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}.\end{aligned}}$

टॉलेमी का प्रमेय

आरेख टॉलेमी के प्रमेय और साइन के लिए कोण योग ट्रिग पहचान के बीच संबंध को दर्शाता है।

Main article: Ptolemy's theorem

ट्रायमोनोमेट्रिक पहचान के इतिहास में टॉलेमी का प्रमेय महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह है कि साइन और कोसाइन के लिए योग और अंतर सूत्रों के बराबर परिणाम पहले साबित हुए (त्रिकोणमिति के पृष्ठ इतिहास में शास्त्रीय पुरातनता पर अनुभाग देखें)।इसमें कहा गया है कि एक चक्रीय चतुर्भुज में $ABCD$, जैसा कि साथ में दिखाया गया है, विपरीत पक्षों की लंबाई के उत्पादों का योग विकर्णों की लंबाई के उत्पाद के बराबर है।विकर्णों या पक्षों में से एक के विशेष मामलों में सर्कल का व्यास होने के कारण, यह प्रमेय सीधे कोण योग और अंतर त्रिकोणमितीय पहचान को जन्म देता है।संबंध सबसे आसानी से अनुसरण करता है जब सर्कल का निर्माण लंबाई एक का व्यास करने के लिए किया जाता है, जैसा कि यहां दिखाया गया है।

थेल्स के प्रमेय द्वारा, $\angle DAB$ तथा $\angle DCB$ दोनों समकोण हैं।दाहिने-कोण त्रिकोण $DAB$ तथा $DCB$ दोनों हाइपोटेनस को साझा करते हैं ${\overline {BD}}$ लंबाई 1. इस प्रकार, पक्ष ${\overline {AB}}=\sin \alpha$, ${\overline {AD}}=\cos \alpha$, ${\overline {BC}}=\sin \beta$ तथा ${\overline {CD}}=\cos \beta$।

उत्कीर्ण कोण प्रमेय द्वारा, केंद्रीय कोण कॉर्ड द्वारा घटाया गया ${\overline {AC}}$ सर्कल के केंद्र में कोण से दोगुना है $\angle ADC$, अर्थात। $2(\alpha +\beta )$।इसलिए, लाल त्रिकोणों की सममित जोड़ी प्रत्येक कोण है $\alpha +\beta$ केंद्र में।इन त्रिकोणों में से प्रत्येक में लंबाई का एक सम्मोहन होता है ${\frac {1}{2}}$, तो की लंबाई ${\overline {AC}}$ है $2\times {\frac {1}{2}}\sin(\alpha +\beta )$, यानी बस $\sin(\alpha +\beta )$।चतुर्भुज का अन्य विकर्ण लंबाई 1 का व्यास है, इसलिए विकर्णों की लंबाई का उत्पाद भी है $\sin(\alpha +\beta )$।

जब इन मूल्यों को टॉलेमी के प्रमेय के कथन में प्रतिस्थापित किया जाता है $|{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AB}}|\cdot |{\overline {CD}}|+|{\overline {AD}}|\cdot |{\overline {BC}}|$, यह साइन के लिए कोण राशि त्रिकोणमितीय पहचान देता है: $\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$।के लिए कोण अंतर सूत्र $\sin(\alpha -\beta )$ पक्ष को देकर समान रूप से व्युत्पन्न किया जा सकता है ${\overline {CD}}$ के बजाय एक व्यास के रूप में परोसें ${\overline {BD}}$.

