किनारा (ज्यामिति): Difference between revisions
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== रेखांकन में किनारों से संबंध == | == रेखांकन में किनारों से संबंध == | ||
[[ग्राफ सिद्धांत|रेखांकन सिद्धांत]] में, एक किनारा (रेखांकन थ्योरी) | [[ग्राफ सिद्धांत|रेखांकन सिद्धांत]] में, एक किनारा (रेखांकन थ्योरी) अमूर्त वस्तु है जो दो कोने (रेखांकन थ्योरी) को जोड़ती है, बहुभुज और बहुफलक किनारों के विपरीत, जिसमें रेखा खंड के रूप में ठोस ज्यामितीय प्रतिनिधित्व होता है। सामन्यतः, किसी भी बहुफलक को उसके [[ एन-कंकाल |n- रूपरेखा]] या किनारा-रूपरेखा द्वारा दर्शाया जा सकता है, एक ग्राफ जिसके कोने बहुफलक के ज्यामितीय कोने हैं और जिनके किनारे ज्यामितीय किनारों के अनुरूप हैं।<ref>{{citation|title=Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination|first=Marjorie|last=Senechal|author-link=Marjorie Senechal|publisher=Springer|year=2013|isbn=9780387927145|page=81|url=https://books.google.com/books?id=kZtCAAAAQBAJ&pg=PA81}}.</ref> इसके विपरीत, रेखांकन जो त्रि-आयामी बहुकोणीय के रूपरेखा हैं, स्टीनिट्ज़ को प्रमेय द्वारा 3-शीर्षक-संयुक्त समतल रेखांकन के रूप में वर्णित किया जा सकता है।<ref>{{citation | ||
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जहाँ V शीर्ष (ज्यामिति) की संख्या है, E किनारों की संख्या है, और F फलक (ज्यामिति) की संख्या है। इस समीकरण को यूलर के बहुफलक सूत्र के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार किनारों की संख्या शीर्षों और फलकों की संख्या के योग से 2 कम है। उदाहरण के लिए, | जहाँ V शीर्ष (ज्यामिति) की संख्या है, E किनारों की संख्या है, और F फलक (ज्यामिति) की संख्या है। इस समीकरण को यूलर के बहुफलक सूत्र के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार किनारों की संख्या शीर्षों और फलकों की संख्या के योग से 2 कम है। उदाहरण के लिए, [[घन (ज्यामिति)]] में 8 शीर्ष और 6 फलक होते हैं, और इसलिए 12 किनारे होते हैं। | ||
== अन्य मुख के साथ घटना == | == अन्य मुख के साथ घटना == | ||
एक बहुभुज में, दो किनारे प्रत्येक शीर्ष (ज्यामिति) पर मिलते हैं; अधिक सामान्यतः, बालिंस्की प्रमेय द्वारा, कम से कम d किनारे एक d-आयामी उत्तल | एक बहुभुज में, दो किनारे प्रत्येक शीर्ष (ज्यामिति) पर मिलते हैं; अधिक सामान्यतः, बालिंस्की प्रमेय द्वारा, कम से कम d किनारे एक d-आयामी उत्तल बहुतलीय के प्रत्येक शीर्ष पर मिलते हैं।<ref>{{citation|title=On the graph structure of convex polyhedra in ''n''-space|first=M. L.|last=Balinski|author-link=Michel Balinski|journal=Pacific Journal of Mathematics|volume=11|issue=2|year=1961|pages=431–434|mr=0126765|url=http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103037323|doi=10.2140/pjm.1961.11.431|doi-access=free}}.</ref> इसी तरह, बहुफलक में, ठीक दो द्वि-आयामी फलक प्रत्येक किनारे पर मिलते हैं,<ref>{{citation|title=Polyhedron Models|first=Magnus J.|last=Wenninger|publisher=Cambridge University Press|year=1974|isbn=9780521098595|page=1|url=https://books.google.com/books?id=N8lX2T-4njIC&pg=PA1}}.</ref> जबकि उच्च आयामी बहुतलीय में तीन या अधिक द्वि-आयामी कोने हर किनारे पर मिलते हैं। | ||
== वैकल्पिक शब्दावली == | == वैकल्पिक शब्दावली == | ||
उच्च-आयामी उत्तल | उच्च-आयामी उत्तल बहुतलीय के सिद्धांत में, डी-आयामी पॉलीटॉप का पहलू या पक्ष (डी - 1) में से एक है, एक [[रिज (ज्यामिति)]] (d− 2)-आयामी है शिखर (ज्यामिति) (d − 3)-आयामी विशेषता है। इस प्रकार, बहुभुज के किनारे इसके पहलू हैं, एक 3-आयामी उत्तल बहुफलक के किनारे इसकी लकीरें हैं, और [[4-पॉलीटॉप|4- बहुतलीय]] के किनारे 4-आयामी बहुतलीय इसके शिखर हैं।<ref>{{citation | ||
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Latest revision as of 15:46, 16 March 2023
A polygon is bounded by edges; this square has 4 edges.
Every edge is shared by two faces in a polyhedron, like this cube.
Every edge is shared by three or more faces in a 4-polytope, as seen in this projection of a tesseract.
