बानाच समष्टि: Difference between revisions

सभी वैक्टर के लिए <math>x, y \in X.</math> यह बनाता है <math>X</math> एक मीट्रिक समष्टि में <math>(X, d).</math> एक क्रम <math>x_{\bull} = \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}</math> कहा जाता है {{nowrap|'''{{em|[[Cauchy sequence|<math>d</math>-Cauchy]]}}'''}} या {{nowrap|'''{{em|Cauchy in}} <math>(X, d)</math>'''}} या {{nowrap|'''{{em|<math>\| \cdot \|</math>-Cauchy}}'''}} अगर हर असली के लिए <math>r > 0,</math> कुछ सूचकांक सम्मिलित है <math>N</math> ऐसा है कि

जब कभी भी <math>m</math> और <math>n</math> से अधिक हैं <math>N.</math> विहित मीट्रिक <math>d</math> ए कहा जाता है{{em|[[complete metric]]}} अगर जोड़ी <math>(X, d)</math> एक है {{em|[[complete metric space]]}}, जो परिभाषा के अनुसार हर के लिए है {{nowrap|<math>d</math>-[[Cauchy sequence]]}} <math>x_{\bull} = \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}</math> में <math>(X, d),</math> कुछ सम्मिलित है <math>x \in X</math> ऐसा है कि

नियम <math>\| \cdot \|</math> एक आदर्श समष्टि का <math>(X, \| \cdot \|)</math> ए कहा जाता है{{em|{{visible anchor|complete norm|Complete norm}}}} अगर <math>(X, \| \cdot \|)</math> एक बानाख समष्टि है।

  <math display=block>B_r(x) := \{z \in X : \|z - x\| < r\} \qquad \text{ and } \qquad C_r(x) := \{z \in X : \|z - x\| \leq r\}.</math> ऐसी कोई भी गेंद एक [[उत्तल सेट]] और बाउंडेड सेट (टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि) है <math>X,</math> लेकिन एक [[ कॉम्पैक्ट जगह | कॉम्पैक्ट समष्टि]] बॉल/नेबरहुड (सांस्थिति) सम्मिलित है अगर और केवल तभी <math>X</math> एक [[परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष|परिमित-आयामी वेक्टर समष्टि]] है।

विशेष रूप से, कोई अनंत-आयामी आदर्श समष्टि [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान|स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समष्टि]] नहीं हो सकता है या मोंटेल समष्टि | हेइन-बोरेल संपत्ति हो सकती है।

अगर <math>x_0</math> एक वेक्टर है और <math>s \neq 0</math> तब एक अदिश राशि है

<math display=block>x_0 + s B_r(x) = B_{|s| r}\left(x_0 + s x\right) \qquad \text{ and } \qquad x_0 + s C_r(x) = C_{|s| r}\left(x_0 + s x\right).</math> का उपयोग करते हुए <math>s := 1</math> दिखाता है कि यह मानक-प्रेरित सांस्थिति [[अनुवाद अपरिवर्तनीय टोपोलॉजी|अनुवाद अपरिवर्तनीय सांस्थिति]] है, जिसका अर्थ है कि किसी के लिए <math>x \in X</math> और <math>S \subseteq X,</math> सबसेट <math>S</math> [[खुला सेट]] (क्रमशः, [[बंद सेट]]) में है <math>X</math> अगर और केवल अगर यह इसके अनुवाद के लिए सही है <math>x + S := \{x + s : s \in S\}.</math> नतीजतन, मानक प्रेरित सांस्थिति मूल रूप से किसी भी [[पड़ोस व्यवस्था]] द्वारा मूल रूप से निर्धारित की जाती है। मूल में कुछ आम पड़ोस के ठिकानों में सम्मिलित हैं:

