बानाच समष्टि: Difference between revisions
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===== सघन और उत्तल उपसमुच्चय ===== | ===== सघन और उत्तल उपसमुच्चय ===== | ||
<math>S</math> का <math>\ell^2(\N)</math> सुसंहत उपसमुच्चय है जिसका उत्तल | <math>S</math> का <math>\ell^2(\N)</math> सुसंहत उपसमुच्चय है जिसका उत्तल हल <math>\operatorname{co}(S)</math> संवृत {{em|not}} है और इस प्रकार भी सुसंहत {{em|not}} है (उदाहरण के लिए यह फुटनोट देखें।<ref group="note" name="ExampleCompactButHullIsNotCompact">Let <math>H</math> be the separable [[Hilbert space]] [[Lp space|<math>\ell^2(\N)</math>]] of square-summable sequences with the usual norm <math>\|\cdot\|_2</math> and let <math>e_n = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots)</math> be the standard [[orthonormal basis]] (that is <math>1</math> at the <math>n^{\text{th}}</math>-coordinate). The closed set <math>S = \{0\} \cup \left\{\tfrac{1}{n} e_n : n = 1, 2, \ldots\right\}</math> is compact (because it is [[Sequentially compact space|sequentially compact]]) but its convex hull <math>\operatorname{co} S</math> is {{em|not}} a closed set because <math>h := \sum_{n=1}^{\infty} \tfrac{1}{2^n} \tfrac{1}{n} e_n</math> belongs to the closure of <math>\operatorname{co} S</math> in <math>H</math> but <math>h \not\in\operatorname{co} S</math> (since every sequence <math>\left(z_n\right)_{n=1}^\infty \in \operatorname{co} S</math> is a finite [[convex combination]] of elements of <math>S</math> and so <math>z_n = 0</math> for all but finitely many coordinates, which is not true of <math>h</math>). However, like in all [[Complete topological vector space|complete]] Hausdorff locally convex spaces, the {{em|closed}} convex hull <math>K := \overline{\operatorname{co}} S</math> of this compact subset is compact. The vector subspace <math>X := \operatorname{span} S = \operatorname{span} \left\{e_1, e_2, \ldots\right\}</math> is a [[pre-Hilbert space]] when endowed with the substructure that the Hilbert space <math>H</math> induces on it but <math>X</math> is not complete and <math>h \not\in C := K \cap X</math> (since <math>h \not\in X</math>). The closed convex hull of <math>S</math> in <math>X</math> (here, "closed" means with respect to <math>X,</math> and not to <math>H</math> as before) is equal to <math>K \cap X,</math> which is not compact (because it is not a complete subset). This shows that in a Hausdorff locally convex space that is not complete, the closed convex hull of compact subset might {{em|fail}} to be compact (although it will be [[Totally bounded space|precompact/totally bounded]]).</ref>{{sfn|Aliprantis|Border|2006|p=185}} हालाँकि, सभी बानाख समष्टि की तरह, संवृत उत्तल हल <math>\overline{\operatorname{co}} S</math> उप-समुच्चय सुसंहत होगा।{{sfn|Trèves|2006|p=145}} लेकिन यदि एक मानक समष्टि पूर्ण नहीं है तो यह सामान्य रूप से गारंटी {{em|not}} है कि <math>\overline{\operatorname{co}} S</math> सुसंहत होगा जब भी <math>S</math> होगा; उदाहरण<ref group="note" name="ExampleCompactButHullIsNotCompact" /> के लिए (गैर-पूर्ण) पूर्व-हिल्बर्ट वेक्टर <math>\ell^2(\N)</math> उपसमष्टि में भी पाया जा सकता है | ||
