न्यूटन बहुपद: Difference between revisions

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[[संख्यात्मक विश्लेषण]] के [[गणितीय]] क्षेत्र में, एक न्यूटन बहुपद, जिसका नाम इसके आविष्कारक [[आइजैक न्यूटन]] के नाम पर रखा गया है,<ref name="Dunham">{{cite book |last1=Dunham |first1=William |title=Journey Through Genius: The Great Theorems of Mathematics |date=1990 |publisher=Kanak Agrawal, Inc |isbn=9780140147391 |pages=[https://archive.org/details/journeythroughge00dunh_0/page/155 155–183] |chapter-url=https://archive.org/details/journeythroughge00dunh_0/page/155 |access-date=24 October 2019 |chapter=7 }}</ref> डेटा बिंदुओं के दिए गए सेट के लिए एक [[बहुपद]] प्रक्षेप बहुपद है। न्यूटन बहुपद को कभी-कभी न्यूटन का विभाजित अंतर अंतर्वेशन बहुपद कहा जाता है क्योंकि बहुपद के गुणांकों की गणना न्यूटन की विभाजित अंतर विधि का उपयोग करके की जाती है।
[[संख्यात्मक विश्लेषण]] के [[गणितीय]] क्षेत्र में, एक न्यूटन बहुपद, जिसका नाम इसके आविष्कारक [[आइजैक न्यूटन]] के नाम पर रखा गया है,<ref name="Dunham">{{cite book |last1=Dunham |first1=William |title=Journey Through Genius: The Great Theorems of Mathematics |date=1990 |publisher=Kanak Agrawal, Inc |isbn=9780140147391 |pages=[https://archive.org/details/journeythroughge00dunh_0/page/155 155–183] |chapter-url=https://archive.org/details/journeythroughge00dunh_0/page/155 |access-date=24 October 2019 |chapter=7 }}</ref> डेटा बिंदुओं के दिए गए समुच्चय के लिए एक [[बहुपद]] प्रक्षेप बहुपद है। न्यूटन बहुपद को कभी-कभी न्यूटन का विभाजित अंतर अंतर्वेशन बहुपद कहा जाता है क्योंकि बहुपद के गुणांकों की गणना न्यूटन की विभाजित अंतर विधि का उपयोग करके की जाती है।


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==
k+1 डेटा बिंदुओं का एक सेट दिया गया है
k+1 डेटा बिंदुओं का एक समुच्चय दिया गया है


:<math>(x_0, y_0),\ldots,(x_j, y_j),\ldots,(x_k, y_k)</math>
:<math>(x_0, y_0),\ldots,(x_j, y_j),\ldots,(x_k, y_k)</math>
जहां कोई दो एक्स नहीं है<sub>''j''</sub> समान हैं, न्यूटन प्रक्षेप बहुपद न्यूटन आधारित बहुपदों का एक [[रैखिक संयोजन]] है
जहाँ कोई भी दो xj समान नहीं हैं, न्यूटन प्रक्षेप बहुपद न्यूटन आधारित बहुपदों का एक [[रैखिक संयोजन]] है


:<math>N(x) := \sum_{j=0}^{k} a_{j} n_{j}(x)</math>
:<math>N(x) := \sum_{j=0}^{k} a_{j} n_{j}(x)</math>
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:<math>n_j(x) := \prod_{i=0}^{j-1} (x - x_i)</math>
:<math>n_j(x) := \prod_{i=0}^{j-1} (x - x_i)</math>
जे > 0 और के लिए <math>n_0(x) \equiv 1</math>.
j > 0 और के लिए <math>n_0(x) \equiv 1</math>.


