फ़िल्टर बैंक: Difference between revisions
From Vigyanwiki
No edit summary |
No edit summary |
||
| Line 46: | Line 46: | ||
<math>\begin{bmatrix}1 & 1 \\-1 & 1 \end{bmatrix}</math> | <math>\begin{bmatrix}1 & 1 \\-1 & 1 \end{bmatrix}</math> | ||
पंचक आव्यूह को उत्पन्न पंचक जालक के रूप में दिखाया गया है कि संश्लेषण भाग विश्लेषण भाग के लिए दोगुना है। उपबैंड अपघटन और पुनर्निर्माण के संदर्भ में फ़िल्टर बैंकों का आवृत्ति-डोमेन परिप्रेक्ष्य से विश्लेषण किया जा सकता है। हालांकि, समान रूप से महत्वपूर्ण है हिल्बर्ट समष्टि और फूरियर विश्लेषण | पंचक आव्यूह को उत्पन्न पंचक जालक के रूप में दिखाया गया है कि संश्लेषण भाग विश्लेषण भाग के लिए दोगुना है। उपबैंड अपघटन और पुनर्निर्माण के संदर्भ में फ़िल्टर बैंकों का आवृत्ति-डोमेन परिप्रेक्ष्य से विश्लेषण किया जा सकता है। हालांकि, समान रूप से महत्वपूर्ण है हिल्बर्ट समष्टि और फूरियर विश्लेषण फिल्टर बैंकों की हिल्बर्ट समष्टि व्याख्या, जो ज्यामितीय संकेत प्रस्तुतियों में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। सामान्य K चैनल फ़िल्टर बैंक के लिए, विश्लेषण निस्यंदक <math>\left\{ h_{k}[n]\right\} _{k=1}^{K} | ||
</math> के साथ संश्लेषण निस्यंदक <math>\left\{ g_{k}[n]\right\} _{k=1}^{K}</math>, और प्रतिदर्श आव्यूह <math>\left\{ M_{k}[n]\right\} _{k=1}^{K} | </math> के साथ संश्लेषण निस्यंदक <math>\left\{ g_{k}[n]\right\} _{k=1}^{K}</math>, और प्रतिदर्श आव्यूह <math>\left\{ M_{k}[n]\right\} _{k=1}^{K} | ||
</math> विश्लेषण पक्ष में सदिश निस्यंदक <math>\ell^{2}(\mathbf{Z}^{d}) | </math> विश्लेषण पक्ष में सदिश निस्यंदक <math>\ell^{2}(\mathbf{Z}^{d}) | ||
| Line 53: | Line 53: | ||
:<math>\varphi_{k,m}[n]\stackrel{\rm def}{=}h_{k}^{*}[M_{k}m-n]</math>, | :<math>\varphi_{k,m}[n]\stackrel{\rm def}{=}h_{k}^{*}[M_{k}m-n]</math>, | ||
प्रत्येक सूचकांक दो मापदंडों द्वारा: <math>1\leq k\leq K</math> और <math>m\in \mathbf{Z}^{2}</math> इसी प्रकार संश्लेषण निस्यंदक <math>g_{k}[n]</math> के लिए | प्रत्येक सूचकांक दो मापदंडों द्वारा: <math>1\leq k\leq K</math> और <math>m\in \mathbf{Z}^{2}</math> इसी प्रकार संश्लेषण निस्यंदक <math>g_{k}[n]</math> के लिए <math>\psi_{k,m}[n]\stackrel{\rm def}{=}g_{k}^{*}[M_{k}m-n]</math> को परिभाषित कर सकते हैं। | ||
