बानाच समष्टि: Difference between revisions
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गणित में, विशेष रूप से [[कार्यात्मक विश्लेषण]] में, बानाख समष्टि (उच्चारण {{IPA-pl|ˈbanax|}}) एक [[पूर्ण मीट्रिक स्थान|पूर्ण मीट्रिक समष्टि]] मानक सदिश समष्टि है। इस प्रकार, | गणित में, विशेष रूप से [[कार्यात्मक विश्लेषण]] में, बानाख समष्टि (उच्चारण {{IPA-pl|ˈbanax|}}) एक [[पूर्ण मीट्रिक स्थान|पूर्ण मीट्रिक समष्टि]] मानक सदिश समष्टि है। इस प्रकार, बानाख समष्टि [[मीट्रिक (गणित)]] मीट्रिक के साथ एक सदिश समष्टि है जो सदिश लंबाई और सदिशों के बीच की दूरी की गणना की स्वीकृति देता है और इस अर्थ में पूर्ण है कि सदिशों का कॉची अनुक्रम सदैव एक अच्छी तरह से परिभाषित सीमा में अभिसरण करता है जो समष्टि के अंदर है। | ||
बानाख समष्टि का नाम पोलिश गणितज्ञ [[स्टीफन बानाच]] के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इस अवधारणा को | बानाख समष्टि का नाम पोलिश गणितज्ञ [[स्टीफन बानाच]] के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इस अवधारणा को प्रस्तुत किया और 1920-1922 में [[हंस हैन (गणितज्ञ)]] और [[एडुआर्ड हेली]] के साथ व्यवस्थित रूप से इसका अध्ययन किया।<ref>{{harvnb|Bourbaki|1987|loc=V.86}}<!--From French edition. Please check the "Historical Note" in the English edition.--></ref> मौरिस रेने फ्रेचेट शब्द बानाख समष्टि का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे और बदले में बानाख ने फ्रेचेट समष्टि शब्द नियत किया ।{{sfn|Narici|Beckenstein| 2011|p=93}} बानाख समष्टि मूल रूप से [[डेविड हिल्बर्ट]], मौरिस रेने फ्रेचेट, और [[फ्रिगियस रिज्ज़]] द्वारा शताब्दी में पहले फलन समष्टि के अध्ययन से बाहर हो गए थे। कार्यात्मक विश्लेषण में बानाख समष्टि एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं। विश्लेषण के अन्य क्षेत्रों (गणित) में, अध्ययन के अंतर्गत रिक्त समष्टि प्रायः बानाख समष्टि होते हैं। | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
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विहित मीट्रिक <math>d</math> एक आदर्श समष्टि का <math>(X, \|\cdot\|)</math> सामान्य [[मीट्रिक टोपोलॉजी|मीट्रिक सांस्थिति]] को प्रेरित करता है <math>\tau_d</math> पर <math>X,</math> जिसे विहित या मानक प्रेरित [[टोपोलॉजी|सांस्थिति]] कहा जाता है। | विहित मीट्रिक <math>d</math> एक आदर्श समष्टि का <math>(X, \|\cdot\|)</math> सामान्य [[मीट्रिक टोपोलॉजी|मीट्रिक सांस्थिति]] को प्रेरित करता है <math>\tau_d</math> पर <math>X,</math> जिसे विहित या मानक प्रेरित [[टोपोलॉजी|सांस्थिति]] कहा जाता है। | ||
जब तक अन्यथा इंगित नहीं किया जाता है, तब तक प्रत्येक मानक समष्टि स्वचालित रूप से इस [[हॉसडॉर्फ स्पेस|हॉसडॉर्फ समष्टि]] सांस्थिति को ले जाने के लिए मान लिया जाता है। | जब तक अन्यथा इंगित नहीं किया जाता है, तब तक प्रत्येक मानक समष्टि स्वचालित रूप से इस [[हॉसडॉर्फ स्पेस|हॉसडॉर्फ समष्टि]] सांस्थिति को ले जाने के लिए मान लिया जाता है। | ||
इस सांस्थिति के साथ, प्रत्येक बानाख समष्टि एक बायर समष्टि है, हालांकि ऐसे मानक समष्टि सम्मिलित हैं जो बेयर हैं लेकिन बानाख नहीं हैं।{{sfn|Wilansky|2013|p=29}} नियम <math>\|\,\cdot\,\| : \left(X, \tau_d\right) \to \R</math> सांस्थिति के संबंध में हमेशा एक सतत | इस सांस्थिति के साथ, प्रत्येक बानाख समष्टि एक बायर समष्टि है, हालांकि ऐसे मानक समष्टि सम्मिलित हैं जो बेयर हैं लेकिन बानाख नहीं हैं।{{sfn|Wilansky|2013|p=29}} नियम <math>\|\,\cdot\,\| : \left(X, \tau_d\right) \to \R</math> सांस्थिति के संबंध में हमेशा एक सतत फलन होता है जो इसे प्रेरित करता है। | ||
त्रिज्या की विवृत और संवृत गेंदें <math>r > 0</math> एक बिंदु पर केंद्रित <math>x \in X</math> क्रमशः समुच्चय हैं | त्रिज्या की विवृत और संवृत गेंदें <math>r > 0</math> एक बिंदु पर केंद्रित <math>x \in X</math> क्रमशः समुच्चय हैं | ||
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एक फ्रेचेट समष्टि स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि है जिसका सांस्थिति कुछ ट्रांसलेशन-इनवेरिएंट पूर्ण मीट्रिक द्वारा प्रेरित होता है। | एक फ्रेचेट समष्टि स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि है जिसका सांस्थिति कुछ ट्रांसलेशन-इनवेरिएंट पूर्ण मीट्रिक द्वारा प्रेरित होता है। | ||