गुणांक के रूप में परिभाषित किया गया है
गुणांक के रूप में परिभाषित किया गया है
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=== न्यूटन आगे विभाजित अंतर सूत्र ===
=== न्यूटन आगे विभाजित अंतर सूत्र ===
न्यूटन बहुपद को सरलीकृत रूप में व्यक्त किया जा सकता है जब
न्यूटन बहुपद को सरलीकृत रूप में व्यक्त किया जा सकता है जब
<math>x_0, x_1, \dots, x_k</math> समान दूरी के साथ क्रमिक रूप से व्यवस्थित हैं।
<math>x_0, x_1, \dots, x_k</math> समान दूरी के साथ क्रमिक रूप से व्यवस्थित हैं।
अंकन का परिचय
अंकन का परिचय
  <math>h = x_{i+1}-x_i</math> प्रत्येक के लिए <math>i=0,1,\dots,k-1</math>
  <math>h = x_{i+1}-x_i</math> प्रत्येक के लिए <math>i=0,1,\dots,k-1</math>
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&= \sum_{i=0}^{k}{s \choose i}i!{h}^{i}[y_0,\ldots,y_i].
&= \sum_{i=0}^{k}{s \choose i}i!{h}^{i}[y_0,\ldots,y_i].
\end{align}</math>
\end{align}</math>
इसे न्यूटन फॉरवर्ड डिवाइडेड डिफरेंस फॉर्मूला कहते हैं।{{citation needed|date=October 2017}}
इसे न्यूटन फॉरवर्ड विभाजित अंतर सूत्र कहते हैं।{{citation needed|date=October 2017}}


===न्यूटन पश्चविभाजित अंतर सूत्र===
===न्यूटन पश्चविभाजित अंतर सूत्र===
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&=\sum_{i=0}^{k}{(-1)}^{i}{-s \choose i}i!{h}^{i}[{y}_{k},\ldots,{y}_{k-i}].
&=\sum_{i=0}^{k}{(-1)}^{i}{-s \choose i}i!{h}^{i}[{y}_{k},\ldots,{y}_{k-i}].
\end{align}</math>
\end{align}</math>
न्यूटन पिछड़ा विभाजित अंतर सूत्र कहा जाता है।{{citation needed|date=October 2017}}
न्यूटनपश्चविभाजित अंतर सूत्र कहा जाता है।{{citation needed|date=October 2017}}


== महत्व ==
== महत्व ==
{{further|Finite differences#Newton's series}}
{{further|परिमित अंतर # न्यूटन की श्रृंखला}}
न्यूटन का सूत्र रुचि का है क्योंकि यह टेलर के बहुपद का सीधा और स्वाभाविक अंतर-संस्करण है। टेलर का बहुपद बताता है कि एक विशेष x मान पर इसके y मान, और इसके डेरिवेटिव (इसकी परिवर्तन की दर, और इसके परिवर्तन की दर के परिवर्तन की दर, आदि) के आधार पर एक फ़ंक्शन कहां जाएगा। न्यूटन का सूत्र टेलर का बहुपद है जो परिवर्तन की तात्कालिक दरों के बजाय परिमित अंतरों पर आधारित है।
 
न्यूटन का सूत्र रुचि का है क्योंकि यह टेलर के बहुपद का सीधा और स्वाभाविक अंतर-संस्करण है। टेलर का बहुपद बताता है कि एक विशेष x मान पर इसके y मान, और इसके डेरिवेटिव (इसकी परिवर्तन की दर, और इसके परिवर्तन की दर के परिवर्तन की दर, आदि) के आधार पर एक फ़ंक्शन कहां जाएगा। न्यूटन का सूत्र टेलर का बहुपद है जो परिवर्तन की तात्कालिक दरों के अतिरिक्त  परिमित अंतरों पर आधारित है।


