फ़िल्टर बैंक: Difference between revisions

[[ संकेत आगे बढ़ाना |संकेत संसाधन]] में, '''फिल्टर बैंक''' या '''निस्यंदक बैंक''' बैंडपास निस्यंदक की एक सरणी है जो इनपुट संकेत (सिग्नल) को कई घटकों में विभाजित करता है और प्रत्येक मूल संकेत के एकल [[ आवृत्ति |आवृत्ति]] [[उप-बैंड कोडिंग]] को सक्रिय किया जाता है।<ref>{{cite journal

   |page=102795 |doi= 10.1016/j.dsp.2020.102795|arxiv=2007.10729|s2cid=220665533 }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Penedo |first1=S. R. M. |last2=Netto |first2=M. L. |last3=Justo |first3=J. F. |title=वेवलेट्स का उपयोग करके डिजिटल फिल्टर बैंकों को डिजाइन करना|journal=EURASIP J. Adv. Signal Process. |date=2019 |volume=2019 |issue=1 |page=33 |doi=10.1186/s13634-019-0632-6|bibcode=2019EJASP2019...33P |doi-access=free }}</ref> फ़िल्टर बैंक का अनुप्रयोग [[ग्राफिक तुल्यकारक]] होता है जो घटकों को अलग तरह से क्षीण कर सकता है और उन्हें मूल संकेत के संशोधित संस्करण में पुनः संयोजित कर सकता है। फ़िल्टर बैंक द्वारा की गई अपघटन की प्रक्रिया को विश्लेषण कहा जाता है (प्रत्येक उप-बैंड में इसके घटकों के संदर्भ में संकेत का विश्लेषण) विश्लेषण के आउटपुट को उप-बैंड संकेत के रूप में संदर्भित किया जाता है क्योंकि फ़िल्टर बैंक में निस्यंदक के रूप में कई उप-बैंड होते हैं। जिसके कारण फ़िल्टरिंग प्रक्रिया से उत्पन्न पूर्ण संकेत के पुनर्निर्माण प्रक्रिया को संश्लेषण कहा जाता है।

[[File:WOLA channelizer example.png|thumb|right|भारित ओवरलैप ऐड (डब्ल्यूओएलए) फ़िल्टर बैंक के कार्यान्वयन और संचालन का चित्रण फूरियर रूपान्तरण (डीएफटी) के लिए एक वास्तविक समय संदर्भ की कमी के कारण एक परिपत्र इनपुट बफर के रैप-अराउंड का उपयोग चरण विच्छेदन को समुच्चय करने के लिए किया जाता है।<ref name=Crochiere>

एक संकीर्ण निम्न आवृत्ति निस्यंदक को संकीर्ण पासबैंड के साथ निम्न आवृत्ति निस्यंदक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। बहु-दर सीमित निम्न आवृत्ति निस्यंदक (एफआईआर) बनाने के लिए, समयअ परिवर्तनीय निस्यंदक (एफआईआर) को निम्न आवृत्ति एन्टी-एलियासिंग निस्यंदक और एक निर्णायक निस्यंदक के साथ एक अन्तर्वेशक और निम्न आवृत्ति एंटी-प्रतिबिंबन निस्यंदक के साथ रूपांतरित कर सकते हैं। इस प्रकार परिणामी बहु-दर प्रणाली निर्णायक निस्यंदक और अन्तर्वेशक निस्यंदक के माध्यम से एक समय-डोमेन रैखिक निस्यंदक होते है।

निम्न आवृत्ति निस्यंदक में दो बहु फ़ेज़ निस्यंदक होते हैं एक डिकिमेटर (निर्णायक निस्यंदक) के लिए और दूसरा अन्तर्वेशक निस्यंदक के लिए एक फ़िल्टर बैंक इनपुट संकेत को <math>x\left(n\right)</math> मे विभाजित करता है<ref>{{cite book|last1=Parks|first1=TW|title=डिजिटल फिल्टर डिजाइन|date=1987|publisher=Wiley-Interscience}}</ref> संकेतों के अनुक्रम <math>x_{1}(n),x_{2}(n),x_{3}(n),...</math>. मे इस प्रकार से प्रत्येक उत्पन्न संकेत <math>x\left(n\right)</math> के स्पेक्ट्रम में एक अलग क्षेत्र के अनुरूप होते है। इस प्रक्रिया में यह संभव हो सकता है कि क्षेत्र ओवरलैप हों। और उत्पन्न संकेत <math>x_{1}(n),x_{2}(n),x_{3}(n),...</math> बैंडविड्थ के साथ बैंडपास निस्यंदक के समूह के संग्रह के माध्यम से उत्पन्न किया जा सकता है। <math>\rm BW_{1},BW_{2},BW_{3},...</math> और <math>f_{c1},f_{c2},f_{c3},...</math>क्रमश केंद्र आवृत्तियों के एक बहु-दर फ़िल्टर बैंक एकल इनपुट संकेत का उपयोग करता है और फ़िल्टर द्वारा संकेत के कई आउटपुट उत्पन्न करता है। इनपुट संकेत को दो या दो से अधिक संकेत में विभाजित करने के लिए, एक विश्लेषण-संश्लेषण प्रणाली का उपयोग किया जा सकता है।