मल्टीपल-एंगल फॉर्मूला

Tn is the nth Chebyshev polynomial	$\cos(n\theta )=T_{n}(\cos \theta )$
de Moivre's formula, i is the imaginary unit	$\cos(n\theta )+i\sin(n\theta )=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}$

मल्टीपल-एंगल फॉर्मूला

डबल-एंगल फॉर्मूला

साइन के लिए डबल-एंगल फॉर्मूला का दृश्य प्रदर्शन।क्षेत्र, 1/2 × बेस × ऊंचाई, एक समद्विबाहु त्रिभुज की गणना की जाती है, पहले जब ईमानदार, और फिर उसके पक्ष में।जब सीधा, क्षेत्र = $\sin \theta \cos \theta$।जब इसकी तरफ, क्षेत्र = 1/2 $\sin 2\theta$।त्रिभुज को घुमाने से उसका क्षेत्र नहीं बदलता है, इसलिए ये दो भाव समान हैं।इसलिए, $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$।

दो बार एक कोण के लिए सूत्र।:$\sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta ={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}$

$\cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}$

$\tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$

$\cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}$

$\sec(2\theta )={\frac {\sec ^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}={\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$

$\csc(2\theta )={\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}={\frac {1+\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}$

ट्रिपल-कोण सूत्र

ट्रिपल कोणों के लिए सूत्र।

$\sin(3\theta )=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta =4\sin \theta \sin \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)$

$\cos(3\theta )=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =4\cos \theta \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)$

$\tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}=\tan \theta \tan \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\tan \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)$

$\cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}$

$\sec(3\theta )={\frac {\sec ^{3}\theta }{4-3\sec ^{2}\theta }}$

$\csc(3\theta )={\frac {\csc ^{3}\theta }{3\csc ^{2}\theta -4}}$

मल्टीपल-एंगल और आधा-कोण सूत्र

$\tan(n\theta )={\frac {\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }{\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }}$

Chebyshev विधि

Chebyshev विधि खोजने के लिए एक पुनरावर्ती एल्गोरिथ्म है nTh मल्टीपल एंगल फॉर्मूला जानने वाला $(n-1)$वें और $(n-2)$वें मान।

$\cos(nx)$ से गणना की जा सकती है $\cos((n-1)x)$, $\cos((n-2)x)$, तथा $\cos(x)$ साथ

$\cos(nx)=2\cos x\cos((n-1)x)-\cos((n-2)x)$।

यह सूत्रों को एक साथ जोड़कर साबित किया जा सकता है

$\cos((n-1)x+x)=\cos((n-1)x)\cos x-\sin((n-1)x)\sin x$

$\cos((n-1)x-x)=\cos((n-1)x)\cos x+\sin((n-1)x)\sin x$

यह प्रेरण द्वारा इस प्रकार है कि $\cos(nx)$ का एक बहुपद है $\cos x,$ पहली तरह के तथाकथित Chebyshev बहुपद, Chebyshev Polynomials#त्रिकोणमितीय परिभाषा देखें।

इसी तरह, $\sin(nx)$ से गणना की जा सकती है $\sin((n-1)x)$, $\sin((n-2)x)$, तथा cos(x) साथ

$\sin(nx)=2\cos x\sin((n-1)x)-\sin((n-2)x)$

यह सूत्रों को जोड़कर साबित किया जा सकता है $\sin((n-1)x+x)$ तथा $\sin((n-1)x-x)$।

Chebyshev विधि के समान एक उद्देश्य की सेवा करना, स्पर्शरेखा के लिए हम लिख सकते हैं:

$\tan(nx)={\frac {\tan((n-1)x)+\tan x}{1-\tan((n-1)x)\tan x}}\,.$

आधा-कोण सूत्र

${\begin{aligned}\sin {\frac {\theta }{2}}&=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\cos {\frac {\theta }{2}}&=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}=\csc \theta -\cot \theta ={\frac {\tan \theta }{1+\sec {\theta }}}\\[6mu]&=\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}={\frac {-1+\operatorname {sgn}(\cos \theta ){\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}{\tan \theta }}\\[3pt]\cot {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}=\csc \theta +\cot \theta =\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}\end{aligned}}$

भी

${\begin{aligned}\tan {\frac {\eta \pm \theta }{2}}&={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[3pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[3pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}{\left|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}}\end{aligned}}$

