G2 (गणित)

गणित में, G₂ तीन सरल अपरिभाषित समूह (एक जटिल रूप, एक कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप और एक विभाजित वास्तविक रूप) का नाम है, उनके अपरिभाषिते बीजगणित ${\mathfrak {g}}_{2},$ साथ ही साथ कुछ बीजगणितीय समूह है। वे पाँच असाधारण सरल अपरिभाषित समूह में से सबसे छोटे हैं। G₂ का रैंक 2 और आयाम 14 है। इसके दो मौलिक प्रतिनिधित्व हैं, जिसमें आयाम 7 और 14 है।

G₂ का संक्षिप्त रूप को ऑक्टोनियन बीजगणितक ऑटोमोर्फिज्म समूह के रूप में वर्णित किया जा सकता है या, समतुल्य रूप से, SO(7) के उपसमूह के रूप में जो किसी भी चुने हुए विशेष वेक्टर को उसके 8-आयामी वास्तविक प्रतिनिधित्व spinor समूह प्रतिनिधित्व (एक स्पिन प्रतिनिधित्व) में संरक्षित करता है।

इतिहास

अपरिभाषित बीजगणित ${\mathfrak {g}}_{2}$, सबसे छोटा असाधारण साधारण अपरिभाषित बीजगणित होने के नाते, इनमें से सबसे पहले साधारण अपरिभाषित बीजगणित को वर्गीकृत करने के प्रयास में खोजा गया था। 23 मई, 1887 को, विल्हेम हत्या ने फ्रेडरिक एंगेल (गणितज्ञ) को एक पत्र लिखा था जिसमें कहा गया था कि उन्होंने एक 14-आयामी साधारण अपरिभाषित बीजगणित पाया है, जिसे अब हम कहते हैं ${\mathfrak {g}}_{2}$. 1893 में, एली कार्टन ने एक खुले सेट का वर्णन करते हुए एक नोट प्रकाशित किया । $\mathbb {C} ^{5}$ एक 2-आयामी वितरण (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) से सुसज्जित है - अर्थात्, जो स्पर्शरेखा स्थान के 2-आयामी उप-स्थानों का सुचारू रूप से भिन्न क्षेत्र है - जिसके लिए लाई बीजगणित ${\mathfrak {g}}_{2}$ अतिसूक्ष्म सममिति के रूप में प्रकट होता है। उसी वर्ष, उसी पत्रिका में, एंगेल ने भी इसी बात पर ध्यान दिया। बाद में यह पता चला कि 2-आयामी वितरण एक गेंद को दूसरी गेंद पर लुढ़कने से निकटता से संबंधित है। रोलिंग बॉल के विन्यास का स्थान 5-आयामी है, जिसमें 2-आयामी वितरण के साथ जो गेंद की गति का वर्णन करता है जहां यह फिसले या मुड़े बिना लुढ़कता है। 1900 में, एंगेल ने पाया कि 7-आयामी जटिल सदिश स्थान पर एक सामान्य एंटीसिमेट्रिक ट्रिलिनियर फॉर्म (या 3-फॉर्म) G₂ के जटिल रूप के लिए एक समूह आइसोमोर्फिक द्वारा संरक्षित है। 1908 में कार्टन ने उल्लेख किया कि ऑक्टोनियंस का ऑटोमोर्फिज़्म समूह एक 14-आ*यामी सरल अपरिभाषित समूह है। 1914 में उन्होंने कहा कि यह G₂का सघन वास्तविक रूप है। पुरानी किताबों और पत्रों में, G₂ को कभी-कभी E₂ द्वारा निरूपित किया जाता है।

वास्तविक रूप

इस रूट प्रणाली से जुड़े 3 सरल वास्तविक लाई बीजगणित हैं:

• जटिल लाई बीजगणित G₂ के अंतर्निहित वास्तविक लाई बीजगणित काआयाम 28 है। इसमें बाहरी ऑटोमोर्फिज्म के रूप में जटिल संयुग्मन है और यह बस जुड़ा हुआ है। इसके संबंधित समूह का अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह G₂ का कॉम्पैक्ट रूप है।
• सघन रूप का अपरिभाषित बीजगणित 14-आयामी है। संबद्ध लाई समूह का कोई बाहरी ऑटोमोर्फिज्म नहीं है, कोई केंद्र नहीं है, और यह केवल जुड़ा हुआ है और कॉम्पैक्ट है।
• गैर-कॉम्पैक्ट (विभाजित) रूप के लाई बीजगणित का आयाम 14 है। संबद्ध सरल लाई समूह में क्रम 2 का मौलिक समूह है और इसका बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह तुच्छ समूह है। इसका अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह है SU(2) × SU(2)/(−1,−1) है। इसमें एक गैर-बीजीय दोहरा आवरण है जो कि केवल जुड़ा हुआ है।

बीजगणित

डाइकिन आरेख और कार्टन मैट्रिक्स

G₂ के लिए डायनकिन आरेख द्वारा दिया गया है: .

