डेल्टा ऑपरेटर: Difference between revisions

Revision as of 07:54, 16 March 2023

गणित में, डेल्टा संकारक एक विस्थापन-समतुल्य रैखिक संक्रियक $Q\colon \mathbb {K} [x]\longrightarrow \mathbb {K} [x]$ पर $x$ क्षेत्र (गणित) $\mathbb {K}$ चर में बहुपदो के वेक्टर समष्टि पर होता है जो बहुपद की घात को एक से कम कर देता है।

यह कहने के लिए $Q$ विस्थापन-समतुल्य है इसका तात्पर्य है कि यदि $g(x)=f(x+a)$ , तब

{(Qg)(x)=(Qf)(x+a)}.\,

दूसरे शब्दों में, यदि $f$ , $g$ का विस्थापन है तब $Qf$ भी $Qg$ का विस्थापन है, और समान विस्थापन वेक्टर $a$ है।

यह कहना कि संक्रियक कोटि को एक से कम कर देता है, जिसका अर्थ है कि यदि $f$ कोटि $n$ का बहुपद है, तब $Qf$ या तो कोटि $n-1$ का बहुपद है या, स्थिति में $n=0$ , तब $Qf$ , 0 है।

कभी-कभी डेल्टा संकारक को $x$ बहुपदों पर एक विस्थापन-समतुल्य रैखिक परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है जो $x$ को को एक गैर-स्थिर स्थिरांक पर प्रतिचित्र करता है। ऊपर दी गई परिभाषा की तुलना में दुर्बल लगता है, यह बाद की विशेषता को बताई गई परिभाषा के बराबर दिखाया जा सकता है जब $\mathbb {K}$ मे विशेषता (बीजगणित) शून्य है, क्योंकि विस्थापन-समतुल्यता एक अपेक्षाकृत अधिक प्रबल स्थिति है।

उदाहरण

आगे अंतर संक्रियक

(\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)\,

एक डेल्टा संकारक है।

x के संबंध में अवकलन, जिसे D के रूप में लिखा गया है, यह भी डेल्टा संकारक है।
व्यंजक का कोई भी संक्रियक

\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}D^{k}

(जहां Dⁿ(ƒ) = ƒ⁽ⁿ⁾ n^वाँ अवकलज है) के साथ

c_{1}\neq 0

एक डेल्टा संकारक है। यह दिखाया जा सकता है कि सभी डेल्टा संकारकों को इस रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए अंतर संक्रियक का विस्तार किया जा सकता है

\Delta =e^{D}-1=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {D^{k}}{k!}}.

समय मापक्रम की गणना का सामान्यीकृत अवकलज जो मानक गणना के यौगिक पद के साथ अग्रांतर संक्रियक को एकीकृत करता है, जो डेल्टा ऑपरेटर है।
कंप्यूटर विज्ञान औरसूचना प्रभाविकी में, ''विविक्‍त-समय डेल्टा संकारक'' (δ) पद को सामान्य रूप से अंतर संक्रियक के रूप में लिया जाता है।

(δ f) (x) = f (x + Δ t) - f (x)