== नए बिंदुओं का जोड़ ==
== नए बिंदुओं का जोड़ ==
अन्य अंतर सूत्रों के साथ, न्यूटन इंटरपोलेटिंग बहुपद की डिग्री को मौजूदा शब्दों को छोड़े बिना अधिक शब्दों और बिंदुओं को जोड़कर बढ़ाया जा सकता है। न्यूटन के रूप में सरलता है कि नए बिंदु हमेशा एक छोर पर जोड़े जाते हैं: न्यूटन का आगे का सूत्र दाईं ओर नए बिंदु जोड़ सकता है, और न्यूटन का पिछड़ा सूत्र बाईं ओर नए बिंदु जोड़ सकता है।
अन्य अंतर सूत्रों के साथ, न्यूटन इंटरपोलेटिंग बहुपद की डिग्री को मौजूदा शब्दों को छोड़े बिना अधिक शब्दों और बिंदुओं को जोड़कर बढ़ाया जा सकता है। न्यूटन के रूप में सरलता है कि नए बिंदु हमेशा एक छोर पर जोड़े जाते हैं: न्यूटन का आगे का सूत्र दाईं ओर नए बिंदु जोड़ सकता है, और न्यूटन का पिछड़ा सूत्र बाईं ओर नए बिंदु जोड़ सकता है।


बहुपद इंटरपोलेशन की सटीकता इस बात पर निर्भर करती है कि इस्तेमाल किए गए बिंदुओं के सेट के x मानों के मध्य में इंटरपोलेटेड बिंदु कितना करीब है। जाहिर है, जैसे ही एक छोर पर नए बिंदु जोड़े जाते हैं, वह मध्य पहले डेटा बिंदु से और दूर हो जाता है। इसलिए, यदि यह ज्ञात नहीं है कि वांछित सटीकता के लिए कितने बिंदुओं की आवश्यकता होगी, तो x-मानों का मध्य उस स्थान से दूर हो सकता है जहां प्रक्षेप किया गया है।
बहुपद इंटरपोलेशन की सटीकता इस बात पर निर्भर करती है कि इस्तेमाल किए गए बिंदुओं के समुच्चय के x मानों के मध्य में इंटरपोलेटेड बिंदु कितना करीब है। जाहिर है, जैसे ही एक छोर पर नए बिंदु जोड़े जाते हैं, वह मध्य पहले डेटा बिंदु से और दूर हो जाता है। इसलिए, यदि यह ज्ञात नहीं है कि वांछित सटीकता के लिए कितने बिंदुओं की आवश्यकता होगी, तो x-मानों का मध्य उस स्थान से दूर हो सकता है जहां प्रक्षेप किया गया है।


गॉस, स्टर्लिंग और बेसेल सभी ने उस समस्या के समाधान के लिए सूत्र विकसित किए।<ref>[http://alvand.basu.ac.ir/~dezfoulian/files/Numericals/Numerical.Methods.For.Scientists.And.Engineers_2ed_Hamming_0486652416.pdf Numerical Methods for Scientists and Engineers, R.W. Hamming] {{dead link|date=June 2022}} Archived version: [https://web.archive.org/web/20210414111117/http://alvand.basu.ac.ir/~dezfoulian/files/Numericals/Numerical.Methods.For.Scientists.And.Engineers_2ed_Hamming_0486652416.pdf]</ref>
गॉस, स्टर्लिंग और बेसेल सभी ने उस समस्या के समाधान के लिए सूत्र विकसित किए।<ref>[http://alvand.basu.ac.ir/~dezfoulian/files/Numericals/Numerical.Methods.For.Scientists.And.Engineers_2ed_Hamming_0486652416.pdf Numerical Methods for Scientists and Engineers, R.W. Hamming] {{dead link|date=June 2022}} Archived version: [https://web.archive.org/web/20210414111117/http://alvand.basu.ac.ir/~dezfoulian/files/Numericals/Numerical.Methods.For.Scientists.And.Engineers_2ed_Hamming_0486652416.pdf]</ref>
गॉस का सूत्र बारी-बारी से बाएं और दाएं सिरों पर नए बिंदु जोड़ता है, जिससे बिंदुओं के सेट को उसी स्थान के पास केंद्रित रखा जाता है (मूल्यांकित बिंदु के पास)। ऐसा करते समय, यह न्यूटन के सूत्र से शब्दों का उपयोग करता है, जिसमें डेटा बिंदुओं और x मानों का नाम बदलकर किसी की पसंद के अनुसार डेटा बिंदु को x के रूप में नामित किया जाता है।<sub>0</sub> डेटा बिंदु।
 
