सम्मिश्र संयुग्म मूल प्रमेय: Difference between revisions
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गणित में, | गणित में, सम्मिश्र संयुग्म मूल प्रमेय कहता है कि यदि ''P'' [[वास्तविक संख्या]] गुणांक वाले एक चर में एक [[बहुपद]] है, और ''a'' + ''bi'',a'' और ''b'' वास्तविक संख्याओं के साथ P ''का एक मूल है, तो इसका सम्मिश्र संयुग्म a-bi भी एक मूल P है।''<ref>{{cite book|title=मेन्यूथ गणितीय ओलंपियाड मैनुअल|author=Anthony G. O'Farell and Gary McGuire|pages=104|chapter=Complex numbers, 8.4.2 Complex roots of real polynomials|year=2002|publisher=Logic Press |isbn=0954426908}} Preview available at [https://books.google.com/books?q=Maynooth+Mathematical+Olympiad+Manual&ots=xQ0hpAQkpc&sa=X&oi=print&ct=title Google books]</ref>'' | ||
यह इस (और बीजगणित के मौलिक प्रमेय) से अनुसरण करता है कि, यदि वास्तविक बहुपद के बहुपद | |||
यह इस(और बीजगणित के मौलिक प्रमेय) से अनुसरण करता है कि, यदि वास्तविक बहुपद के बहुपद का मूल [[समता (गणित)]] है, तो इसमें कम से कम एक वास्तविक मूल होना चाहिए।<ref name="Jeffrey">{{cite book|title=जटिल विश्लेषण और अनुप्रयोग|author=Alan Jeffrey|chapter=Analytic Functions|pages=22–23|year=2005|publisher=CRC Press|isbn=158488553X}}</ref> वह भाजित मध्यवर्ती मान प्रमेय का उपयोग करके [[गणितीय प्रमाण]] भी हो सकता है। | |||
== उदाहरण और परिणाम == | == उदाहरण और परिणाम == | ||
* बहुपद x<sup>2</sup> + 1 = 0 | * बहुपद x<sup>2</sup> + 1 = 0 के मूल ± i हैं। | ||
* विषम | * विषम मूल के किसी भी वास्तविक [[स्क्वायर मैट्रिक्स|वर्ग आव्यूह]] में कम से कम एक वास्तविक [[eigenvalue|आइगेनमान]] होता है। उदाहरण के लिए, यदि [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह(गणित)]] [[ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स|लंबकोणीय आव्यूह]] है, तो 1 या -1 एक आइगेनमान है। | ||
* बहुपद | * बहुपद | ||
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: अवास्तविक गुणनखंड युग्मों में आते हैं जिन्हें गुणा करने पर वास्तविक गुणांकों के साथ | : अवास्तविक गुणनखंड युग्मों में आते हैं जिन्हें गुणा करने पर वास्तविक गुणांकों के साथ द्विघात बहुपद प्राप्त होते हैं। चूंकि [[जटिल संख्या|सम्मिश्र संख्या]] गुणांक वाले प्रत्येक बहुपद को प्रथम-मूल कारकों(जो कि बीजगणित के मौलिक प्रमेय को बताने की एक विधि है) में सम्मिलित किया जा सकता है, यह इस प्रकार है कि वास्तविक गुणांक वाले प्रत्येक बहुपद को 2 से अधिक मूल के कारकों में विभाजित किया जा सकता है: मात्र प्रथम-मूल और द्विघात कारक। | ||
* यदि | * यदि मूल {{math|''a''+''bi''}} और {{math|''a''−''bi''}} हैं, वे द्विघात | ||
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=== विषम | === विषम मूल बहुपदों पर उपप्रमेय === | ||
यह वर्तमान प्रमेय और बीजगणित के मौलिक प्रमेय से अनुसरण करता है कि यदि वास्तविक बहुपद की | यह वर्तमान प्रमेय और बीजगणित के मौलिक प्रमेय से अनुसरण करता है कि यदि वास्तविक बहुपद की मूल विषम है, तो इसमें कम से कम एक वास्तविक मूल होना चाहिए।<ref name="Jeffrey"/> | ||
इसे इस प्रकार सिद्ध किया जा सकता है। | इसे इस प्रकार सिद्ध किया जा सकता है। | ||
*चूंकि गैर-वास्तविक | *चूंकि गैर-वास्तविक सम्मिश्र मूलें संयुग्मी युग्मों में आती हैं, इसलिए उनकी संख्या सम होती है; | ||
* | *परन्तु विषम कोटि के बहुपद के मूलों की संख्या विषम होती है; | ||
*इसलिए उनमें से कुछ वास्तविक होने चाहिए। | *इसलिए उनमें से कुछ वास्तविक होने चाहिए। | ||