इसका कार्टन मैट्रिक्स है:

$\left[{\begin{array}{rr}2&-3\\-1&2\end{array}}\right]$

जी₂ के मूल

2 आयामों में G2 की 12 सदिश root system (मूल प्रणाली)।

cuboctahedron (क्यूबोक्टाहेड्रोन) के 12 शीर्षों के A2 Coxeter plane (कॉक्सेटर समतल) प्रक्षेपण में समान 2D सदिश व्यवस्था होती है।

F4 और E8 के उपसमूह के रूप में G2 का ग्राफ कॉक्सेटर विमान में प्रक्षेपित किया गया।

के लिए सरल मूलों का एक सेट सीधे ऊपर दिए गए कार्टन मैट्रिक्स से सीधे पढ़ा जा सकता है। ये (2,−3) और (−1, 2) हैं, हालांकि उन लोगों द्वारा स्पैन किए गए पूर्णांक जाली ऊपर चित्रित नहीं है (स्पष्ट कारण से: विमान पर हेक्सागोनल जाली को पूर्णांक वैक्टर द्वारा उत्पन्न नहीं किया जा सकता है)।ऊपर दिया गया आरेख एक अलग जोड़ी मूलों से प्राप्त किया जाता है: $\alpha =\left({\sqrt {2}},0\right)$ और ${\textstyle \beta =\left({\sqrt {2}}\cos {\frac {5\pi }{6}},\sin {\frac {5\pi }{6}}\right)={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {6}},1\right)}$. शेष धनात्मक मूलें |

शेष (धनात्मक) मूल हैं A = α + β, B = 3α + β, α + A = 2α + β, और A + B = 3α + 2β । हालांकि वे एक 2-आयामी स्थान को रैखिक रूप से फैले हुए हैं, जैसा कि खींचा गया है, यह त्रि-आयामी अंतरिक्ष के 2-आयामी उप-स्थान में सदिश स्थल के रूप में विचार करने के लिए अधिक सममित है। इस पहचान में α e₁−e₂, β से −e₁ + 2e₂−e₃, A से e₂−e₃ और इसी तरह से मेल खाता है। यूक्लिडियन निर्देशांक में ये वैक्टर इस प्रकार दिखते हैं:

(1,−1,0), (−1,1,0) (1,0,−1), (−1,0,1) (0,1,−1), (0,−1,1)

(2,−1,−1), (−2,1,1) (1,−2,1), (−1,2,−1) (1,1,−2), (−1,−1,2)

सरल मूलों का संगत सेट है:

e₁−e₂ = (1,−1,0), और −e₁+2e₂−e₃ = (−1,2,−1)

नोट: α और A मिलकर Root_system#An|A₂ के लिए रूट सिस्टम समान बनाते हैं, जबकि β और B द्वारा गठित सिस्टम Root_system#An|A₂ के लिए आइसोमॉर्फिक है।

वेइल/कॉक्सेटर समूह

इसका वेइल समूह / कॉक्सेटर समूह समूह $G=W(G_{2})$ डायहेड्रल समूह है $D_{6}$ Coxeter group#Properties 12. इसमें न्यूनतम वफादार डिग्री है $\mu (G)=5$.

विशेष पवित्रता

G₂ संभावित विशेष समूहों में से एक है जो एक रिमेंनियन मीट्रिक के holonomi (समग्र)समूह के रूप में प्रकट हो सकता है। G के कई गुना₂ होलोनॉमी को G₂ मैनिफोल्ड भी कहा जाता है।

बहुपद अपरिवर्तनीय

जी₂ 7 गैर-विनिमेय चरों में निम्नलिखित दो बहुपदों का ऑटोमोर्फिज्म समूह है।

$C_{1}=t^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}$

$C_{2}=tuv+wtx+ywu+zyt+vzw+xvy+uxz$ (± क्रमपरिवर्तन)

जो ऑक्टोनियन बीजगणित से आता है। चर गैर-कम्यूटेटिव होना चाहिए अन्यथा दूसरा बहुपद समान रूप से शून्य होगा।

जेनरेटर

गुणांक ए, ..., एन के साथ 14 जेनरेटर का प्रतिनिधित्व जोड़ना मैट्रिक्स देता है:

$A\lambda _{1}+\cdots +N\lambda _{14}={\begin{bmatrix}0&C&-B&E&-D&-G&F-M\\-C&0&A&F&-G+N&D-K&-E-L\\B&-A&0&-N&M&L&-K\\-E&-F&N&0&-A+H&-B+I&C-J\\D&G-N&-M&A-H&0&J&I\\G&K-D&-L&B-I&-J&0&-H\\-F+M&E+L&K&-C+J&-I&H&0\end{bmatrix}}$