हालाँकि, सभी बानाख समष्टि की तरह, संवृत उत्तल हल | |||
यह मानक-प्रेरित सांस्थिति | यह मानक-प्रेरित सांस्थिति <math>\left(X, \tau_d\right)</math> भी बनाती है एक [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि]] (टीवीएस) के रूप में जाना जाता है, जो परिभाषा के अनुसार एक सांस्थिति के साथ संपन्न एक वेक्टर समष्टि है जो अतिरिक्त और अदिश गुणन के संचालन को निरंतर बनाता है। इस बात पर जोर दिया जाता है कि टीवीएस <math>\left(X, \tau_d\right)</math> है केवल एक निश्चित प्रकार की सांस्थिति के साथ एक सदिश समष्टि; अर्थात जब टीवीएस के रूप में माना जाता है, तो यह है {{em|not}} के साथ जुड़े कोई भी विशेष मानदंड या मीट्रिक (जिनमें से दोनों विस्मृत हैं)। यह हॉसडॉर्फ टीवीएस <math>\left(X, \tau_d\right)</math> [[स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि]] भी है क्योंकि मूल पर केंद्रित सभी विवृत गेंदों का समुच्चय मूल रूप से उत्तल [[संतुलित सेट|संतुलित समुच्चय]] विवृत समुच्चय से मिलकर [[पड़ोस का आधार|प्रतिवेश का आधार]] बनाता है। यह टीवीएस भी मानकीय है, जो परिभाषा के अनुसार किसी भी टीवीएस को संदर्भित करता है जिसका सांस्थिति कुछ (संभवतः अज्ञात) मानक (गणित) से प्रेरित है। मानकीय टीवीएस को हॉसडॉर्फ होने और मूल के एक घिरे हुए उत्तल प्रतिवेश के रूप में चित्रित किया गया है। | ||
==== पूर्ण मेट्रिजेबल वेक्टर सांस्थिति की तुलना ==== | ==== पूर्ण मेट्रिजेबल वेक्टर सांस्थिति की तुलना ==== | ||
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यदि <math>X</math> एक बानाख समष्टि है, समष्टि <math>B(X) = B(X, X)</math> एक इकाई [[बनच बीजगणित|बानाख बीजगणित]] बनाता है; गुणन संक्रिया रेखीय नक्शों के संघटन द्वारा दी जाती है। | यदि <math>X</math> एक बानाख समष्टि है, समष्टि <math>B(X) = B(X, X)</math> एक इकाई [[बनच बीजगणित|बानाख बीजगणित]] बनाता है; गुणन संक्रिया रेखीय नक्शों के संघटन द्वारा दी जाती है। | ||
यदि <math>X</math> और <math>Y</math> मानक समष्टि हैं, यदि एक रेखीय आक्षेप सम्मिलित है तो वे समरूपी मानक समष्टि हैं <math>T : X \to Y</math> जैसे कि <math>T</math> और इसका उलटा <math>T^{-1}</math> निरंतर हैं। यदि दो में से एक समष्टि <math>X</math> या <math>Y</math> पूर्ण है (या प्रतिवर्त समष्टि, [[वियोज्य स्थान|वियोज्य समष्टि]], आदि) तो अन्य समष्टि भी है। दो मानक समष्टि <math>X</math> और <math>Y</math> सममितीय रूप से आइसोमोर्फिक हैं यदि इसके अतिरिक्त, <math>T</math> एक आइसोमेट्री है, | यदि <math>X</math> और <math>Y</math> मानक समष्टि हैं, यदि एक रेखीय आक्षेप सम्मिलित है तो वे समरूपी मानक