कई | कई मूलों की उपस्थिति में इसके लिए कुछ देखभाल की आवश्यकता होती है; परन्तु एक सम्मिश्र मूल और उसके संयुग्म में समान [[बहुलता (गणित)|बहुलता(गणित)]] होती है(और यह [[लेम्मा (गणित)|लेम्मा(गणित)]] सिद्ध करना सम्मिश्र नहीं है)। इसे मात्र [[अलघुकरणीय बहुपद|अलघुकरणीय बहुपदों]] पर विचार करके भी हल किया जा सकता है; विषम मूल के किसी भी वास्तविक बहुपद में विषम मूल का एक अलघुकरणीय गुणक होना चाहिए, जिसका(कोई बहुमूल नहीं है) उपरोक्त तर्क द्वारा एक वास्तविक मूल होना चाहिए। | ||
इस उपप्रमेय को मध्यवर्ती मान प्रमेय का प्रयोग करके भी प्रत्यक्ष रूप से सिद्ध किया जा सकता है। | इस उपप्रमेय को मध्यवर्ती मान प्रमेय का प्रयोग करके भी प्रत्यक्ष रूप से सिद्ध किया जा सकता है। | ||
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प्रमेय का एक प्रमाण इस प्रकार है:<ref name=Jeffrey /> | प्रमेय का एक प्रमाण इस प्रकार है:<ref name=Jeffrey /> | ||
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: <math>P(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \cdots + a_nz^n</math> | : <math>P(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \cdots + a_nz^n</math> | ||
जहां सभी | पर विचार करें जहां सभी a<sub>''r''</sub> वास्तविक हैं। मान लीजिए कि कुछ सम्मिश्र संख्या ζ P का एक मूल है, जो कि <math>P(\zeta) = 0</math> है। इसे दिखाने की आवश्यकता है कि | ||
: <math>P\big(\, \overline{\zeta} \,\big) = 0</math> | : <math>P\big(\, \overline{\zeta} \,\big) = 0</math> | ||
यदि P(ζ  ) = 0, तो | |||
: <math>a_0 + a_1\zeta + a_2\zeta^2 + \cdots + a_n\zeta^n = 0</math> | : <math>a_0 + a_1\zeta + a_2\zeta^2 + \cdots + a_n\zeta^n = 0</math> | ||
जिसे | जिसे | ||
: <math>\sum_{r=0}^n a_r\zeta^r = 0 | : <math>\sum_{r=0}^n a_r\zeta^r = 0</math> | ||
:के रूप में रखा जा सकता है। | |||
अब | अब | ||
: <math>P\big(\, \overline{\zeta} \,\big) = \sum_{r=0}^n a_r \big(\, \overline{\zeta} \,\big)^r</math> | : <math>P\big(\, \overline{\zeta} \,\big) = \sum_{r=0}^n a_r \big(\, \overline{\zeta} \,\big)^r</math> | ||
और | और सम्मिश्र संयुग्मन के गुण दिए गए हैं, | ||
: <math>\sum_{r=0}^n a_r\big(\, \overline{\zeta} \,\big)^r = \sum_{r=0}^n a_r \overline{\zeta^r} = \sum_{r=0}^n \overline{a_r\zeta^r} = \overline{\sum_{r=0}^n a_r\zeta^r}</math>। | |||
: <math> | : <math>\overline{\sum_{r=0}^n a_r\zeta^r} = \overline{0}</math> | ||
के बाद से, यह उस | |||
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: <math>\sum_{r=0}^n a_r\big(\, \overline{\zeta} \,\big)^r = \overline{0} = 0 | : <math>\sum_{r=0}^n a_r\big(\, \overline{\zeta} \,\big)^r = \overline{0} = 0</math> | ||
:का पालन करता है। | |||
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: <math>P\big(\, \overline{\zeta} \,\big) = a_0 + a_1\overline{\zeta} + a_2\big(\, \overline{\zeta} \,\big)^2 + \cdots + a_n\big(\, \overline{\zeta} \,\big)^n = 0 | : <math>P\big(\, \overline{\zeta} \,\big) = a_0 + a_1\overline{\zeta} + a_2\big(\, \overline{\zeta} \,\big)^2 + \cdots + a_n\big(\, \overline{\zeta} \,\big)^n = 0</math>। | ||
ध्यान दें कि यह | ध्यान दें कि यह मात्र इसलिए काम करता है क्योंकि a<sub>''r''</sub> वास्तविक हैं, अर्थात् <math>\overline{a_r} = a_r</math>। यदि कोई भी गुणांक अवास्तविक होता, तो मूल आवश्यक रूप से संयुग्मी युग्मों में नहीं आते। | ||
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Latest revision as of 13:34, 17 March 2023