हर बानाख समष्टि एक फ्रेचेट समष्टि है लेकिन इसके विपरीत नहीं; वास्तव में, वहाँ भी फ्रेचेट समष्टि सम्मिलित हैं, जिस पर कोई मानदंड एक सतत | हर बानाख समष्टि एक फ्रेचेट समष्टि है लेकिन इसके विपरीत नहीं; वास्तव में, वहाँ भी फ्रेचेट समष्टि सम्मिलित हैं, जिस पर कोई मानदंड एक सतत फलन नहीं है (जैसे कि [[वास्तविक अनुक्रमों का स्थान|वास्तविक अनुक्रमों का समष्टि]] <math display=inline>\R^{\N} = \prod_{i \in \N} \R</math> [[उत्पाद टोपोलॉजी|उत्पाद सांस्थिति]] के साथ)। | ||
हालांकि, हर फ्रेचेट समष्टि की सांस्थिति वास्तविक-मूल्यवान (आवश्यक रूप से निरंतर) नक्शों के कुछ काउंटेबल समुच्चय परिवार से प्रेरित होती है, जिन्हें [[सेमिनोर्म]] कहा जाता है, जो नॉर्म (गणित) के सामान्यीकरण हैं। | हालांकि, हर फ्रेचेट समष्टि की सांस्थिति वास्तविक-मूल्यवान (आवश्यक रूप से निरंतर) नक्शों के कुछ काउंटेबल समुच्चय परिवार से प्रेरित होती है, जिन्हें [[सेमिनोर्म]] कहा जाता है, जो नॉर्म (गणित) के सामान्यीकरण हैं। | ||
एक फ्रेचेट समष्टि के लिए एक सांस्थिति होना भी संभव है जो एक गणनीय परिवार द्वारा प्रेरित है {{em|norms}} (ऐसे मानदंड आवश्यक रूप से निरंतर होंगे)<ref group="note" name="CharacterizationOfContinuityOfANorm">A norm (or [[seminorm]]) <math>p</math> on a topological vector space <math>(X, \tau)</math> is continuous if and only if the topology <math>\tau_p</math> that <math>p</math> induces on <math>X</math> is [[Comparison of topologies|coarser]] than <math>\tau</math> (meaning, <math>\tau_p \subseteq \tau</math>), which happens if and only if there exists some open ball <math>B</math> in <math>(X, p)</math> (such as maybe <math>\{x \in X : p(x) < 1\}</math> for example) that is open in <math>(X, \tau).</math></ref>{{sfn|Trèves|2006|pp=57–69}} | एक फ्रेचेट समष्टि के लिए एक सांस्थिति होना भी संभव है जो एक गणनीय परिवार द्वारा प्रेरित है {{em|norms}} (ऐसे मानदंड आवश्यक रूप से निरंतर होंगे)<ref group="note" name="CharacterizationOfContinuityOfANorm">A norm (or [[seminorm]]) <math>p</math> on a topological vector space <math>(X, \tau)</math> is continuous if and only if the topology <math>\tau_p</math> that <math>p</math> induces on <math>X</math> is [[Comparison of topologies|coarser]] than <math>\tau</math> (meaning, <math>\tau_p \subseteq \tau</math>), which happens if and only if there exists some open ball <math>B</math> in <math>(X, p)</math> (such as maybe <math>\{x \in X : p(x) < 1\}</math> for example) that is open in <math>(X, \tau).</math></ref>{{sfn|Trèves|2006|pp=57–69}} | ||
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यदि <math>X</math> और <math>Y</math> एक ही जमीनी क्षेत्र में मानक समष्टि हैं <math>\mathbb{K},</math> सभी सतत | यदि <math>X</math> और <math>Y</math> एक ही जमीनी क्षेत्र में मानक समष्टि हैं <math>\mathbb{K},</math> सभी सतत फलन (सांस्थिति) रैखिक परिवर्तन का समुच्चय<math>\mathbb{K}</math>-रैखिक नक्शे <math>T : X \to Y</math> द्वारा निरूपित किया जाता है <math>B(X, Y).</math> अनंत-आयामी समष्टि में, सभी रेखीय मानचित्र निरंतर नहीं होते हैं। एक आदर्श समष्टि से एक रेखीय मानचित्रण <math>X</math> किसी अन्य नॉर्म्ड समष्टि के लिए निरंतर है यदि और केवल यदि यह संवृत [[ इकाई क्षेत्र ]] पर परिबद्ध ऑपरेटर है <math>X.</math> इस प्रकार, वेक्टर समष्टि <math>B(X, Y)</math> [[ऑपरेटर मानदंड]] दिया जा सकता है | ||
<math display=block>\|T\| = \sup \left\{\|Tx\|_Y \mid x\in X,\ \|x\|_X \leq 1 \right\}.</math> | <math display=block>\|T\| = \sup \left\{\|Tx\|_Y \mid x\in X,\ \|x\|_X \leq 1 \right\}.</math> | ||
के लिए <math>Y</math> एक बानाख समष्टि, समष्टि <math>B(X, Y)</math> इस मानदंड के संबंध में एक बानाच समष्टि है। स्पष्ट संदर्भों में, कभी-कभी [[होम स्पेस|होम समष्टि]] को दो बानाख रिक्त समष्टि के बीच केवल छोटे मानचित्रों तक सीमित करना सुविधाजनक होता है; उस स्थिति में समष्टि <math>B(X,Y)</math> एक प्राकृतिक द्विभाजक के रूप में फिर से प्रकट होता है।<ref name=Ban1Cat>{{cite web|website=Annoying Precision|title=Banach रिक्त स्थान (और Lawvere मेट्रिक्स, और बंद श्रेणियां)|date=June 23, 2012|author=Qiaochu Yuan|url=https://qchu.wordpress.com/2012/06/23/banach-spaces-and-lawvere-metrics-and-closed-categories/}}</ref> | के लिए <math>Y</math> एक बानाख समष्टि, समष्टि <math>B(X, Y)</math> इस मानदंड के संबंध में एक बानाच समष्टि है। स्पष्ट संदर्भों में, कभी-कभी [[होम स्पेस|होम समष्टि]] को दो बानाख रिक्त समष्टि के बीच केवल छोटे मानचित्रों तक सीमित करना सुविधाजनक होता है; उस स्थिति में समष्टि <math>B(X,Y)</math> एक प्राकृतिक द्विभाजक के रूप में फिर से प्रकट होता है।<ref name=Ban1Cat>{{cite web|website=Annoying Precision|title=Banach रिक्त स्थान (और Lawvere मेट्रिक्स, और बंद श्रेणियां)|date=June 23, 2012|author=Qiaochu Yuan|url=https://qchu.wordpress.com/2012/06/23/banach-spaces-and-lawvere-metrics-and-closed-categories/}}</ref> | ||