समष्टि हैं <math>T : X \to Y</math> जैसे कि <math>T</math> और इसका उलटा <math>T^{-1}</math> निरंतर हैं। यदि दो में से एक समष्टि <math>X</math> या <math>Y</math> पूर्ण है (या प्रतिवर्त समष्टि, [[वियोज्य स्थान|वियोज्य समष्टि]], आदि) तो अन्य समष्टि भी है। दो मानक समष्टि <math>X</math> और <math>Y</math> सममितीय रूप से आइसोमोर्फिक हैं यदि इसके अतिरिक्त, <math>T</math> एक आइसोमेट्री है, अर्थात <math>\|T(x)\| = \|x\|</math> हरएक के लिए <math>x</math> में <math>X.</math> बानाख-मजूर दूरी <math>d(X, Y)</math> दो आइसोमॉर्फिक लेकिन सममितीय समष्टि के बीच नहीं <math>X</math> और <math>Y</math> माप देता है कि दो समष्टि कितने हैं <math>X</math> और <math>Y</math> अलग होना। | ||
====सतत और परिबद्ध रेखीय फलन और सेमिनॉर्म्स ==== | ====सतत और परिबद्ध रेखीय फलन और सेमिनॉर्म्स ==== | ||
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=== शास्त्रीय समष्टि === | === शास्त्रीय समष्टि === | ||
मूलभूत उदाहरण<ref>see {{harvtxt|Banach|1932}}, pp. 11-12.</ref> बानाख समष्टि में सम्मिलित हैं: एलपी रिक्त समष्टि <math>L^p</math> और उनके विशेष स्थिति, [[अनुक्रम स्थान (गणित)|अनुक्रम समष्टि (गणित)]] <math>\ell^p</math> जिसमें [[प्राकृतिक संख्या]]ओं द्वारा अनुक्रमित अदिश अनुक्रम सम्मिलित हैं <math>\N</math>; उनमें से, समष्टि <math>\ell^1</math> निरपेक्ष अभिसरण अनुक्रम और समष्टि <math>\ell^2</math> वर्ग योग्य अनुक्रम; समष्टि <math>c_0</math> शून्य और समष्टि की ओर जाने वाले अनुक्रमों की <math>\ell^{\infty}</math> बंधे हुए अनुक्रमों की; समष्टि <math>C(K)</math> सुसंहत हौसडॉर्फ समष्टि पर निरंतर | मूलभूत उदाहरण<ref>see {{harvtxt|Banach|1932}}, pp. 11-12.</ref> बानाख समष्टि में सम्मिलित हैं: एलपी रिक्त समष्टि <math>L^p</math> और उनके विशेष स्थिति, [[अनुक्रम स्थान (गणित)|अनुक्रम समष्टि (गणित)]] <math>\ell^p</math> जिसमें [[प्राकृतिक संख्या]]ओं द्वारा अनुक्रमित अदिश अनुक्रम सम्मिलित हैं <math>\N</math>; उनमें से, समष्टि <math>\ell^1</math> निरपेक्ष अभिसरण अनुक्रम और समष्टि <math>\ell^2</math> वर्ग योग्य अनुक्रम; समष्टि <math>c_0</math> शून्य और समष्टि की ओर जाने वाले अनुक्रमों की <math>\ell^{\infty}</math> बंधे हुए अनुक्रमों की; समष्टि <math>C(K)</math> सुसंहत हौसडॉर्फ समष्टि पर निरंतर अदिश फ़ंक्शंस <math>K,</math> अधिकतम मानदंड से लैस, | ||
<math display=block>\|f\|_{C(K)} = \max \{ |f(x)| : x \in K \}, \quad f \in C(K).</math> | <math display=block>\|f\|_{C(K)} = \max \{ |f(x)| : x \in K \}, \quad f \in C(K).</math> | ||
