सम्मिश्र संयुग्म मूल प्रमेय: Difference between revisions
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गणित में, जटिल संयुग्म मूल प्रमेय | गणित में, जटिल संयुग्म मूल प्रमेय कहता है कि यदि ''P'' [[वास्तविक संख्या]] गुणांक वाले एक चर में एक [[बहुपद]] है, और ''a'' + ''bi'',a'' और ''b'' वास्तविक संख्याओं के साथ P ''का एक मूल है, तो इसका जटिल संयुग्म a-bi भी एक मूल P है।''<ref>{{cite book|title=मेन्यूथ गणितीय ओलंपियाड मैनुअल|author=Anthony G. O'Farell and Gary McGuire|pages=104|chapter=Complex numbers, 8.4.2 Complex roots of real polynomials|year=2002|publisher=Logic Press |isbn=0954426908}} Preview available at [https://books.google.com/books?q=Maynooth+Mathematical+Olympiad+Manual&ots=xQ0hpAQkpc&sa=X&oi=print&ct=title Google books]</ref>'' | ||
यह इस (और बीजगणित के मौलिक प्रमेय) से अनुसरण करता है कि, यदि वास्तविक बहुपद के बहुपद | |||
यह इस (और बीजगणित के मौलिक प्रमेय) से अनुसरण करता है कि, यदि वास्तविक बहुपद के बहुपद का मूल [[समता (गणित)]] है, तो इसमें कम से कम एक वास्तविक मूल होना चाहिए।<ref name="Jeffrey">{{cite book|title=जटिल विश्लेषण और अनुप्रयोग|author=Alan Jeffrey|chapter=Analytic Functions|pages=22–23|year=2005|publisher=CRC Press|isbn=158488553X}}</ref> वह भाजित मध्यवर्ती मान प्रमेय का उपयोग करके [[गणितीय प्रमाण]] भी हो सकता है। | |||
== उदाहरण और परिणाम == | == उदाहरण और परिणाम == | ||
* बहुपद x<sup>2</sup> + 1 = 0 | * बहुपद x<sup>2</sup> + 1 = 0 के मूल ± i हैं। | ||
* विषम | * विषम मूल के किसी भी वास्तविक [[स्क्वायर मैट्रिक्स|वर्ग आव्यूह]] में कम से कम एक वास्तविक [[eigenvalue|आइगेनमान]] होता है। उदाहरण के लिए, यदि [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] [[ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स|लंबकोणीय आव्यूह]] है, तो 1 या -1 एक आइगेनमान है। | ||
* बहुपद | * बहुपद | ||
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: अवास्तविक गुणनखंड युग्मों में आते हैं जिन्हें गुणा करने पर वास्तविक गुणांकों के साथ [[द्विघात बहुपद]] प्राप्त होते हैं। चूंकि [[जटिल संख्या]] गुणांक वाले प्रत्येक बहुपद को प्रथम- | : अवास्तविक गुणनखंड युग्मों में आते हैं जिन्हें गुणा करने पर वास्तविक गुणांकों के साथ [[द्विघात बहुपद]] प्राप्त होते हैं। चूंकि [[जटिल संख्या]] गुणांक वाले प्रत्येक बहुपद को प्रथम-मूल कारकों (जो कि बीजगणित के मौलिक प्रमेय को बताने की एक विधि है) में सम्मिलित किया जा सकता है, यह इस प्रकार है कि वास्तविक गुणांक वाले प्रत्येक बहुपद को 2 से अधिक मूल के कारकों में विभाजित किया जा सकता है: मात्र प्रथम-मूल और द्विघात कारक। | ||
* यदि | * यदि मूल {{math|''a''+''bi''}} और {{math|''a''−''bi''}} हैं, वे द्विघात | ||
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=== विषम | === विषम मूल बहुपदों पर उपप्रमेय === | ||