कुछ सबसेट द्वारा अनुक्रमित <math>I \subseteq U,</math> जहां हर <math>r_x</math> स्वरूप का है <math>r_x = \tfrac{1}{n_x}</math> कुछ पूर्णांक के लिए <math>n_x > 0</math> (बंद गेंद का उपयोग खुली गेंद के बजाय भी किया जा सकता है, हालांकि इंडेक्सिंग सेट <math>I</math> और त्रिज्या <math>r_x</math> बदलने की आवश्यकता हो सकती है)।

इसके अतिरिक्त, <math>I</math> [[ गणनीय सेट ]] होने के लिए हमेशा चुना जा सकता है यदि <math>X</math> एक है {{em|[[separable space]]}}, जिसका परिभाषा के अनुसार मतलब है <math>X</math> कुछ गणनीय घने सेट सम्मिलित हैं।

एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय है <math>S</math> का <math>\ell^2(\N)</math> जिसका उत्तल पतवार <math>\operatorname{co}(S)</math> है {{em|not}} बंद और इस प्रकार भी {{em|not}} कॉम्पैक्ट (यह फुटनोट देखें<ref group="note" name="ExampleCompactButHullIsNotCompact">Let <math>H</math> be the separable [[Hilbert space]] [[Lp space|<math>\ell^2(\N)</math>]] of square-summable sequences with the usual norm <math>\|\cdot\|_2</math> and let <math>e_n = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots)</math> be the standard [[orthonormal basis]] (that is <math>1</math> at the <math>n^{\text{th}}</math>-coordinate). The closed set <math>S = \{0\} \cup \left\{\tfrac{1}{n} e_n : n = 1, 2, \ldots\right\}</math> is compact (because it is [[Sequentially compact space|sequentially compact]]) but its convex hull <math>\operatorname{co} S</math> is {{em|not}} a closed set because <math>h := \sum_{n=1}^{\infty} \tfrac{1}{2^n} \tfrac{1}{n} e_n</math> belongs to the closure of <math>\operatorname{co} S</math> in <math>H</math> but <math>h \not\in\operatorname{co} S</math> (since every sequence <math>\left(z_n\right)_{n=1}^\infty \in \operatorname{co} S</math> is a finite [[convex combination]] of elements of <math>S</math> and so <math>z_n = 0</math> for all but finitely many coordinates, which is not true of <math>h</math>). However, like in all [[Complete topological vector space|complete]] Hausdorff locally convex spaces, the {{em|closed}} convex hull <math>K := \overline{\operatorname{co}} S</math> of this compact subset is compact. The vector subspace <math>X := \operatorname{span} S = \operatorname{span} \left\{e_1, e_2, \ldots\right\}</math> is a [[pre-Hilbert space]] when endowed with the substructure that the Hilbert space <math>H</math> induces on it but <math>X</math> is not complete and <math>h \not\in C := K \cap X</math> (since <math>h \not\in X</math>). The closed convex hull of <math>S</math> in <math>X</math> (here, "closed" means with respect to <math>X,</math> and not to <math>H</math> as before) is equal to <math>K \cap X,</math> which is not compact (because it is not a complete subset). This shows that in a Hausdorff locally convex space that is not complete, the closed convex hull of compact subset might {{em|fail}} to be compact (although it will be [[Totally bounded space|precompact/totally bounded]]).</ref> एक उदाहरण के लिए)।{{sfn|Aliprantis|Border|2006|p=185}}

हालाँकि, सभी बानाख समष्टि की तरह, बंद उत्तल हल |{{em|closed}} उन्नतोत्तर पेटा <math>\overline{\operatorname{co}} S</math> इसका (और हर दूसरा) कॉम्पैक्ट सबसेट कॉम्पैक्ट होगा।{{sfn|Trèves|2006|p=145}} लेकिन अगर एक मानक समष्टि पूर्ण नहीं है तो यह सामान्य रूप से होता है {{em|not}} ने गारंटी दी <math>\overline{\operatorname{co}} S</math> जब भी कॉम्पैक्ट होगा <math>S</math> है; एक उदाहरण<ref group=note name=ExampleCompactButHullIsNotCompact />के [[पूर्व-हिल्बर्ट अंतरिक्ष|पूर्व-हिल्बर्ट समष्टि]]|प्री-हिल्बर्ट वेक्टर सबस्पेस में भी पाया जा सकता है <math>\ell^2(\N).</math>

