द्वैत संख्या: Difference between revisions

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बीजगणित में, दोहरी संख्या एक हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या है जिसे पहली बार 19वीं शताब्दी में प्रस्तुत किया गया था। वे $a + bε$ रूप की अभिव्यक्ति (गणित) हैं $a + bε$ , जहाँ $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं, और $ε$ संतुष्ट करने के लिए लिया गया प्रतीक है $\varepsilon ^{2}=0$ साथ $\varepsilon \neq 0$ है

दोहरी संख्याओं को घटक-वार जोड़ा जा सकता है, और सूत्र द्वारा गुणा किया जा सकता है

(a+b\varepsilon )(c+d\varepsilon )=ac+(ad+bc)\varepsilon ,

जो संपत्ति ε2 = 0 और इस तथ्य से अनुसरण करता है कि गुणन एक द्विरेखीय संक्रिया है।

दोहरी संख्या वास्तविक से दो आयाम (रैखिक बीजगणित) का एक क्रमविनिमेय बीजगणित (संरचना) बनाती है, और एक आर्टिनियन स्थानीय रिंग भी। वे एक अंगूठी के सबसे सरल उदाहरणों में से एक हैं जिसमें नॉनज़रो निलपोटेंट तत्व है।

इतिहास

1873 में विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड द्वारा दोहरे नंबर प्रस्तुत किए गए थे, और बीसवीं शताब्दी की प्रारंभ में जर्मन गणितज्ञ एडवर्ड स्टडी द्वारा उपयोग किए गए थे, जिन्होंने उन्हें दोहरे कोण का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया था जो अंतरिक्ष में दो तिरछी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति को मापता है। अध्ययन ने एक दोहरे कोण को परिभाषित किया $θ + dε$ , कहाँ $θ$ त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाओं की दिशाओं के बीच का कोण है और $d$ उनके बीच की दूरी है। वह $n$ -विमीय सामान्यीकरण, ग्रासमान संख्या, 19वीं शताब्दी के अंत में हरमन ग्रासमैन द्वारा प्रस्तुत किया गया था।

== सार बीजगणित == में परिभाषा

अमूर्त बीजगणित में, दोहरी संख्याओं के बीजगणित को अधिकांशतः वास्तविक संख्याओं पर एक बहुपद वलय के भागफल वलय के रूप में परिभाषित किया जाता है। $(\mathbb {R} )$ अनिश्चित (चर) के वर्ग (बीजगणित) द्वारा उत्पन्न प्रमुख आदर्श द्वारा, अर्थात

\mathbb {R} [X]/\left\langle X^{2}\right\rangle .

मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व

दोहरी संख्या $a+b\epsilon$ वर्ग मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है ${\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}$ . इस प्रतिनिधित्व में मैट्रिक्स ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$ वर्ग शून्य मैट्रिक्स के लिए, दोहरी संख्या के अनुरूप $\varepsilon$ है

दोहरी संख्याओं को वर्ग आव्यूहों के रूप में प्रदर्शित करने के अन्य तरीके हैं। वे दोहरी संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं $1$ पहचान मैट्रिक्स द्वारा, और $\epsilon$ किसी मैट्रिक्स द्वारा जिसका वर्ग शून्य मैट्रिक्स है; जिससे इन स्थितियों में $2\times2$ मेट्रिसेस, फॉर्म का कोई भी नॉनजेरो मैट्रिक्स है