यह वर्तमान प्रमेय और बीजगणित के मौलिक प्रमेय से अनुसरण करता है कि यदि वास्तविक बहुपद की | यह वर्तमान प्रमेय और बीजगणित के मौलिक प्रमेय से अनुसरण करता है कि यदि वास्तविक बहुपद की मूल विषम है, तो इसमें कम से कम एक वास्तविक मूल होना चाहिए।<ref name="Jeffrey"/> | ||
इसे इस प्रकार सिद्ध किया जा सकता है। | इसे इस प्रकार सिद्ध किया जा सकता है। | ||
*चूंकि गैर-वास्तविक जटिल | *चूंकि गैर-वास्तविक जटिल मूलें संयुग्मी युग्मों में आती हैं, इसलिए उनकी संख्या सम होती है; | ||
*लेकिन विषम कोटि के बहुपद के मूलों की संख्या विषम होती है; | *लेकिन विषम कोटि के बहुपद के मूलों की संख्या विषम होती है; | ||
*इसलिए उनमें से कुछ वास्तविक होने चाहिए। | *इसलिए उनमें से कुछ वास्तविक होने चाहिए। | ||
कई | कई मूलों की उपस्थिति में इसके लिए कुछ देखभाल की आवश्यकता होती है; लेकिन एक जटिल मूल और उसके संयुग्म में समान [[बहुलता (गणित)]] होती है (और यह [[लेम्मा (गणित)]] सिद्ध करना कठिन नहीं है)। इसे केवल [[अलघुकरणीय बहुपद]]ों पर विचार करके भी हल किया जा सकता है; विषम मूल के किसी भी वास्तविक बहुपद में विषम मूल का एक अलघुकरणीय गुणक होना चाहिए, जिसकी (कोई बहुमूल नहीं है) उपरोक्त तर्क द्वारा एक वास्तविक मूल होना चाहिए। | ||
इस उपप्रमेय को मध्यवर्ती मान प्रमेय का प्रयोग करके भी प्रत्यक्ष रूप से सिद्ध किया जा सकता है। | इस उपप्रमेय को मध्यवर्ती मान प्रमेय का प्रयोग करके भी प्रत्यक्ष रूप से सिद्ध किया जा सकता है। | ||
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जहां सभी ए<sub>''r''</sub> असली हैं। मान लीजिए कि कुछ सम्मिश्र संख्या ζ P का एक मूल है, अर्थात <math>P(\zeta) = 0</math> | जहां सभी ए<sub>''r''</sub> असली हैं। मान लीजिए कि कुछ सम्मिश्र संख्या ζ P का एक मूल है, अर्थात <math>P(\zeta) = 0</math>। इसे दिखाने की जरूरत है | ||
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ध्यान दें कि यह केवल इसलिए काम करता है क्योंकि a<sub>''r''</sub> वास्तविक हैं, अर्थात् <math>\overline{a_r} = a_r</math> | ध्यान दें कि यह केवल इसलिए काम करता है क्योंकि a<sub>''r''</sub> वास्तविक हैं, अर्थात् <math>\overline{a_r} = a_r</math>। यदि कोई भी गुणांक अवास्तविक होता, तो मूल आवश्यक रूप से संयुग्मी युग्मों में नहीं आते। | ||
== टिप्पणियाँ == | == टिप्पणियाँ == |
Revision as of 17:32, 15 March 2023
गणित में, जटिल संयुग्म मूल प्रमेय कहता है कि यदि P वास्तविक संख्या गुणांक वाले एक चर में एक बहुपद है, और a + bi,a और b वास्तविक संख्याओं के साथ P का एक मूल है, तो इसका जटिल संयुग्म a-bi भी एक मूल P है।[1]
यह इस (और बीजगणित के मौलिक प्रमेय) से अनुसरण करता है कि, यदि वास्तविक बहुपद के बहुपद का मूल समता (गणित) है, तो इसमें कम से कम एक वास्तविक मूल होना चाहिए।[2] वह भाजित मध्यवर्ती मान प्रमेय का उपयोग करके गणितीय प्रमाण भी हो सकता है।
उदाहरण और परिणाम
- बहुपद x2 + 1 = 0 के मूल ± i हैं।
