बानाच समष्टि: Difference between revisions
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एक बानाख समष्टि एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि [[नॉर्म्ड स्पेस|नॉर्म्ड समष्टि]] है <math>(X, \| \cdot \|).</math> एक आदर्श समष्टि एक जोड़ी है<ref group="note">It is common to read "<math>X</math> is a normed space" instead of the more technically correct but (usually) pedantic "<math>(X, \| \cdot \|)</math> is a normed space," especially if the norm is well known (for example, such as with [[Lp space|<math>L^p</math> spaces]]) or when there is no particular need to choose any one (equivalent) norm over any other (especially in the more abstract theory of [[topological vector space]]s), in which case this norm (if needed) is often automatically assumed to be denoted by <math>\| \cdot \|.</math> However, in situations where emphasis is placed on the norm, it is common to see <math>(X, \| \cdot \|)</math> written instead of <math>X.</math> The technically correct definition of normed spaces as pairs <math>(X, \| \cdot \|)</math> may also become important in the context of [[category theory]] where the distinction between the categories of normed spaces, [[normable space]]s, [[metric space]]s, [[topological vector space|TVS]]s, [[topological space]]s, etc. is usually important.</ref> | एक बानाख समष्टि एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि [[नॉर्म्ड स्पेस|नॉर्म्ड समष्टि]] है <math>(X, \| \cdot \|).</math> एक आदर्श समष्टि एक जोड़ी है<ref group="note">It is common to read "<math>X</math> is a normed space" instead of the more technically correct but (usually) pedantic "<math>(X, \| \cdot \|)</math> is a normed space," especially if the norm is well known (for example, such as with [[Lp space|<math>L^p</math> spaces]]) or when there is no particular need to choose any one (equivalent) norm over any other (especially in the more abstract theory of [[topological vector space]]s), in which case this norm (if needed) is often automatically assumed to be denoted by <math>\| \cdot \|.</math> However, in situations where emphasis is placed on the norm, it is common to see <math>(X, \| \cdot \|)</math> written instead of <math>X.</math> The technically correct definition of normed spaces as pairs <math>(X, \| \cdot \|)</math> may also become important in the context of [[category theory]] where the distinction between the categories of normed spaces, [[normable space]]s, [[metric space]]s, [[topological vector space|TVS]]s, [[topological space]]s, etc. is usually important.</ref> | ||
<math>(X, \| \cdot \|)</math> एक [[सदिश स्थल]] से मिलकर <math>X</math> एक अदिश क्षेत्र पर <math>\mathbb{K}</math> ( | <math>(X, \| \cdot \|)</math> एक [[सदिश स्थल]] से मिलकर <math>X</math> एक अदिश क्षेत्र पर <math>\mathbb{K}</math> (जहाँ <math>\mathbb{K}</math> सामान्यतः है <math>\R</math> या <math>\Complex</math>) एक प्रतिष्ठित के साथ<ref group="note">This means that if the norm <math>\| \cdot \|</math> is replaced with a different norm <math>\|\,\cdot\,\|^{\prime} \text{ on } X,</math> then <math>(X, \| \cdot \|)</math> is {{em|not}} the same normed space as <math>\left(X, \| \cdot \|^{\prime}\right),</math> even if the norms are equivalent. However, equivalence of norms on a given vector space does form an [[equivalence relation]].</ref> सामान्य (गणित) <math>\| \cdot \| : X \to \R.</math> सभी मानदंडों की तरह, यह मानदंड [[अनुवाद अपरिवर्तनीय]] को प्रेरित करता है<ref group="note" name="translation invariant metric">A metric <math>D</math> on a vector space <math>X</math> is said to be '''translation invariant''' if <math>D(x, y) = D(x + z, y + z)</math> for all vectors <math>x, y, z \in X.</math> This happens if and only if <math>D(x, y) = D(x - y, 0)</math> for all vectors <math>x, y \in X.</math> A metric that is induced by a norm is always translation invariant.</ref> मीट्रिक (गणित), जिसे कैनोनिकल या नॉर्म प्रेरित मीट्रिक कहा जाता है|(मानदंड) प्रेरित मीट्रिक, द्वारा परिभाषित<ref group="note">Because <math>\|- z\| = \|z\|</math> for all <math>z \in X,</math> it is always true that <math>d(x, y) := \|y - x\| = \|x - y\|</math> for all <math>x, y \in X.</math> So the order of <math>x</math> and <math>y</math> in this definition does not matter.</ref> | ||
<math display=block>d(x, y) := \|y - x\| = \|x - y\|</math> | <math display=block>d(x, y) := \|y - x\| = \|x - y\|</math> | ||
