घूर्णन पृष्ठ: Difference between revisions

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वक्र का एक भाग

x = 2 + cos(z)

के चारों ओर घुमाया गया

z

-एक्सिस

वर्ग के रूप में एक टोरस्र्स वर्ग के विकर्ण के साथ एक अक्ष के चारों ओर घूमता है।

घूर्णन का सतह यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक सतह (गणित) है जो रोटेशन की धुरी के चारों ओर एक वक्र (जेनरेट्रिक्स) को घुमाकर बनाई गई है।^[1]

एक सीधी रेखा द्वारा उत्पन्न घूर्णन की सतहों के उदाहरण बेलनाकार और शंक्वाकार सतहें हैं जो इस बात पर निर्भर करती हैं कि रेखा धुरी के समानांतर है या नहीं है। एक वृत्त जो किसी भी व्यास के चारों ओर घूमता है, एक गोला उत्पन्न करता है, जो तब एक बड़ा वृत्त होता है, और यदि वृत्त को एक अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है जो किसी वृत्त के आंतरिक भाग को नहीं काटता है, तो यह एक टोरस उत्पन्न करता है जो स्वयं को प्रतिच्छेद नहीं करता है (रिंग टोरस)।

गुण

अक्ष के माध्यम से विमानों द्वारा बनाई गई घूर्णन की सतह के खंड भूमध्य रेखा खंड कहलाते हैं। किसी भी मध्याह्न खंड को इसके द्वारा निर्धारित समतल और अक्ष में जेनरेट्रिक्स माना जा सकता है।।^[2]

समतल द्वारा बनाई गई घूर्णन की सतह के खंड जो धुरी के लंबवत होते हैं, वे वृत्त होते हैं।

हाइपरबोलाइड्स के कुछ विशेष मामले (या तो एक या दो शीट्स के) और दीर्घवृत्तीय पैराबोलॉइड्स क्रांति की सतहें हैं। इन्हें उन द्विघात सतहों के रूप में पहचाना जा सकता है जिनके सभी क्रॉस सेक्शन (ज्यामिति) अक्ष के लंबवत हैं।

क्षेत्र सूत्र

यदि वक्र पैरामीट्रिक वक्र कार्यों द्वारा वर्णित है $x (t)$ , $y (t)$ , साथ $t$ कुछ अंतराल से लेकर $[a, b]$ , और घूर्णन की धुरी है $y$ -अक्ष, फिर क्षेत्र $A y$ अभिन्न द्वारा दिया जाता है

A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt,

उसे उपलब्ध कराया $x (t)$ एंडपॉइंट्स के बीच कभी भी नकारात्मक नहीं होता है $a$ और $b$ . यह सूत्र पप्पस के केन्द्रक प्रमेय के समतुल्य है।^[3] मात्रा

{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}

पाइथागोरस प्रमेय से आता है और वक्र के चाप के एक छोटे खंड का प्रतिनिधित्व करता है, जैसा कि चाप लंबाई सूत्र में है। मात्रा $2π x (t)$ इस छोटे खंड का पथ (केंद्रक) है, जैसा कि पप्पस प्रमेय द्वारा आवश्यक है।

इसी तरह, जब रोटेशन की धुरी है $x$ -अक्ष और वह प्रदान किया $y (t)$ कभी भी ऋणात्मक नहीं होता, क्षेत्रफल द्वारा दिया जाता है^[4]

A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt.