संकेत k = 0,1,2,3 के लिए 4 निस्यंदक <math>H_{k}(z)</math> की सहायता से समान बैंडविथ के 4 बैंड निस्यंदक (विश्लेषण बैंक में) में विभाजित हो जाता है और प्रत्येक उप-संकेत को 4 फलन निस्यंदक से हटा दिया जाता है प्रत्येक बैंड में संकेत को विभाजित करके, अलग-अलग संकेत विशेषताएँ प्राप्त की जा सकती है। संश्लेषण अनुभाग में फ़िल्टर मूल संकेत का पुनर्निर्माण किया जाता है सबसे पहले, प्रसंस्करण इकाई के आउटपुट पर 4 उप-संकेत को 4 के गुणक द्वारा प्रतिचयनित करना और फिर 4 संश्लेषण फ़िल्टर द्वारा फ़िल्टर करना और <math>F_{k}(z)</math> के लिए K= 0,1,2,3 में, इन 4 फ़िल्टरों के आउटपुट सम्बद्ध किए जाते हैं।

असतत-समय फ़िल्टर बैंक आधारित पारंपरिक पूर्ण पुनर्निर्माण फ़िल्टर बैंक के अतिरिक्त डिजाइन में वांछित इनपुट संकेत पर निर्भर सुविधाओं को सम्मिलित करने की स्वीकृति देता है। अधिकतम ऊर्जा संघनन, उप-बैंड संकेतों का डी-सह संबंध और दिए गए इनपुट सहप्रसरण/सहसंबंध संरचना के लिए अन्य विशेषताओं जैसे सूचना सिद्धांत को इष्टतम फिल्टर बैंकों के डिजाइन में सम्मिलित किया गया है।<ref>H. Caglar, Y. Liu and A.N. Akansu,  [http://web.njit.edu/~akansu/PAPERS/Akansu-StatOptPR-QMF-SPIE-VCIPNov1991.pdf "Statistically Optimized PR-QMF Design,"] Proc. SPIE Visual Communications and Image Processing, pp. 86–94, vol. 1605, Boston, Nov. 1991.</ref> ये फ़िल्टर बैंक संकेत पर निर्भर करहुनेन-लोव रूपान्तरण (केएलटी) से संबद्ध होते हैं जो कि इष्टतम ब्लॉक रूपान्तरण है जहाँ आधार फलन की लंबाई L और उपसमष्‍टि आयाम M समान होते हैं।

पुनर्निर्मित खंडों में से दो निर्णायक और विस्तारक होते हैं। उदाहरण के लिए, इनपुट चार दिशात्मक उप बैंडों में विभाजित होता है जिनमें से प्रत्येक भार के आकार के आवृत्ति क्षेत्रों में से एक को नियंत्रित करता है। 1 डी प्रणालियों में, एम-फोल्ड निर्णायक केवल उन प्रतिदर्श को रखते हैं जो एम के गुणक हैं और अतिरिक्त को विभाजित कर देते हैं। जबकि बहु-आयामी प्रणालियों में निर्णायक (D × D) गैर-एकल पूर्णांक आव्यूह होते हैं। यह केवल उन प्रतिदर्श पर विचार करता है जो निर्णायक निस्यंदक द्वारा उत्पन्न जाल पर होते हैं। सामान्यतः प्रयुक्त किया जाने वाला निर्णायक निस्यंदक पंचक निर्णायक निस्यंदक है जिसका जालक [[पांचवां मैट्रिक्स|पंचक आव्यूह]] से उत्पन्न होता है जिसे परिभाषित किया गया है:

</math> के साथ संश्लेषण निस्यंदक <math>\left\{ g_{k}[n]\right\} _{k=1}^{K}</math> और प्रतिदर्श आव्यूह <math>\left\{ M_{k}[n]\right\} _{k=1}^{K}

