तत्समक आव्यूह: Difference between revisions

Revision as of 11:13, 4 March 2023

रैखिक बीजगणित में, आकार $n$ का तत्समक आव्यूह मुख्य विकर्ण पर एकल के साथ $n\times n$ वर्ग आव्यूह है और कहीं और शून्य है।

शब्दावली और अंकन

तत्समक आव्यूह को प्रायः $I_{n}$ , या मात्र $I$ द्वारा निरूपित किया जाता है यदि आकार अनावश्यक है या संदर्भ द्वारा तुच्छ रूप से निर्धारित किया जा सकता है।^[1]

I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \dots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.

इकाई आव्यूह शब्द का भी व्यापक रूप से उपयोग किया गया है,^[2]^[3]^[4]^[5] परन्तु तत्समक आव्यूह शब्द अब मानक है।^[6] इकाई आव्यूह शब्द अस्पष्ट है, क्योंकि इसका उपयोग एकल आव्यूह के लिए और आव्यूह वलय

n\times n

आव्यूह की किसी भी इकाई (वलय सिद्धांत) के लिए भी किया जाता है।^[7]

कुछ क्षेत्रों में, जैसे समूह सिद्धांत या क्वांटम यांत्रिकी, तत्समक आव्यूह को कभी-कभी मोटी छपाई एक, $\mathbf {1}$ , या "आईडी"(तत्समक के लिए संक्षिप्त) द्वारा दर्शाया जाता है। अल्प प्रायः, कुछ गणित की पुस्तकें तत्समक आव्यूह का प्रतिनिधित्व करने के लिए $U$ या $E$ उपयोग करती हैं जो क्रमशः "इकाई आव्यूह" ^[2]और जर्मन शब्द "ईइनहाइट्समैट्रिक्स" के पक्ष में होता है ।^[8]

एक अंकन के संदर्भ में जिसे कभी-कभी विकर्ण आव्यूह का संक्षेप में वर्णन करने के लिए प्रयोग किया जाता है, तत्समक आव्यूह को इस रूप में लिखा जा सकता है

I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1).

तत्समक आव्यूह को क्रोनकर डेल्टा अंकन का उपयोग करके भी लिखा जा सकता है:^[8]

(I_{n})_{ij}=\delta _{ij}.

गुण

जहाँ $A$ एक $m\times n$ आव्यूह, यह आव्यूह गुणन का एक गुण है कि

I_{m}A=AI_{n}=A.

विशेष रूप से, तत्समक आव्यूह सभी

n\times n

आव्यूहों के आव्यूह वलय की गुणात्मक तत्समक के रूप में कार्य करता है मैट्रिसेस, और सामान्य रैखिक समूह के तत्समक तत्व के रूप में

GL(n)

, जिसमें सभी व्युत्क्रम आव्यूह सम्मिलित हैं

n\times n

आव्यूह गुणा ऑपरेशन के तहत आव्यूह। विशेष रूप से, तत्समक आव्यूह व्युत्क्रम है। यह एक अनैच्छिक आव्यूह है, जो अपने व्युत्क्रम के बराबर है। इस समूह में, दो वर्ग आव्यूह में उनके उत्पाद के रूप में तत्समक आव्यूह होता है, जब वे एक दूसरे के व्युत्क्रम होते हैं।

जहाँ $n\times n$ मेट्रिसेस का उपयोग एक से रैखिक परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है $n$ स्वयं के लिए आयामी सदिश स्थान, तत्समक आव्यूह $I_{n}$ इस प्रतिनिधित्व में जो भी आधार (रैखिक बीजगणित) का उपयोग किया गया था, उसके लिए तत्समक समारोह का प्रतिनिधित्व करता है। $i$ वें> एक तत्समक आव्यूह का स्तंभ इकाई वेक्टर है $e_{i}$ , एक वेक्टर जिसका $i$ वीं प्रविष्टि 1 और 0 कहीं और है। तत्समक आव्यूह का निर्धारक 1 है, और इसका निशान (रैखिक बीजगणित) है $n$ .