बानाख-मजूर प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक बानाख समष्टि कुछ के एक उप-समष्टि के लिए सममितीय रूप से आइसोमोर्फिक है। <math>C(K).</math><ref>see {{harvtxt|Banach|1932}}, Th. 9 p. 185.</ref> प्रत्येक वियोज्य बानाख समष्टि के लिए <math>X,</math> एक संवृत उप-समष्टि है <math>M</math> का <math>\ell^1</math> जैसे कि <math>X := \ell^1 / M.</math><ref>see Theorem 6.1, p. 55 in {{harvtxt|Carothers|2005}}</ref> | बानाख-मजूर प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक बानाख समष्टि कुछ के एक उप-समष्टि के लिए सममितीय रूप से आइसोमोर्फिक है। <math>C(K).</math><ref>see {{harvtxt|Banach|1932}}, Th. 9 p. 185.</ref> प्रत्येक वियोज्य बानाख समष्टि के लिए <math>X,</math> एक संवृत उप-समष्टि है <math>M</math> का <math>\ell^1</math> जैसे कि <math>X := \ell^1 / M.</math><ref>see Theorem 6.1, p. 55 in {{harvtxt|Carothers|2005}}</ref> | ||
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<math display=block>x \in H \to f_y(x) = \langle x, y \rangle</math> | <math display=block>x \in H \to f_y(x) = \langle x, y \rangle</math> | ||
एक सतत रैखिक कार्यात्मक परिभाषित करता है <math>f_y</math> पर <math>H.</math>रिज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय कहता है कि प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक पर <math>H</math> स्वरूप का है <math>f_y</math> विशिष्ट रूप से परिभाषित वेक्टर के लिए <math>y</math> में <math>H.</math> | एक सतत रैखिक कार्यात्मक परिभाषित करता है <math>f_y</math> पर <math>H.</math>रिज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय कहता है कि प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक पर <math>H</math> स्वरूप का है <math>f_y</math> विशिष्ट रूप से परिभाषित वेक्टर के लिए <math>y</math> में <math>H.</math> | ||
मानचित्रण <math>y \in H \to f_y</math> एक गैर-रैखिक मानचित्र सममितीय बायजेक्शन है <math>H</math> इसके दोहरे पर <math>H'.</math> जब | मानचित्रण <math>y \in H \to f_y</math> एक गैर-रैखिक मानचित्र सममितीय बायजेक्शन है <math>H</math> इसके दोहरे पर <math>H'.</math> जब अदिश वास्तविक होते हैं, तो यह मानचित्र एक सममितीय समाकृतिकता है। | ||
कब <math>K</math> एक सुसंहत हॉउसडॉर्फ सांंस्थितिक समष्टि है, डुअल <math>M(K)</math> का <math>C(K)</math> बॉरबाकी के अर्थ में रेडॉन उपायों का समष्टि है।<ref>see N. Bourbaki, (2004), "Integration I", Springer Verlag, {{ISBN|3-540-41129-1}}.</ref> उपसमुच्चय <math>P(K)</math> का <math>M(K)</math> द्रव्यमान 1 (संभाव्यता उपाय) के गैर-नकारात्मक उपायों से मिलकर यूनिट बॉल का एक उत्तल w*-संवृत उपसमुच्चय है <math>M(K).</math> के [[चरम बिंदु]] <math>P(K)</math> डिराक उपाय चालू हैं <math>K.</math> डिराक का समुच्चय चालू है <math>K,</math> डब्ल्यू * - सांस्थिति से लैस, होमोमोर्फिज्म है <math>K.</math> | कब <math>K</math> एक सुसंहत हॉउसडॉर्फ सांंस्थितिक समष्टि है, डुअल <math>M(K)</math> का <math>C(K)</math> बॉरबाकी के अर्थ में रेडॉन उपायों का समष्टि है।<ref>see N. Bourbaki, (2004), "Integration I", Springer Verlag, {{ISBN|3-540-41129-1}}.</ref> उपसमुच्चय <math>P(K)</math> का <math>M(K)</math> द्रव्यमान 1 (संभाव्यता उपाय) के गैर-नकारात्मक उपायों से मिलकर यूनिट बॉल का एक उत्तल w*-संवृत उपसमुच्चय है <math>M(K).</math> के [[चरम बिंदु]] <math>P(K)</math> डिराक उपाय चालू हैं <math>K.</math> डिराक का समुच्चय चालू है <math>K,</math> डब्ल्यू * - सांस्थिति से लैस, होमोमोर्फिज्म है <math>K.</math> | ||