सभी वैक्टर के लिए <math>x, y \in X.</math> यह बनाता है <math>X</math> एक मीट्रिक समष्टि में <math>(X, d).</math> एक क्रम <math>x_{\bull} = \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}</math> कहा जाता है {{nowrap|'''{{em|[[Cauchy sequence|<math>d</math>-Cauchy]]}}'''}} या {{nowrap|'''{{em|Cauchy in}} <math>(X, d)</math>'''}} या {{nowrap|'''{{em|<math>\| \cdot \|</math>-Cauchy}}'''}} यदि हर असली के लिए <math>r > 0,</math> कुछ सूचकांक सम्मिलित है <math>N</math> ऐसा है कि | सभी वैक्टर के लिए <math>x, y \in X.</math> यह बनाता है <math>X</math> एक मीट्रिक समष्टि में <math>(X, d).</math> एक क्रम <math>x_{\bull} = \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}</math> कहा जाता है {{nowrap|'''{{em|[[Cauchy sequence|<math>d</math>-Cauchy]]}}'''}} या {{nowrap|'''{{em|Cauchy in}} <math>(X, d)</math>'''}} या {{nowrap|'''{{em|<math>\| \cdot \|</math>-Cauchy}}'''}} यदि हर असली के लिए <math>r > 0,</math> कुछ सूचकांक सम्मिलित है <math>N</math> ऐसा है कि | ||
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जब कभी भी <math>m</math> और <math>n</math> से अधिक हैं <math>N.</math> विहित मीट्रिक <math>d</math> ए कहा जाता है{{em|[[complete metric]]}} यदि जोड़ी <math>(X, d)</math> एक है {{em|[[complete metric space]]}}, जो परिभाषा के अनुसार हर के लिए है {{nowrap|<math>d</math>-[[Cauchy sequence]]}} <math>x_{\bull} = \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}</math> में <math>(X, d),</math> कुछ सम्मिलित है <math>x \in X</math> ऐसा है कि | जब कभी भी <math>m</math> और <math>n</math> से अधिक हैं <math>N.</math> विहित मीट्रिक <math>d</math> ए कहा जाता है{{em|[[complete metric]]}} यदि जोड़ी <math>(X, d)</math> एक है {{em|[[complete metric space]]}}, जो परिभाषा के अनुसार हर के लिए है {{nowrap|<math>d</math>-[[Cauchy sequence]]}} <math>x_{\bull} = \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}</math> में <math>(X, d),</math> कुछ सम्मिलित है <math>x \in X</math> ऐसा है कि | ||
<math display=block>\lim_{n \to \infty} \left\|x_n - x\right\| = 0</math> | <math display=block>\lim_{n \to \infty} \left\|x_n - x\right\| = 0</math> | ||
जहाँ क्योंकि <math>\left\|x_n - x\right\| = d\left(x_n, x\right),</math> इस क्रम का अभिसरण <math>x</math> समान रूप से व्यक्त किया जा सकता है: | |||
<math display=block>\lim_{n \to \infty} x_n = x \; \text{ in } (X, d).</math> | <math display=block>\lim_{n \to \infty} x_n = x \; \text{ in } (X, d).</math> | ||
परिभाषा के अनुसार, आदर्श समष्टि <math>(X, \| \cdot \|)</math> एक है{{em|Banach space}} यदि मानक प्रेरित मीट्रिक <math>d</math> एक [[पूर्ण मीट्रिक]] है, या अलग तरह से कहा जाए, यदि <math>(X, d)</math> एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि है। | परिभाषा के अनुसार, आदर्श समष्टि <math>(X, \| \cdot \|)</math> एक है{{em|Banach space}} यदि मानक प्रेरित मीट्रिक <math>d</math> एक [[पूर्ण मीट्रिक]] है, या अलग तरह से कहा जाए, यदि <math>(X, d)</math> एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि है। | ||
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इस सांस्थिति के साथ, प्रत्येक बानाख समष्टि एक बायर समष्टि है, हालांकि ऐसे मानक समष्टि सम्मिलित हैं जो बेयर हैं लेकिन बानाख नहीं हैं।{{sfn|Wilansky|2013|p=29}} नियम <math>\|\,\cdot\,\| : \left(X, \tau_d\right) \to \R</math> सांस्थिति के संबंध में हमेशा एक सतत कार्य होता है जो इसे प्रेरित करता है। | इस सांस्थिति के साथ, प्रत्येक बानाख समष्टि एक बायर समष्टि है, हालांकि ऐसे मानक समष्टि सम्मिलित हैं जो बेयर हैं लेकिन बानाख नहीं हैं।{{sfn|Wilansky|2013|p=29}} नियम <math>\|\,\cdot\,\| : \left(X, \tau_d\right) \to \R</math> सांस्थिति के संबंध में हमेशा एक सतत कार्य होता है जो इसे प्रेरित करता है। | ||
त्रिज्या की | त्रिज्या की विवृत और संवृत गेंदें <math>r > 0</math> एक बिंदु पर केंद्रित <math>x \in X</math> क्रमशः समुच्चय हैं | ||
<math display=block>B_r(x) := \{z \in X : \|z - x\| < r\} \qquad \text{ and } \qquad C_r(x) := \{z \in X : \|z - x\| \leq r\}.</math> ऐसी कोई भी गेंद एक [[उत्तल सेट|उत्तल समुच्चय]] और बाउंडेड समुच्चय (सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि) है <math>X,</math> लेकिन एक [[ कॉम्पैक्ट जगह | सुसंहत समष्टि]] बॉल/नेबरहुड (सांस्थिति) सम्मिलित है यदि और केवल तभी <math>X</math> एक [[परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष|परिमित-आयामी वेक्टर समष्टि]] है। | |||
विशेष रूप से, कोई अनंत-आयामी आदर्श समष्टि [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान|स्थानीय रूप से सुसंहत समष्टि]] नहीं हो सकता है या मोंटेल समष्टि | हेइन-बोरेल गुण हो सकती है। | विशेष रूप से, कोई अनंत-आयामी आदर्श समष्टि [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान|स्थानीय रूप से सुसंहत समष्टि]] नहीं हो सकता है या मोंटेल समष्टि | हेइन-बोरेल गुण हो सकती है। | ||
यदि <math>x_0</math> एक वेक्टर है और <math>s \neq 0</math> तब एक अदिश राशि है | यदि <math>x_0</math> एक वेक्टर है और <math>s \neq 0</math> तब एक अदिश राशि है | ||