(\begin{matrix} a \end{matrix}

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-{{for|dual grammatical number found in some languages|Dual (grammatical number)}}
+{{for|कुछ भाषाओं में दोहरी व्याकरणिक संख्या पाई गई|दोहरी (व्याकरणिक संख्या)}}
 {{Short description|Real numbers, with a nil-squaring element adjoined}}
-[[बीजगणित]] में, दोहरी संख्या एक [[हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या]] है जिसे पहली बार 19वीं शताब्दी में पेश किया गया था। वे रूप की [[अभिव्यक्ति (गणित)]] हैं {{math|''a'' + ''bε''}}, कहाँ {{mvar|a}} और {{mvar|b}} [[वास्तविक संख्या]]एँ हैं, और {{mvar|ε}} संतुष्ट करने के लिए लिया गया प्रतीक है <math>\varepsilon^2 = 0</math> साथ <math>\varepsilon\neq 0</math>.
+[[बीजगणित]] में, दोहरी संख्या एक [[हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या]] है जिसे पहली बार 19वीं शताब्दी में प्रस्तुत किया गया था। वे  {{math|''a'' + ''bε''}} रूप की [[अभिव्यक्ति (गणित)]] हैं '''{{math|''a'' + ''bε''}}''', जहाँ {{mvar|a}} और {{mvar|b}} [[वास्तविक संख्या]]एँ हैं, और {{mvar|ε}} संतुष्ट करने के लिए लिया गया प्रतीक '''है''' <math>\varepsilon^2 = 0</math> साथ <math>\varepsilon\neq 0</math> है
 दोहरी संख्याओं को घटक-वार जोड़ा जा सकता है, और सूत्र द्वारा गुणा किया जा सकता है
 : <math> (a+b\varepsilon)(c+d\varepsilon) = ac + (ad+bc)\varepsilon, </math>
-जो संपत्ति से आता है {{math|1=''ε''{{sup|2}} = 0}} और यह तथ्य कि गुणन एक बिलिनियर संक्रिया है।
+जो संपत्ति ε2 = 0 और इस तथ्य से अनुसरण करता है कि गुणन एक द्विरेखीय संक्रिया है।
 दोहरी संख्या वास्तविक से दो [[आयाम (रैखिक बीजगणित)]] का एक [[क्रमविनिमेय बीजगणित (संरचना)]] बनाती है, और एक आर्टिनियन स्थानीय रिंग भी। वे एक अंगूठी के सबसे सरल उदाहरणों में से एक हैं जिसमें नॉनज़रो निलपोटेंट तत्व है।
 == इतिहास ==
-में [[विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड]] द्वारा दोहरे नंबर पेश किए गए थे, और बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में जर्मन गणितज्ञ [[ एडवर्ड स्टडी ]] द्वारा उपयोग किए गए थे, जिन्होंने उन्हें दोहरे कोण का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया था जो अंतरिक्ष में दो तिरछी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति को मापता है। अध्ययन ने एक दोहरे कोण को परिभाषित किया {{math|''θ'' + ''dε''}}, कहाँ {{mvar|θ}} त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाओं की दिशाओं के बीच का कोण है और {{mvar|d}} उनके बीच की दूरी है। वह {{mvar|n}}-विमीय सामान्यीकरण, ग्रासमान संख्या, 19वीं शताब्दी के अंत में [[हरमन ग्रासमैन]] द्वारा पेश किया गया था।
+में [[विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड]] द्वारा दोहरे नंबर प्रस्तुत किए गए थे, और बीसवीं शताब्दी की प्रारंभ में जर्मन गणितज्ञ [[ एडवर्ड स्टडी ]] द्वारा उपयोग किए गए थे, जिन्होंने उन्हें दोहरे कोण का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया था जो अंतरिक्ष में दो तिरछी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति को मापता है। अध्ययन ने एक दोहरे कोण को परिभाषित किया {{math|''θ'' + ''dε''}}, कहाँ {{mvar|θ}} त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाओं की दिशाओं के बीच का कोण है और {{mvar|d}} उनके बीच की दूरी है। वह {{mvar|n}}-विमीय सामान्यीकरण, ग्रासमान संख्या, 19वीं शताब्दी के अंत में [[हरमन ग्रासमैन]] द्वारा प्रस्तुत किया गया था।