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=== अनुक्रमों के दुर्बल अभिसरण === | === अनुक्रमों के दुर्बल अभिसरण === | ||
एक क्रम <math>\left\{ x_n \right\}</math> एक बानाख समष्टि में <math>X</math> वेक्टर के लिए दुर्बल रूप से अभिसरण है <math>x \in X</math> यदि <math>\left\{ f\left(x_n\right) \right\}</math> में विलीन हो जाता है <math>f(x)</math> प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक के लिए <math>f</math> दोहरे में <math>X^{\prime}.</math> क्रम <math>\left\{ x_n \right\}</math> एक दुर्बल कॉची अनुक्रम है यदि <math>\left\{ f\left(x_n\right) \right\}</math> एक | एक क्रम <math>\left\{ x_n \right\}</math> एक बानाख समष्टि में <math>X</math> वेक्टर के लिए दुर्बल रूप से अभिसरण है <math>x \in X</math> यदि <math>\left\{ f\left(x_n\right) \right\}</math> में विलीन हो जाता है <math>f(x)</math> प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक के लिए <math>f</math> दोहरे में <math>X^{\prime}.</math> क्रम <math>\left\{ x_n \right\}</math> एक दुर्बल कॉची अनुक्रम है यदि <math>\left\{ f\left(x_n\right) \right\}</math> एक अदिश सीमा में अभिसरण करता है <math>L(f),,</math> हरएक के लिए <math>f</math> में <math>X^{\prime}.</math> एक क्रम <math>\left\{ f_n \right\}</math> दोहरे में <math>X^{\prime}</math> दुर्बल रूप से* एक कार्यात्मक के लिए अभिसरण है <math>f \in X^{\prime}</math> यदि <math>f_n(x)</math> में विलीन हो जाता है <math>f(x)</math> हरएक के लिए <math>x</math> में <math>X.</math> यूनिफ़ॉर्म बाउंडेडनेस सिद्धांत | बानाच-स्टाइनहॉस प्रमेय के परिणामस्वरूप दुर्बल कॉची अनुक्रम, दुर्बल रूप से अभिसरण और दुर्बल रूप से अभिसरण अनुक्रम मानदंड से बंधे हुए हैं। | ||
जब क्रम <math>\left\{ x_n \right\}</math> में <math>X</math> एक दुर्बल कॉशी अनुक्रम है, सीमा <math>L</math> उपरोक्त दोहरी पर एक बाध्य रैखिक कार्यात्मक परिभाषित करता है <math>X^{\prime},</math> वह है, एक तत्व <math>L</math> की बोली का <math>X,</math> और <math>L</math> की सीमा है <math>\left\{ x_n \right\}</math> दुर्बल * में - बिडुअल की सांस्थिति। | जब क्रम <math>\left\{ x_n \right\}</math> में <math>X</math> एक दुर्बल कॉशी अनुक्रम है, सीमा <math>L</math> उपरोक्त दोहरी पर एक बाध्य रैखिक कार्यात्मक परिभाषित करता है <math>X^{\prime},</math> वह है, एक तत्व <math>L</math> की बोली का <math>X,</math> और <math>L</math> की सीमा है <math>\left\{ x_n \right\}</math> दुर्बल * में - बिडुअल की सांस्थिति। | ||
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{{main|Schauder basis}} | {{main|Schauder basis}} | ||