विश्लेषण या संश्लेषण अक्षों की परिभाषा को ध्यान में रखते हुए हम <math>c_{k}[m]=\langle x[n],\varphi_{k,m}[n] \rangle</math> को सत्यापित कर सकते हैं<ref>{{cite journal|last1=Do|first1=Minh N|title=बहुआयामी फिल्टर बैंक और बहुस्तरीय ज्यामितीय प्रतिनिधित्व|journal=Signal Processing|date=2011|pages=157–264|url=http://www.nowpublishers.com/article/DownloadSummary/SIG-012}}</ref> और पुनर्निर्माण भाग के लिए:

यदि अपघटन और उसके बाद के पुनर्निर्माण में कोई हानि नहीं होती है तो फ़िल्टर बैंक को पूर्ण पुनर्निर्माण कहा जाता है। इस स्थिति में <math>x[n]=\hat{x[n]}</math> होता है<ref>{{cite book|last1=Mallat|first1=Stephane|title=A wavelet tour of signal processing: the sparse way|date=2008|publisher=Academic press}}</ref> आरेख मे n चैनलों के साथ एक सामान्य बहुआयामी फिल्टर बैंक और एक सामान्य प्रतिदर्श आव्यूह m दिखाता है। विश्लेषण भाग इनपुट संकेत <math>x[n]</math> को रूपांतरित करता है n निस्यंदक और निम्न निस्यंदक आउटपुट में <math>y_{j}[n],</math> <math>j=0,1,...,N-1</math> संश्लेषण भाग मूल संकेत <math>y_{j}[n]</math> को पुनः प्राप्त करता है उच्च निस्यंदक और निम्न निस्यंदक द्वारा इस प्रकार के समुच्चयअप का उपयोग कई अनुप्रयोगों में किया जाता है जैसे कि [[सबबैंड कोडिंग|उप बैंड कोडिंग]], बहु चैनल अधिग्रहण और [[तरंगिका रूपांतरित होती है|तरंग रूपांतरण]] मे किया जा सकता है।

</math> एक आव्यूह है और <math>G_{i,j}(z)</math> संश्लेषण के j^th बहु-फेज घटक को दर्शाता है।

</ref> और कैलाथ<ref>

</ref>नियंत्रण सिद्धांत के संदर्भ में एफआईआर ओवरसैंपल फिल्टर बैंक के लिए हमें 1-डी और एम-डी के लिए अलग-अलग रयोजना का उपयोग करना एफआईआर निस्यंदक के लिए अधिक लोकप्रिय हैं क्योंकि इसे प्रयुक्त करना आसान है 1-डी उच्च प्रतिदर्श एफआईआर फिल्टर बैंकों के लिए, यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म आव्यूह व्युत्क्रम समस्या में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।<ref>

=== बहुआयामी गैर-प्रतिदर्श एफआईआर फिल्टर बैंक ===

गैर-प्रतिदर्श किए गए फ़िल्टर बैंक विशेष रूप से उच्च प्रतिदर्श किए गए फ़िल्टर बैंक होते हैं जिनमें निम्न-प्रतिदर्श या उच्च प्रतिदर्श नहीं होता है। गैर-प्रतिदर्श एफआईआर फिल्टर बैंकों के लिए सही पुनर्निर्माण की स्थिति एक सदिश व्युत्क्रम समस्या पर स्थित होती है विश्लेषण निस्यंदक <math>\{H_{1},...,H_{N}\}</math> दिए गए हैं एफआईआर और लक्ष्य एफआईआर संश्लेषण निस्यंदक का एक समूह <math>\{G_{1},...,G_{N}\}</math> को संतुष्टि करने वाला एफआईआर फिल्टर बैंक है।<ref name="Zhou"/>