- विषम मूल के किसी भी वास्तविक वर्ग आव्यूह में कम से कम एक वास्तविक आइगेनमान होता है। उदाहरण के लिए, यदि आव्यूह (गणित) लंबकोणीय आव्यूह है, तो 1 या -1 एक आइगेनमान है।
- बहुपद
- मूल हैं
- और इस प्रकार के रूप में भाजित किया जा सकता है
- पूर्व दो कारकों के उत्पाद की गणना करने में, काल्पनिक भाग निरस्त हो जाते हैं, और हमें मिलता है
- अवास्तविक गुणनखंड युग्मों में आते हैं जिन्हें गुणा करने पर वास्तविक गुणांकों के साथ द्विघात बहुपद प्राप्त होते हैं। चूंकि जटिल संख्या गुणांक वाले प्रत्येक बहुपद को प्रथम-मूल कारकों (जो कि बीजगणित के मौलिक प्रमेय को बताने की एक विधि है) में सम्मिलित किया जा सकता है, यह इस प्रकार है कि वास्तविक गुणांक वाले प्रत्येक बहुपद को 2 से अधिक मूल के कारकों में विभाजित किया जा सकता है: मात्र प्रथम-मूल और द्विघात कारक।
- यदि मूल a+bi और a−bi हैं, वे द्विघात
- बनाते हैं।
- यदि तीसरा मूल c है,तो यह
- बन जाता है।
विषम मूल बहुपदों पर उपप्रमेय
यह वर्तमान प्रमेय और बीजगणित के मौलिक प्रमेय से अनुसरण करता है कि यदि वास्तविक बहुपद की मूल विषम है, तो इसमें कम से कम एक वास्तविक मूल होना चाहिए।[2]
इसे इस प्रकार सिद्ध किया जा सकता है।
- चूंकि गैर-वास्तविक जटिल मूलें संयुग्मी युग्मों में आती हैं, इसलिए उनकी संख्या सम होती है;
- लेकिन विषम कोटि के बहुपद के मूलों की संख्या विषम होती है;
- इसलिए उनमें से कुछ वास्तविक होने चाहिए।
कई मूलों की उपस्थिति में इसके लिए कुछ देखभाल की आवश्यकता होती है; लेकिन एक जटिल मूल और उसके संयुग्म में समान बहुलता (गणित) होती है (और यह लेम्मा (गणित) सिद्ध करना कठिन नहीं है)। इसे केवल अलघुकरणीय बहुपदों पर विचार करके भी हल किया जा सकता है; विषम मूल के किसी भी वास्तविक बहुपद में विषम मूल का एक अलघुकरणीय गुणक होना चाहिए, जिसकी (कोई बहुमूल नहीं है) उपरोक्त तर्क द्वारा एक वास्तविक मूल होना चाहिए।
इस उपप्रमेय को मध्यवर्ती मान प्रमेय का प्रयोग करके भी प्रत्यक्ष रूप से सिद्ध किया जा सकता है।
प्रमाण
प्रमेय का एक प्रमाण इस प्रकार है:[2]
बहुपद पर विचार करें
जहां सभी एr असली हैं। मान लीजिए कि कुछ सम्मिश्र संख्या ζ P का एक मूल है, अर्थात । इसे दिखाने की जरूरत है
भी।
अगर P(ζ ) = 0, तो
जिसे इस रूप में रखा जा सकता है
अब
और जटिल संयुग्मन # गुण दिए गए हैं,
तब से
यह इस प्रकार है कि
वह है,
ध्यान दें कि यह केवल इसलिए काम करता है क्योंकि ar वास्तविक हैं, अर्थात् । यदि कोई भी गुणांक अवास्तविक होता, तो मूल आवश्यक रूप से संयुग्मी युग्मों में नहीं आते।
टिप्पणियाँ
- ↑ Anthony G. O'Farell and Gary McGuire (2002). "Complex numbers, 8.4.2 Complex roots of real polynomials". मेन्यूथ गणितीय ओलंपियाड मैनुअल. Logic Press. p. 104. ISBN 0954426908. Preview available at Google books
- ↑ 2.0 2.1 2.2 Alan Jeffrey (2005). "Analytic Functions". जटिल विश्लेषण और अनुप्रयोग. CRC Press. pp. 22–23. ISBN 158488553X.
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