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====सतत और परिबद्ध रेखीय फलन और सेमिनॉर्म्स ==== | ====सतत और परिबद्ध रेखीय फलन और सेमिनॉर्म्स ==== | ||
प्रत्येक निरंतर रैखिक संकारक एक परिबद्ध रैखिक संकारक होता है और यदि केवल आदर्श समष्टि के साथ व्यवहार किया जाता है तो इसका विलोम भी सत्य होता है। अर्थात्, दो आदर्श समष्टि के बीच एक रैखिक संकारक परिबद्ध रैखिक संकारक है यदि और केवल यदि यह एक सतत | प्रत्येक निरंतर रैखिक संकारक एक परिबद्ध रैखिक संकारक होता है और यदि केवल आदर्श समष्टि के साथ व्यवहार किया जाता है तो इसका विलोम भी सत्य होता है। अर्थात्, दो आदर्श समष्टि के बीच एक रैखिक संकारक परिबद्ध रैखिक संकारक है यदि और केवल यदि यह एक सतत फलन है। तो विशेष रूप से, क्योंकि अदिश क्षेत्र (जो है <math>\R</math> या <math>\Complex</math>) एक आदर्श समष्टि है, एक मानक समष्टि पर एक [[रैखिक कार्यात्मक]] एक [[परिबद्ध रैखिक कार्यात्मक]] है यदि और केवल यदि यह एक सतत रैखिक कार्यात्मक है। यह निरंतरता से संबंधित परिणामों (जैसे नीचे दिए गए) को बानाख समष्टि पर प्रयुक्त करने की स्वीकृति देता है। यद्यपि सीमाबद्धता मानक समष्टि के बीच रैखिक मानचित्रों के लिए निरंतरता के समान है, मुख्य रूप से बानाख रिक्त समष्टि के साथ व्यवहार करते समय बाध्य शब्द का अधिक उपयोग किया जाता है। | ||
यदि <math>f : X \to \R</math> एक उप-योगात्मक | यदि <math>f : X \to \R</math> एक उप-योगात्मक फलन है (जैसे कि एक आदर्श, एक उप-रैखिक फलन, या वास्तविक रैखिक कार्यात्मक), फिर{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=192-193}} <math>f</math> [[एक बिंदु पर निरंतरता]] है यदि और केवल यदि <math>f</math> सभी पर [[समान रूप से निरंतर]] है <math>X</math>; और यदि इसके अतिरिक्त <math>f(0) = 0</math> तब <math>f</math> निरंतर है यदि और केवल यदि इसका पूर्ण मूल्य <math>|f| : X \to [0, \infty)</math> निरंतर है, जो होता है यदि और केवल यदि <math>\{x \in X : |f(x)| < 1\}</math> का विवृत उपसमुच्चय है <math>X.</math>{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=192-193}}<ref group="note">The fact that <math>\{x \in X : |f(x)| < 1\}</math> being open implies that <math>f : X \to \R</math> is continuous simplifies proving continuity because this means that it suffices to show that <math>\{x \in X : \left|f(x) - f\left(x_0\right)\right| < r\}</math> is open for <math>r := 1</math> and at <math>x_0 := 0</math> (where <math>f(0) = 0</math>) rather than showing this for {{em|all}} real <math>r > 0</math> and {{em|all}} <math>x_0 \in X.</math></ref> और हन-बनाक प्रमेय, एक रैखिक कार्यात्मक को प्रयुक्त करने के लिए बहुत महत्वपूर्ण है <math>f</math> निरंतर है यदि और केवल यदि यह इसके [[वास्तविक भाग]] के लिए सत्य है <math>\operatorname{Re} f</math> और इसके अतिरिक्त, <math>\|\operatorname{Re} f\| = \|f\|</math> और एक रैखिक कार्यात्मक के वास्तविक और काल्पनिक भाग | वास्तविक भाग <math>\operatorname{Re} f</math> पूर्णतः निर्धारित करता है <math>f,</math> यही कारण है कि हैन-बनाक प्रमेय को प्रायः केवल वास्तविक रैखिक कार्यात्मकताओं के लिए ही कहा जाता है। | ||
इसके अतिरिक्त, एक रैखिक कार्यात्मक <math>f</math> पर <math>X</math> निरंतर है यदि और केवल यदि सेमिनॉर्म <math>|f|</math> निरंतर है, जो तभी होता है जब निरंतर सेमिनॉर्म सम्मिलित होता है <math>p : X \to \R</math> ऐसा है कि <math>|f| \leq p</math>; यह अंतिम कथन रैखिक कार्यात्मक को सम्मिलित करता है <math>f</math> और सेमिनोर्म <math>p</math> हैन-बनाक प्रमेय के कई संस्करणों में इसका सामना करना पड़ता है। | इसके अतिरिक्त, एक रैखिक कार्यात्मक <math>f</math> पर <math>X</math> निरंतर है यदि और केवल यदि सेमिनॉर्म <math>|f|</math> निरंतर है, जो तभी होता है जब निरंतर सेमिनॉर्म सम्मिलित होता है <math>p : X \to \R</math> ऐसा है कि <math>|f| \leq p</math>; यह अंतिम कथन रैखिक कार्यात्मक को सम्मिलित करता है <math>f</math> और सेमिनोर्म <math>p</math> हैन-बनाक प्रमेय के कई संस्करणों में इसका सामना करना पड़ता है। | ||