-== [[सार बीजगणित]] == में परिभाषा
+=== == [[सार बीजगणित]] == में परिभाषा ===
+अमूर्त बीजगणित में, दोहरी संख्याओं के बीजगणित को अधिकांशतः वास्तविक संख्याओं पर एक बहुपद वलय के भागफल वलय के रूप में परिभाषित किया जाता है। <math>(\mathbb{R})</math> [[अनिश्चित (चर)]] के [[वर्ग (बीजगणित)]] द्वारा उत्पन्न [[प्रमुख आदर्श]] द्वारा, अर्थात
-अमूर्त बीजगणित में, दोहरी संख्याओं के बीजगणित को अक्सर वास्तविक संख्याओं पर एक बहुपद वलय के भागफल वलय के रूप में परिभाषित किया जाता है। <math>(\mathbb{R})</math> [[अनिश्चित (चर)]] के [[वर्ग (बीजगणित)]] द्वारा उत्पन्न [[प्रमुख आदर्श]] द्वारा, अर्थात
 :<math>\mathbb{R}[X]/\left\langle X^2 \right\rangle.</math>
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 == मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व ==
-दोहरी संख्या <math>a + b \epsilon</math> [[स्क्वायर मैट्रिक्स]] द्वारा दर्शाया जा सकता है <math>\begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}</math>. इस प्रतिनिधित्व में मैट्रिक्स <math>\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math> वर्ग शून्य मैट्रिक्स के लिए, दोहरी संख्या के अनुरूप <math>\varepsilon</math>.
+दोहरी संख्या <math>a + b \epsilon</math> [[स्क्वायर मैट्रिक्स|वर्ग मैट्रिक्स]] द्वारा दर्शाया जा सकता है <math>\begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}</math>. इस प्रतिनिधित्व में मैट्रिक्स <math>\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math> वर्ग शून्य मैट्रिक्स के लिए, दोहरी संख्या के अनुरूप <math>\varepsilon</math> है
-दोहरी संख्याओं को वर्ग आव्यूहों के रूप में प्रदर्शित करने के अन्य तरीके हैं। वे दोहरी संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं <math>1</math> पहचान मैट्रिक्स द्वारा, और  <math>\epsilon</math> किसी मैट्रिक्स द्वारा जिसका वर्ग शून्य मैट्रिक्स है; यानी के मामले में {{math|2×2}} मेट्रिसेस, फॉर्म का कोई भी नॉनजेरो मैट्रिक्स
+दोहरी संख्याओं को वर्ग आव्यूहों के रूप में प्रदर्शित करने के अन्य तरीके हैं। वे दोहरी संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं <math>1</math> पहचान मैट्रिक्स द्वारा, और  <math>\epsilon</math> किसी मैट्रिक्स द्वारा जिसका वर्ग शून्य मैट्रिक्स है; जिससे इन स्थितियों में {{math|2×2}} मेट्रिसेस, फॉर्म का कोई भी नॉनजेरो मैट्रिक्स है
 :<math>\begin{pmatrix}a & b \\ c & -a \end{pmatrix}</math> साथ <math>a^2+bc=0.</math><ref>{{Wikibooks-inline|Abstract Algebra/2x2 real matrices}}</ref>
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      ={} &P(a) + bP^\prime(a)\varepsilon,
 \end{align}</math>