गॉस का सूत्र बारी-बारी से बाएं और दाएं सिरों पर नए बिंदु जोड़ता है, जिससे बिंदुओं के समुच्चय को उसी स्थान के पास केंद्रित रखा जाता है (मूल्यांकित बिंदु के पास)। ऐसा करते समय, यह न्यूटन के सूत्र से शब्दों का उपयोग करता है, जिसमें डेटा बिंदुओं और x मानों का नाम बदलकर किसी की पसंद के अनुसार डेटा बिंदु को x के रूप में नामित किया जाता है।<sub>0</sub> डेटा बिंदु।


स्टर्लिंग का सूत्र एक विशेष डेटा बिंदु के बारे में केंद्रित रहता है, उपयोग के लिए जब मूल्यांकन बिंदु दो डेटा बिंदुओं के मध्य की तुलना में डेटा बिंदु के निकट होता है।
स्टर्लिंग का सूत्र एक विशेष डेटा बिंदु के बारे में केंद्रित रहता है, उपयोग के लिए जब मूल्यांकन बिंदु दो डेटा बिंदुओं के मध्य की तुलना में डेटा बिंदु के निकट होता है।
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== विभिन्न सूत्रों की ताकत और कमजोरियां ==
== विभिन्न सूत्रों की ताकत और कमजोरियां ==
डेटा बिंदुओं के किसी भी परिमित सेट के लिए, कम से कम संभव डिग्री का केवल एक बहुपद है जो उन सभी से होकर गुजरता है। इस प्रकार, इंटरपोलेशन बहुपद के न्यूटन रूप, या [[लैग्रेंज बहुपद]], आदि के बारे में बात करना उचित है। हालांकि, इस बहुपद की गणना के विभिन्न तरीकों में अलग-अलग कम्प्यूटेशनल दक्षता हो सकती है। गॉस, बेसेल और स्टर्लिंग जैसी कई समान विधियाँ हैं। डेटा बिंदुओं के x-मानों का नाम बदलकर उन्हें न्यूटन से प्राप्त किया जा सकता है, लेकिन व्यवहार में वे महत्वपूर्ण हैं।
डेटा बिंदुओं के किसी भी परिमित समुच्चय के लिए, कम से कम संभव डिग्री का केवल एक बहुपद है जो उन सभी से होकर गुजरता है। इस प्रकार, इंटरपोलेशन बहुपद के न्यूटन रूप, या [[लैग्रेंज बहुपद]], आदि के बारे में बात करना उचित है। हालांकि, इस बहुपद की गणना के विभिन्न तरीकों में अलग-अलग कम्प्यूटेशनल दक्षता हो सकती है। गॉस, बेसेल और स्टर्लिंग जैसी कई समान विधियाँ हैं। डेटा बिंदुओं के x-मानों का नाम बदलकर उन्हें न्यूटन से प्राप्त किया जा सकता है, लेकिन व्यवहार में वे महत्वपूर्ण हैं।


=== बेसेल बनाम स्टर्लिंग ===
=== बेसेल बनाम स्टर्लिंग ===
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=== सटीकता ===
=== सटीकता ===