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<math display=block>\|f\|_{C(K)} = \max \{ |f(x)| : x \in K \}, \quad f \in C(K).</math> | <math display=block>\|f\|_{C(K)} = \max \{ |f(x)| : x \in K \}, \quad f \in C(K).</math> | ||
बानाख-मजूर प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक बानाख समष्टि कुछ के एक उप-समष्टि के लिए सममितीय रूप से आइसोमोर्फिक है। <math>C(K).</math><ref>see {{harvtxt|Banach|1932}}, Th. 9 p. 185.</ref> प्रत्येक वियोज्य बानाख समष्टि के लिए <math>X,</math> एक संवृत उप-समष्टि है <math>M</math> का <math>\ell^1</math> ऐसा है कि <math>X := \ell^1 / M.</math><ref>see Theorem 6.1, p. 55 in {{harvtxt|Carothers|2005}}</ref> | बानाख-मजूर प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक बानाख समष्टि कुछ के एक उप-समष्टि के लिए सममितीय रूप से आइसोमोर्फिक है। <math>C(K).</math><ref>see {{harvtxt|Banach|1932}}, Th. 9 p. 185.</ref> प्रत्येक वियोज्य बानाख समष्टि के लिए <math>X,</math> एक संवृत उप-समष्टि है <math>M</math> का <math>\ell^1</math> ऐसा है कि <math>X := \ell^1 / M.</math><ref>see Theorem 6.1, p. 55 in {{harvtxt|Carothers|2005}}</ref> | ||
कोई भी हिल्बर्ट समष्टि बानाख समष्टि के उदाहरण के रूप में | कोई भी हिल्बर्ट समष्टि बानाख समष्टि के उदाहरण के रूप में फलन करता है। एक हिल्बर्ट समष्टि <math>H</math> पर <math>\mathbb{K} = \Reals, \Complex</math> प्रपत्र के एक मानक के लिए पूर्ण है | ||
<math display=block>\|x\|_H = \sqrt{\langle x, x \rangle},</math> | <math display=block>\|x\|_H = \sqrt{\langle x, x \rangle},</math> | ||
जहाँ | जहाँ | ||
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* द बानाख समष्टि <math>C(K)</math> बिंदुवार गुणनफल के साथ, एक बैनाच बीजगणित है। | * द बानाख समष्टि <math>C(K)</math> बिंदुवार गुणनफल के साथ, एक बैनाच बीजगणित है। | ||
* [[डिस्क बीजगणित]] <math>A(\mathbf{D})</math> ओपन यूनिट डिस्क में [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] के | * [[डिस्क बीजगणित]] <math>A(\mathbf{D})</math> ओपन यूनिट डिस्क में [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] के फलन होते हैं <math>D \subseteq \Complex</math> और इसके [[क्लोजर (टोपोलॉजी)|क्लोजर (सांस्थिति)]] पर निरंतर: <math>\overline{\mathbf{D}}.</math> अधिकतम मानदंड से लैस <math>\overline{\mathbf{D}},</math> डिस्क बीजगणित <math>A(\mathbf{D})</math> का एक संवृत सबलजेब्रा है <math>C\left(\overline{\mathbf{D}}\right).</math> | ||
* वीनर बीजगणित <math>A(\mathbf{T})</math> यूनिट सर्कल पर कार्यों का बीजगणित है <math>\mathbf{T}</math> बिल्कुल अभिसरण फूरियर श्रृंखला के साथ। किसी फ़ंक्शन को जोड़ने वाले मानचित्र के माध्यम से <math>\mathbf{T}</math> इसके फूरियर गुणांकों के अनुक्रम के अनुसार, यह बीजगणित बानाख बीजगणित के लिए समरूप है <math>\ell^1(Z),</math> जहां उत्पाद अनुक्रमों का कनवल्शन# असतत कनवल्शन है। | * वीनर बीजगणित <math>A(\mathbf{T})</math> यूनिट सर्कल पर कार्यों का बीजगणित है <math>\mathbf{T}</math> बिल्कुल अभिसरण फूरियर श्रृंखला के साथ। किसी फ़ंक्शन को जोड़ने वाले मानचित्र के माध्यम से <math>\mathbf{T}</math> इसके फूरियर गुणांकों के अनुक्रम के अनुसार, यह बीजगणित बानाख बीजगणित के लिए समरूप है <math>\ell^1(Z),</math> जहां उत्पाद अनुक्रमों का कनवल्शन# असतत कनवल्शन है। | ||
* हर बानाख समष्टि के लिए <math>X,</math> समष्टि <math>B(X)</math> परिबद्ध रैखिक ऑपरेटरों की <math>X,</math> उत्पाद के रूप में नक्शों की संरचना के साथ, एक बानाख बीजगणित है। | * हर बानाख समष्टि के लिए <math>X,</math> समष्टि <math>B(X)</math> परिबद्ध रैखिक ऑपरेटरों की <math>X,</math> उत्पाद के रूप में नक्शों की संरचना के साथ, एक बानाख बीजगणित है। | ||
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=== दोहरी समष्टि === | === दोहरी समष्टि === | ||
{{main|Dual space}} | {{main|Dual space}} | ||
यदि <math>X</math> एक आदर्श समष्टि है और <math>\mathbb{K}</math> अंतर्निहित [[क्षेत्र (गणित)]] (या तो [[वास्तविक संख्या]] या [[जटिल संख्या]]), दोहरी समष्टि#सतत दोहरी समष्टि निरंतर रैखिक मानचित्रों का समष्टि है <math>X</math> में <math>\mathbb{K},</math> या निरंतर रैखिक | यदि <math>X</math> एक आदर्श समष्टि है और <math>\mathbb{K}</math> अंतर्निहित [[क्षेत्र (गणित)]] (या तो [[वास्तविक संख्या]] या [[जटिल संख्या]]), दोहरी समष्टि#सतत दोहरी समष्टि निरंतर रैखिक मानचित्रों का समष्टि है <math>X</math> में <math>\mathbb{K},</math> या निरंतर रैखिक फलन। | ||