गणित में, सम्मिश्र संयुग्म मूल प्रमेय कहता है कि यदि P वास्तविक संख्या गुणांक वाले एक चर में एक बहुपद है, और a + bi,a और b वास्तविक संख्याओं के साथ P का एक मूल है, तो इसका सम्मिश्र संयुग्म a-bi भी एक मूल P है।[1]
यह इस(और बीजगणित के मौलिक प्रमेय) से अनुसरण करता है कि, यदि वास्तविक बहुपद के बहुपद का मूल समता (गणित) है, तो इसमें कम से कम एक वास्तविक मूल होना चाहिए।[2] वह भाजित मध्यवर्ती मान प्रमेय का उपयोग करके गणितीय प्रमाण भी हो सकता है।
उदाहरण और परिणाम
- बहुपद x2 + 1 = 0 के मूल ± i हैं।
- विषम मूल के किसी भी वास्तविक वर्ग आव्यूह में कम से कम एक वास्तविक आइगेनमान होता है। उदाहरण के लिए, यदि आव्यूह(गणित) लंबकोणीय आव्यूह है, तो 1 या -1 एक आइगेनमान है।
- बहुपद
- मूल हैं
- और इस प्रकार के रूप में भाजित किया जा सकता है
- पूर्व दो कारकों के उत्पाद की गणना करने में, काल्पनिक भाग निरस्त हो जाते हैं, और हमें मिलता है
- अवास्तविक गुणनखंड युग्मों में आते हैं जिन्हें गुणा करने पर वास्तविक गुणांकों के साथ द्विघात बहुपद प्राप्त होते हैं। चूंकि सम्मिश्र संख्या गुणांक वाले प्रत्येक बहुपद को प्रथम-मूल कारकों(जो कि बीजगणित के मौलिक प्रमेय को बताने की एक विधि है) में सम्मिलित किया जा सकता है, यह इस प्रकार है कि वास्तविक गुणांक वाले प्रत्येक बहुपद को 2 से अधिक मूल के कारकों में विभाजित किया जा सकता है: मात्र प्रथम-मूल और द्विघात कारक।
- यदि मूल a+bi और a−bi हैं, वे द्विघात
- बनाते हैं।
- यदि तीसरा मूल c है,तो यह
- बन जाता है।
विषम मूल बहुपदों पर उपप्रमेय
यह वर्तमान प्रमेय और बीजगणित के मौलिक प्रमेय से अनुसरण करता है कि यदि वास्तविक बहुपद की मूल विषम है, तो इसमें कम से कम एक वास्तविक मूल होना चाहिए।[2]
इसे इस प्रकार सिद्ध किया जा सकता है।
- चूंकि गैर-वास्तविक सम्मिश्र मूलें संयुग्मी युग्मों में आती हैं, इसलिए उनकी संख्या सम होती है;
- परन्तु विषम कोटि के बहुपद के मूलों की संख्या विषम होती है;
- इसलिए उनमें से कुछ वास्तविक होने चाहिए।
कई मूलों की उपस्थिति में इसके लिए कुछ देखभाल की आवश्यकता होती है; परन्तु एक सम्मिश्र मूल और उसके संयुग्म में समान बहुलता(गणित) होती है(और यह लेम्मा(गणित) सिद्ध करना सम्मिश्र नहीं है)। इसे मात्र अलघुकरणीय बहुपदों पर विचार करके भी हल किया जा सकता है; विषम मूल के किसी भी वास्तविक बहुपद में विषम मूल का एक अलघुकरणीय गुणक होना चाहिए, जिसका(कोई बहुमूल नहीं है) उपरोक्त तर्क द्वारा एक वास्तविक मूल होना चाहिए।
इस उपप्रमेय को मध्यवर्ती मान प्रमेय का प्रयोग करके भी प्रत्यक्ष रूप से सिद्ध किया जा सकता है।
प्रमाण
प्रमेय का एक प्रमाण इस प्रकार है:[2]
बहुपद
पर विचार करें जहां सभी ar वास्तविक हैं। मान लीजिए कि कुछ सम्मिश्र संख्या ζ P का एक मूल है, जो कि है। इसे दिखाने की आवश्यकता है कि
यदि P(ζ ) = 0, तो
जिसे
- के रूप में रखा जा सकता है।
अब
और सम्मिश्र संयुग्मन के गुण दिए गए हैं,
- ।
के बाद से, यह उस
- का पालन करता है।
अर्थात,
- ।
ध्यान दें कि यह मात्र इसलिए काम करता है क्योंकि ar वास्तविक हैं, अर्थात् । यदि कोई भी गुणांक अवास्तविक होता, तो मूल आवश्यक रूप से संयुग्मी युग्मों में नहीं आते।
टिप्पणियाँ
- ↑ Anthony G. O'Farell and Gary McGuire (2002). "Complex numbers, 8.4.2 Complex roots of real polynomials". मेन्यूथ गणितीय ओलंपियाड मैनुअल. Logic Press. p. 104. ISBN 0954426908. Preview available at Google books
- ↑ 2.0 2.1 2.2 Alan Jeffrey (2005). "Analytic Functions". जटिल विश्लेषण और अनुप्रयोग. CRC Press. pp. 22–23. ISBN 158488553X.
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