यह आदर्श-प्रेरित सांस्थिति भी बनाती है <math>\left(X, \tau_d\right)</math> एक [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि]] (टीवीएस) के रूप में जाना जाता है, जो परिभाषा के अनुसार एक सांस्थिति के साथ संपन्न एक वेक्टर समष्टि है जो अतिरिक्त और स्केलर गुणन के संचालन को निरंतर बनाता है। इस बात पर जोर दिया जाता है कि TVS <math>\left(X, \tau_d\right)</math> है {{em|only}} एक निश्चित प्रकार की सांस्थिति के साथ एक सदिश समष्टि; यानी जब टीवीएस के रूप में माना जाता है, तो यह है {{em|not}} के साथ जुड़े {{em|any}} विशेष मानदंड या मीट्रिक (जिनमें से दोनों भुलक्कड़ हैं)। यह हॉसडॉर्फ टीवीएस <math>\left(X, \tau_d\right)</math> [[स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि]] भी है क्योंकि मूल पर केंद्रित सभी खुली गेंदों का सेट मूल रूप से उत्तल [[संतुलित सेट]] खुले सेट से मिलकर एक [[पड़ोस का आधार]] बनाता है। यह टीवीएस भी है {{em|[[Normable space|normable]]}}, जो परिभाषा के अनुसार किसी भी टीवीएस को संदर्भित करता है जिसका सांस्थिति कुछ (संभवतः अज्ञात) नॉर्म (गणित) से प्रेरित है। नॉर्मेबल टीवीएस कोल्मोगोरोव की नॉर्मबिलिटी कसौटी हौसडॉर्फ है और एक बाउंडेड सेट (टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि) होने के कारण मूल के उत्तल सेट पड़ोस।

तो उदाहरण के लिए, अगर <math>(X, p) \text{ and } (X, q)</math> सांस्थिति के साथ बानाख समष्टि हैं <math>\tau_p \text{ and } \tau_q</math> और यदि इन समष्टि में से एक में कुछ खुली गेंद है जो कि अन्य समष्टि का भी एक खुला उपसमुच्चय है (या समकक्ष, यदि इनमें से एक <math>p : \left(X, \tau_q\right) \to \R</math> या <math>q : \left(X, \tau_p\right) \to \R</math> निरंतर है) तो उनकी सांस्थिति समान हैं और उनके [[समतुल्य मानदंड]] हैं।

दो मानदंड, <math>p</math> और <math>q,</math> सदिश समष्टि पर मानक (गणित) # समतुल्य मानदंड कहा जाता है{{em|equivalent}} अगर वे एक ही सांस्थिति प्रेरित करते हैं;<ref name="Conrad Equiv norms">{{cite web|url=https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/equivnorms.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/equivnorms.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|title=मानदंडों की समानता|last=Conrad|first=Keith|website=kconrad.math.uconn.edu|access-date=September 7, 2020}}</ref> ऐसा तब होता है जब और केवल तभी होता है जब धनात्मक वास्तविक संख्याएं सम्मिलित हों <math>c, C > 0</math> ऐसा है कि <math display=inline>c q(x) \leq p(x) \leq C q(x)</math> सभी के लिए <math> x \in X.</math> अगर <math>p</math> और <math>q</math> सदिश समष्टि पर दो समान मानदंड हैं <math>X</math> तब <math>(X, p)</math> एक Banach समष्टि है अगर और केवल अगर <math>(X, q)</math> एक बानाख समष्टि है।