यह बिल्कुल समूह का अपरिभाषित बीजगणित है

$G_{2}=\{g\in SO(7):g^{*}\varphi =\varphi ,\varphi =\omega ^{123}+\omega ^{145}+\omega ^{167}+\omega ^{246}-\omega ^{257}-\omega ^{347}-\omega ^{356}\}$

प्रतिनिधित्व

वास्तविक और जटिल अपरिभाषित बीजगणित और लाई (अपरिभाषित) समूहों के परिमित-आयामी अभ्यावेदन के वर्ण वेइल वर्ण सूत्र द्वारा दिए गए हैं। सबसे छोटे अलघुकरणीय अभ्यावेदन के आयाम हैं (sequence A104599 in the OEIS):

1, 7, 14, 27, 64, 77 (दो बार), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (दो बार), 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (दो बार), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 1156, 11648 .

14-आयामी प्रतिनिधित्व अपरिभाषित बीजगणित का आसन्न प्रतिनिधित्व है, और 7-आयामी प्रतिनिधित्व काल्पनिक ऑक्टोनियंस पर G₂ की क्रिया है।

आयाम 77, 2079, 4928, 30107, आदि के दो गैर-आइसोमॉर्फिक इर्रेड्यूबल निरूपण हैं। मौलिक प्रतिनिधित्व वे हैं जो आयाम 14 और 7 के साथ हैं (डाइनकिन आरेख में दो नोड्स के अनुसार इस क्रम में कि ट्रिपल तीर बिंदु पहले से दूसरे तक इंगित करता है)।

Vogan (1994) ने G₂ के विभाजित वास्तविक रूप के (अनंत-आयामी) एकात्मक इरेड्यूसबल निरूपण का वर्णन किया ।

परिमित समूह

समूह G₂(q) परिमित क्षेत्र Fq बीजगणितीय समूह G₂ के बिंदु हैं । इन परिमित समूहों को सर्वप्रथम लियोनार्ड यूजीन डिक्सन Dickson (1901) विषम q के लिए Dickson (1905) के लिए सम q के लिए पेश किया गया था। G₂ (q) की कोटि q⁶(q⁶ − 1)(q² − 1) है। जब q ≠ 2, समूह सरल समूह है, और जब q = 2 होता है, तो इसमें 2A₂(32) के सूचकांक 2 आइसोमॉर्फिक का एक सरल उपसमूह होता है, और ऑक्टोनियंस के एक अधिकतम क्रम का ऑटोमोर्फिज्म समूह होता है। जांको समूह J₂ का निर्माण सबसे पहले G₂(11) के उपसमूह के रूप में किया गया था।Ree (1960) (1960) ने q = 3²ⁿ⁺¹, 3 की एक विषम शक्ति के लिए आदेश q³(q³ + 1)(q − 1)के मुड़ री समूह 2 G₂(q) की शुरुआत की।

यह भी देखें

• कार्टन मैट्रिक्स
• डनकिन आरेख
• असाधारण जॉर्डन बीजगणित
• मौलिक प्रतिनिधित्व
• जी2-संरचना|जी₂-संरचना
• अपरिभाषित समूह
• सात आयामी क्रॉस उत्पाद
• सरल अपरिभाषित समूह

संदर्भ

• Adams, J. Frank (1996), Lectures on exceptional Lie groups, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-00526-3, MR 1428422
• Baez, John (2002), "The Octonions", Bull. Amer. Math. Soc., 39 (2): 145–205, arXiv:math/0105155, doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X, S2CID 586512.

See section 4.1: G₂; an online HTML version of which is available at http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node14.html.

• Bryant, Robert (1987), "Metrics with Exceptional Holonomy", Annals of Mathematics, 2, 126 (3): 525–576, doi:10.2307/1971360, JSTOR 1971360
• Dickson, Leonard Eugene (1901), "Theory of Linear Groups in An Arbitrary Field", Transactions of the American Mathematical Society, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2 (4): 363–394, doi:10.1090/S0002-9947-1901-1500573-3, ISSN 0002-9947, JSTOR 1986251, Reprinted in volume II of his collected papers Leonard E. Dickson reported groups of type G₂ in fields of odd characteristic.
• Dickson, L. E. (1905), "A new system of simple groups", Math. Ann., 60: 137–150, doi:10.1007/BF01447497, S2CID 179178145 Leonard E. Dickson reported groups of type G₂ in fields of even characteristic.
• Ree, Rimhak (1960), "A family of simple groups associated with the simple Lie algebra of type (G₂)", Bulletin of the American Mathematical Society, 66 (6): 508–510, doi:10.1090/S0002-9904-1960-10523-X, ISSN 0002-9904, MR 0125155
• Vogan, David A. Jr. (1994), "The unitary dual of G₂", Inventiones Mathematicae, 116 (1): 677–791, Bibcode:1994InMat.116..677V, doi:10.1007/BF01231578, ISSN 0020-9910, MR 1253210, S2CID 120845135