तालिका

See also: Tangent half-angle formula

इन्हें योग और अंतर पहचान या कई-कोण सूत्रों का उपयोग करके दिखाया जा सकता है।

	Sine	Cosine	Tangent	Cotangent
Double-angle formula	${\begin{aligned}\sin(2\theta )&=2\sin \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cos(2\theta )&=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\sin ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}$	$\tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$	$\cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}$
Triple-angle formula	${\begin{aligned}\sin(3\theta )&=-\sin ^{3}\theta +3\cos ^{2}\theta \sin \theta \\&=-4\sin ^{3}\theta +3\sin \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cos(3\theta )&=\cos ^{3}\theta -3\sin ^{2}\theta \cos \theta \\&=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \end{aligned}}$	$\tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}$	$\cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}$
Half-angle formula	${\begin{aligned}&\sin {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn}(A)\,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\\\&{\text{where }}A=2\pi -\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\theta }{4\pi }}\right\rfloor \\\\&\left({\text{or }}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&\cos {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn}(B)\,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\\\&{\text{where }}B=\pi +\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\pi -\theta }{4\pi }}\right\rfloor \\\\&\left({\text{or }}\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}\\[3pt]&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\[3pt]&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\[5pt]\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}&={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[5pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[5pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}{\left|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}}\\[5pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&={\frac {\tan \theta }{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}\\&{\text{for }}\theta \in \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}\\[3pt]&={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}\\[4pt]&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}$

तथ्य यह है कि साइन और कोसाइन के लिए ट्रिपल-एंगल फॉर्मूला में केवल एक ही फ़ंक्शन की शक्तियां शामिल होती हैं, जो एक कम्पास की ज्यामितीय समस्या और कोण के निर्माण के सीधे निर्माण की अनुमति देता है, जो एक क्यूबिक समीकरण को हल करने की बीजीय समस्या के लिए कोण त्रिविदक को साबित करता है, जो एक को साबित करने की अनुमति देता हैफील्ड थ्योरी द्वारा दिए गए उपकरणों का उपयोग करके यह त्रस्त सामान्य रूप से असंभव है। एक तिहाई कोण के लिए त्रिकोणमितीय पहचान की गणना के लिए एक सूत्र मौजूद है, लेकिन इसे क्यूबिक समीकरण के शून्य खोजने की आवश्यकता है 4x³ − 3x + d = 0, कहाँ पे $x$ एक तिहाई कोण पर कोसाइन फ़ंक्शन का मान है और d पूर्ण कोण पर कोसाइन फ़ंक्शन का ज्ञात मान है।हालांकि, इस समीकरण का भेदभाव सकारात्मक है, इसलिए इस समीकरण में तीन वास्तविक जड़ें हैं (जिनमें से केवल एक तिहाई कोण के कोसाइन के लिए समाधान है)।इनमें से कोई भी समाधान एक वास्तविक बीजीय अभिव्यक्ति के लिए reducible नहीं है, क्योंकि वे क्यूब जड़ों के तहत मध्यवर्ती जटिल संख्याओं का उपयोग करते हैं।

पावर-रिडक्शन फॉर्मूला

कोसाइन डबल-एंगल फॉर्मूला के दूसरे और तीसरे संस्करणों को हल करके प्राप्त किया गया।

Sine	Cosine	Other
$\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}$	$\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}$	$\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos(4\theta )}{8}}$
$\sin ^{3}\theta ={\frac {3\sin \theta -\sin(3\theta )}{4}}$	$\cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos(3\theta )}{4}}$	$\sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {3\sin(2\theta )-\sin(6\theta )}{32}}$
$\sin ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}$	$\cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}$	$\sin ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(4\theta )+\cos(8\theta )}{128}}$
$\sin ^{5}\theta ={\frac {10\sin \theta -5\sin(3\theta )+\sin(5\theta )}{16}}$	$\cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos(3\theta )+\cos(5\theta )}{16}}$	$\sin ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {10\sin(2\theta )-5\sin(6\theta )+\sin(10\theta )}{512}}$