यदि फ़ंक्शन द्वारा निरंतर वक्र का वर्णन किया गया है $y = f (x)$ , $a \leq x \leq b$ , तो अभिन्न बन जाता है

A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+{\big (}f'(x){\big )}^{2}}}\,dx

चारों ओर घूर्णन के लिए $x$ -अक्ष, और

A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx

वाई-अक्ष के चारों ओर घूर्णन के लिए (बशर्ते $a \geq 0$ ). ये उपरोक्त सूत्र से आते हैं।^[5] उदाहरण के लिए, इकाई त्रिज्या वाला गोला वक्र द्वारा उत्पन्न होता है $y (t) = sin(t)$ , $x (t) = cos(t)$ , कब $t$ के दायरे में है $[0,π]$ . इसलिए इसका क्षेत्रफल है

\begin{aligned} A & = 2 π \int_{0}^{π} \sin (t) \sqrt{(\cos} \end{aligned}

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

@@ Line 55: / Line 55: @@
 घूर्णन की एक न्यूनतम सतह दो दिए गए बिंदुओं के बीच वक्र की घूर्णन की सतह है जो [[गणितीय अनुकूलन]] सतह क्षेत्र है।<ref name="Mathworld: Minimal Surface of Revolution">{{MathWorld | id=MinimalSurfaceofRevolution | title=Minimal Surface of Revolution}}</ref> भिन्नताओं की कलन में एक बुनियादी समस्या दो बिंदुओं के बीच वक्र का पता लगाना है जो घूर्णन की इस न्यूनतम सतह को उत्पन्न करता है।<ref name="Mathworld: Minimal Surface of Revolution"/>
-घूर्णन की केवल दो न्यूनतम सतहें हैं ([[क्रांति की सतहें|घूर्णन की सतहें]] जो न्यूनतम सतहें भी हैं): समतल (ज्यामिति) और [[कैटेनॉइड]]।<ref>{{MathWorld|id=Catenoid|title=Catenoid}}</ref>
+घूर्णन की केवल दो न्यूनतम सतहें हैं ([[क्रांति की सतहें|घूर्णन की सतहें]] जो न्यूनतम सतहें भी हैं): समतल (ज्यामिति) और कैटेनॉइड है।<ref>{{MathWorld|id=Catenoid|title=Catenoid}}</ref>
 == समन्वय भाव ==
-द्वारा वर्णित वक्र को घुमाकर दी गई घूर्णन की सतह <math>y = f(x)</math> एक्स-अक्ष के आसपास सबसे सरल रूप से वर्णित किया जा सकता है <math>y^2+z^2 = f(x)^2</math>. यह के संदर्भ में parametrization पैदा करता है <math>x</math> और <math>\theta</math> जैसा <math>(x,f(x) \cos(\theta), f(x) \sin(\theta))</math>. यदि इसके बजाय हम वक्र को y-अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो वक्र द्वारा वर्णित किया जाता है <math>y = f(\sqrt{x^2+z^2})</math>, अभिव्यक्ति दे रहा है <math>(x \cos(\theta), f(x), x \sin(\theta))</math> मापदंडों के संदर्भ में <math>x</math> और <math>\theta</math>.
-यदि x और y को एक प्राचल के रूप में परिभाषित किया जाता है <math>t</math>, तो हम के संदर्भ में एक parametrization प्राप्त करते हैं <math>t</math> और <math>\theta</math>. अगर <math>x</math> और <math>y</math> के कार्य हैं <math>t</math>, तो एक्स-अक्ष के चारों ओर वक्र की परिक्रमा करके प्राप्त घूर्णन की सतह द्वारा वर्णित है <math>(x(t),y(t)\cos(\theta), y(t)\sin(\theta))</math>, और वक्र को y-अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त घूर्णन की सतह द्वारा वर्णित है <math>(x(t)\cos(\theta),y(t),x(t)\sin(\theta) )</math>.