<math display=block>x_0 + s B_r(x) = B_{|s| r}\left(x_0 + s x\right) \qquad \text{ and } \qquad x_0 + s C_r(x) = C_{|s| r}\left(x_0 + s x\right).</math> का उपयोग करते हुए <math>s := 1</math> दिखाता है कि यह मानक-प्रेरित सांस्थिति [[अनुवाद अपरिवर्तनीय टोपोलॉजी|अनुवाद अपरिवर्तनीय सांस्थिति]] है, जिसका अर्थ है कि किसी के लिए <math>x \in X</math> और <math>S \subseteq X,</math> सबसेट <math>S</math> [[खुला सेट| | <math display=block>x_0 + s B_r(x) = B_{|s| r}\left(x_0 + s x\right) \qquad \text{ and } \qquad x_0 + s C_r(x) = C_{|s| r}\left(x_0 + s x\right).</math> का उपयोग करते हुए <math>s := 1</math> दिखाता है कि यह मानक-प्रेरित सांस्थिति [[अनुवाद अपरिवर्तनीय टोपोलॉजी|अनुवाद अपरिवर्तनीय सांस्थिति]] है, जिसका अर्थ है कि किसी के लिए <math>x \in X</math> और <math>S \subseteq X,</math> सबसेट <math>S</math> [[खुला सेट|विवृत समुच्चय]] (क्रमशः, [[बंद सेट|संवृत समुच्चय]]) में है <math>X</math> यदि और केवल यदि यह इसके अनुवाद के लिए सही है <math>x + S := \{x + s : s \in S\}.</math> नतीजतन, मानक प्रेरित सांस्थिति मूल रूप से किसी भी [[पड़ोस व्यवस्था]] द्वारा मूल रूप से निर्धारित की जाती है। मूल में कुछ सामान्य पड़ोस के ठिकानों में सम्मिलित हैं: | ||
<math display=block>\left\{B_r(0) : r > 0\right\}, \qquad \left\{C_r(0) : r > 0\right\}, \qquad \left\{B_{r_n}(0) : n \in \N\right\}, \qquad \text{ or } \qquad \left\{C_{r_n}(0) : n \in \N\right\}</math> | <math display=block>\left\{B_r(0) : r > 0\right\}, \qquad \left\{C_r(0) : r > 0\right\}, \qquad \left\{B_{r_n}(0) : n \in \N\right\}, \qquad \text{ or } \qquad \left\{C_{r_n}(0) : n \in \N\right\}</math> | ||
जहाँ <math>\left(r_n\right)_{n=1}^{\infty}</math> सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का एक क्रम है जो अभिसरण करता है <math>0</math> में <math>\R</math> (जैसे कि <math>r_n := 1/n</math> या <math>r_n := 1/2^n</math> उदाहरण के लिए)। | |||
तो उदाहरण के लिए, प्रत्येक | तो उदाहरण के लिए, प्रत्येक विवृत उपसमुच्चय <math>U</math> का <math>X</math> एक संघ के रूप में लिखा जा सकता है | ||
<math display=block>U = \bigcup_{x \in I} B_{r_x}(x) = \bigcup_{x \in I} x + B_{r_x}(0) = \bigcup_{x \in I} x + r_x B_1(0)</math> | |||
कुछ सबसेट द्वारा अनुक्रमित <math>I \subseteq U,</math> जहां हर <math>r_x</math> स्वरूप का है <math>r_x = \tfrac{1}{n_x}</math> कुछ पूर्णांक के लिए <math>n_x > 0</math> ( | कुछ सबसेट द्वारा अनुक्रमित <math>I \subseteq U,</math> जहां हर <math>r_x</math> स्वरूप का है <math>r_x = \tfrac{1}{n_x}</math> कुछ पूर्णांक के लिए <math>n_x > 0</math> (संवृत गेंद का उपयोग विवृत गेंद के बजाय भी किया जा सकता है, हालांकि इंडेक्सिंग समुच्चय <math>I</math> और त्रिज्या <math>r_x</math> बदलने की आवश्यकता हो सकती है)। | ||
इसके अतिरिक्त, <math>I</math> [[ गणनीय सेट | गणनीय समुच्चय]] होने के लिए हमेशा चुना जा सकता है यदि <math>X</math> एक है {{em|[[separable space]]}}, जिसका परिभाषा के अनुसार मतलब है <math>X</math> कुछ गणनीय घने समुच्चय सम्मिलित हैं। | इसके अतिरिक्त, <math>I</math> [[ गणनीय सेट | गणनीय समुच्चय]] होने के लिए हमेशा चुना जा सकता है यदि <math>X</math> एक है {{em|[[separable space]]}}, जिसका परिभाषा के अनुसार मतलब है <math>X</math> कुछ गणनीय घने समुच्चय सम्मिलित हैं। | ||
एंडरसन-केडेक प्रमेय कहता है कि प्रत्येक अनंत-आयामी वियोज्य फ्रेचेट समष्टि [[उत्पाद स्थान|उत्पाद समष्टि]] के लिए [[होमोमोर्फिज्म]] है <math display=inline>\prod_{i \in \N} \R</math> की अनगिनत प्रतियाँ <math>\R</math> (इस होमियोमॉर्फिज़्म को एक रेखीय मानचित्र नहीं होना चाहिए)।<ref>{{harvnb|Bessaga|Pełczyński|1975|p=189}}</ref> चूँकि प्रत्येक बानाख समष्टि एक फ्रेचेट समष्टि है, यह सभी अनंत-आयामी वियोज्य बानाख समष्टि के लिए भी सही है, जिसमें वियोज्य हिल्बर्ट समष्टि L2-समष्टि भी सम्मिलित है।<math>\ell</math><sup>2</sup> अनुक्रम समष्टि <math>\ell^2(\N)</math> अपने सामान्य मानदंड के साथ <math>\|\cdot\|_2,</math> जहां (परिमित-आयामी रिक्त समष्टि के विपरीत) <math>\ell^2(\N)</math> इसकी इकाई क्षेत्र|इकाई के लिए होमोमोर्फिज्म भी है {{em|sphere}} <math>\left\{x \in \ell^2(\N) : \|x\|_2 = 1\right\}.</math> | एंडरसन-केडेक प्रमेय कहता है कि प्रत्येक अनंत-आयामी वियोज्य फ्रेचेट समष्टि [[उत्पाद स्थान|उत्पाद समष्टि]] के लिए [[होमोमोर्फिज्म]] है <math display=inline>\prod_{i \in \N} \R</math> की अनगिनत प्रतियाँ <math>\R</math> (इस होमियोमॉर्फिज़्म को एक रेखीय मानचित्र नहीं होना चाहिए)।<ref>{{harvnb|Bessaga|Pełczyński|1975|p=189}}</ref> चूँकि प्रत्येक बानाख समष्टि एक फ्रेचेट समष्टि है, यह सभी अनंत-आयामी वियोज्य बानाख समष्टि के लिए भी सही है, जिसमें वियोज्य हिल्बर्ट समष्टि L2-समष्टि भी सम्मिलित है।<math>\ell</math><sup>2</sup> अनुक्रम समष्टि <math>\ell^2(\N)</math> अपने सामान्य मानदंड के साथ <math>\|\cdot\|_2,</math> जहां (परिमित-आयामी रिक्त समष्टि के विपरीत) <math>\ell^2(\N)</math> इसकी इकाई क्षेत्र|इकाई के लिए होमोमोर्फिज्म भी है {{em|sphere}} <math>\left\{x \in \ell^2(\N) : \|x\|_2 = 1\right\}.</math> | ||