एक मीट्रिक <math>D</math> एक वेक्टर समष्टि पर <math>X</math> पर एक मानदंड से प्रेरित है <math>X</math> अगर और केवल अगर <math>D</math> अनुवाद अपरिवर्तनीय है<ref group=note name="translation invariant metric"/>और{{em|absolutely homogeneous}}, जिसका अर्थ है कि <math>D(sx, sy) = |s| D(x, y)</math> सभी स्केलर्स के लिए <math>s</math> और सभी <math>x, y \in X,</math> किस मामले में समारोह <math>\|x\| := D(x, 0)</math> पर मानदंड परिभाषित करता है <math>X</math> और विहित मीट्रिक द्वारा प्रेरित <math>\|\cdot\|</math> के बराबर है <math>D.</math>

लगता है कि <math>(X, \|\cdot\|)</math> एक आदर्श समष्टि है और वह <math>\tau</math> मानक सांस्थिति पर प्रेरित है <math>X.</math> लगता है कि <math>D</math> है {{em|any}} मीट्रिक (गणित) पर <math>X</math> ऐसा है कि सांस्थिति कि <math>D</math> प्रवृत्त करता है <math>X</math> के बराबर है <math>\tau.</math> अगर <math>D</math> अनुवाद अपरिवर्तनीय है<ref group=note name="translation invariant metric"/>तब <math>(X, \|\cdot\|)</math> एक Banach समष्टि है अगर और केवल अगर <math>(X, D)</math> एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि है।{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=47-66}}

अगर <math>D</math> है {{em|not}} अनुवाद अपरिवर्तनीय, तो इसके लिए संभव हो सकता है <math>(X, \|\cdot\|)</math> एक बानाख समष्टि होने के लिए लेकिन के लिए <math>(X, D)</math> को {{em|not}} एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि हो{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=47-51}} (यह फुटनोट देखें<ref group="note">The [[normed space]] <math>(\R,|\cdot |)</math> is a Banach space where the absolute value is a [[Norm (mathematics)|norm]] on the real line <math>\R</math> that induces the usual [[Euclidean topology]] on <math>\R.</math> Define a metric <math>D : \R \times \R \to \R</math> on <math>\R</math> by <math>D(x, y) =|\arctan(x) - \arctan(y)|</math> for all <math>x, y \in \R.</math> Just like {{nowrap|<math>|\cdot|</math>{{hsp}}'s}} induced metric, the metric <math>D</math> also induces the usual Euclidean topology on <math>\R.</math> However, <math>D</math> is not a complete metric because the sequence <math>x_{\bull} = \left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}</math> defined by <math>x_i := i</math> is a [[Cauchy sequence|{{nowrap|<math>D</math>-Cauchy}} sequence]] but it does not converge to any point of <math>\R.</math> As a consequence of not converging, this {{nowrap|<math>D</math>-Cauchy}} sequence cannot be a Cauchy sequence in <math>(\R,|\cdot |)</math> (that is, it is not a Cauchy sequence with respect to the norm <math>|\cdot|</math>) because if it was {{nowrap|<math>|\cdot|</math>-Cauchy,}} then the fact that <math>(\R,|\cdot |)</math> is a Banach space would imply that it converges (a contradiction).{{harvnb|Narici|Beckenstein|2011|pp=47–51}}</ref> एक उदाहरण के लिए)। इसके विपरीत, क्ले का एक प्रमेय,{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=35}}<ref name="Klee Inv metrics">{{Cite journal|last1=Klee|first1=V. L.|title=समूहों में अपरिवर्तनीय मेट्रिक्स (बानाच की समस्या का समाधान)|year=1952|journal=Proc. Amer. Math. Soc.|volume=3|issue=3|pages=484–487|url=https://www.ams.org/journals/proc/1952-003-03/S0002-9939-1952-0047250-4/S0002-9939-1952-0047250-4.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://www.ams.org/journals/proc/1952-003-03/S0002-9939-1952-0047250-4/S0002-9939-1952-0047250-4.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|doi=10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4|doi-access=free}}</ref><ref group="note">The statement of the theorem is: Let <math>d</math> be {{em|any}} metric on a vector space <math>X</math> such that the topology <math>\tau</math> induced by <math>d</math> on <math>X</math> makes <math>(X, \tau)</math> into a topological vector space. If <math>(X, d)</math> is a [[complete metric space]] then <math>(X, \tau)</math> is a [[complete topological vector space]].</ref> जो सभी [[मेट्रिजेबल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|मेट्रिजेबल टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि]] पर भी लागू होता है, इसका तात्पर्य है कि अगर सम्मिलित है {{em|any}}<ref group="note">This metric <math>D</math> is {{em|not}} assumed to be translation-invariant. So in particular, this metric <math>D</math> does {{em|not}} even have to be induced by a norm.</ref> पूर्ण मीट्रिक <math>D</math> पर <math>X</math> जो आदर्श सांस्थिति को प्रेरित करता है <math>\tau</math> पर <math>X,</math> तब <math>(X, \|\cdot\|)</math> एक बानाख समष्टि है।