तत्समक आव्यूह गैर-शून्य निर्धारक वाला एकमात्र idempotent आव्यूह है। अर्थात्, यह एकमात्र ऐसा आव्यूह है जो:

जब स्वयं से गुणा किया जाता है, तो परिणाम स्वयं ही होता है
इसकी सभी पंक्तियाँ और स्तंभ रैखिक स्वतंत्रता हैं।

किसी उदासीन आव्यूह के आव्यूह का वर्गमूल स्वयं होता है, और यह इसका एकमात्र धनात्मक-निश्चित आव्यूह|सकारात्मक-निश्चित वर्गमूल होता है। हालाँकि, कम से कम दो पंक्तियों और स्तंभों वाले प्रत्येक तत्समक आव्यूह में सममित वर्गमूलों की अनंतता होती है।^[9] एक तत्समक आव्यूह का रैंक (रैखिक बीजगणित)। $I_{n}$ आकार के बराबर है $n$ , अर्थात:

rank (I_{n})

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

@@ Line 28: / Line 28: @@
 इकाई आव्यूह शब्द का भी व्यापक रूप से उपयोग किया गया है,<ref name=pipes>{{cite book |title=इंजीनियरिंग के लिए मैट्रिक्स तरीके|series=Prentice-Hall International Series in Applied Mathematics |first=Louis Albert |last=Pipes |publisher=Prentice-Hall |year=1963 |page=91 |url=https://books.google.com/books?id=rJNRAAAAMAAJ&pg=PA91 }}</ref><ref>[[Roger Godement]], ''Algebra'', 1968.</ref><ref>[[ISO 80000-2]]:2009.</ref><ref>[[Ken Stroud]], ''Engineering Mathematics'', 2013.</ref> परन्तु तत्समक आव्यूह शब्द अब मानक है।<ref>[[ISO 80000-2]]:2019.</ref> इकाई आव्यूह शब्द अस्पष्ट है, क्योंकि इसका उपयोग एकल आव्यूह के लिए और आव्यूह वलय  <math>n\times n</math> आव्यूह की किसी भी इकाई (वलय सिद्धांत) के लिए भी किया जाता है।<ref>{{Cite web| last=Weisstein|first=Eric W.| title=यूनिट मैट्रिक्स|url=https://mathworld.wolfram.com/UnitMatrix.html|access-date=2021-05-05| website=mathworld.wolfram.com| language=en}}</ref>
-कुछ क्षेत्रों में, जैसे [[समूह सिद्धांत]] या [[क्वांटम यांत्रिकी]], तत्समक आव्यूह को कभी-कभी  मोटी छपाई एक, <math>\mathbf{1}</math>, या "आईडी"(तत्समक के लिए संक्षिप्त) द्वारा दर्शाया जाता है।  अल्प प्रायः, कुछ गणित की पुस्तकें तत्समक आव्यूह का प्रतिनिधित्व करने के लिए <math>U</math> या <math>E</math> उपयोग करती हैं  जो क्रमशः "इकाई आव्यूह" <ref name="pipes" />और जर्मन शब्द {{lang|de|ईइनहाइट्समैट्रिक्स }} के पक्ष में  होता है ।<ref name=":0">{{Cite web| last=Weisstein|first=Eric W.|title=शिनाख्त सांचा| url=https://mathworld.wolfram.com/IdentityMatrix.html|access-date=2020-08-14 | website=mathworld.wolfram.com | language=en}}</ref>
+कुछ क्षेत्रों में, जैसे [[समूह सिद्धांत]] या [[क्वांटम यांत्रिकी]], तत्समक आव्यूह को कभी-कभी  मोटी छपाई एक, <math>\mathbf{1}</math>, या "आईडी"(तत्समक के लिए संक्षिप्त) द्वारा दर्शाया जाता है।  अल्प प्रायः, कुछ गणित की पुस्तकें तत्समक आव्यूह का प्रतिनिधित्व करने के लिए <math>U</math> या <math>E</math> उपयोग करती हैं  जो क्रमशः "इकाई आव्यूह" <ref name="pipes" />और जर्मन शब्द "{{lang|de|ईइनहाइट्समैट्रिक्स }}" के पक्ष में  होता है ।<ref name=":0">{{Cite web| last=Weisstein|first=Eric W.|title=शिनाख्त सांचा| url=https://mathworld.wolfram.com/IdentityMatrix.html|access-date=2020-08-14 | website=mathworld.wolfram.com | language=en}}</ref>