एक सुसंहत उपसमुच्चय है <math>S</math> का <math>\ell^2(\N)</math> जिसका उत्तल पतवार <math>\operatorname{co}(S)</math> है {{em|not}} | एक सुसंहत उपसमुच्चय है <math>S</math> का <math>\ell^2(\N)</math> जिसका उत्तल पतवार <math>\operatorname{co}(S)</math> है {{em|not}} संवृत और इस प्रकार भी {{em|not}} सुसंहत (यह फुटनोट देखें<ref group="note" name="ExampleCompactButHullIsNotCompact">Let <math>H</math> be the separable [[Hilbert space]] [[Lp space|<math>\ell^2(\N)</math>]] of square-summable sequences with the usual norm <math>\|\cdot\|_2</math> and let <math>e_n = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots)</math> be the standard [[orthonormal basis]] (that is <math>1</math> at the <math>n^{\text{th}}</math>-coordinate). The closed set <math>S = \{0\} \cup \left\{\tfrac{1}{n} e_n : n = 1, 2, \ldots\right\}</math> is compact (because it is [[Sequentially compact space|sequentially compact]]) but its convex hull <math>\operatorname{co} S</math> is {{em|not}} a closed set because <math>h := \sum_{n=1}^{\infty} \tfrac{1}{2^n} \tfrac{1}{n} e_n</math> belongs to the closure of <math>\operatorname{co} S</math> in <math>H</math> but <math>h \not\in\operatorname{co} S</math> (since every sequence <math>\left(z_n\right)_{n=1}^\infty \in \operatorname{co} S</math> is a finite [[convex combination]] of elements of <math>S</math> and so <math>z_n = 0</math> for all but finitely many coordinates, which is not true of <math>h</math>). However, like in all [[Complete topological vector space|complete]] Hausdorff locally convex spaces, the {{em|closed}} convex hull <math>K := \overline{\operatorname{co}} S</math> of this compact subset is compact. The vector subspace <math>X := \operatorname{span} S = \operatorname{span} \left\{e_1, e_2, \ldots\right\}</math> is a [[pre-Hilbert space]] when endowed with the substructure that the Hilbert space <math>H</math> induces on it but <math>X</math> is not complete and <math>h \not\in C := K \cap X</math> (since <math>h \not\in X</math>). The closed convex hull of <math>S</math> in <math>X</math> (here, "closed" means with respect to <math>X,</math> and not to <math>H</math> as before) is equal to <math>K \cap X,</math> which is not compact (because it is not a complete subset). This shows that in a Hausdorff locally convex space that is not complete, the closed convex hull of compact subset might {{em|fail}} to be compact (although it will be [[Totally bounded space|precompact/totally bounded]]).</ref> एक उदाहरण के लिए)।{{sfn|Aliprantis|Border|2006|p=185}} | ||
हालाँकि, सभी बानाख समष्टि की तरह, | हालाँकि, सभी बानाख समष्टि की तरह, संवृत उत्तल हल |{{em|closed}} उन्नतोत्तर पेटा <math>\overline{\operatorname{co}} S</math> इसका (और हर दूसरा) सुसंहत सबसेट सुसंहत होगा।{{sfn|Trèves|2006|p=145}} लेकिन यदि एक मानक समष्टि पूर्ण नहीं है तो यह सामान्य रूप से होता है {{em|not}} ने गारंटी दी <math>\overline{\operatorname{co}} S</math> जब भी सुसंहत होगा <math>S</math> है; एक उदाहरण<ref group=note name=ExampleCompactButHullIsNotCompact />के [[पूर्व-हिल्बर्ट अंतरिक्ष|पूर्व-हिल्बर्ट समष्टि]]|प्री-हिल्बर्ट वेक्टर सबस्पेस में भी पाया जा सकता है <math>\ell^2(\N).</math> | ||
यह आदर्श-प्रेरित सांस्थिति भी बनाती है <math>\left(X, \tau_d\right)</math> एक [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि]] (टीवीएस) के रूप में जाना जाता है, जो परिभाषा के अनुसार एक सांस्थिति के साथ संपन्न एक वेक्टर समष्टि है जो अतिरिक्त और स्केलर गुणन के संचालन को निरंतर बनाता है। इस बात पर जोर दिया जाता है कि TVS <math>\left(X, \tau_d\right)</math> है {{em|only}} एक निश्चित प्रकार की सांस्थिति के साथ एक सदिश समष्टि; यानी जब टीवीएस के रूप में माना जाता है, तो यह है {{em|not}} के साथ जुड़े {{em|any}} विशेष मानदंड या मीट्रिक (जिनमें से दोनों भुलक्कड़ हैं)। यह हॉसडॉर्फ टीवीएस <math>\left(X, \tau_d\right)</math> [[स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि]] भी है क्योंकि मूल पर केंद्रित सभी | यह आदर्श-प्रेरित सांस्थिति भी बनाती है <math>\left(X, \tau_d\right)</math> एक [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि]] (टीवीएस) के रूप में जाना जाता है, जो परिभाषा के अनुसार एक सांस्थिति के साथ संपन्न एक वेक्टर समष्टि है जो अतिरिक्त और स्केलर गुणन के संचालन को निरंतर बनाता है। इस बात पर जोर दिया जाता है कि TVS <math>\left(X, \tau_d\right)</math> है {{em|only}} एक निश्चित प्रकार की सांस्थिति के साथ एक सदिश समष्टि; यानी जब टीवीएस के रूप में माना जाता है, तो यह है {{em|not}} के साथ जुड़े {{em|any}} विशेष मानदंड या मीट्रिक (जिनमें से दोनों भुलक्कड़ हैं)। यह हॉसडॉर्फ टीवीएस <math>\left(X, \tau_d\right)</math> [[स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि]] भी है क्योंकि मूल पर केंद्रित सभी विवृत गेंदों का समुच्चय मूल रूप से उत्तल [[संतुलित सेट|संतुलित समुच्चय]] खुले समुच्चय से मिलकर एक [[पड़ोस का आधार]] बनाता है। यह टीवीएस भी है {{em|[[Normable space|normable]]}}, जो परिभाषा के अनुसार किसी भी टीवीएस को संदर्भित करता है जिसका सांस्थिति कुछ (संभवतः अज्ञात) नॉर्म (गणित) से प्रेरित है। नॉर्मेबल टीवीएस कोल्मोगोरोव की नॉर्मबिलिटी कसौटी हौसडॉर्फ है और एक बाउंडेड समुच्चय (सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि) होने के कारण मूल के उत्तल समुच्चय पड़ोस। | ||