बानाख क्षेत्र में एक कंपकंपी का आधार <math>X</math> एक क्रम है <math>\left\{ e_n \right\}_{n \geq 0}</math> वैक्टर में <math>X</math> गुण के साथ कि प्रत्येक वेक्टर के लिए <math>x \in X,</math> वहां है {{em|uniquely}} परिभाषित | बानाख क्षेत्र में एक कंपकंपी का आधार <math>X</math> एक क्रम है <math>\left\{ e_n \right\}_{n \geq 0}</math> वैक्टर में <math>X</math> गुण के साथ कि प्रत्येक वेक्टर के लिए <math>x \in X,</math> वहां है {{em|uniquely}} परिभाषित अदिश <math>\left\{ x_n \right\}_{n \geq 0}</math> इस पर निर्भर करते हुए <math>x,</math> जैसे कि | ||
<math display=block>x = \sum_{n=0}^{\infty} x_n e_n, \quad \textit{i.e.,} \quad x = \lim_n P_n(x), \ P_n(x) := \sum_{k=0}^n x_k e_k.</math> | <math display=block>x = \sum_{n=0}^{\infty} x_n e_n, \quad \textit{i.e.,} \quad x = \lim_n P_n(x), \ P_n(x) := \sum_{k=0}^n x_k e_k.</math> | ||
स्कॉडर आधार के साथ बैनच रिक्त समष्टि आवश्यक रूप से वियोज्य समष्टि हैं, क्योंकि तर्कसंगत गुणांक (कहते हैं) के साथ परिमित रैखिक संयोजनों का गणनीय समुच्चय घना है। | स्कॉडर आधार के साथ बैनच रिक्त समष्टि आवश्यक रूप से वियोज्य समष्टि हैं, क्योंकि तर्कसंगत गुणांक (कहते हैं) के साथ परिमित रैखिक संयोजनों का गणनीय समुच्चय घना है। | ||
Revision as of 13:37, 15 March 2023
गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में, बानाख समष्टि (उच्चारण [ˈbanax]) एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि मानक सदिश समष्टि है। इस प्रकार, बानाख समष्टि मीट्रिक (गणित) मीट्रिक के साथ एक सदिश समष्टि है जो सदिश लंबाई और सदिशों के बीच की दूरी की गणना की स्वीकृति देता है और इस अर्थ में पूर्ण है कि सदिशों का कॉची अनुक्रम सदैव एक अच्छी तरह से परिभाषित सीमा में अभिसरण करता है जो समष्टि के अंदर है।
बानाख समष्टि का नाम पोलिश गणितज्ञ स्टीफन बानाच के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इस अवधारणा को प्रस्तुत किया और 1920-1922 में हंस हैन (गणितज्ञ) और एडुआर्ड हेली के साथ व्यवस्थित रूप से इसका अध्ययन किया।[1] मौरिस रेने फ्रेचेट शब्द बानाख समष्टि का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे और बदले में बानाख ने फ्रेचेट समष्टि शब्द नियत किया ।[2] बानाख समष्टि मूल रूप से डेविड हिल्बर्ट, मौरिस रेने फ्रेचेट, और फ्रिगियस रिज्ज़ द्वारा शताब्दी में पहले फलन समष्टि के अध्ययन से बाहर हो गए थे। कार्यात्मक विश्लेषण में बानाख समष्टि एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं। विश्लेषण के अन्य क्षेत्रों (गणित) में, अध्ययन के अंतर्गत रिक्त समष्टि प्रायः बानाख समष्टि होते हैं।
परिभाषा
एक बानाख समष्टि एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि नॉर्म्ड समष्टि है और मानक समष्टि युग्म है[note 1] जिसमे सदिश क्षेत्र पर (जहाँ सामान्यतः है या ) विशिष्ट वेक्टर समष्टि सम्मिलित है।[note 2] सामान्य (गणित) मानदंडों की तरह, यह मानदंड अनुवाद अपरिवर्तनीय और दूरी फलन[note 3] मीट्रिक (गणित) को प्रेरित करता है, जिसे प्रामाणिक या मानक प्रेरित मीट्रिक कहा जाता है। जिसे इसके द्वारा परिभाषित किया गया है।[note 4]
सभी वैक्टर के लिए यह है एक मीट्रिक समष्टि में अनुक्रम बनाता है। -कॉची को कॉची मे या -कॉची में यदि प्रत्येक वास्तविक