विश्लेषण या संश्लेषण अक्षों की परिभाषा को ध्यान में रखते हुए हम <math>c_{k}[m]=\langle x[n],\varphi_{k,m}[n] \rangle</math> को सत्यापित कर सकते हैं <ref>{{cite journal|last1=Do|first1=Minh N|title=बहुआयामी फिल्टर बैंक और बहुस्तरीय ज्यामितीय प्रतिनिधित्व|journal=Signal Processing|date=2011|pages=157–264|url=http://www.nowpublishers.com/article/DownloadSummary/SIG-012}}</ref> और पुनर्निर्माण भाग के लिए: | विश्लेषण या संश्लेषण अक्षों की परिभाषा को ध्यान में रखते हुए हम <math>c_{k}[m]=\langle x[n],\varphi_{k,m}[n] \rangle</math> को सत्यापित कर सकते हैं <ref>{{cite journal|last1=Do|first1=Minh N|title=बहुआयामी फिल्टर बैंक और बहुस्तरीय ज्यामितीय प्रतिनिधित्व|journal=Signal Processing|date=2011|pages=157–264|url=http://www.nowpublishers.com/article/DownloadSummary/SIG-012}}</ref> और पुनर्निर्माण भाग के लिए: | ||
| Line 62: | Line 62: | ||
:<math>\hat{x}[n]=\sum_{1\leq k\leq K,m\in \mathbf{Z}^{2}}\langle x[n],\varphi_{k,m}[n] \rangle\psi_{k,m}[n]</math> | :<math>\hat{x}[n]=\sum_{1\leq k\leq K,m\in \mathbf{Z}^{2}}\langle x[n],\varphi_{k,m}[n] \rangle\psi_{k,m}[n]</math> | ||
यदि अपघटन और उसके बाद के पुनर्निर्माण में कोई हानि नहीं होती है तो फ़िल्टर बैंक को पूर्ण पुनर्निर्माण कहा जाता है। इस स्थिति में <math>x[n]=\hat{x[n]}</math> होता है<ref>{{cite book|last1=Mallat|first1=Stephane|title=A wavelet tour of signal processing: the sparse way|date=2008|publisher=Academic press}}</ref> आरेख मे n चैनलों के साथ एक सामान्य बहुआयामी फिल्टर बैंक और एक सामान्य प्रतिदर्श आव्यूह m दिखाता है। विश्लेषण भाग इनपुट संकेत <math>x[n]</math> को रूपांतरित करता है n निस्यंदक और निम्न निस्यंदक आउटपुट में <math>y_{j}[n],</math> <math>j=0,1,...,N-1</math> संश्लेषण भाग मूल संकेत <math>y_{j}[n]</math> को पुनः प्राप्त करता है | यदि अपघटन और उसके बाद के पुनर्निर्माण में कोई हानि नहीं होती है तो फ़िल्टर बैंक को पूर्ण पुनर्निर्माण कहा जाता है। इस स्थिति में <math>x[n]=\hat{x[n]}</math> होता है<ref>{{cite book|last1=Mallat|first1=Stephane|title=A wavelet tour of signal processing: the sparse way|date=2008|publisher=Academic press}}</ref> आरेख मे n चैनलों के साथ एक सामान्य बहुआयामी फिल्टर बैंक और एक सामान्य प्रतिदर्श आव्यूह m दिखाता है। विश्लेषण भाग इनपुट संकेत <math>x[n]</math> को रूपांतरित करता है n निस्यंदक और निम्न निस्यंदक आउटपुट में <math>y_{j}[n],</math> <math>j=0,1,...,N-1</math> संश्लेषण भाग मूल संकेत <math>y_{j}[n]</math> को पुनः प्राप्त करता है उच्च निस्यंदक और निम्न निस्यंदक द्वारा इस प्रकार के सेटअप का उपयोग कई अनुप्रयोगों में किया जाता है जैसे कि [[सबबैंड कोडिंग|उप बैंड कोडिंग]], बहु चैनल अधिग्रहण और [[तरंगिका रूपांतरित होती है|तरंग रूपांतरण]] मे किया जा सकता है। | ||
=== पुनर्निर्माण फ़िल्टर बैंक === | === पुनर्निर्माण फ़िल्टर बैंक === | ||