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-गणित में, एक डेल्टा ऑपरेटर एक शिफ्ट-समतुल्य [[रैखिक ऑपरेटर]] होता है <math>Q\colon\mathbb{K}[x] \longrightarrow \mathbb{K}[x]</math> एक चर में [[बहुपद]]ों के सदिश स्थान पर <math>x</math> एक क्षेत्र पर (गणित) <math>\mathbb{K}</math> जो बहुपद की घात को एक से कम कर देता है।
+गणित में, '''डेल्टा संकारक''' एक विस्थापन-समतुल्य [[रैखिक ऑपरेटर|रैखिक संक्रियक]] <math>Q\colon\mathbb{K}[x] \longrightarrow \mathbb{K}[x]</math> पर <math>x</math> क्षेत्र (गणित) <math>\mathbb{K}</math> चर में [[बहुपद|बहुपदो]] के वेक्टर समष्टि पर होता है जो बहुपद की घात को एक से कम कर देता है।
-यह कहने के लिए <math>Q</math> is शिफ्ट-इक्विवेरिएंट का मतलब है कि अगर <math>g(x) = f(x + a)</math>, तब
+यह कहने के लिए <math>Q</math> विस्थापन-समतुल्य है इसका तात्पर्य है कि यदि <math>g(x) = f(x + a)</math>, तब
 :<math>{ (Qg)(x) = (Qf)(x + a)}.\,</math>
-दूसरे शब्दों में, अगर <math>f</math> की पारी है <math>g</math>, तब <math>Qf</math> की भी एक पारी है <math>Qg</math>, और एक ही शिफ्टिंग वेक्टर है <math>a</math>.
+दूसरे शब्दों में, यदि <math>f</math>, <math>g</math> का विस्थापन है तब <math>Qf</math> भी <math>Qg</math> का विस्थापन है, और समान विस्थापन वेक्टर <math>a</math> है।
-यह कहना कि एक ऑपरेटर डिग्री को एक से कम कर देता है, जिसका अर्थ है कि यदि <math>f</math> डिग्री का बहुपद है <math>n</math>, तब <math>Qf</math> या तो डिग्री का बहुपद है <math>n-1</math>, या, मामले में <math>n = 0</math>, <math>Qf</math> 0 है।
+यह कहना कि संक्रियक कोटि को एक से कम कर देता है, जिसका अर्थ है कि यदि <math>f</math> कोटि <math>n</math> का बहुपद है, तब <math>Qf</math> या तो कोटि <math>n-1</math> का बहुपद है या, स्थिति में <math>n = 0</math>, तब <math>Qf</math>, 0 है।
-कभी-कभी एक डेल्टा ऑपरेटर को बहुपदों पर एक शिफ्ट-समतुल्य रैखिक परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है <math>x</math> वह मानचित्र <math>x</math> एक अशून्य स्थिरांक के लिए। ऊपर दी गई परिभाषा की तुलना में कमजोर रूप से कमजोर, यह बाद के लक्षण वर्णन को बताई गई परिभाषा के बराबर दिखाया जा सकता है <math>\mathbb{K}</math> [[विशेषता (बीजगणित)]] शून्य है, क्योंकि शिफ्ट-समतुल्यता एक काफी मजबूत स्थिति है।
+कभी-कभी डेल्टा संकारक को <math>x</math> बहुपदों पर एक विस्थापन-समतुल्य रैखिक परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है जो <math>x</math> को को एक गैर-स्थिर स्थिरांक पर प्रतिचित्र करता है। ऊपर दी गई परिभाषा की तुलना में दुर्बल लगता है, यह बाद की विशेषता को बताई गई परिभाषा के बराबर दिखाया जा सकता है जब <math>\mathbb{K}</math> मे [[विशेषता (बीजगणित)]] शून्य है, क्योंकि विस्थापन-समतुल्यता एक अपेक्षाकृत अधिक प्रबल स्थिति है।
 == उदाहरण ==
-* आगे [[अंतर ऑपरेटर]]
+* आगे [[अंतर ऑपरेटर|अंतर संक्रियक]]
 :: <math> (\Delta f)(x) = f(x + 1) - f(x)\, </math>
-: एक डेल्टा ऑपरेटर है।
+: एक डेल्टा संकारक है।
-* एक्स के संबंध में [[ यौगिक ]], जिसे डी के रूप में लिखा गया है, एक डेल्टा ऑपरेटर भी है।
+* x के संबंध में [[ यौगिक |अवकलन]], जिसे D के रूप में लिखा गया है, यह भी डेल्टा संकारक है।
-* फॉर्म का कोई भी ऑपरेटर
+* व्यंजक का कोई भी संक्रियक
 ::<math>\sum_{k=1}^\infty c_k D^k</math>