पूर्ण मेट्रिजेबल वेक्टर सांस्थिति की तुलना | पूर्ण मेट्रिजेबल वेक्टर सांस्थिति की तुलना | ||
[[ओपन मैपिंग प्रमेय (कार्यात्मक विश्लेषण)]] का तात्पर्य है कि यदि <math>\tau \text{ and } \tau_2</math> सांस्थिति चालू हैं <math>X</math> जो दोनों बनाते हैं <math>(X, \tau)</math> और <math>\left(X, \tau_2\right)</math> [[एफ-स्पेस|एफ-समष्टि]] में (उदाहरण के लिए, बानाच या फ्रेचेट समष्टि) और यदि एक सांस्थिति दूसरे की तुलना में [[टोपोलॉजी की तुलना|सांस्थिति की तुलना]] है तो उन्हें समान होना चाहिए (अर्थात, यदि <math>\tau \subseteq \tau_2 \text{ or } \tau_2 \subseteq \tau \text{ then } \tau = \tau_2</math>).{{sfn|Trèves|2006|pp=166–173}} | [[ओपन मैपिंग प्रमेय (कार्यात्मक विश्लेषण)]] का तात्पर्य है कि यदि <math>\tau \text{ and } \tau_2</math> सांस्थिति चालू हैं <math>X</math> जो दोनों बनाते हैं <math>(X, \tau)</math> और <math>\left(X, \tau_2\right)</math> [[एफ-स्पेस|एफ-समष्टि]] में (उदाहरण के लिए, बानाच या फ्रेचेट समष्टि) और यदि एक सांस्थिति दूसरे की तुलना में [[टोपोलॉजी की तुलना|सांस्थिति की तुलना]] है तो उन्हें समान होना चाहिए (अर्थात, यदि <math>\tau \subseteq \tau_2 \text{ or } \tau_2 \subseteq \tau \text{ then } \tau = \tau_2</math>).{{sfn|Trèves|2006|pp=166–173}} | ||
तो उदाहरण के लिए, यदि <math>(X, p) \text{ and } (X, q)</math> सांस्थिति के साथ बानाख समष्टि हैं <math>\tau_p \text{ and } \tau_q</math> और यदि इन समष्टि में से एक में कुछ | तो उदाहरण के लिए, यदि <math>(X, p) \text{ and } (X, q)</math> सांस्थिति के साथ बानाख समष्टि हैं <math>\tau_p \text{ and } \tau_q</math> और यदि इन समष्टि में से एक में कुछ विवृत गेंद है जो कि अन्य समष्टि का भी एक विवृत उपसमुच्चय है (या समकक्ष, यदि इनमें से एक <math>p : \left(X, \tau_q\right) \to \R</math> या <math>q : \left(X, \tau_p\right) \to \R</math> निरंतर है) तो उनकी सांस्थिति समान हैं और उनके [[समतुल्य मानदंड]] हैं। | ||
=== पूर्णता === | === पूर्णता === | ||
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पूर्ण मानदंड बनाम पूर्ण मेट्रिक्स | पूर्ण मानदंड बनाम पूर्ण मेट्रिक्स | ||
एक मीट्रिक <math>D</math> एक वेक्टर समष्टि पर <math>X</math> पर एक मानदंड से प्रेरित है <math>X</math> यदि और केवल यदि <math>D</math> अनुवाद अपरिवर्तनीय है<ref group=note name="translation invariant metric"/>और{{em|absolutely homogeneous}}, जिसका अर्थ है कि <math>D(sx, sy) = |s| D(x, y)</math> सभी स्केलर्स के लिए <math>s</math> और सभी <math>x, y \in X,</math> किस स्थिति में | एक मीट्रिक <math>D</math> एक वेक्टर समष्टि पर <math>X</math> पर एक मानदंड से प्रेरित है <math>X</math> यदि और केवल यदि <math>D</math> अनुवाद अपरिवर्तनीय है<ref group=note name="translation invariant metric"/>और{{em|absolutely homogeneous}}, जिसका अर्थ है कि <math>D(sx, sy) = |s| D(x, y)</math> सभी स्केलर्स के लिए <math>s</math> और सभी <math>x, y \in X,</math> किस स्थिति में फलन <math>\|x\| := D(x, 0)</math> पर मानदंड परिभाषित करता है <math>X</math> और विहित मीट्रिक द्वारा प्रेरित <math>\|\cdot\|</math> के बराबर है <math>D.</math> | ||
लगता है कि <math>(X, \|\cdot\|)</math> एक आदर्श समष्टि है और वह <math>\tau</math> मानक सांस्थिति पर प्रेरित है <math>X.</math> लगता है कि <math>D</math> है {{em|any}} मीट्रिक (गणित) पर <math>X</math> ऐसा है कि सांस्थिति कि <math>D</math> प्रवृत्त करता है <math>X</math> के बराबर है <math>\tau.</math> यदि <math>D</math> अनुवाद अपरिवर्तनीय है<ref group=note name="translation invariant metric"/>तब <math>(X, \|\cdot\|)</math> एक Banach समष्टि है यदि और केवल यदि <math>(X, D)</math> एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि है।{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=47-66}} | लगता है कि <math>(X, \|\cdot\|)</math> एक आदर्श समष्टि है और वह <math>\tau</math> मानक सांस्थिति पर प्रेरित है <math>X.</math> लगता है कि <math>D</math> है {{em|any}} मीट्रिक (गणित) पर <math>X</math> ऐसा है कि सांस्थिति कि <math>D</math> प्रवृत्त करता है <math>X</math> के बराबर है <math>\tau.</math> यदि <math>D</math> अनुवाद अपरिवर्तनीय है<ref group=note name="translation invariant metric"/>तब <math>(X, \|\cdot\|)</math> एक Banach समष्टि है यदि और केवल यदि <math>(X, D)</math> एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि है।{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=47-66}} | ||