 एक अंकन के संदर्भ में जिसे कभी-कभी [[विकर्ण मैट्रिक्स|विकर्ण]] आव्यूह का संक्षेप में वर्णन करने के लिए प्रयोग किया जाता है, तत्समक आव्यूह को इस रूप में लिखा जा सकता है
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 जहाँ <math>A</math> एक <math>m\times n</math> आव्यूह, यह [[मैट्रिक्स गुणन|आव्यूह गुणन]] का एक गुण है कि
 <math display=block>I_m A = A I_n = A.</math>
-विशेष रूप से, तत्समक आव्यूह सभी के [[मैट्रिक्स रिंग|आव्यूह वलय]] की गुणात्मक तत्समक के रूप में कार्य करता है <math>n\times n</math> मैट्रिसेस, और [[सामान्य रैखिक समूह]] के [[पहचान तत्व|तत्समक तत्व]] के रूप में <math>GL(n)</math>, जिसमें सभी [[उलटा मैट्रिक्स|उलटा]] आव्यूह शामिल हैं <math>n\times n</math> आव्यूह गुणा ऑपरेशन के तहत आव्यूह। विशेष रूप से, तत्समक आव्यूह उलटा है। यह एक [[अनैच्छिक मैट्रिक्स|अनैच्छिक]] आव्यूह है, जो अपने व्युत्क्रम के बराबर है। इस समूह में, दो वर्ग आव्यूह में उनके उत्पाद के रूप में तत्समक आव्यूह होता है, जब वे एक दूसरे के व्युत्क्रम होते हैं।
+विशेष रूप से, तत्समक आव्यूह सभी  <math>n\times n</math> आव्यूहों के [[मैट्रिक्स रिंग|आव्यूह वलय]] की गुणात्मक तत्समक के रूप में कार्य करता है मैट्रिसेस, और [[सामान्य रैखिक समूह]] के [[पहचान तत्व|तत्समक तत्व]] के रूप में <math>GL(n)</math>, जिसमें सभी [[उलटा मैट्रिक्स|व्युत्क्रम]] आव्यूह सम्मिलित हैं <math>n\times n</math> आव्यूह गुणा ऑपरेशन के तहत आव्यूह। विशेष रूप से, तत्समक आव्यूह व्युत्क्रम है। यह एक [[अनैच्छिक मैट्रिक्स|अनैच्छिक]] आव्यूह है, जो अपने व्युत्क्रम के बराबर है। इस समूह में, दो वर्ग आव्यूह में उनके उत्पाद के रूप में तत्समक आव्यूह होता है, जब वे एक दूसरे के व्युत्क्रम होते हैं।
 जहाँ <math>n\times n</math> मेट्रिसेस का उपयोग एक से [[रैखिक परिवर्तन]]ों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है <math>n</math>स्वयं के लिए आयामी सदिश स्थान, तत्समक आव्यूह <math>I_n</math> इस प्रतिनिधित्व में जो भी [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] का उपयोग किया गया था, उसके लिए [[पहचान समारोह|तत्समक समारोह]] का प्रतिनिधित्व करता है। <math>i</math>वें> एक तत्समक आव्यूह का स्तंभ [[इकाई वेक्टर]] है <math>e_i</math>, एक वेक्टर जिसका <math>i</math>वीं प्रविष्टि 1 और 0 कहीं और है। तत्समक आव्यूह का निर्धारक 1 है, और इसका निशान (रैखिक बीजगणित) है <math>n</math>.

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