त्वरण

यांत्रिकी में, समय के संबंध में किसी ऑब्जेक्ट के वेग में परिवर्तन की दर (गणित) को त्वरण कहते हैं। त्वरण सदिश भौतिक राशियाँ के रूप में होती है, जिसमें उनका परिमाण (गणित) और दिशा (ज्यामिति) के रूप में होता है। किसी ऑब्जेक्ट के त्वरण का ओरिएंटेशन उस ऑब्जेक्ट पर कार्य करने वाले शुद्ध बल के ओरिएंटेशन द्वारा दिया जाता है। न्यूटन के दूसरे नियम द्वारा वर्णित ऑब्जेक्ट के त्वरण का परिमाण, दो कारणों का संयुक्त प्रभाव के रूप में होता है

• उस ऑब्जेक्ट पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों का शुद्ध संतुलन परिमाण इस शुद्ध परिणामी बल के लिए स्पष्टतः समानुपातिक रूप में होता है,
• उस ऑब्जेक्ट का द्रव्यमान उन पदार्थो पर निर्भर करता है, जिनमें से इसे बनाया गया है, परिमाण ऑब्जेक्ट के द्रव्यमान के लिए व्युत्क्रम समानुपातिक रूप में होता है।

त्वरण के लिए यूनिट की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली मीटर प्रति सेकंड वर्ग (m⋅s⁻², $\mathrm {\tfrac {m}{s^{2}}}$) के रूप में होती है।

उदाहरण के लिए, जब कोई वाहन संदर्भ के एक जड़त्वीय फ्रेम में स्थिर शून्य वेग से शुरू होता है और बढ़ती गति से एक सीधी रेखा में यात्रा करता है, तो यह यात्रा की दिशा में तेजी ला रहा होता है। यदि वाहन मुड़ता है तो त्वरण नई दिशा की ओर होता है और इसके गति वेक्टर को बदल देता है। गति की अपनी धारा दिशा में वाहन के त्वरण को वृत्ताकार गति के समय एक रैखिक या स्पर्शरेखा कहा जाता है, त्वरण प्रतिक्रिया (भौतिकी) जिसके लिए यात्रियों को एक बल के रूप में अनुभव होता है, यह बल इन्हें अपनी सीटों में वापस धकेलता है। दिशा बदलते समय प्रभावी त्वरण को वृत्ताकार गति त्वरण के समय रेडियल या सेंट्रिपेटल कहा जाता है, जिसकी प्रतिक्रिया यात्रियों को एक केन्द्रापसारक बल के रूप में अनुभव करते हैं। यदि वाहन की गति कम हो जाती है, तो यह गणितीय रूप से नकारात्मक दिशा में त्वरण के रूप में होता है जिसे कभी -कभी मंद होना या मंदबुद्धिता कहा जाता है और यात्रियों को एक जड़त्वीय बल के रूप में गतिहीनता की प्रतिक्रिया का अनुभव होता है। इस तरह के नकारात्मक त्वरण अधिकांशतः अंतरिक्ष यान में रिट्रोरॉकेट जलने से प्राप्त होते हैं। त्वरण और मंदी दोनों को समान माना जाता है, क्योंकि ये दोनों के वेग में परिवर्तन होते हैं। इनमें से प्रत्येक त्वरण स्पर्शरेखा, रेडियल, डिलेरेशन यात्रियों द्वारा महसूस किया जाता है जब तक उनके सापेक्ष विभेदी वेग को गति में परिवर्तन के कारण त्वरण के संदर्भ में निष्क्रिय रूप में नहीं हो जाते हैं।

परिभाषा और गुण

File:Kinematics.svg

एक मौलिक कण की काइनेमेटिक मात्रा: द्रव्यमान m, स्थान r, वेग v, त्वरण a।

औसत त्वरण

File:Acceleration as derivative of velocity along trajectory.svg

त्वरण वेग के परिवर्तन की दर है।किसी प्रक्षेपवक्र पर किसी भी बिंदु पर, त्वरण की भयावहता उस बिंदु पर परिमाण और दिशा दोनों में वेग के परिवर्तन की दर से दी जाती है।समय पर सच्चा त्वरण t समय अंतराल के रूप में सीमा में पाया जाता है Δt → 0 का Δv/Δt

भौतिकी में समय की अवधि में एक ऑब्जेक्ट का औसत त्वरण वेग $\Delta \mathbf {v}$,में इसका परिवर्तन होता है, जिसे अवधि $\Delta t$। से विभाजित किया जाता है, गणितीय रूप से इस प्रकार दिखाया गया है।

$${\bar {\mathbf {a} }}={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}.$$

तात्कालिक त्वरण

File:1-D kinematics.svg

नीचे से उपर तक:

• an acceleration function a(t);
• the integral of the acceleration is the velocity function v(t);
• and the integral of the velocity is the distance function s(t).