निरंतर दोहरे के लिए अंकन है <math>X^{\prime} = B(X, \mathbb{K})</math> इस आलेख में।<ref>Several books about functional analysis use the notation <math>X^*</math> for the continuous dual, for example {{harvtxt|Carothers|2005}}, {{harvtxt|Lindenstrauss|Tzafriri|1977}}, {{harvtxt|Megginson|1998}}, {{harvtxt|Ryan|2002}}, {{harvtxt|Wojtaszczyk|1991}}.</ref> तब से <math>\mathbb{K}</math> एक बानाख समष्टि है (मानक के रूप में पूर्ण मूल्य का उपयोग करके), दोहरी <math>X^{\prime}</math> प्रत्येक मानक समष्टि के लिए एक बानाख समष्टि है <math>X.</math> | निरंतर दोहरे के लिए अंकन है <math>X^{\prime} = B(X, \mathbb{K})</math> इस आलेख में।<ref>Several books about functional analysis use the notation <math>X^*</math> for the continuous dual, for example {{harvtxt|Carothers|2005}}, {{harvtxt|Lindenstrauss|Tzafriri|1977}}, {{harvtxt|Megginson|1998}}, {{harvtxt|Ryan|2002}}, {{harvtxt|Wojtaszczyk|1991}}.</ref> तब से <math>\mathbb{K}</math> एक बानाख समष्टि है (मानक के रूप में पूर्ण मूल्य का उपयोग करके), दोहरी <math>X^{\prime}</math> प्रत्येक मानक समष्टि के लिए एक बानाख समष्टि है <math>X.</math> | ||
निरंतर रैखिक क्रियाओं के अस्तित्व को सिद्ध करने का मुख्य उपकरण हैन-बनाक प्रमेय है। | निरंतर रैखिक क्रियाओं के अस्तित्व को सिद्ध करने का मुख्य उपकरण हैन-बनाक प्रमेय है। | ||
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उदाहरण के लिए, की दोहरी <math>X = c_0</math> से पहचाना जाता है <math>\ell^1,</math> और की दोहरी <math>\ell^1</math> से पहचाना जाता है <math>\ell^{\infty},</math> परिबद्ध अदिश अनुक्रमों का समष्टि। | उदाहरण के लिए, की दोहरी <math>X = c_0</math> से पहचाना जाता है <math>\ell^1,</math> और की दोहरी <math>\ell^1</math> से पहचाना जाता है <math>\ell^{\infty},</math> परिबद्ध अदिश अनुक्रमों का समष्टि। | ||
इन पहचान के | इन पहचान के अंतर्गत <math>F_X</math> से समावेशन मानचित्र है <math>c_0</math> को <math>\ell^{\infty}.</math> यह वास्तव में सममितीय है, लेकिन आच्छादक नहीं है। | ||
यदि <math>F_X</math> आच्छादन है, तो आदर्श समष्टि <math>X</math> रिफ्लेक्सिव कहा जाता है (बानाख समष्टि # रिफ्लेक्सिविटी देखें)। | यदि <math>F_X</math> आच्छादन है, तो आदर्श समष्टि <math>X</math> रिफ्लेक्सिव कहा जाता है (बानाख समष्टि # रिफ्लेक्सिविटी देखें)। | ||
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बानाख-स्टाइनहॉस प्रमेय बानाख समष्टि तक सीमित नहीं है। | बानाख-स्टाइनहॉस प्रमेय बानाख समष्टि तक सीमित नहीं है। | ||
इसे उदाहरण के लिए उस स्थिति में बढ़ाया जा सकता है जहां <math>X</math> एक फ्रेचेट समष्टि है, बशर्ते निष्कर्ष को निम्नानुसार संशोधित किया जाए: एक ही परिकल्पना के | इसे उदाहरण के लिए उस स्थिति में बढ़ाया जा सकता है जहां <math>X</math> एक फ्रेचेट समष्टि है, बशर्ते निष्कर्ष को निम्नानुसार संशोधित किया जाए: एक ही परिकल्पना के अंतर्गत, एक पड़ोस सम्मिलित है <math>U</math> का <math>\mathbf{0}</math> में <math>X</math> ऐसा है कि सभी <math>T</math> में <math>F</math> समान रूप से बंधे हुए हैं <math>U,</math> | ||
<math display=block>\sup_{T \in F} \sup_{x \in U} \; \|T(x)\|_Y < \infty.</math> | <math display=block>\sup_{T \in F} \sup_{x \in U} \; \|T(x)\|_Y < \infty.</math> | ||
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हिल्बर्ट समष्टि रिफ्लेक्सिव हैं। <math>L^p</math> h> समष्टि रिफ्लेक्सिव होते हैं जब <math>1 < p < \infty.</math> अधिक सामान्य रूप से, मिलमैन-पेटिस प्रमेय द्वारा समान रूप से उत्तल रिक्त समष्टि प्रतिवर्ती होते हैं। | हिल्बर्ट समष्टि रिफ्लेक्सिव हैं। <math>L^p</math> h> समष्टि रिफ्लेक्सिव होते हैं जब <math>1 < p < \infty.</math> अधिक सामान्य रूप से, मिलमैन-पेटिस प्रमेय द्वारा समान रूप से उत्तल रिक्त समष्टि प्रतिवर्ती होते हैं। | ||
रिक्त समष्टि <math>c_0, \ell^1, L^1([0, 1]), C([0, 1])</math> परावर्तक नहीं हैं। | रिक्त समष्टि <math>c_0, \ell^1, L^1([0, 1]), C([0, 1])</math> परावर्तक नहीं हैं। | ||