| Line 68: | Line 68: | ||
<math>x(z)\stackrel{\rm def}{=}(X_{0}(z),...,X_{|M|-1}(z))^{T} | <math>x(z)\stackrel{\rm def}{=}(X_{0}(z),...,X_{|M|-1}(z))^{T} | ||
</math> और <math>y(z)\stackrel{\rm def}{=}(Y_{0}(z),...,Y_{|N|-1}(z))^{T}.</math><br />तब | </math> और <math>y(z)\stackrel{\rm def}{=}(Y_{0}(z),...,Y_{|N|-1}(z))^{T}.</math><br />तब <math>y(z)=H(z)x(z)</math>, जहां <math>H_{i,j}(z)</math> निस्यंदक <math>H_{i}(z)</math> बहु-फेज घटक को दर्शाता है। इसी प्रकार आउटपुट संकेत के लिए <math>\hat{x}(z)=G(z)y(z)</math> प्राप्त होता है। | ||
जहाँ <math>\hat{x}(z)\stackrel{\rm def}{=}(\hat{X}_{0}(z),...,\hat{X}_{|M|-1}(z))^{T} | जहाँ <math>\hat{x}(z)\stackrel{\rm def}{=}(\hat{X}_{0}(z),...,\hat{X}_{|M|-1}(z))^{T} | ||
| Line 79: | Line 79: | ||
[[File:2D Filter Bank.jpg|thumb|right|2 डी फिल्टर बैंक]]1-डी फ़िल्टर बैंक आज तक अपेक्षाकृत रूप से विकसित हैं। हालांकि छवि, वीडियो, 3डी ध्वनि, रडार, सोनार यन्त्र जैसे कई संकेत बहुआयामी हैं और बहुआयामी फिल्टर बैंकों के डिजाइन की आवश्यकता होती है। | [[File:2D Filter Bank.jpg|thumb|right|2 डी फिल्टर बैंक]]1-डी फ़िल्टर बैंक आज तक अपेक्षाकृत रूप से विकसित हैं। हालांकि छवि, वीडियो, 3डी ध्वनि, रडार, सोनार यन्त्र जैसे कई संकेत बहुआयामी हैं और बहुआयामी फिल्टर बैंकों के डिजाइन की आवश्यकता होती है। | ||
संचार प्रौद्योगिकी के तीव्र विकास के साथ, संकेत प्रसंस्करण प्रणाली को प्रसंस्करण, संचार और अधिग्रहण के समय डेटा भंडारण करने के लिए अधिक स्थान की आवश्यकता होती है। संसाधित किए जाने वाले डेटा को कम करने, भंडारण को बचाने और जटिलता को कम करने के लिए इन लक्ष्यों को प्राप्त करने के लिए बहु-दर प्रतिदर्श तकनीकों को प्रस्तुत किया गया था। फ़िल्टर बैंकों का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जा सकता है, जैसे छवि कोडिंग, ध्वनि कोडिंग, रडार इत्यादि मे पूर्ण रूप से किया जा सकता है। | संचार प्रौद्योगिकी के तीव्र विकास के साथ, संकेत प्रसंस्करण प्रणाली को प्रसंस्करण, संचार और अधिग्रहण के समय डेटा भंडारण करने के लिए अधिक स्थान की आवश्यकता होती है। संसाधित किए जाने वाले डेटा को कम करने, भंडारण को बचाने और जटिलता को कम करने के लिए इन लक्ष्यों को प्राप्त करने के लिए बहु-दर प्रतिदर्श तकनीकों को प्रस्तुत किया गया था। फ़िल्टर बैंकों का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जा सकता है, जैसे छवि कोडिंग, ध्वनि कोडिंग, रडार इत्यादि मे पूर्ण रूप से किया जा सकता है। कई 1-डी फ़िल्टर समस्याओं का अच्छी तरह से अध्ययन किया गया और शोधकर्ताओं ने कई 1 डी फ़िल्टर बैंक डिज़ाइन दृष्टिकोण प्रस्तावित किए। लेकिन अभी भी कई बहुआयामी फ़िल्टर बैंक डिज़ाइन समस्याएं हैं जिन्हें हल करने की आवश्यकता है।