-कहाँ {{math|''P''{{prime}}}} का व्युत्पन्न है {{mvar|P}}.
+जहाँ {{math|''P''{{prime}}}} का व्युत्पन्न है {{mvar|P}} है
 अधिक सामान्यतः, हम किसी भी (विश्लेषणात्मक) वास्तविक कार्य को उसकी [[टेलर श्रृंखला]] को देखकर दोहरी संख्याओं तक बढ़ा सकते हैं:
 : <math>f(a + b\varepsilon) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)} (a)b^n \varepsilon^n}{n!} = f(a) + bf'(a)\varepsilon,</math>
-शामिल होने की सभी शर्तों के बाद से {{math|''ε''<sup>2</sup>}} या अधिक की परिभाषा के अनुसार तुच्छ रूप से 0 हैं {{mvar|ε}}.
+सम्मिलित होने की सभी शर्तों के बाद से {{math|''ε''<sup>2</sup>}} या अधिक की परिभाषा के अनुसार तुच्छ रूप से 0 और {{mvar|ε}}है
 दोहरी संख्याओं पर इन कार्यों की रचनाओं की गणना करके और के गुणांक की जांच करके {{mvar|ε}} परिणाम में हम पाते हैं कि हमने रचना के व्युत्पन्न की स्वचालित रूप से गणना की है।
-के बहुपदों के लिए भी यही विधि काम करती है {{mvar|n}} चर, एक के [[बाहरी बीजगणित]] का उपयोग कर {{mvar|n}}-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष।
+एक समान विधि  '''{{mvar|n}}'''-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष के [[बाहरी बीजगणित]] का उपयोग करके  '''{{mvar|n}}''' चर के बहुपदों के लिए काम करती है।'''के बहुपदों के लिए भी यही विधि काम करती है {{mvar|n}} चर, एक के [[बाहरी बीजगणित]] का उपयोग कर {{mvar|n}}-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष है।'''
 == ज्यामिति ==
-दोहरी संख्या के यूनिट सर्कल में वे होते हैं {{math|''a'' {{=}} ±1}} चूंकि ये संतुष्ट करते हैं {{math|''zz''* {{=}} 1}} कहाँ {{math|''z''* {{=}} ''a'' − ''bε''}}. हालाँकि, ध्यान दें
+दोहरी संख्या के यूनिट सर्कल में वे होते हैं {{math|''a'' {{=}} ±1}} चूंकि ये संतुष्ट करते हैं {{math|''zz''* {{=}} 1}} जहाँ {{math|''z''* {{=}} ''a'' − ''bε''}}. हालाँकि, ध्यान दें
 : <math> e^{b \varepsilon} = \sum^\infty_{n=0} \frac{\left(b\varepsilon\right)^n}{n!} = 1 + b \varepsilon,</math>
-तो घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत) पर लागू होता है {{mvar|ε}}-अक्ष केवल आधे वृत्त को ढकता है।
+तो घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत) पर प्रयुक्त होता है {{mvar|ε}}-अक्ष केवल आधे वृत्त को ढकता है।
 होने देना {{math|''z'' {{=}} ''a'' + ''bε''}}. अगर {{math|''a'' ≠ 0}} और {{math|''m'' {{=}} {{sfrac|''b''|''a''}}}}, तब {{math|''z'' {{=}} ''a''(1 + ''mε'')}} ध्रुवीय अपघटन # दोहरी संख्या का वैकल्पिक प्लानर अपघटन है {{mvar|z}}, और [[ढलान]] {{mvar|m}} इसका कोणीय भाग है। दोहरी संख्या वाले विमान में रोटेशन की अवधारणा वर्टिकल [[कतरनी मानचित्रण]] के बराबर है {{math|(1 + ''pε'')(1 + ''qε'') {{=}} 1 + (''p'' + ''q'')''ε''}}.
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 == [[यांत्रिकी]] में अनुप्रयोग ==