गैर-रिफ्लेक्सिव रिक्त समष्टि के इन उदाहरणों में <math>X,</math> बोली <math>X''</math> से बहुत बड़ा है <math>X.</math> अर्थात्, प्राकृतिक सममितीय एम्बेडिंग के | गैर-रिफ्लेक्सिव रिक्त समष्टि के इन उदाहरणों में <math>X,</math> बोली <math>X''</math> से बहुत बड़ा है <math>X.</math> अर्थात्, प्राकृतिक सममितीय एम्बेडिंग के अंतर्गत <math>X</math> में <math>X''</math> हन-बानाख प्रमेय द्वारा दिया गया भागफल <math>X^{\prime\prime} / X</math> अनंत-आयामी है, और अविभाज्य भी है। | ||
हालाँकि, रॉबर्ट सी। जेम्स ने एक उदाहरण का निर्माण किया है<ref>{{cite journal|author = R. C. James|title=एक नॉन-रिफ्लेक्सिव बैनच स्पेस आइसोमेट्रिक अपने दूसरे कंजुगेट स्पेस के साथ|journal=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.|volume=37|pages=174–177|year=1951|issue=3 | doi=10.1073/pnas.37.3.174 | pmc=1063327|pmid=16588998|bibcode=1951PNAS...37..174J |doi-access=free}}</ref> एक गैर-रिफ्लेक्सिव समष्टि, जिसे सामान्य रूप से जेम्स समष्टि कहा जाता है और इसके द्वारा निरूपित किया जाता है <math>J,</math><ref>see {{harvtxt|Lindenstrauss|Tzafriri|1977}}, p. 25.</ref> ऐसा भागफल <math>J^{\prime\prime} / J</math> एक आयामी है। | हालाँकि, रॉबर्ट सी। जेम्स ने एक उदाहरण का निर्माण किया है<ref>{{cite journal|author = R. C. James|title=एक नॉन-रिफ्लेक्सिव बैनच स्पेस आइसोमेट्रिक अपने दूसरे कंजुगेट स्पेस के साथ|journal=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.|volume=37|pages=174–177|year=1951|issue=3 | doi=10.1073/pnas.37.3.174 | pmc=1063327|pmid=16588998|bibcode=1951PNAS...37..174J |doi-access=free}}</ref> एक गैर-रिफ्लेक्सिव समष्टि, जिसे सामान्य रूप से जेम्स समष्टि कहा जाता है और इसके द्वारा निरूपित किया जाता है <math>J,</math><ref>see {{harvtxt|Lindenstrauss|Tzafriri|1977}}, p. 25.</ref> ऐसा भागफल <math>J^{\prime\prime} / J</math> एक आयामी है। | ||
इसके अतिरिक्त, यह समष्टि <math>J</math> सममितीय रूप से समाकृतिक to its Bidual है। | इसके अतिरिक्त, यह समष्टि <math>J</math> सममितीय रूप से समाकृतिक to its Bidual है। | ||
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यूनिट बॉल की दुर्बल कॉम्पैक्टनेस कुछ [[अनंत-आयामी अनुकूलन]] के लिए रिफ्लेक्सिव रिक्त समष्टि में समाधान खोजने के लिए एक उपकरण प्रदान करती है। | यूनिट बॉल की दुर्बल कॉम्पैक्टनेस कुछ [[अनंत-आयामी अनुकूलन]] के लिए रिफ्लेक्सिव रिक्त समष्टि में समाधान खोजने के लिए एक उपकरण प्रदान करती है। | ||
उदाहरण के लिए, प्रत्येक उत्तल इकाई गेंद पर निरंतर | उदाहरण के लिए, प्रत्येक उत्तल इकाई गेंद पर निरंतर फलन करता है <math>B</math> एक रिफ्लेक्सिव समष्टि किसी बिंदु पर न्यूनतम हो जाता है <math>B.</math> | ||
पूर्ववर्ती परिणाम के एक विशेष स्थिति के रूप में, कब <math>X</math> एक रिफ्लेक्सिव समष्टि ओवर है <math>\R,</math> हर निरंतर रैखिक कार्यात्मक <math>f</math> में <math>X^{\prime}</math> अधिकतम प्राप्त करता है <math>\|f\|</math> की यूनिट बॉल पर <math>X.</math> निम्नलिखित जेम्स प्रमेय|रॉबर्ट सी. जेम्स का प्रमेय एक विलोम कथन प्रदान करता है। | पूर्ववर्ती परिणाम के एक विशेष स्थिति के रूप में, कब <math>X</math> एक रिफ्लेक्सिव समष्टि ओवर है <math>\R,</math> हर निरंतर रैखिक कार्यात्मक <math>f</math> में <math>X^{\prime}</math> अधिकतम प्राप्त करता है <math>\|f\|</math> की यूनिट बॉल पर <math>X.</math> निम्नलिखित जेम्स प्रमेय|रॉबर्ट सी. जेम्स का प्रमेय एक विलोम कथन प्रदान करता है। | ||
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प्रमेय को दुर्बल रूप से सघन उत्तल समुच्चय का लक्षण वर्णन देने के लिए बढ़ाया जा सकता है। | प्रमेय को दुर्बल रूप से सघन उत्तल समुच्चय का लक्षण वर्णन देने के लिए बढ़ाया जा सकता है। | ||
हर नॉन-रिफ्लेक्सिव बानाख समष्टि पर <math>X,</math> निरंतर रेखीय | हर नॉन-रिफ्लेक्सिव बानाख समष्टि पर <math>X,</math> निरंतर रेखीय फलन सम्मिलित हैं जो मानक-प्राप्ति नहीं कर रहे हैं। | ||
हालांकि, [[ बिशप बचाओ ]]-[[रॉबर्ट फेल्प्स]] प्रमेय<ref>{{cite journal|last1=bishop|first1=See E.|last2=Phelps|first2=R.|year=1961|title=एक सबूत है कि हर बनच स्पेस सबरेफ्लेक्सिव है|journal=Bull. Amer. Math. Soc.|volume=67|pages=97–98|doi=10.1090/s0002-9904-1961-10514-4|doi-access=free }}</ref> बताता है कि आदर्श-प्राप्त करने वाले कार्यात्मक दोहरे में मानक सघन हैं <math>X^{\prime}</math> का <math>X.</math> | हालांकि, [[ बिशप बचाओ ]]-[[रॉबर्ट फेल्प्स]] प्रमेय<ref>{{cite journal|last1=bishop|first1=See E.|last2=Phelps|first2=R.|year=1961|title=एक सबूत है कि हर बनच स्पेस सबरेफ्लेक्सिव है|journal=Bull. Amer. Math. Soc.|volume=67|pages=97–98|doi=10.1090/s0002-9904-1961-10514-4|doi-access=free }}</ref> बताता है कि आदर्श-प्राप्त करने वाले कार्यात्मक दोहरे में मानक सघन हैं <math>X^{\prime}</math> का <math>X.</math> | ||