-: (जहां घ<sup>n</sup>(ƒ) = ƒ<sup>(n)</sup> n है<sup>वें</sup> व्युत्पन्न) के साथ <math>c_1\neq0</math> एक डेल्टा ऑपरेटर है। यह दिखाया जा सकता है कि सभी डेल्टा ऑपरेटरों को इस रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए अंतर ऑपरेटर का विस्तार किया जा सकता है
+: (जहां ''D<sup>n</sup>''(ƒ) = ƒ<sup>(''n'')</sup> ''n''<sup>वाँ</sup> अवकलज है) के साथ <math>c_1\neq0</math> एक डेल्टा संकारक है। यह दिखाया जा सकता है कि सभी डेल्टा संकारकों को इस रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए अंतर संक्रियक का विस्तार किया जा सकता है
 ::<math>\Delta=e^D-1=\sum_{k=1}^\infty \frac{D^k}{k!}.</math>
-* [[समय पैमाने की [[गणना]]]] का सामान्यीकृत डेरिवेटिव जो फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर को कैलकुलस के डेरिवेटिव के साथ जोड़ता है, एक डेल्टा ऑपरेटर है।
+* समय मापक्रम की [[गणना]] का सामान्यीकृत अवकलज जो मानक गणना के यौगिक पद के साथ अग्रांतर संक्रियक को एकीकृत करता है, जो डेल्टा ऑपरेटर है।
-* [[कंप्यूटर विज्ञान]] और [[साइबरनेटिक्स]] में, डिस्क्रीट-टाइम डेल्टा ऑपरेटर (δ) शब्द को आम तौर पर एक अंतर ऑपरेटर के रूप में लिया जाता है।
+* [[कंप्यूटर विज्ञान]] औरसूचना प्रभाविकी में, <nowiki>''</nowiki>विविक्‍त-समय डेल्टा संकारक<nowiki>''</nowiki> (δ) पद को सामान्य रूप से अंतर संक्रियक के रूप में लिया जाता है।
 :: <math>{(\delta f)(x) = {{ f(x+\Delta t) - f(x) }  \over {\Delta t} }}, </math>
-: असतत नमूना समय के साथ सामान्य व्युत्पन्न का [[यूलर सन्निकटन]] <math>\Delta t</math>. तेजी से नमूने लेने पर शिफ्ट-ऑपरेटर की तुलना में डेल्टा-सूत्रीकरण महत्वपूर्ण संख्या में संख्यात्मक लाभ प्राप्त करता है।
+: असतत प्रतिदर्श समय <math>\Delta t</math> के साथ सामान्य अवकलज का [[यूलर सन्निकटन]] तेजी से प्रतिदर्श लेने पर विस्थापन-संक्रियक की तुलना में डेल्टा-सूत्रीकरण महत्वपूर्ण संख्या में संख्यात्मक लाभ प्राप्त करता है।
-== बुनियादी बहुपद ==
+== मूल बहुपद ==
-हर डेल्टा ऑपरेटर<math>Q</math>बुनियादी बहुपदों का एक अद्वितीय अनुक्रम है, एक [[बहुपद अनुक्रम]] तीन शर्तों द्वारा परिभाषित किया गया है:
+हर डेल्टा संकारक <math>Q</math> मूल बहुपदों का एक अद्वितीय अनुक्रम है, [[बहुपद अनुक्रम]] तीन शर्तों द्वारा परिभाषित किया गया है:
 * <math>p_0(x)=1 ;</math>
 * <math>p_{n}(0)=0;</math>
 * <math>(Qp_n)(x)=np_{n-1}(x) \text{ for all } n \in \mathbb N.</math>
-बुनियादी बहुपदों का ऐसा क्रम हमेशा [[द्विपद प्रकार]] का होता है, और यह दिखाया जा सकता है कि द्विपद प्रकार के कोई अन्य क्रम मौजूद नहीं हैं। यदि उपरोक्त पहली दो शर्तों को छोड़ दिया जाता है, तो तीसरी शर्त कहती है कि यह बहुपद अनुक्रम एक शेफ़र अनुक्रम है - एक अधिक सामान्य अवधारणा।
+मूल बहुपदों का ऐसा क्रम सदैव [[द्विपद प्रकार]] का होता है, और यह दिखाया जा सकता है कि द्विपद प्रकार के कोई अन्य क्रम सम्मिलित नहीं हैं। यदि उपरोक्त पहली दो शर्तों को छोड़ दिया जाता है, तो तीसरी शर्त कहती है कि यह बहुपद अनुक्रम एक शेफ़र अनुक्रम है जो एक अधिक सामान्य अवधारणा है।
 == यह भी देखें ==
-* [[पिंचरले व्युत्पन्न]]
+* [[पिंचरले व्युत्पन्न|पिंचरले अवकलज]]
-* [[शिफ्ट ऑपरेटर]]
+* [[शिफ्ट ऑपरेटर|विस्थापन संक्रियक]]
-* [[उम्ब्रल कैलकुलस]]
+* [[उम्ब्रल कैलकुलस|प्रतिछाया गणना]]
 == संदर्भ ==

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