जब, स्टर्लिंग या बेसेल के साथ, उपयोग किए गए अंतिम शब्द में दो अंतरों का औसत शामिल होता है, तो न्यूटन या अन्य बहुपद प्रक्षेपों की तुलना में एक और बिंदु का उपयोग उसी बहुपद डिग्री के लिए किया जाएगा। तो, उस उदाहरण में, स्टर्लिंग या बेसेल N-1 डिग्री बहुपद को N बिंदुओं के माध्यम से नहीं डाल रहे हैं, बल्कि इसके बजाय, बेहतर केंद्र और सटीकता के लिए न्यूटन के साथ व्यापार तुल्यता है, उन तरीकों को कभी-कभी संभावित बहुपद डिग्री के लिए संभावित रूप से अधिक सटीकता प्रदान करते हैं।, अन्य बहुपद प्रक्षेपों की तुलना में।
जब, स्टर्लिंग या बेसेल के साथ, उपयोग किए गए अंतिम शब्द में दो अंतरों का औसत शामिल होता है, तो न्यूटन या अन्य बहुपद प्रक्षेपों की तुलना में एक और बिंदु का उपयोग उसी बहुपद डिग्री के लिए किया जाएगा। तो, उस उदाहरण में, स्टर्लिंग या बेसेल N-1 डिग्री बहुपद को N बिंदुओं के माध्यम से नहीं डाल रहे हैं, बल्कि इसके बजाय, बेहतर केंद्र और सटीकता के लिए न्यूटन के साथ व्यापार तुल्यता है, उन तरीकों को कभी-कभी संभावित बहुपद डिग्री के लिए संभावित रूप से अधिक सटीकता प्रदान करते हैं।, अन्य बहुपद प्रक्षेपों की तुलना में।


== सामान्य मामला ==
== सामान्य स्थिति ==
एक्स के विशेष मामले के लिए<sub>i</sub>= i, बहुपदों का एक करीबी से संबंधित सेट है, जिसे न्यूटन बहुपद भी कहा जाता है, जो सामान्य तर्क के लिए केवल [[द्विपद गुणांक]] हैं। अर्थात्, किसी के पास न्यूटन बहुपद भी होते हैं <math>p_n(z)</math> द्वारा दिए गए
एक्स के विशेष प्रकरण के लिए<sub>i</sub>= i, बहुपदों का एक करीबी से संबंधित समुच्चय है, जिसे न्यूटन बहुपद भी कहा जाता है, जो सामान्य तर्क के लिए केवल [[द्विपद गुणांक]] हैं। अर्थात्, किसी के पास न्यूटन बहुपद भी होते हैं <math>p_n(z)</math> द्वारा दिए गए


:<math>p_n(z)={z \choose n}= \frac{z(z-1)\cdots(z-n+1)}{n!}</math>
:<math>p_n(z)={z \choose n}= \frac{z(z-1)\cdots(z-n+1)}{n!}</math>
इस रूप में, न्यूटन बहुपद [[न्यूटन श्रृंखला]] उत्पन्न करते हैं। ये बदले में सामान्य [[अंतर बहुपद]]ों का एक विशेष मामला है जो सामान्यीकृत अंतर समीकरणों के माध्यम से [[विश्लेषणात्मक कार्य]]ों के प्रतिनिधित्व की अनुमति देता है।
इस रूप में, न्यूटन बहुपद [[न्यूटन श्रृंखला]] उत्पन्न करते हैं। ये बदले में सामान्य [[अंतर बहुपद]]ों का एक विशेष स्थिति है जो सामान्यीकृत अंतर समीकरणों के माध्यम से [[विश्लेषणात्मक कार्य]]ों के प्रतिनिधित्व की अनुमति देता है।