+वर्णित वक्र को घुमाकर दी गई घूर्णन की सतह <math>y = f(x)</math> एक्स-अक्ष के आसपास सबसे सरल रूप से वर्णित किया जा सकता है <math>y^2+z^2 = f(x)^2</math>. यह के संदर्भ में पैरामीट्रिजेशन उत्पन्न करता है <math>x</math> और <math>\theta</math> जैसा <math>(x,f(x) \cos(\theta), f(x) \sin(\theta))</math>. यदि इसके बजाय हम वक्र को y-अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो वक्र द्वारा वर्णित किया जाता है <math>y = f(\sqrt{x^2+z^2})</math>, अभिव्यक्ति दे रहा है <math>(x \cos(\theta), f(x), x \sin(\theta))</math> मापदंडों के संदर्भ में <math>x</math> और <math>\theta</math>.
-द्वारा वर्णित वक्र को घुमाकर दी गई घूर्णन की सतह <math>y = f(x)</math> एक्स-अक्ष के आसपास सबसे सरल रूप से वर्णित किया जा सकता है <math>y^2+z^2 = f(x)^2</math>. यह के संदर्भ में parametrization पैदा करता है <math>x</math> और <math>\theta</math> जैसा <math>(x,f(x) \cos(\theta), f(x) \sin(\theta))</math>. यदि इसके बजाय हम वक्र को y-अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो वक्र द्वारा वर्णित किया जाता है <math>y = f(\sqrt{x^2+z^2})</math>, अभिव्यक्ति दे रहा है <math>(x \cos(\theta), f(x), x \sin(\theta))</math> मापदंडों के संदर्भ में <math>x</math> और <math>\theta</math>.
+यदि x और y को एक प्राचल के रूप में परिभाषित किया जाता है <math>t</math>, तो हम के संदर्भ में एक पैरामीट्रिजेशन प्राप्त करते हैं <math>t</math> और <math>\theta</math>. अगर <math>x</math> और <math>y</math> के कार्य हैं <math>t</math>, तो एक्स-अक्ष के चारों ओर वक्र की परिक्रमा करके प्राप्त घूर्णन की सतह द्वारा वर्णित है <math>(x(t),y(t)\cos(\theta), y(t)\sin(\theta))</math>, और वक्र को y-अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त घूर्णन की सतह द्वारा वर्णित है <math>(x(t)\cos(\theta),y(t),x(t)\sin(\theta) )</math>.
-यदि x और y को एक प्राचल के रूप में परिभाषित किया जाता है <math>t</math>, तो हम के संदर्भ में एक parametrization प्राप्त करते हैं <math>t</math> और <math>\theta</math>. अगर <math>x</math> और <math>y</math> के कार्य हैं <math>t</math>, तो एक्स-अक्ष के चारों ओर वक्र की परिक्रमा करके प्राप्त घूर्णन की सतह द्वारा वर्णित है <math>(x(t),y(t)\cos(\theta), y(t)\sin(\theta))</math>, और वक्र को y-अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त घूर्णन की सतह द्वारा वर्णित है <math>(x(t)\cos(\theta),y(t),x(t)\sin(\theta) )</math>.
 == जियोडेसिक्स ==
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 == टॉरॉयड्स ==
-{{main article|Toroid}}
+{{main article|टोरॉयड}}
 [[File:Toroid by Zureks.svg|thumb|एक वर्ग से उत्पन्न एक टोरॉयड]]एक छिद्र के साथ परिक्रमण की सतह, जहाँ परिक्रमण की धुरी सतह को नहीं काटती है, टोरॉयड कहलाती है।<ref>{{MathWorld|Toroid|Toroid}}</ref> उदाहरण के लिए, जब एक आयत को उसके किनारों में से एक के समानांतर अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है, तो एक खोखला वर्ग-अनुभाग वलय उत्पन्न होता है। यदि घूमी हुई आकृति एक वृत्त है, तो वस्तु को टोरस कहा जाता है।
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 * गेब्रियल हॉर्न
 * [[सामान्यीकृत हेलिकॉइड]]
-* [[नींबू (ज्यामिति)]], एक गोलाकार चाप की घूर्णन की सतह
+* [[नींबू (ज्यामिति)|लेमन (ज्यामिति)]], एक गोलाकार चाप की घूर्णन की सतह
 * [[लिउविल सतह]], घूर्णन की सतह का एक और सामान्यीकरण
 *[[क्रांति का ठोस|घूर्णन का ठोस]]

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