-दोहरी संख्याएं यांत्रिकी में अनुप्रयोगों को ढूंढती हैं, विशेष रूप से कीनेमेटिक संश्लेषण के लिए। उदाहरण के लिए, दोहरी संख्याएँ चार-बार गोलाकार लिंकेज के इनपुट/आउटपुट समीकरणों को बदलना संभव बनाती हैं, जिसमें केवल रोटॉइड जोड़ शामिल हैं, चार-बार स्थानिक तंत्र (रोटॉइड, रोटॉइड, रोटॉइड, बेलनाकार) में। दोहरे कोण एक आदिम भाग, कोण और एक दोहरे भाग से बने होते हैं, जिसमें लंबाई की इकाइयाँ होती हैं।<ref>{{Citation|last=Angeles|first=Jorge|title=The Application of Dual Algebra to Kinematic Analysis|date=1998|work=Computational Methods in Mechanical Systems: Mechanism Analysis, Synthesis, and Optimization|volume=161|pages=3–32|editor-last=Angeles|editor-first=Jorge|series=NATO ASI Series|publisher=Springer Berlin Heidelberg|language=en|doi=10.1007/978-3-662-03729-4_1|isbn=9783662037294|editor2-last=Zakhariev|editor2-first=Evtim}}</ref> अधिक के लिए [[पेंच सिद्धांत]] देखें।
+दोहरी संख्याएं यांत्रिकी में अनुप्रयोगों को ढूंढती हैं, विशेष रूप से कीनेमेटिक संश्लेषण के लिए। उदाहरण के लिए, दोहरी संख्याएँ चार-बार गोलाकार लिंकेज के इनपुट/आउटपुट समीकरणों को बदलना संभव बनाती हैं, जिसमें केवल रोटॉइड जोड़ सम्मिलित हैं, चार-बार स्थानिक तंत्र (रोटॉइड, रोटॉइड, रोटॉइड, बेलनाकार) में। दोहरे कोण एक आदिम भाग, कोण और एक दोहरे भाग से बने होते हैं, जिसमें लंबाई की इकाइयाँ होती हैं।<ref>{{Citation|last=Angeles|first=Jorge|title=The Application of Dual Algebra to Kinematic Analysis|date=1998|work=Computational Methods in Mechanical Systems: Mechanism Analysis, Synthesis, and Optimization|volume=161|pages=3–32|editor-last=Angeles|editor-first=Jorge|series=NATO ASI Series|publisher=Springer Berlin Heidelberg|language=en|doi=10.1007/978-3-662-03729-4_1|isbn=9783662037294|editor2-last=Zakhariev|editor2-first=Evtim}}</ref> अधिक के लिए [[पेंच सिद्धांत]] देखें।
 == सामान्यीकरण ==
 यह निर्माण अधिक सामान्यतः किया जा सकता है: एक [[ क्रमविनिमेय अंगूठी ]] के लिए {{mvar|R}} कोई दोहरी संख्या को परिभाषित कर सकता है {{mvar|R}} बहुपद वलय के भागफल वलय के रूप में {{math|''R''[''X'']}} आदर्श (अंगूठी सिद्धांत) द्वारा {{math|(''X''<sup>2</sup>)}}: की छवि {{mvar|X}} तो वर्ग शून्य के बराबर है और तत्व से मेल खाता है {{mvar|ε}} उपर से।
-=== शून्य वर्ग === के तत्वों का मनमाना मॉड्यूल
+=== === शून्य वर्ग === के तत्वों का मनमाना मॉड्यूल ===
-दोहरी संख्याओं का एक अधिक सामान्य निर्माण है। क्रमविनिमेय वलय दिया है <math>R</math> और एक मॉड्यूल <math>M</math>, एक अंगूठी है <math>R[M]</math> दोहरी संख्याओं का वलय कहा जाता है जिसमें निम्नलिखित संरचनाएँ होती हैं:
+दोहरी संख्याओं का एक अधिक सामान्य निर्माण है। क्रमविनिमेय वलय दिया है <math>R</math> और एक मॉड्यूल <math>M</math>है एक अंगूठी है <math>R[M]</math> दोहरी संख्याओं का वलय कहा जाता है जिसमें निम्नलिखित संरचनाएँ होती हैं:
 यह है <math>R</math>-मापांक <math>R \oplus M</math> द्वारा परिभाषित गुणन के साथ <math>(r, i) \cdot \left(r', i'\right) = \left(rr', ri' + r'i\right)</math> के लिए <math>r, r' \in R</math> और <math>i, i' \in I.</math>
 दोहरी संख्या का बीजगणित विशेष मामला है जहां <math>M = R</math> और <math>\varepsilon = (0, 1).</math>
-== [[ superspace ]] ==