== मुख्य विचार ==
== मुख्य विचार ==
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जाहिर करना। <math>\text{Stm}_1,</math> होने देना <math>(x_0,y_0)</math> कोई एक बिंदु हो और जाने दो <math>P(x)</math> डिग्री 0 से गुजरने वाला अद्वितीय बहुपद हो <math>(x_0, y_0)</math>. फिर जाहिर है <math>P(x)=y_0</math> और हम लिख सकते हैं  <math display="block">[y_0, y_1](x_1 - x_0) = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} (x_1-x_0) = y_1 - y_0 = y_1 - P(x_1)</math> जैसा चाहता था।
जाहिर करना। <math>\text{Stm}_1,</math> होने देना <math>(x_0,y_0)</math> कोई एक बिंदु हो और जाने दो <math>P(x)</math> डिग्री 0 से गुजरने वाला अद्वितीय बहुपद हो <math>(x_0, y_0)</math>. फिर जाहिर है <math>P(x)=y_0</math> और हम लिख सकते हैं  <math display="block">[y_0, y_1](x_1 - x_0) = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} (x_1-x_0) = y_1 - y_0 = y_1 - P(x_1)</math> जैसा चाहता था।


का सबूत <math>\text{Stm}_{n+1},</math> मान लिया जाये <math>\text{Stm}_{n}</math> पहले से ही स्थापित: चलो <math>P(x)</math> डिग्री का बहुपद हो (अधिकतम) <math>n</math> के माध्यम से गुजरते हुए <math>(x_0, y_0), \ldots, (x_n, y_n).</math>
का सबूत <math>\text{Stm}_{n+1},</math> मान लिया जाये <math>\text{Stm}_{n}</math> पहले से ही स्थापित: चलो <math>P(x)</math> डिग्री का बहुपद हो (अधिकतम) <math>n</math> के माध्यम से गुजरते हुए <math>(x_0, y_0), \ldots, (x_n, y_n).</math>साथ <math>Q(x)</math> डिग्री का अद्वितीय बहुपद होना (अधिकतम) <math>n-1</math> बिंदुओं से गुजरना <math>(x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)</math>, हम समानता की निम्नलिखित श्रृंखला लिख ​​सकते हैं, जहाँ हम उपयोग करते हैं
साथ <math>Q(x)</math> डिग्री का अद्वितीय बहुपद होना (अधिकतम) <math>n-1</math> बिंदुओं से गुजरना <math>(x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)</math>, हम समानता की निम्नलिखित श्रृंखला लिख ​​सकते हैं, जहाँ हम उपयोग करते हैं
अंत से पहले समानता कि Stm<math>_n</math> पर लागू होता है <math>Q</math>:
अंत से पहले समानता कि Stm<math>_n</math> पर लागू होता है <math>Q</math>:


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== आवेदन ==
== अनुप्रयोग  ==
जैसा कि विभाजित अंतरों की परिभाषा से देखा जा सकता है कि पुराने गुणांकों की पुनर्गणना किए बिना एक नया प्रक्षेप बहुपद बनाने के लिए नए डेटा बिंदुओं को डेटा सेट में जोड़ा जा सकता है। और जब कोई डेटा बिंदु बदलता है तो हमें आमतौर पर सभी गुणांकों की पुनर्गणना करने की आवश्यकता नहीं होती है। इसके अलावा, यदि x<sub>''i''</sub> समान दूरी पर वितरित किए जाते हैं विभाजित अंतरों की गणना काफी आसान हो जाती है। इसलिए, व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए आमतौर पर लैग्रेंज बहुपद पर विभाजित-अंतर सूत्र पसंद किए जाते हैं।
जैसा कि विभाजित अंतरों की परिभाषा से देखा जा सकता है कि पुराने गुणांकों की पुनर्गणना किए बिना एक नया प्रक्षेप बहुपद बनाने के लिए नए डेटा बिंदुओं को डेटा समुच्चय में जोड़ा जा सकता है। और जब कोई डेटा बिंदु बदलता है तो हमें सामान्यतः सभी गुणांकों की पुनर्गणना करने की आवश्यकता नहीं होती है। इंटरपोलेटिंग बहुपद उत्पन्न करने के लिए न्यूटन का सूत्र टेलर के बहुपद के समान रूप को अपनाता है लेकिन डेरिवेटिव के अतिरिक्त  परिमित अंतर पर आधारित होता है। अर्थात, गुणांक b_i की गणना परिमित अंतर का उपयोग करके की जाती है। इस फॉर्म का एक फायदा यह है कि न्यूटन के इंटरपोलिंग बहुपद की डिग्री को मौजूदा शर्तों को छोड़े बिना नए बिंदुओं के अनुरूप अधिक शब्दों को जोड़कर (या हटाकर) स्वचालित रूप से बढ़ाया (या घटाया) जा सकता है।इसके अलावा, यदि x<sub>''i''</sub> समान दूरी पर वितरित किए जाते हैं विभाजित अंतरों की गणना काफी आसान हो जाती है। इसलिए, व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए सामान्यतः लैग्रेंज बहुपद पर विभाजित-अंतर सूत्र पसंद किए जाते हैं।