यदि <math>D</math> है {{em|not}} अनुवाद अपरिवर्तनीय, तो इसके लिए संभव हो सकता है <math>(X, \|\cdot\|)</math> एक बानाख समष्टि होने के लिए लेकिन के लिए <math>(X, D)</math> को {{em|not}} एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि हो{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=47-51}} (यह फुटनोट देखें<ref group="note">The [[normed space]] <math>(\R,|\cdot |)</math> is a Banach space where the absolute value is a [[Norm (mathematics)|norm]] on the real line <math>\R</math> that induces the usual [[Euclidean topology]] on <math>\R.</math> Define a metric <math>D : \R \times \R \to \R</math> on <math>\R</math> by <math>D(x, y) =|\arctan(x) - \arctan(y)|</math> for all <math>x, y \in \R.</math> Just like {{nowrap|<math>|\cdot|</math>{{hsp}}'s}} induced metric, the metric <math>D</math> also induces the usual Euclidean topology on <math>\R.</math> However, <math>D</math> is not a complete metric because the sequence <math>x_{\bull} = \left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}</math> defined by <math>x_i := i</math> is a [[Cauchy sequence|{{nowrap|<math>D</math>-Cauchy}} sequence]] but it does not converge to any point of <math>\R.</math> As a consequence of not converging, this {{nowrap|<math>D</math>-Cauchy}} sequence cannot be a Cauchy sequence in <math>(\R,|\cdot |)</math> (that is, it is not a Cauchy sequence with respect to the norm <math>|\cdot|</math>) because if it was {{nowrap|<math>|\cdot|</math>-Cauchy,}} then the fact that <math>(\R,|\cdot |)</math> is a Banach space would imply that it converges (a contradiction).{{harvnb|Narici|Beckenstein|2011|pp=47–51}}</ref> एक उदाहरण के लिए)। इसके विपरीत, क्ले का एक प्रमेय,{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=35}}<ref name="Klee Inv metrics">{{Cite journal|last1=Klee|first1=V. L.|title=समूहों में अपरिवर्तनीय मेट्रिक्स (बानाच की समस्या का समाधान)|year=1952|journal=Proc. Amer. Math. Soc.|volume=3|issue=3|pages=484–487|url=https://www.ams.org/journals/proc/1952-003-03/S0002-9939-1952-0047250-4/S0002-9939-1952-0047250-4.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://www.ams.org/journals/proc/1952-003-03/S0002-9939-1952-0047250-4/S0002-9939-1952-0047250-4.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|doi=10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4|doi-access=free}}</ref><ref group="note">The statement of the theorem is: Let <math>d</math> be {{em|any}} metric on a vector space <math>X</math> such that the topology <math>\tau</math> induced by <math>d</math> on <math>X</math> makes <math>(X, \tau)</math> into a topological vector space. If <math>(X, d)</math> is a [[complete metric space]] then <math>(X, \tau)</math> is a [[complete topological vector space]].</ref> जो सभी [[मेट्रिजेबल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|मेट्रिजेबल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि]] पर भी प्रयुक्त होता है, इसका तात्पर्य है कि यदि सम्मिलित है {{em|any}}<ref group="note">This metric <math>D</math> is {{em|not}} assumed to be translation-invariant. So in particular, this metric <math>D</math> does {{em|not}} even have to be induced by a norm.</ref> पूर्ण मीट्रिक <math>D</math> पर <math>X</math> जो आदर्श सांस्थिति को प्रेरित करता है <math>\tau</math> पर <math>X,</math> तब <math>(X, \|\cdot\|)</math> एक बानाख समष्टि है। | यदि <math>D</math> है {{em|not}} अनुवाद अपरिवर्तनीय, तो इसके लिए संभव हो सकता है <math>(X, \|\cdot\|)</math> एक बानाख समष्टि होने के लिए लेकिन के लिए <math>(X, D)</math> को {{em|not}} एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि हो{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=47-51}} (यह फुटनोट देखें<ref group="note">The [[normed space]] <math>(\R,|\cdot |)</math> is a Banach space where the absolute value is a [[Norm (mathematics)|norm]] on the real line <math>\R</math> that induces the usual [[Euclidean topology]] on <math>\R.</math> Define a metric <math>D : \R \times \R \to \R</math> on <math>\R</math> by <math>D(x, y) =|\arctan(x) - \arctan(y)|</math> for all <math>x, y \in \R.</math> Just like {{nowrap|<math>|\cdot|</math>{{hsp}}'s}} induced metric, the metric <math>D</math> also induces the usual Euclidean topology on <math>\R.</math> However, <math>D</math> is not a complete metric because the sequence <math>x_{\bull} = \left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}</math> defined by <math>x_i := i</math> is a [[Cauchy sequence|{{nowrap|<math>D</math>-Cauchy}} sequence]] but it does not converge to any point of <math>\R.</math> As a consequence of not converging, this {{nowrap|<math>D</math>-Cauchy}} sequence cannot be a Cauchy sequence in <math>(\R,|\cdot |)</math> (that is, it is not a Cauchy sequence with respect to the norm <math>|\cdot|</math>) because if it was {{nowrap|<math>|\cdot|</math>-Cauchy,}} then the fact that <math>(\R,|\cdot |)</math> is a Banach space would imply that it converges (a contradiction).