कोसाइन पावर-रिडक्शन फॉर्मूला: एक इलस्ट्रेटिव आरेख।लाल, नारंगी और नीले रंग के त्रिकोण सभी समान हैं, और लाल और नारंगी त्रिकोण बधाई हैं।हाइपोटेनस ${\overline {AD}}$ नीले त्रिभुज की लंबाई होती है $2\cos \theta$।कोना $\angle DAE$ है $\theta$, तो आधार ${\overline {AE}}$ उस त्रिभुज की लंबाई है $2\cos ^{2}\theta$।यह लंबाई भी सार्थित लंबाई के बराबर है ${\overline {BD}}$ तथा ${\overline {AF}}$, अर्थात। $1+\cos(2\theta )$।इसलिए, $2\cos ^{2}\theta =1+\cos(2\theta )$, जब दोनों पक्षों को विभाजित किया जाता है, तो बिजली-कटौती सूत्र की उपज $2$।कोसाइन के लिए आधा-कोण सूत्र को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जा सकता है $\theta$ साथ $\theta /2$ और दोनों पक्षों के वर्ग-रूट को लेना।

साइन पावर-रिडक्शन फॉर्मूला: एक इलस्ट्रेटिव आरेख।छायांकित नीले और हरे त्रिकोण, और लाल-बाहर त्रिभुज $EBD$ सभी सही-कोण और समान हैं, और सभी में कोण होते हैं $\theta$।हाइपोटेनस ${\overline {BD}}$ लाल-आउटलाइन त्रिभुज की लंबाई होती है $2\sin \theta$, तो इसका पक्ष ${\overline {DE}}$ लंबाई है $2\sin ^{2}\theta$।लाइन सेगमेंट ${\overline {AE}}$ लंबाई है $\cos 2\theta$ और की लंबाई का योग ${\overline {AE}}$ तथा ${\overline {DE}}$ की लंबाई के बराबर है ${\overline {AD}}$, जो 1. इसलिए है, $\cos 2\theta +2\sin ^{2}\theta =1$।घटाने $\cos 2\theta$ दोनों पक्षों से और दो से दो से विभाजित होने से साइन के लिए पावर-रिडक्शन फॉर्मूला होता है।साइन के लिए आधा-कोण सूत्र को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जा सकता है $\theta$ साथ $\theta /2$ और दोनों पक्षों के वर्ग-रूट को लेना।ध्यान दें कि यह आंकड़ा ऊर्ध्वाधर रेखा खंड में भी दिखाता है ${\overline {EB}}$, वह $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$।

की शक्तियों के सामान्य शब्दों में $\sin \theta$ या $\cos \theta$ निम्नलिखित सत्य है, और डी मोइवरे के फॉर्मूला, यूलर के सूत्र और द्विपद प्रमेय का उपयोग करके कटौती की जा सकती है।

	Cosine	Sine
${\text{if }}n{\text{ is odd}}$	$\cos ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$	$\sin ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{\left({\frac {n-1}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\sin {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$
${\text{if }}n{\text{ is even}}$	$\cos ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$	$\sin ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$

== उत्पाद-से-राशि और योग-टू-उत्पाद पहचान ==उत्पाद-से-योग पहचान या प्रोस्थैफेरेसिस फॉर्मूला कोण के अतिरिक्त प्रमेय का उपयोग करके अपने दाहिने हाथ की ओर का विस्तार करके साबित किया जा सकता है।ऐतिहासिक रूप से, इनमें से पहले चार को जोहान्स वर्नर के बाद वर्नर के सूत्रों के रूप में जाना जाता था, जिन्होंने उन्हें खगोलीय गणना के लिए इस्तेमाल किया था।उत्पाद-से-योग सूत्रों के एक अनुप्रयोग के लिए आयाम मॉड्यूलेशन देखें, और एसयूएम-टू-उत्पाद सूत्रों के अनुप्रयोगों के लिए बीट (ध्वनिकी) और चरण डिटेक्टर।