<ref>Chen, Tsuhan, and P. P. Vaidyanathan. "[https://authors.library.caltech.edu/77978/1/00393803.pdf Considerations in multidimensional filter bank design]" IEEE International Symposium on Circuits and Systems, pp. 643–646., May, 1993.</ref> हो सकता है कि कुछ विधियाँ संकेत को अच्छी तरह से पुनर्निमित न करें और क्योकि कुछ विधियाँ जटिल और प्रयुक्त करने में कठिन होती हैं। | ||
एक बहु-आयामी फिल्टर बैंक को डिजाइन करने का सबसे सरल तरीका 1-डी फिल्टर बैंकों को एक ट्री संरचना के रूप में रूपांतरित करना है जहां आव्यूह विकर्ण है और डेटा को प्रत्येक आयाम में अलग से संसाधित किया जाता है। ऐसी प्रणालियों को वियोज्य प्रणालियों के रूप में संदर्भित किया जाता है। हालाँकि, फ़िल्टर बैंकों के लिए समर्थन का क्षेत्र वियोज्य नहीं हो सकता है। ऐसे में फिल्टर बैंक की डिजाइनिंग जटिल हो जाती है। अधिकांश स्थितियों में ये गैर-वियोज्य प्रणालियों से सम्बद्ध होते हैं। | |||
एक | एक फ़िल्टर बैंक में विश्लेषण चरण और संश्लेषण चरण होता है। प्रत्येक चरण में समानांतर में निस्यंदक का एक समूह होता है। फ़िल्टर बैंक डिज़ाइन विश्लेषण और संश्लेषण फ़ेज़ो में निस्यंदक का डिज़ाइन है। विश्लेषण फ़िल्टर एप्लिकेशन आवश्यकताओं के आधार पर संकेत को ओवरलैपिंग या गैर-ओवरलैपिंग उप बैंड में विभाजित करते हैं। जब इन निस्यंदक के आउटपुट को एक साथ सम्बद्ध किया जाता है तब संश्लेषण निस्यंदक को उप बैंड से इनपुट संकेत को फिर से बनाने के लिए डिज़ाइन किया जाना आवश्यक है प्रसंस्करण सामान्यतः विश्लेषण फेज़ के बाद किया जाता है। इन फ़िल्टर बैंकों को [[अनंत आवेग प्रतिक्रिया]] (आईआईआर) या [[परिमित आवेग प्रतिक्रिया]] (एफआईआर) के रूप में डिज़ाइन किया जा सकता है। आंकड़ा दर को कम करने के लिए निम्न निस्यंदक और उच्च निस्यंदक क्रमशः विश्लेषण और संश्लेषण चरणों में किए जाते हैं। | ||
===उपस्थित दृष्टिकोण === | |||
=== | |||
नीचे बहुआयामी फिल्टर बैंकों के डिजाइन पर कई दृष्टिकोण दिए गए हैं। अधिक जानकारी के लिए, कृपया मूल संदर्भ देखें। | नीचे बहुआयामी फिल्टर बैंकों के डिजाइन पर कई दृष्टिकोण दिए गए हैं। अधिक जानकारी के लिए, कृपया मूल संदर्भ देखें। | ||
=== बहुआयामी पूर्ण-पुनर्निर्माण फिल्टर बैंक === | === बहुआयामी पूर्ण-पुनर्निर्माण फिल्टर बैंक === | ||
जब विभाजित संकेत को वापस मूल संकेत में फिर से बनाना आवश्यक | जब विभाजित संकेत को वापस मूल संकेत में फिर से बनाना आवश्यक होता है तब पूर्ण-पुनर्निर्माण (पीआर) फ़िल्टर बैंकों का उपयोग किया जा सकता है। | ||