{{harvnb|Narici|Beckenstein|2011|pp=47–51}}</ref> एक उदाहरण के लिए)। इसके विपरीत, क्ले का एक प्रमेय,{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=35}}<ref name="Klee Inv metrics">{{Cite journal|last1=Klee|first1=V. L.|title=समूहों में अपरिवर्तनीय मेट्रिक्स (बानाच की समस्या का समाधान)|year=1952|journal=Proc. Amer. Math. Soc.|volume=3|issue=3|pages=484–487|url=https://www.ams.org/journals/proc/1952-003-03/S0002-9939-1952-0047250-4/S0002-9939-1952-0047250-4.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://www.ams.org/journals/proc/1952-003-03/S0002-9939-1952-0047250-4/S0002-9939-1952-0047250-4.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|doi=10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4|doi-access=free}}</ref><ref group="note">The statement of the theorem is: Let <math>d</math> be {{em|any}} metric on a vector space <math>X</math> such that the topology <math>\tau</math> induced by <math>d</math> on <math>X</math> makes <math>(X, \tau)</math> into a topological vector space. If <math>(X, d)</math> is a [[complete metric space]] then <math>(X, \tau)</math> is a [[complete topological vector space]].</ref> जो सभी [[मेट्रिजेबल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|मेट्रिजेबल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि]] पर भी प्रयुक्त होता है, इसका तात्पर्य है कि यदि सम्मिलित है {{em|any}}<ref group="note">This metric <math>D</math> is {{em|not}} assumed to be translation-invariant. So in particular, this metric <math>D</math> does {{em|not}} even have to be induced by a norm.</ref> पूर्ण मीट्रिक <math>D</math> पर <math>X</math> जो आदर्श सांस्थिति को प्रेरित करता है <math>\tau</math> पर <math>X,</math> तब <math>(X, \|\cdot\|)</math> एक बानाख समष्टि है। | ||
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यदि <math>X</math> और <math>Y</math> एक ही जमीनी क्षेत्र में मानक समष्टि हैं <math>\mathbb{K},</math> सभी सतत कार्य (सांस्थिति) रैखिक परिवर्तन का समुच्चय<math>\mathbb{K}</math>-रैखिक नक्शे <math>T : X \to Y</math> द्वारा निरूपित किया जाता है <math>B(X, Y).</math> अनंत-आयामी समष्टि में, सभी रेखीय मानचित्र निरंतर नहीं होते हैं। एक आदर्श समष्टि से एक रेखीय मानचित्रण <math>X</math> किसी अन्य नॉर्म्ड समष्टि के लिए निरंतर है यदि और केवल यदि यह | यदि <math>X</math> और <math>Y</math> एक ही जमीनी क्षेत्र में मानक समष्टि हैं <math>\mathbb{K},</math> सभी सतत कार्य (सांस्थिति) रैखिक परिवर्तन का समुच्चय<math>\mathbb{K}</math>-रैखिक नक्शे <math>T : X \to Y</math> द्वारा निरूपित किया जाता है <math>B(X, Y).</math> अनंत-आयामी समष्टि में, सभी रेखीय मानचित्र निरंतर नहीं होते हैं। एक आदर्श समष्टि से एक रेखीय मानचित्रण <math>X</math> किसी अन्य नॉर्म्ड समष्टि के लिए निरंतर है यदि और केवल यदि यह संवृत [[ इकाई क्षेत्र ]] पर परिबद्ध ऑपरेटर है <math>X.</math> इस प्रकार, वेक्टर समष्टि <math>B(X, Y)</math> [[ऑपरेटर मानदंड]] दिया जा सकता है | ||
<math display=block>\|T\| = \sup \left\{\|Tx\|_Y \mid x\in X,\ \|x\|_X \leq 1 \right\}.</math> | <math display=block>\|T\| = \sup \left\{\|Tx\|_Y \mid x\in X,\ \|x\|_X \leq 1 \right\}.</math> | ||
के लिए <math>Y</math> एक बानाख समष्टि, समष्टि <math>B(X, Y)</math> इस मानदंड के संबंध में एक बानाच समष्टि है। स्पष्ट संदर्भों में, कभी-कभी [[होम स्पेस|होम समष्टि]] को दो बानाख रिक्त समष्टि के बीच केवल छोटे मानचित्रों तक सीमित करना सुविधाजनक होता है; उस स्थिति में समष्टि <math>B(X,Y)</math> एक प्राकृतिक द्विभाजक के रूप में फिर से प्रकट होता है।<ref name=Ban1Cat>{{cite web|website=Annoying Precision|title=Banach रिक्त स्थान (और Lawvere मेट्रिक्स, और बंद श्रेणियां)|date=June 23, 2012|author=Qiaochu Yuan|url=https://qchu.wordpress.com/2012/06/23/banach-spaces-and-lawvere-metrics-and-closed-categories/}}</ref> | के लिए <math>Y</math> एक बानाख समष्टि, समष्टि <math>B(X, Y)</math> इस मानदंड के संबंध में एक बानाच समष्टि है। स्पष्ट संदर्भों में, कभी-कभी [[होम स्पेस|होम समष्टि]] को दो बानाख रिक्त समष्टि के बीच केवल छोटे मानचित्रों तक सीमित करना सुविधाजनक होता है; उस स्थिति में समष्टि <math>B(X,Y)</math> एक प्राकृतिक द्विभाजक के रूप में फिर से प्रकट होता है।<ref name=Ban1Cat>{{cite web|website=Annoying Precision|title=Banach रिक्त स्थान (और Lawvere मेट्रिक्स, और बंद श्रेणियां)|date=June 23, 2012|author=Qiaochu Yuan|url=https://qchu.wordpress.com/2012/06/23/banach-spaces-and-lawvere-metrics-and-closed-categories/}}</ref> | ||