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गोल्डस्टाइन प्रमेय द्वारा, यूनिट बॉल का प्रत्येक तत्व <math>B^{\prime\prime}</math> का <math>X^{\prime\prime}</math> दुर्बल है*- की यूनिट बॉल में नेट की सीमा <math>X.</math> कब <math>X</math> सम्मिलित नहीं है <math>\ell^1,</math> का हर तत्व <math>B^{\prime\prime}</math> दुर्बल है* - एक की सीमा {{em|sequence}} की यूनिट बॉल में <math>X.</math><ref>Odell and Rosenthal, Sublemma p. 378 and Remark p. 379.</ref> | गोल्डस्टाइन प्रमेय द्वारा, यूनिट बॉल का प्रत्येक तत्व <math>B^{\prime\prime}</math> का <math>X^{\prime\prime}</math> दुर्बल है*- की यूनिट बॉल में नेट की सीमा <math>X.</math> कब <math>X</math> सम्मिलित नहीं है <math>\ell^1,</math> का हर तत्व <math>B^{\prime\prime}</math> दुर्बल है* - एक की सीमा {{em|sequence}} की यूनिट बॉल में <math>X.</math><ref>Odell and Rosenthal, Sublemma p. 378 and Remark p. 379.</ref> | ||
जब बानाख समष्टि <math>X</math> वियोज्य है, दोहरी की इकाई गेंद <math>X^{\prime},</math> दुर्बल *-सांस्थिति से लैस, एक मेट्रिजेबल सुसंहत समष्टि है <math>K,</math><ref name="DualBall" />और हर तत्व <math>x^{\prime\prime}</math> बोली में <math>X^{\prime\prime}</math> एक बंधे हुए | जब बानाख समष्टि <math>X</math> वियोज्य है, दोहरी की इकाई गेंद <math>X^{\prime},</math> दुर्बल *-सांस्थिति से लैस, एक मेट्रिजेबल सुसंहत समष्टि है <math>K,</math><ref name="DualBall" />और हर तत्व <math>x^{\prime\prime}</math> बोली में <math>X^{\prime\prime}</math> एक बंधे हुए फलन को परिभाषित करता है <math>K</math>: | ||
<math display=block>x' \in K \mapsto x''(x'), \quad \left |x''(x')\right| \leq \left \|x''\right \|.</math> | <math display=block>x' \in K \mapsto x''(x'), \quad \left |x''(x')\right| \leq \left \|x''\right \|.</math> | ||
यह | यह फलन सुसंहत सांस्थिति के लिए निरंतर है <math>K</math> यदि और केवल यदि <math>x^{\prime\prime}</math> वास्तव में है <math>X,</math> का उपसमुच्चय माना जाता है <math>X^{\prime\prime}.</math> बाकी पैराग्राफ के लिए अतिरिक्त मान लें कि <math>X</math> सम्मिलित नहीं है <math>\ell^1.</math> ओडेल और रोसेन्थल के पूर्ववर्ती परिणाम से, फलन <math>x^{\prime\prime}</math> बिन्दुवार अभिसरण चालू है <math>K</math> एक क्रम का <math>\left\{x_n\right\} \subseteq X</math> निरंतर कार्यों पर <math>K,</math> इसलिए यह एक [[बाहरी समारोह|बाहरी फलन]] है <math>K.</math> बिडुअल की यूनिट बॉल पहले बायर वर्ग का बिंदुवार सुसंहत उपसमुच्चय है <math>K.</math><ref>for more on pointwise compact subsets of the Baire class, see {{citation|last1=Bourgain|first1=Jean|author1-link=Jean Bourgain|last2=Fremlin|first2=D. H.|last3=Talagrand |first3=Michel|title=Pointwise Compact Sets of Baire-Measurable Functions|journal=Am. J. Math.|volume=100|year=1978|issue=4|pages=845–886|jstor=2373913|doi=10.2307/2373913}}.</ref> | ||
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यह बानाच-स्टाइनहॉस प्रमेय से आता है जो कि रैखिक मानचित्रण है <math>\left\{P_n\right\}</math> समान रूप से कुछ स्थिरांक से बंधे होते हैं <math>C.</math> होने देना <math>\left\{ e_n^* \right\}</math> उन समन्वय कार्यों को निरूपित करें जो प्रत्येक को असाइन करते हैं <math>x</math> में <math>X</math> समन्वय <math>x_n</math> का <math>x</math> उपरोक्त विस्तार में। | यह बानाच-स्टाइनहॉस प्रमेय से आता है जो कि रैखिक मानचित्रण है <math>\left\{P_n\right\}</math> समान रूप से कुछ स्थिरांक से बंधे होते हैं <math>C.</math> होने देना <math>\left\{ e_n^* \right\}</math> उन समन्वय कार्यों को निरूपित करें जो प्रत्येक को असाइन करते हैं <math>x</math> में <math>X</math> समन्वय <math>x_n</math> का <math>x</math> उपरोक्त विस्तार में। | ||