=== ग्रोबनेर आधारित प्रयोग ===

[[File:Multidimensional M channel Filter Banks.jpg|thumb|right|बहुआयामी एम-चैनल फ़िल्टर बैंक]]जैसा कि बहुआयामी फिल्टर बैंकों को बहुचर विश्लेषण तर्कसंगत आव्यूह द्वारा दर्शाया जा सकता है यह विधि एक बहुत प्रभावी उपकरण है जिसका उपयोग बहुआयामी फिल्टर बैंकों के लिए किया जा सकता है।<ref name="Charo">Charoenlarpnopparut, Chalie, and N. K. Bose. "[https://www.researchgate.net/profile/Chalie_Charoenlarpnopparut/publication/3325435_Multidimensional_FIR_filter_bank_design_using_Grobner_bases/links/0046353a0fe3f6ab4d000000/Multidimensional-FIR-filter-bank-design-using-Grobner-bases.pdf Multidimensional FIR filter bank design using Gröbner bases]" IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing, Volume 46 Issue 12, pp.&nbsp;1475–1486, Dec, 1999</ref> इन 4 बहुचर विश्लेषण बहुपद आव्यूह-गुणनखंड को एल्गोरिथम प्रस्तुत किया गया है और चर्चा की गई है।<ref name="Charo" /> सबसे सामान्य समस्या सही पुनर्निर्माण के लिए बहुआयामी फिल्टर बैंक है। यह पत्र इस लक्ष्य को प्राप्त करने की विधि को निर्धारित करता है जो रैखिक चरण की विवश स्थिति को संतुष्ट करता है। पेपर के विवरण के अनुसार, गुणनखंड में कुछ नए परिणामों पर चर्चा की गई है और बहुआयामी रैखिक चरण पूर्ण पुनर्निर्माण परिमित-आवेग प्रतिक्रिया फ़िल्टर बैंकों के मुद्दों पर प्रयुक्त किया जा रहा है। एडम्स में ग्रोबनर की मूल अवधारणा दी गई है।<ref>Adams, William W., and Philippe Loustaunau. "An introduction to Gröbner bases, volume 3 of [[Graduate Studies in Mathematics]]" American Mathematical Society, Providence, RI 24(47), 1994.</ref> कि बहुचर विश्लेषण आव्यूह गुणनखंडन पर आधारित यह दृष्टिकोण विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग किया जा सकता है। बहुआयामी संकेतों के प्रसंस्करण, संपीड़न, संचरण और डिकोडिंग में समस्याओं को हल करने के लिए बहुपद आदर्शों और मॉड्यूल के एल्गोरिथम सिद्धांत को संशोधित किया जा सकता है।

</math> और <math>M\times N</math>, जहां N चैनलों की संख्या है और <math>M\stackrel{\rm def}{=}|M|

</math> प्रतिदर्श आव्यूह के निर्धारक मान का निरपेक्ष मान है। <math>H(z)</math> और <math>G(z)</math> विश्लेषण और संश्लेषण निस्यंदक के बहु फ़ेज़ घटकों के रूपांतरण हैं।

इसलिए, वे बहुचर विश्लेषण लॉरेंट बहुपद हैं, जिनका सामान्य रूप है:

बहुचर विश्लेषण बहुपद वाले बहुआयामी स्थिति में ग्रोबनेर आधारों के सिद्धांत और एल्गोरिदम का उपयोग करने की आवश्यकता है।<ref>{{cite journal|date=1985|title=बहुपद आदर्श सिद्धांत में एक एल्गोरिथम विधि|journal=Multidimensional Systems Theory|last1=Buchberger|first1=Bruno|doi=10.1007/978-94-009-5225-6_6}}</ref>

ग्रॉबनर विधि का उपयोग पूर्ण पुनर्निर्माण बहुआयामी फिल्टर बैंकों को चिह्नित करने के लिए किया जा सकता है लेकिन इसे पहले बहुपद आव्यूह से [[लॉरेंट बहुपद]] आव्यूह तक विस्तारित करने की आवश्यकता होती है।<ref>{{cite journal|author=Park, Hyungju|author2=Kalker, Ton|name-list-style=amp|author3=Vetterli, Martin|title=Gröbner bases and multidimensional FIR multirate systems|journal=Multidimensional Systems and Signal Processing|volume=8|date=1997|issue=Springer|pages=11–30|url=https://infoscience.epfl.ch/record/33876/files/ParkKV97.pdf|doi=10.1023/A:1008299221759|s2cid=18427023 }}</ref><ref>{{cite journal|last1=Hyung-Ju|first1=Park|s2cid=116370718|title=लॉरेंट पॉलीनोमियल रिंग्स और बहुआयामी एफआईआर सिस्टम का एक कम्प्यूटेशनल सिद्धांत|date=1995|issue=University of California}}</ref> ग्रोबनर अभिकलन के बहुपद आव्यूह समीकरण को हल करने के लिए <math>G(z)H(z)=I_{|M|}</math> गॉसियन विलोपन के समकक्ष माना जा सकता है।

यदि हमारे पास बहुपद सदिश का समुच्चय है:

जहाँ <math>c_{1}(z),...,c_{N}(z)</math> बहुपद हैं।