माना कि H(z) निस्यंदक का रूपांतरण कारक है। निस्यंदक के आकार को प्रत्येक आयाम में संबंधित बहुपद के क्रम के रूप में परिभाषित किया गया है। एक बहुपद की समरूपता या विरोधी-समरूपता संबंधित निस्यंदक की रैखिक चरण विधि निर्धारित करती है और इसके आकार से संबंधित होती है। 1डी स्थिति की तरह, 2 डी चैनल फ़िल्टर बैंक के लिए अपघटन A(z) और रूपांतरण कारक T(z) हैं:<ref>Zhang, Lei, and Anamitra Makur. "[https://link.springer.com/article/10.1007/s11045-008-0060-5 Multidimensional perfect reconstruction filter banks: an approach of algebraic geometry]." Multidimensional Systems and Signal Processing. Volume 20 Issue 1, pp. 3–24. Mar. 2009</ref> | |||
A('''z''')=1/2(H<sub>0</sub>(-'''z''') F<sub>0</sub> ('''z''')+H<sub>1</sub> (-'''z''') F<sub>1</sub> ('''z''')); T('''z''')=1/2(H<sub>0</sub> ('''z''') F<sub>0</sub> ('''z''')+H<sub>1</sub> ('''z''') F<sub>1</sub> ('''z''')), जहां H<sub>0</sub> और H<sub>1</sub> अपघटन निस्यंदक हैं, और F<sub>0</sub> और F<sub>1</sub> पुनर्निर्माण निस्यंदक हैं। | |||
यदि उपनाम शब्द समाप्त कर दिया गया है और T('''z''') एकपद के बराबर है तो इनपुट संकेत को पूरी तरह से पुनर्निर्मित किया जा सकता है। तो आवश्यक शर्त यह है कि T'(z) सामान्यतः सममित और विषम-दर और विषम आकार का होता है। | |||
छवि प्रसंस्करण के लिए रैखिक चरण पीआर निस्यंदक बहुत उपयोगी होते हैं। इसमे 2-डी चैनल फ़िल्टर बैंक प्रयुक्त करना अपेक्षाकृत आसान है। लेकिन कभी-कभी दो चैनल पर्याप्त नहीं होते हैं। बहु-चैनल फ़िल्टर बैंक उत्पन्न करने के लिए दो-चैनल फ़िल्टर बैंकों को सम्मिलित किया जा सकता है। | |||
=== बहुआयामी | ===बहुआयामी दिशात्मक सतह और फिल्टर बैंक === | ||
[[File:Multidimensional Analysis Filter Banks.jpg|thumb|right|बहुआयामी विश्लेषण फिल्टर बैंक]]M-आयामी दिशात्मक फिल्टर बैंक (एमडीएफबी) फिल्टर बैंकों का एक समूह है जो एक सरल और कुशल रैखिक संरचित निर्माण के साथ अपेक्षाकृत M-आयामी संकेत के दिशात्मक अपघटन को प्राप्त कर सकता है। इसमें कई विशिष्ट गुण हैं जैसे: दिशात्मक अपघटन, कुशल ट्री निर्माण, कोणीय विश्लेषण और पूर्ण पुनर्निर्माण सामान्य M-आयामी स्थिति मे एमडीएफबी के आदर्श आवृत्ति समर्थन अतिविम-आधारित हाइपरपिरामिड हैं। एमडीएफबी के लिए अपघटन का पहला स्तर एक n-चैनल अविचलित फिल्टर बैंक द्वारा प्राप्त किया जाता है जिसके घटक फिल्टर एम-डी "ऑवरग्लास"-आकार के फिल्टर हैं जो क्रमशः w<sub>1</sub>,...,w<sub>M</sub> अक्षों के साथ संरेखित होते हैं। उसके बाद, इनपुट संकेत को 2-डी पुनरावृत्त रूप से पुनः प्ररूपित किए गए शतरंज फलक फ़िल्टर बैंकों ''IRC<sub>li</sub>''<sup>(''Li'')</sup>(i=2,3,...,M) की एक श्रृंखला द्वारा और विघटित किया जाता है, जहां ''IRC<sub>li</sub>''<sup>(''Li'')</sup> 2-डी आयाम पर संचालित होता है। आयाम (n<sub>1</sub>,n<sub>i</sub>) और (Li) द्वारा दर्शाए गए इनपुट संकेत का अर्थ i<sup>th</sup> स्तर के फिल्टर बैंक के लिए अपघटन का स्तर है। ध्यान दें कि, दूसरे स्तर से प्रारम्भ करते हुए, हम पिछले स्तर से प्रत्येक आउटपुट चैनल में एक आईआरसी फ़िल्टर बैंक को संलग्न करते हैं और इसलिए फ़िल्टर में कुल 2<sup>(''L''<sub>1</sub>+...