Product-to-sum
$\cos \theta \cos \varphi ={\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi ) \over 2}$
$\sin \theta \sin \varphi ={\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi ) \over 2}$
$\sin \theta \cos \varphi ={\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi ) \over 2}$
$\cos \theta \sin \varphi ={\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi ) \over 2}$
$\tan \theta \tan \varphi ={\frac {\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi )}{\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi )}}$
${\begin{aligned}\prod _{k=1}^{n}\cos \theta _{k}&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\\[6pt]&{\text{where }}e=(e_{1},\cdots ,e_{n})\in S=\{1,-1\}^{n}\end{aligned}}$
$\prod _{k=1}^{n}\sin \theta _{k}={\frac {(-1)^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }}{2^{n}}}{\begin{cases}\sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;{\text{if}}\;n\;{\text{is even}},\\\sum _{e\in S}\sin(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;{\text{if}}\;n\;{\text{is odd}}\end{cases}}$

आरेख साइन और कोसाइन के लिए सम-टू-प्रोडक्ट पहचान को चित्रित करता है।ब्लू राइट-एंगल्ड त्रिभुज में कोण होता है $\theta$ और लाल दाहिने-कोण वाले त्रिभुज में कोण होता है $\varphi$।दोनों की लंबाई का एक हाइपोटेन्यूस है। सहायक कोण, यहां कहा जाता है $p$ तथा $q$, इस तरह का निर्माण किया जाता है $p=(\theta +\varphi )/2$ तथा $q=(\theta -\varphi )/2$।इसलिए, $\theta =p+q$ तथा $\varphi =p-q$।यह दो बधाई बैंगनी-आउटलाइन त्रिकोणों की अनुमति देता है $AFG$ तथा $FCE$ निर्माण करने के लिए, प्रत्येक हाइपोटेनस के साथ $\cos q$ और कोण $p$ उनके आधार पर।लाल और नीले त्रिकोणों की ऊंचाइयों का योग है $\sin \theta +\sin \varphi$, और यह एक बैंगनी त्रिभुज की ऊंचाई से दोगुना है, अर्थात् $2\sin p\cos q$।लिख रहे हैं $p$ तथा $q$ के संदर्भ में उस समीकरण में $\theta$ तथा $\varphi$ साइन के लिए योग-टू-प्रोडक्ट पहचान देता है।इसी तरह, लाल और नीले त्रिकोणों की चौड़ाई का योग कोसाइन के लिए संबंधित पहचान पैदा करता है।

Sum-to-product
$\sin \theta \pm \sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta \pm \varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \varphi }{2}}\right)$
$\cos \theta +\cos \varphi =2\cos \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)$
$\cos \theta -\cos \varphi =-2\sin \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)$
$\tan \theta \pm \tan \varphi ={\frac {\sin(\theta \pm \varphi )}{\cos \theta \cos \varphi }}$

हरमाइट की कोटेंट पहचान

Main article: Hermite's cotangent identity

चार्ल्स हरमाइट ने निम्नलिखित पहचान का प्रदर्शन किया।मान लीजिए $a_{1},\ldots ,a_{n}$ जटिल संख्याएं हैं, जिनमें से कोई भी दो & nbsp के एक पूर्णांक से भिन्न नहीं है;π।होने देना

$A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\cot(a_{k}-a_{j})$

(विशेष रूप से, $A_{1,1},$ एक खाली उत्पाद होने के नाते, & nbsp; 1) है।फिर

$\cot(z-a_{1})\cdots \cot(z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\cot(z-a_{k}).$

सबसे सरल गैर-तुच्छ उदाहरण मामला & nbsp है;n = 2:

$\cot(z-a_{1})\cot(z-a_{2})=-1+\cot(a_{1}-a_{2})\cot(z-a_{1})+\cot(a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2}).$

त्रिकोणमितीय कार्यों के परिमित उत्पाद

कोपरीट पूर्णांक के लिए n, m

$\prod _{k=1}^{n}\left(2a+2\cos \left({\frac {2\pi km}{n}}+x\right)\right)=2\left(T_{n}(a)+{(-1)}^{n+m}\cos(nx)\right)$

कहाँ पे T_n चेबीशेव बहुपद है।

निम्नलिखित संबंध साइन फ़ंक्शन के लिए है

$\prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}}.$

आम तौर पर अधिक

$\sin(nx)=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(x+{\frac {k\pi }{n}}\right).$

रैखिक संयोजन

कुछ उद्देश्यों के लिए यह जानना महत्वपूर्ण है कि एक ही अवधि या आवृत्ति की साइन तरंगों का कोई भी रैखिक संयोजन लेकिन अलग -अलग चरण बदलाव भी एक ही अवधि या आवृत्ति के साथ एक साइन लहर है, लेकिन एक अलग चरण शिफ्ट।यह साइनसॉइड डेटा फिटिंग में उपयोगी है, क्योंकि मापा या मनाया गया डेटा रैखिक रूप से संबंधित हैं a तथा b नीचे-चरण और चतुर्भुज घटकों के आधार के अज्ञात, जिसके परिणामस्वरूप एक सरल जैकबियन है, की तुलना में $c$ तथा $\varphi$।

साइन और कोसाइन

साइन और कोसाइन तरंगों का रैखिक संयोजन, या हार्मोनिक जोड़, एक चरण शिफ्ट और स्केल किए गए आयाम के साथ एकल साइन लहर के बराबर है,

$a\cos x+b\sin x=c\cos(x+\varphi )$

कहाँ पे $c$ तथा $\varphi$ इस के रूप में परिभाषित किया गया है:

${\begin{aligned}c&=\operatorname {sgn}(a){\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\\\varphi &=\operatorname {arctan} \left(-{\frac {b}{a}}\right),\end{aligned}}$

मान लें कि $a\neq 0.$

मनमाना चरण शिफ्ट

आम तौर पर, मनमानी चरण बदलावों के लिए, हमारे पास है

$a\sin(x+\theta _{a})+b\sin(x+\theta _{b})=c\sin(x+\varphi )$

कहाँ पे $c$ तथा $\varphi$ संतुष्ट करना:

${\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}+2ab\cos \left(\theta _{a}-\theta _{b}\right),\\\tan \varphi &={\frac {a\sin \theta _{a}+b\sin \theta _{b}}{a\cos \theta _{a}+b\cos \theta _{b}}}.\end{aligned}}$

दो से अधिक साइनसोइड्स

See also: Phasor addition

सामान्य मामला पढ़ता है

$\sum _{i}a_{i}\sin(x+\theta _{i})=a\sin(x+\theta ),$

कहाँ पे

$a^{2}=\sum _{i,j}a_{i}a_{j}\cos(\theta _{i}-\theta _{j})$

तथा

$\tan \theta ={\frac {\sum _{i}a_{i}\sin \theta _{i}}{\sum _{i}a_{i}\cos \theta _{i}}}.$

Lagrange की त्रिकोणमितीय पहचान

जोसेफ लुइस लैग्रेंज के नाम पर इन पहचानों का नाम है:

$${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}\sin k\theta &={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}\theta -\cos \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\\[5pt]\sum _{k=0}^{n}\cos k\theta &={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}\theta +\sin \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\end{aligned}}$$

के लिये $\theta \not \equiv 0{\pmod {2\pi }}.$ एक संबंधित कार्य Dirichlet kernel है:

$$D_{n}(\theta )=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos k\theta ={\frac {\sin \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}.$$