एक फ्रेचेट समष्टि स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि है जिसका सांस्थिति कुछ ट्रांसलेशन-इनवेरिएंट पूर्ण मीट्रिक द्वारा प्रेरित होता है।

हालांकि, हर फ्रेचेट समष्टि की सांस्थिति वास्तविक-मूल्यवान (आवश्यक रूप से निरंतर) नक्शों के कुछ काउंटेबल सेट परिवार से प्रेरित होती है, जिन्हें [[सेमिनोर्म]] कहा जाता है, जो नॉर्म (गणित) के सामान्यीकरण हैं।

पूर्ण मानदंड बनाम [[पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि]]

मीट्रिक पूर्णता के अलावा पूर्णता की एक और धारणा है और वह एक पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि (टीवीएस) या टीवीएस-पूर्णता की धारणा है, जो समान समष्टि के सिद्धांत का उपयोग करती है।

विशेष रूप से, टीवीएस-पूर्णता की धारणा एक अद्वितीय अनुवाद-अपरिवर्तनीय [[एकरूपता (टोपोलॉजी)|एकरूपता (सांस्थिति)]] का उपयोग करती है, जिसे पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि#कैनोनिकल एकरूपता कहा जाता है, जो निर्भर करता है {{em|only}} वेक्टर घटाव और सांस्थिति पर <math>\tau</math> सदिश समष्टि के साथ संपन्न है, और इसलिए विशेष रूप से, टीवीएस पूर्णता की यह धारणा सांस्थिति को प्रेरित करने वाले किसी भी मानक से स्वतंत्र है <math>\tau</math> (और यहां तक ​​कि टीवीएस पर भी लागू होता है {{em|not}} यहां तक ​​कि मेट्रिजेबल)।

हर बानाख समष्टि एक संपूर्ण टीवीएस है। इसके अलावा, एक आदर्श समष्टि एक बानाख समष्टि है (अर्थात, इसका मानक-प्रेरित मीट्रिक पूर्ण है) अगर और केवल अगर यह एक टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि के रूप में पूर्ण है।

अगर <math>(X, \tau)</math> एक मेट्रिजेबल टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि है (जैसे कि कोई मानक प्रेरित सांस्थिति, उदाहरण के लिए), फिर <math>(X, \tau)</math> एक पूर्ण TVS है यदि और केवल यदि यह a {{em|sequentially}} पूर्ण टीवीएस, जिसका अर्थ है कि यह प्रत्येक कॉची की जाँच करने के लिए पर्याप्त है {{em|sequence}} में <math>(X, \tau)</math> में विलीन हो जाता है <math>(X, \tau)</math> किसी बिंदु पर <math>X</math> (अर्थात्, मनमानी कॉची [[नेट (गणित)]] की अधिक सामान्य धारणा पर विचार करने की कोई आवश्यकता नहीं है)।