+''L''<sub>N</sub>)</sup> आउटपुट चैनल होते हैं।<ref>Lu, Yue M., and Minh N. Do. "[http://scholar.harvard.edu/files/yuelu/files/ndfb_surf.pdf Multidimensional directional filter banks and surfacelets]", IEEE Transactions on Image Processing. Volume 16 Issue 4, pp. 918–931. April, 2007</ref> | |||
=== बहुआयामी उच्च प्रतिदर्श फ़िल्टर बैंक === | |||
[[File:Multidimensional Synthesis Filter Banks.jpg|thumb|right|बहुआयामी संश्लेषण फ़िल्टर बैंक]] | [[File:Multidimensional Synthesis Filter Banks.jpg|thumb|right|बहुआयामी संश्लेषण फ़िल्टर बैंक]]उच्च प्रतिदर्श फ़िल्टर बैंक बहु-दर फ़िल्टर बैंक होते हैं जहाँ विश्लेषण चरण में आउटपुट प्रतिदर्श की संख्या इनपुट प्रतिदर्श की संख्या से बड़ी होती है। यह जटिल अनुप्रयोगों के लिए प्रस्तावित होते है। उच्च प्रतिदर्श बैंकों का एक विशेष वर्ग बिना निम्न निस्यंदक या उच्च निस्यंदक के गैर निस्यंदक फिल्टर बैंक है। एक उच्च प्रतिदर्श फ़िल्टर बैंक के लिए सही पुनर्निर्माण की स्थिति को बहु-फेज़ डोमेन में आव्यूह व्युत्क्रम समस्या के रूप में कहा जा सकता है।<ref name="Zhou">J. Zhou and M. N. Do, "[http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.94.7304&rep=rep1&type=pdf Multidimensional oversampled filter banks]" in Proc. SPIE Conf. Wavelet Applications Signal Image Processing XI, San Diego, CA, pp. 591424–1-591424-12, July 2005</ref> | ||
आईआईआर उच्च प्रतिदर्श फ़िल्टर बैंक के लिए, वोलोविच में सही पुनर्निर्माण का अध्ययन किया गया है<ref> | |||
Wolovich, William A. Linear multivariable systems. New York: Springer-Verlag, 1974. | Wolovich, William A. Linear multivariable systems. New York: Springer-Verlag, 1974. | ||
</ref> और कैलाथ।<ref> | </ref> और कैलाथ।<ref> | ||
| Line 120: | Line 111: | ||
</ref> | </ref> | ||
नियंत्रण सिद्धांत के संदर्भ में। जबकि एफआईआर ओवरसैंपल फिल्टर बैंक के लिए हमें 1-डी और एम-डी के लिए अलग-अलग रणनीति का इस्तेमाल करना होगा। | नियंत्रण सिद्धांत के संदर्भ में। जबकि एफआईआर ओवरसैंपल फिल्टर बैंक के लिए हमें 1-डी और एम-डी के लिए अलग-अलग रणनीति का इस्तेमाल करना होगा। | ||
एफआईआर निस्यंदक अधिक लोकप्रिय हैं क्योंकि इसे प्रयुक्त करना आसान है। 1-डी | |||