कुछ रैखिक आंशिक परिवर्तन

यदि $f(x)$ Möbius परिवर्तन द्वारा दिया गया है | रैखिक आंशिक परिवर्तन

$$f(x)={\frac {(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha }},$$

और इसी तरह

$$g(x)={\frac {(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta }},$$

फिर

$$f{\big (}g(x){\big )}=g{\big (}f(x){\big )}={\frac {{\big (}\cos(\alpha +\beta ){\big )}x-\sin(\alpha +\beta )}{{\big (}\sin(\alpha +\beta ){\big )}x+\cos(\alpha +\beta )}}.$$

अधिक tersely कहा, अगर सभी के लिए $\alpha$ हम जाने $f_{\alpha }$ जिसे हमने बुलाया $f$ ऊपर, फिर

$$f_{\alpha }\circ f_{\beta }=f_{\alpha +\beta }.$$

यदि $x$ एक पंक्ति का ढलान है, फिर $f(x)$ एक कोण के माध्यम से इसके रोटेशन की ढलान है $-\alpha .$

जटिल घातीय कार्य से संबंध

Main article: Euler's formula

Euler के सूत्र में कहा गया है कि, किसी भी वास्तविक संख्या X के लिए:

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$$

जहां मैं काल्पनिक इकाई है।X के लिए −x को प्रतिस्थापित करना हमें देता है:

$$e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x.$$

इन दो समीकरणों का उपयोग घातीय फ़ंक्शन के संदर्भ में कोसाइन और साइन के लिए हल करने के लिए किया जा सकता है।विशेष रूप से,

$$\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$$

$$\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$$

ये सूत्र कई अन्य त्रिकोणमितीय पहचान को साबित करने के लिए उपयोगी हैं।उदाहरण के लिए, वह e^i(θ+φ) = e^iθ e^iφ मतलब कि

cos(θ + φ) + i sin(θ + φ) = (cos θ + i sin θ) (cos φ + i sin φ) = (cos θ cos φ − sin θ sin φ) + i (cos θ sin φ + sin θ cos φ)।

बाएं हाथ की ओर का वास्तविक हिस्सा दाहिने हाथ की ओर के वास्तविक भाग के बराबर है, जो कोसाइन के लिए एक कोण जोड़ का सूत्र है।काल्पनिक भागों की समानता साइन के लिए एक कोण जोड़ सूत्र देती है।

निम्न तालिका घातीय फ़ंक्शन और जटिल लघुगणक के संदर्भ में त्रिकोणमितीय कार्यों और उनके व्युत्क्रमों को व्यक्त करती है।

Function	Inverse function
$\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}$	$\arcsin x=-i\,\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$
$\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$	$\arccos x=-i\,\ln \left(x+\,{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$
$\tan \theta =-i\,{\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}$	$\arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)$
$\csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}$	$\operatorname {arccsc} x=-i\,\ln \left({\frac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)$
$\sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}$	$\operatorname {arcsec} x=-i\,\ln \left({\frac {1}{x}}+i{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)$
$\cot \theta =i\,{\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}$	$\operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)$
$\operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }$	$\operatorname {arccis} x=-i\ln x$

अनंत उत्पाद सूत्र

विशेष कार्यों के लिए अनुप्रयोगों के लिए, त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए निम्नलिखित अनंत उत्पाद सूत्र उपयोगी हैं:

$${\begin{aligned}\sin x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)&\cos x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)\\\sinh x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)&\cosh x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)\end{aligned}}$$

उलटा त्रिकोणमितीय कार्य

Main article: Inverse trigonometric functions

निम्नलिखित पहचान एक उलटा त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के साथ एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की रचना करने का परिणाम देती है।

$$\csc ={\frac {1}{\sin }},\;\sec ={\frac {1}{\cos }},{\text{ and }}\cot ={\frac {1}{\tan }}.$$