+== [[ superspace | सुपरस्पेस]] ==
 दोहरे अंक भौतिकी में अनुप्रयोग पाते हैं, जहां वे सुपरस्पेस के सबसे सरल गैर-तुच्छ उदाहरणों में से एक का गठन करते हैं। समान रूप से, वे सिर्फ एक जनरेटर के साथ ग्रासमान संख्या हैं; सुपरनंबर इस अवधारणा को सामान्यीकृत करते हैं {{mvar|n}} अलग जनरेटर {{mvar|ε}}, प्रत्येक विरोधी आने-जाने वाला, संभवतः ले रहा है {{mvar|n}} अनंत की ओर। सुपरस्पेस कई आने-जाने वाले आयामों की अनुमति देकर, सुपरनंबरों को थोड़ा सामान्य करता है।
-भौतिकी में दोहरी संख्याओं को शामिल करने की प्रेरणा [[पाउली अपवर्जन सिद्धांत]] से मिलती है। साथ में दिशा {{mvar|ε}} को फर्मीओनिक दिशा कहा जाता है, और वास्तविक घटक को बोसोनिक दिशा कहा जाता है। फर्मीओनिक दिशा इस नाम को इस तथ्य से अर्जित करती है कि [[फर्मियन]] पाउली अपवर्जन सिद्धांत का पालन करते हैं: निर्देशांक के आदान-प्रदान के तहत, क्वांटम यांत्रिक तरंग फ़ंक्शन संकेत बदलता है, और इस प्रकार गायब हो जाता है यदि दो निर्देशांक एक साथ लाए जाते हैं; यह भौतिक विचार बीजगणितीय संबंध द्वारा कब्जा कर लिया गया है{{math|''ε''<sup>2</sup> {{=}} 0}}.
+भौतिकी में दोहरी संख्याओं को सम्मिलित करने की प्रेरणा [[पाउली अपवर्जन सिद्धांत]] से मिलती है। साथ में दिशा {{mvar|ε}} को फर्मीओनिक दिशा कहा जाता है, और वास्तविक घटक को बोसोनिक दिशा कहा जाता है। फर्मीओनिक दिशा इस नाम को इस तथ्य से अर्जित करती है कि [[फर्मियन]] पाउली अपवर्जन सिद्धांत का पालन करते हैं: निर्देशांक के आदान-प्रदान के तहत, क्वांटम यांत्रिक तरंग फलन संकेत बदलता है, और इस प्रकार गायब हो जाता है यदि दो निर्देशांक एक साथ लाए जाते हैं; यह भौतिक विचार बीजगणितीय संबंध द्वारा कब्जा कर {{math|''ε''<sup>2</sup> {{=}} 0}}लिया गया है.
 == प्रोजेक्टिव लाइन ==
 ग्रुन्वाल्ड द्वारा दोहरी संख्याओं पर एक अनुमानित रेखा का विचार उन्नत किया गया था<ref>{{cite journal|first=Josef|last=Grünwald|date=1906|title=Über duale Zahlen und ihre Anwendung in der Geometrie|journal=Monatshefte für Mathematik|volume=17|pages=81–136|doi=10.1007/BF01697639|s2cid=119840611}}</ref> और [[ कॉनराड सेग्रे ]]।<ref>{{cite book|first=Corrado|last=Segre|author-link=Corrado Segre|date=1912|chapter=XL. Le geometrie proiettive nei campi di numeri duali|title=Opere}} Also in ''Atti della Reale Accademia della Scienze di Torino'' '''47'''.</ref>
 जिस तरह [[रीमैन क्षेत्र]] को जटिल प्रक्षेपी रेखा को बंद करने के लिए अनंत पर एक उत्तरी ध्रुव बिंदु की आवश्यकता होती है, उसी तरह अनंत पर एक रेखा दोहरी संख्या के विमान को एक [[सिलेंडर (ज्यामिति)]] तक बंद करने में सफल होती है।<ref name="yaglom">{{cite book|first=I. M.|last=Yaglom|date=1979|title=एक साधारण गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति और इसका भौतिक आधार|publisher=Springer|isbn=0-387-90332-1|mr=520230|url-access=registration|url=https://archive.org/details/simplenoneuclide0000iagl}}</ref>{{rp|149–153}}

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इतिहास

== सार बीजगणित == में परिभाषा

मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व