=== उदाहरण ===
=== उदाहरण ===
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एक और उदाहरण:
एक और उदाहरण:


क्रम <math>f_0</math> ऐसा है कि <math>f_0(1) = 6, f_0(2) = 9, f_0(3) = 2</math> और <math>f_0(4) = 5</math>, यानी हैं <math>6, 9, 2, 5</math> से <math>x_0 = 1</math> को <math>x_3 = 4</math>.
क्रम <math>f_0</math> ऐसा है कि <math>f_0(1) = 6, f_0(2) = 9, f_0(3) = 2</math> और <math>f_0(4) = 5</math>, अर्थात  हैं <math>6, 9, 2, 5</math> से <math>x_0 = 1</math> को <math>x_3 = 4</math>.


आप आदेश की ढलान प्राप्त करते हैं <math>1</math> इस अनुसार:
आप आदेश की ढलान प्राप्त करते हैं <math>1</math> इस अनुसार:
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==बाहरी संबंध==
==बाहरी संबंध==
*[https://web.archive.org/web/20120213001949/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/NewtonPolyMod.html Module for the Newton Polynomial by John H. Mathews]
*[https://web.archive.org/web/20120213001949/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/NewtonPolyMod.html Module for the Newton Polynomial by John H. Mathews]
[[Category: प्रक्षेप]] [[Category: परिमित मतभेद]] [[Category: क्रमगुणित और द्विपद विषय]] [[Category: बहुपदों]]


[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:All articles with dead external links]]
[[Category:All articles with unsourced statements]]
[[Category:Articles with dead external links from June 2022]]
[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
[[Category:Articles with invalid date parameter in template]]
[[Category:Articles with unsourced statements from October 2017]]
[[Category:Created On 03/03/2023]]
[[Category:Created On 03/03/2023]]
[[Category:Machine Translated Page]]
[[Category:Pages with script errors]]
[[Category:Templates Vigyan Ready]]

Latest revision as of 11:11, 20 March 2023

संख्यात्मक विश्लेषण के गणितीय क्षेत्र में, एक न्यूटन बहुपद, जिसका नाम इसके आविष्कारक आइजैक न्यूटन के नाम पर रखा गया है,[1] डेटा बिंदुओं के दिए गए समुच्चय के लिए एक बहुपद प्रक्षेप बहुपद है। न्यूटन बहुपद को कभी-कभी न्यूटन का विभाजित अंतर अंतर्वेशन बहुपद कहा जाता है क्योंकि बहुपद के गुणांकों की गणना न्यूटन की विभाजित अंतर विधि का उपयोग करके की जाती है।

परिभाषा

k+1 डेटा बिंदुओं का एक समुच्चय दिया गया है

जहाँ कोई भी दो xj समान नहीं हैं, न्यूटन प्रक्षेप बहुपद न्यूटन आधारित बहुपदों का एक रैखिक संयोजन है

न्यूटन आधार बहुपद के रूप में परिभाषित किया गया

j > 0 और के लिए .

गुणांक के रूप में परिभाषित किया गया है

कहाँ

विभाजित मतभेदों के लिए अंकन है।

इस प्रकार न्यूटन बहुपद को इस प्रकार लिखा जा सकता है