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प्रत्येक निरंतर रैखिक संकारक एक परिबद्ध रैखिक संकारक होता है और यदि केवल आदर्श समष्टि के साथ व्यवहार किया जाता है तो इसका विलोम भी सत्य होता है। अर्थात्, दो आदर्श समष्टि के बीच एक रैखिक संकारक परिबद्ध रैखिक संकारक है यदि और केवल यदि यह एक सतत कार्य है। तो विशेष रूप से, क्योंकि अदिश क्षेत्र (जो है <math>\R</math> या <math>\Complex</math>) एक आदर्श समष्टि है, एक मानक समष्टि पर एक [[रैखिक कार्यात्मक]] एक [[परिबद्ध रैखिक कार्यात्मक]] है यदि और केवल यदि यह एक सतत रैखिक कार्यात्मक है। यह निरंतरता से संबंधित परिणामों (जैसे नीचे दिए गए) को बानाख समष्टि पर प्रयुक्त करने की स्वीकृति देता है। यद्यपि सीमाबद्धता मानक समष्टि के बीच रैखिक मानचित्रों के लिए निरंतरता के समान है, मुख्य रूप से बानाख रिक्त समष्टि के साथ व्यवहार करते समय बाध्य शब्द का अधिक उपयोग किया जाता है। | प्रत्येक निरंतर रैखिक संकारक एक परिबद्ध रैखिक संकारक होता है और यदि केवल आदर्श समष्टि के साथ व्यवहार किया जाता है तो इसका विलोम भी सत्य होता है। अर्थात्, दो आदर्श समष्टि के बीच एक रैखिक संकारक परिबद्ध रैखिक संकारक है यदि और केवल यदि यह एक सतत कार्य है। तो विशेष रूप से, क्योंकि अदिश क्षेत्र (जो है <math>\R</math> या <math>\Complex</math>) एक आदर्श समष्टि है, एक मानक समष्टि पर एक [[रैखिक कार्यात्मक]] एक [[परिबद्ध रैखिक कार्यात्मक]] है यदि और केवल यदि यह एक सतत रैखिक कार्यात्मक है। यह निरंतरता से संबंधित परिणामों (जैसे नीचे दिए गए) को बानाख समष्टि पर प्रयुक्त करने की स्वीकृति देता है। यद्यपि सीमाबद्धता मानक समष्टि के बीच रैखिक मानचित्रों के लिए निरंतरता के समान है, मुख्य रूप से बानाख रिक्त समष्टि के साथ व्यवहार करते समय बाध्य शब्द का अधिक उपयोग किया जाता है। | ||
यदि <math>f : X \to \R</math> एक उप-योगात्मक कार्य है (जैसे कि एक आदर्श, एक उप-रैखिक कार्य, या वास्तविक रैखिक कार्यात्मक), फिर{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=192-193}} <math>f</math> [[एक बिंदु पर निरंतरता]] है यदि और केवल यदि <math>f</math> सभी पर [[समान रूप से निरंतर]] है <math>X</math>; और यदि इसके अतिरिक्त <math>f(0) = 0</math> तब <math>f</math> निरंतर है यदि और केवल यदि इसका पूर्ण मूल्य <math>|f| : X \to [0, \infty)</math> निरंतर है, जो होता है यदि और केवल यदि <math>\{x \in X : |f(x)| < 1\}</math> का | यदि <math>f : X \to \R</math> एक उप-योगात्मक कार्य है (जैसे कि एक आदर्श, एक उप-रैखिक कार्य, या वास्तविक रैखिक कार्यात्मक), फिर{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=192-193}} <math>f</math> [[एक बिंदु पर निरंतरता]] है यदि और केवल यदि <math>f</math> सभी पर [[समान रूप से निरंतर]] है <math>X</math>; और यदि इसके अतिरिक्त <math>f(0) = 0</math> तब <math>f</math> निरंतर है यदि और केवल यदि इसका पूर्ण मूल्य <math>|f| : X \to [0, \infty)</math> निरंतर है, जो होता है यदि और केवल यदि <math>\{x \in X : |f(x)| < 1\}</math> का विवृत उपसमुच्चय है <math>X.</math>{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=192-193}}<ref group="note">The fact that <math>\{x \in X : |f(x)| < 1\}</math> being open implies that <math>f : X \to \R</math> is continuous simplifies proving continuity because this means that it suffices to show that <math>\{x \in X : \left|f(x) - f\left(x_0\right)\right| < r\}</math> is open for <math>r := 1</math> and at <math>x_0 := 0</math> (where <math>f(0) = 0</math>) rather than showing this for {{em|all}} real <math>r > 0</math> and {{em|all}} <math>x_0 \in X.</math></ref> और हन-बनाक प्रमेय, एक रैखिक कार्यात्मक को प्रयुक्त करने के लिए बहुत महत्वपूर्ण है <math>f</math> निरंतर है यदि और केवल यदि यह इसके [[वास्तविक भाग]] के लिए सत्य है <math>\operatorname{Re} f</math> और इसके अतिरिक्त, <math>\|\operatorname{Re} f\| = \|f\|</math> और एक रैखिक कार्यात्मक के वास्तविक और काल्पनिक भाग | वास्तविक भाग <math>\operatorname{Re} f</math> पूर्णतः निर्धारित करता है <math>f,</math> यही कारण है कि हैन-बनाक प्रमेय को प्रायः केवल वास्तविक रैखिक कार्यात्मकताओं के लिए ही कहा जाता है। | ||
इसके अतिरिक्त, एक रैखिक कार्यात्मक <math>f</math> पर <math>X</math> निरंतर है यदि और केवल यदि सेमिनॉर्म <math>|f|</math> निरंतर है, जो तभी होता है जब निरंतर सेमिनॉर्म सम्मिलित होता है <math>p : X \to \R</math> ऐसा है कि <math>|f| \leq p</math>; यह अंतिम कथन रैखिक कार्यात्मक को सम्मिलित करता है <math>f</math> और सेमिनोर्म <math>p</math> हैन-बनाक प्रमेय के कई संस्करणों में इसका सामना करना पड़ता है। | इसके अतिरिक्त, एक रैखिक कार्यात्मक <math>f</math> पर <math>X</math> निरंतर है यदि और केवल यदि सेमिनॉर्म <math>|f|</math> निरंतर है, जो तभी होता है जब निरंतर सेमिनॉर्म सम्मिलित होता है <math>p : X \to \R</math> ऐसा है कि <math>|f| \leq p</math>; यह अंतिम कथन रैखिक कार्यात्मक को सम्मिलित करता है <math>f</math> और सेमिनोर्म <math>p</math> हैन-बनाक प्रमेय के कई संस्करणों में इसका सामना करना पड़ता है। | ||
=== | === मूलभूत धारणाएं === | ||
कार्टेशियन उत्पाद <math>X \times Y</math> दो नॉर्म्ड रिक्त समष्टि कैनोनिक रूप से एक मानदंड से सुसज्जित नहीं हैं। हालाँकि, कई समान मानदंड सामान्य रूप से उपयोग किए जाते हैं,<ref>{{harvtxt|Banach|1932|p=182}}</ref> जैसे कि | कार्टेशियन उत्पाद <math>X \times Y</math> दो नॉर्म्ड रिक्त समष्टि | ||