उन्हें बायोरथोगोनल फंक्शंस कहा जाता है। जब आधार वैक्टर का मानदंड होता है <math>1,</math> समन्वय | उन्हें बायोरथोगोनल फंक्शंस कहा जाता है। जब आधार वैक्टर का मानदंड होता है <math>1,</math> समन्वय फलन करता है <math>\left\{e_n^*\right\}</math> आदर्श है <math>\,\leq 2 C</math> के दोहरे में <math>X.</math> | ||
अधिकांश शास्त्रीय वियोज्य समष्टि में स्पष्ट आधार होते हैं। | अधिकांश शास्त्रीय वियोज्य समष्टि में स्पष्ट आधार होते हैं। | ||
[[ उसकी तरंगिका ]] <math>\left\{ h_n \right\}</math> का आधार है <math>L^p([0, 1]), 1 \leq p < \infty.</math> द स्कॉडर बेसिस#उदाहरण एक आधार है <math>L^p(\mathbf{T})</math> कब <math>1 < p < \infty.</math> इकाई अंतराल और संबंधित प्रणालियों पर हार तरंगिका # हार प्रणाली समष्टि में एक आधार है <math>C([0, 1]).</math><ref>see {{harvtxt|Lindenstrauss|Tzafriri|1977}} p. 3.</ref> डिस्क बीजगणित का सवाल है <math>A(\mathbf{D})</math> एक आधार है<ref>the question appears p. 238, §3 in Banach's book, {{harvtxt|Banach|1932}}.</ref> 1974 में Bočkarev द्वारा दिखाए जाने तक चालीस से अधिक वर्षों तक विवृत रहा <math>A(\mathbf{D})</math> यूनिट अंतराल और संबंधित प्रणालियों पर हार वेवलेट #हार प्रणाली से निर्मित आधार को स्वीकार करता है।<ref>see S. V. Bočkarev, "Existence of a basis in the space of functions analytic in the disc, and some properties of Franklin's system". (Russian) Mat. Sb. (N.S.) 95(137) (1974), 3–18, 159.</ref> | [[ उसकी तरंगिका ]] <math>\left\{ h_n \right\}</math> का आधार है <math>L^p([0, 1]), 1 \leq p < \infty.</math> द स्कॉडर बेसिस#उदाहरण एक आधार है <math>L^p(\mathbf{T})</math> कब <math>1 < p < \infty.</math> इकाई अंतराल और संबंधित प्रणालियों पर हार तरंगिका # हार प्रणाली समष्टि में एक आधार है <math>C([0, 1]).</math><ref>see {{harvtxt|Lindenstrauss|Tzafriri|1977}} p. 3.</ref> डिस्क बीजगणित का सवाल है <math>A(\mathbf{D})</math> एक आधार है<ref>the question appears p. 238, §3 in Banach's book, {{harvtxt|Banach|1932}}.</ref> 1974 में Bočkarev द्वारा दिखाए जाने तक चालीस से अधिक वर्षों तक विवृत रहा <math>A(\mathbf{D})</math> यूनिट अंतराल और संबंधित प्रणालियों पर हार वेवलेट #हार प्रणाली से निर्मित आधार को स्वीकार करता है।<ref>see S. V. Bočkarev, "Existence of a basis in the space of functions analytic in the disc, and some properties of Franklin's system". (Russian) Mat. Sb. (N.S.) 95(137) (1974), 3–18, 159.</ref> | ||
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हर तत्व <math>z</math> में <math>X \otimes Y</math> ऐसे सरल टेंसरों का परिमित योग है। | हर तत्व <math>z</math> में <math>X \otimes Y</math> ऐसे सरल टेंसरों का परिमित योग है। | ||
ऐसे विभिन्न मानदंड हैं जिन्हें अंतर्निहित वेक्टर रिक्त समष्टि के टेंसर उत्पाद पर रखा जा सकता है, दूसरों के बीच सांंस्थितिक टेंसर उत्पाद#क्रॉस मानदंड और बैनच समष्टि के टेंसर उत्पाद और सांंस्थितिक टेंसर उत्पाद#अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक द्वारा | ऐसे विभिन्न मानदंड हैं जिन्हें अंतर्निहित वेक्टर रिक्त समष्टि के टेंसर उत्पाद पर रखा जा सकता है, दूसरों के बीच सांंस्थितिक टेंसर उत्पाद#क्रॉस मानदंड और बैनच समष्टि के टेंसर उत्पाद और सांंस्थितिक टेंसर उत्पाद#अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक द्वारा प्रस्तुत किए गए बानाख समष्टि के क्रॉस मानदंड और टेंसर उत्पाद |ए. 1955 में ग्रोथेंडिक।<ref>see A. Grothendieck, "Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires". Mem. Amer. Math. Soc. 1955 (1955), no. 16, 140 pp., and A. Grothendieck, "Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques". Bol. Soc. Mat. São Paulo 8 1953 1–79.</ref> | ||
सामान्य तौर पर, पूर्ण रिक्त समष्टि का टेन्सर उत्पाद फिर से पूर्ण नहीं होता है। बानाख रिक्त समष्टि के साथ काम करते समय, यह कहने की प्रथा है कि प्रक्षेपी टेंसर उत्पाद<ref>see chap. 2, p. 15 in {{harvtxt|Ryan|2002}}.</ref> दो बानाख समष्टि में से <math>X</math> और <math>Y</math> है {{em|[[Complete topological vector space|completion]]}} <math>X \widehat{\otimes}_\pi Y</math> बीजगणितीय टेंसर उत्पाद का <math>X \otimes Y</math> प्रोजेक्टिव टेंसर मानदंड से लैस है, और इसी तरह इंजेक्शन टेंसर उत्पाद के लिए<ref>see chap. 3, p. 45 in {{harvtxt|Ryan|2002}}.</ref> <math>X \widehat{\otimes}_\varepsilon Y.</math> ग्रोथेंडिक ने विशेष रूप से साबित किया<ref>see Example. 2.19, p. 29, and pp. 49–50 in {{harvtxt|Ryan|2002}}.</ref> | |||