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ज्यामिति में, एक किनारा विशेष प्रकार का रेखा खंड होता है जो बहुभुज, बहुफलक या उच्च-आयामी बहुतलीय में दो शीर्ष (ज्यामिति) को जोड़ता है।[1] बहुभुज में, किनारा सीमा पर एक रेखा खंड होता है,[2] और इसे बहुधा बहुभुज भुजा कहा जाता है। बहुफलक या अधिक सामान्यतः बहुतलीय में, एक किनारा रेखा खंड होता है जहां दो कोने (ज्यामिति) (या बहुफलक पक्ष) मिलते हैं।[3] आंतरिक या बाहरी से निकलते हुए दो शीर्षों को जोड़ने वाला खंड एक किनारा नहीं है,किंतु इसे विकर्ण कहा जाता है।
रेखांकन में किनारों से संबंध
रेखांकन सिद्धांत में, एक किनारा (रेखांकन थ्योरी) अमूर्त वस्तु है जो दो कोने (रेखांकन थ्योरी) को जोड़ती है, बहुभुज और बहुफलक किनारों के विपरीत, जिसमें रेखा खंड के रूप में ठोस ज्यामितीय प्रतिनिधित्व होता है। सामन्यतः, किसी भी बहुफलक को उसके n- रूपरेखा या किनारा-रूपरेखा द्वारा दर्शाया जा सकता है, एक ग्राफ जिसके कोने बहुफलक के ज्यामितीय कोने हैं और जिनके किनारे ज्यामितीय किनारों के अनुरूप हैं।[4] इसके विपरीत, रेखांकन जो त्रि-आयामी बहुकोणीय के रूपरेखा हैं, स्टीनिट्ज़ को प्रमेय द्वारा 3-शीर्षक-संयुक्त समतल रेखांकन के रूप में वर्णित किया जा सकता है।[5]
उत्तल बहुफलक में किनारों की संख्या
और उत्तल बहुफलकसतह यूलर विशेषता है
जहाँ V शीर्ष (ज्यामिति) की संख्या है, E किनारों की संख्या है, और F फलक (ज्यामिति) की संख्या है। इस समीकरण को यूलर के बहुफलक सूत्र के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार किनारों की संख्या शीर्षों और फलकों की संख्या के योग से 2 कम है। उदाहरण के लिए, घन (ज्यामिति) में 8 शीर्ष और 6 फलक होते हैं, और इसलिए 12 किनारे होते हैं।
अन्य मुख के साथ घटना
एक बहुभुज में, दो किनारे प्रत्येक शीर्ष (ज्यामिति) पर मिलते हैं; अधिक सामान्यतः, बालिंस्की प्रमेय द्वारा, कम से कम d किनारे एक d-आयामी उत्तल बहुतलीय के प्रत्येक शीर्ष पर मिलते हैं।[6] इसी तरह, बहुफलक में, ठीक दो द्वि-आयामी फलक प्रत्येक किनारे पर मिलते हैं,[7] जबकि उच्च आयामी बहुतलीय में तीन या अधिक द्वि-आयामी कोने हर किनारे पर मिलते हैं।
वैकल्पिक शब्दावली
उच्च-आयामी उत्तल बहुतलीय के सिद्धांत में, डी-आयामी पॉलीटॉप का पहलू या पक्ष (डी - 1) में से एक है, एक रिज (ज्यामिति) (d− 2)-आयामी है शिखर (ज्यामिति) (d − 3)-आयामी विशेषता है। इस प्रकार, बहुभुज के किनारे इसके पहलू हैं, एक 3-आयामी उत्तल बहुफलक के किनारे इसकी लकीरें हैं, और 4- बहुतलीय के किनारे 4-आयामी बहुतलीय इसके शिखर हैं।[8]
यह भी देखें
संदर्भ
- ↑ Ziegler, Günter M. (1995), Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 152, Springer, Definition 2.1, p. 51, ISBN 9780387943657.
- ↑ Weisstein, Eric W. "Polygon Edge." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PolygonEdge.html
- ↑ Weisstein, Eric W. "Polytope Edge." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PolytopeEdge.html
- ↑ Senechal, Marjorie (2013), Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination, Springer, p. 81, ISBN 9780387927145.
- ↑ Pisanski, Tomaž; Randić, Milan (2000), "Bridges between geometry and graph theory", in Gorini, Catherine A. (ed.), Geometry at work, MAA Notes, vol. 53, Washington, DC: Math. Assoc. America, pp. 174–194, MR 1782654. See in particular Theorem 3, p. 176.
- ↑ Balinski, M. L. (1961), "On the graph structure of convex polyhedra in n-space", Pacific Journal of Mathematics, 11 (2): 431–434, doi:10.2140/pjm.1961.11.431, MR 0126765.
- ↑ Wenninger, Magnus J. (1974), Polyhedron Models, Cambridge University Press, p. 1, ISBN 9780521098595.
- ↑ Seidel, Raimund (1986), "Constructing higher-dimensional convex hulls at logarithmic cost per face", Proceedings of the Eighteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '86), pp. 404–413, doi:10.1145/12130.12172, S2CID 8342016.