इस बीच तात्कालिक त्वरण, समय के एक अतिसूक्ष्म अंतराल पर औसत त्वरण के फलन की सीमा के रूप में होता है। गणना के संदर्भ में, तात्कालिक त्वरण समय के संबंध में वेग सदिश का व्युत्पन्न होता है।

$$\mathbf {a} =\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}$$

जैसा कि त्वरण को वेग v के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है, समय t के संबंध में और वेग को स्थिति x के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है, समय के संबंध में, त्वरण को t: के संबंध में x के दूसरे व्युत्पन्न के रूप में माना जा सकता है।

$$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}$$

यहाँ और अन्यत्र, यदि गति एक सीधी रेखा में होती है, तो समीकरणों में सदिश राशियों को अदिशों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

कैलकुलस के मौलिक प्रमेय द्वारा यह देखा जा सकता है कि त्वरण फलन a(t) का अभिन्न अंग वेग फलन v(t) के रूप में हैअर्थात्, एक त्वरण बनाम समय के वक्र के अनुसार क्षेत्र a बनाम t ग्राफ वेग के परिवर्तन से मेल खाता है।

$$\mathbf {\Delta v} =\int \mathbf {a} \,dt$$

इसी तरह, जर्क (भौतिकी) फलन का अभिन्न अंग j(t), त्वरण फलन के व्युत्पन्न के रूप में होता है, एक निश्चित समय पर त्वरण के परिवर्तन को खोजने के लिए उपयोग किया जाता है,

$$\mathbf {\Delta a} =\int \mathbf {j} \,dt$$

इकाइयाँ

त्वरण में वेग के आयामी (एल/टी) समय से विभाजित होते हैं, अर्थात् एल टी-2 के रूप में विभाजित होते है, त्वरण की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली इकाई मीटर प्रति सेकंड वर्ग (एम एस−2) या मीटर प्रति सेकंड प्रति सेकंड होती है, क्योंकि मीटर प्रति सेकंड में वेग त्वरण का मान प्रति सेकंड बदलता रहता है।

अन्य रूप

एक गोलाकार गति में गतिमान एक ऑब्जेक्ट जैसे कि पृथ्वी की परिक्रमा करने वाला एक उपग्रह गति की दिशा में परिवर्तन के कारण त्वरित होता है, चूंकि, इसकी गति स्थिर रूप में हो सकती है। इस स्थिति में कहा जाता है कि यह केंद्र त्वरण की ओर निर्देशित केन्द्रापसारक से गुजर रहा है।

उचित त्वरण ,मुक्त पतन की स्थिति के सापेक्ष पिण्ड के त्वरण को एक उपकरण द्वारा मापा जाता है, जिसे एक्सीलरोमीटर कहा जाता है।

मौलिक यांत्रिकी में, निरंतर द्रव्यमान के साथ एक निकाय के लिए, पिण्ड के द्रव्यमान के केंद्र का वेक्टर त्वरण नेट फोर्स वेक्टर अर्थात सभी बलों का योग के लिए आनुपातिक रूप में होता है।न्यूटन का दूसरा नियम इस प्रकार है,

$$\mathbf {F} =m\mathbf {a} \quad \implies \quad \mathbf {a} ={\frac {\mathbf {F} }{m}}$$

जहाँ पे F पिण्ड पर कार्य करने वाला शुद्ध बल के रूप में है, m पिण्ड का द्रव्यमान है और a द्रव्यमान त्वरण का केंद्र है। जैसे -जैसे प्रकाश की गति निकट तक पहुंचती है,प्रकाश के सापेक्ष प्रभाव की गति तेजी से बड़ी होती जाती है।

स्पर्शरेखा और सेंट्रिपेटल त्वरण

See also: सेंट्रिपेटल बल § स्थानीय निर्देशांक

File:Oscillating pendulum.gif

एक दोलन पेंडुलम, वेग और त्वरण के साथ चिह्नित।यह स्पर्शरेखा और सेंट्रिपेटल त्वरण दोनों का अनुभव करता है।

File:Acceleration components.JPG

एक घुमावदार गति के लिए त्वरण के घटक।स्पर्शरेखा घटक a_t ट्रैवर्सल की गति में परिवर्तन के कारण है, और वेग वेक्टर (या विपरीत दिशा में) की दिशा में वक्र के साथ अंक।सामान्य घटक (जिसे परिपत्र गति के लिए सेंट्रिपेटल घटक भी कहा जाता है) a_c वेग वेक्टर की दिशा में परिवर्तन के कारण है और पथ के वक्रता के केंद्र की ओर इशारा करते हुए, प्रक्षेपवक्र के लिए सामान्य है।

समय के एक फलन (गणित) के रूप में एक घुमावदार पथ पर चलते हुए एक कण का वेग इस प्रकार लिखा जाता है

$$\mathbf {v} (t)=v(t){\frac {\mathbf {v} (t)}{v(t)}}=v(t)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(t),$$

v(t) पथ के साथ यात्रा की गति के बराबर होती है, और

$$\mathbf {u} _{\mathrm {t} }={\frac {\mathbf {v} (t)}{v(t)}}\,,$$

एक समय में चुने गए क्षण में गति की दिशा में इंगित करने वाले पथ के लिए इकाई वेक्टर स्पर्शरेखा की अंतर ज्यामिति के रूप में होती है। बदलती गति v(t) और घुमावदार पथ पर चलने वाले कण u_t, के त्वरण की बदलती दिशा दोनों को ध्यान में रखते हुए, समय के दो कार्यों के उत्पाद के लिए विभेदन के श्रृंखला नियम का उपयोग करके लिखा जाता है ।

$$\begin{array}{rl}\mathbf{a}& =\frac{d\mathbf{v}}{dt}\\ & =\frac{dv}{dt}{\mathbf{u}}_{\mathrm{t}}+v(t)\frac{d{\mathbf{u}}_{}}{}\end{array}$$