गॉसियन फलन

"Gaussian curve" redirects here. For the band, see Gaussian Curve (band).

गणित में, एक गॉसियन फ़ंक्शन, जिसे अक्सर गॉसियन के रूप में संदर्भित किया जाता है, आधार रूप का एक फ़ंक्शन (गणित) होता है

$$f(x)=\exp(-x^{2})$$

और पैरामीट्रिक एक्सटेंशन के साथ

$$f(x)=a\exp \left(-{\frac {(x-b)^{2}}{2c^{2}}}\right)$$

मनमाना वास्तविक संख्या स्थिरांक के लिए a, b और गैर शून्य c. इसका नाम गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस के नाम पर रखा गया है। गाऊसी के एक समारोह का ग्राफ एक विशिष्ट सममित सामान्य वितरण आकार है। पैरामीटर a वक्र के शिखर की ऊंचाई है, b चोटी के केंद्र की स्थिति है, और c (मानक विचलन, जिसे कभी-कभी गॉसियन रूट माध्य वर्ग चौड़ाई कहा जाता है) बेल की चौड़ाई को नियंत्रित करता है।

गॉसियन फ़ंक्शंस का उपयोग अक्सर अपेक्षित मान के साथ एक सामान्य वितरण यादृच्छिक चर के प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है μ = b और विचरण σ² = c². इस मामले में गॉसियन फॉर्म का है

$$g(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}\right).$$

गॉसियन फ़ंक्शंस का व्यापक रूप से उपयोग सामान्य वितरण का वर्णन करने के लिए किया जाता है, गाऊसी फिल्टर को परिभाषित करने के लिए संकेत आगे बढ़ाना में, मूर्ति प्रोद्योगिकी में जहां गौस्सियन धुंधलापन ्स के लिए द्वि-आयामी गॉसियन का उपयोग किया जाता है, और गणित में गर्मी समीकरणों और प्रसार समीकरणों को हल करने और वीयरस्ट्रैस को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जाता है। बदलना।

गुण

गाऊसी फलन एक अवतल फलन द्विघात फलन के साथ चरघातांकी फलन की रचना करके उत्पन्न होता है:

$$f(x)=\exp(\alpha x^{2}+\beta x+\gamma ),$$

कहाँ

• $\alpha =-1/2c^{2},$
• $\beta =b/c^{2},$
• $\gamma =\ln a-(b^{2}/2c^{2}).$

(नोट: में $\ln a,a=1/(\sigma {\sqrt {2\pi }})$, के साथ भ्रमित नहीं होना है $\alpha =-1/2c^{2},$)

गॉसियन फलन इस प्रकार वे फलन हैं जिनका लघुगणक एक अवतल द्विघात फलन है।

पैरामीटर c चोटी के आधे अधिकतम (एफडब्ल्यूएचएम) के अनुसार पूरी चौड़ाई से संबंधित है

$${\text{FWHM}}=2{\sqrt {2\ln 2}}\,c\approx 2.35482\,c.$$

समारोह तब एफडब्ल्यूएचएम के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, जिसका प्रतिनिधित्व किया जाता है w:

$$f(x)=ae^{-4(\ln 2)(x-b)^{2}/w^{2}}.$$

वैकल्पिक रूप से, पैरामीटर c की व्याख्या यह कहकर की जा सकती है कि फलन के दो विभक्ति बिंदु पर होते हैं x = b ± c.

गॉसियन के लिए अधिकतम दसवें (FWTM) पर पूरी चौड़ाई रुचि की हो सकती है और है

$${\text{FWTM}}=2{\sqrt {2\ln 10}}\,c\approx 4.29193\,c.$$

गाऊसी कार्य विश्लेषणात्मक कार्य हैं, और उनकी सीमा (गणित) के रूप में x → ∞ 0 है (उपर्युक्त मामले के लिए b = 0).

गाऊसी कार्य उन कार्यों में से हैं जो प्राथमिक कार्य (अंतर बीजगणित) हैं, लेकिन प्राथमिक प्रतिपक्षी की कमी है; गॉसियन फ़ंक्शन का अभिन्न अंग त्रुटि फ़ंक्शन है। बहरहाल, गॉसियन अभिन्न का उपयोग करके, पूरी वास्तविक रेखा पर उनके अनुचित इंटीग्रल का मूल्यांकन किया जा सकता है

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }},$$

और एक प्राप्त करता है

$$\int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/(2c^{2})}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\pi }}.$$

File:Normal Distribution PDF.svg

अपेक्षित मूल्य के साथ निरंतर गॉसियन वक्रों को सामान्य करना μ और विचरण σ². संबंधित पैरामीटर हैं ${\textstyle a={\tfrac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}}$, b = μ और c = σ.

यह अभिन्न 1 है अगर और केवल अगर ${\textstyle a={\tfrac {1}{c{\sqrt {2\pi }}}}}$ (सामान्यीकरण स्थिरांक), और इस मामले में गॉसियन अपेक्षित मान के साथ एक सामान्य वितरण यादृच्छिक चर का प्रायिकता घनत्व कार्य है μ = b और विचरण σ² = c²:

$$g(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left({\frac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).$$

इन गॉसियनों को संलग्न आकृति में प्लॉट किया गया है।

गॉसियन फ़ंक्शन शून्य पर केंद्रित फूरियर फूरियर रूपांतरण#अनिश्चितता सिद्धांत को कम करता है।

दो गॉसियन कार्यों का उत्पाद एक गॉसियन है, और दो गॉसियन कार्यों का कनवल्शन भी एक गॉसियन है, जिसमें विचरण मूल प्रसरण का योग है: $c^{2}=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}$. हालांकि, दो गाऊसी संभाव्यता घनत्व कार्यों (पीडीएफ) का उत्पाद सामान्य रूप से गॉसियन पीडीएफ नहीं है।

फूरियर ट्रांसफॉर्म लेना # अन्य सम्मेलन | पैरामीटर के साथ गॉसियन फ़ंक्शन के फूरियर ट्रांसफॉर्म (एकात्मक, कोणीय-आवृत्ति सम्मेलन) a = 1, b = 0 और c मापदंडों के साथ एक और गॉसियन फ़ंक्शन देता है $c$, b = 0 और $1/c$. तो विशेष रूप से गॉसियन कार्य करता है b = 0 और $c=1$ फूरियर रूपांतरण द्वारा स्थिर रखा जाता है (वे eigenvalue 1 के साथ फूरियर रूपांतरण के eigenfunctions हैं)। एक भौतिक अहसास फ्राउन्होफर विवर्तन का है # गाऊसी प्रोफाइल के साथ एपर्चर द्वारा विवर्तन: उदाहरण के लिए, एक फोटोग्राफिक स्लाइड जिसका संप्रेषण गॉसियन भिन्नता है, वह भी गॉसियन फ़ंक्शन है।

तथ्य यह है कि गॉसियन फ़ंक्शन निरंतर फूरियर रूपांतरण का एक आइजनफंक्शन है जो हमें निम्नलिखित दिलचस्प प्राप्त करने की अनुमति देता है प्वासों योग सूत्र से पहचान:

$$\sum _{k\in \mathbb {Z} }\exp \left(-\pi \cdot \left({\frac {k}{c}}\right)^{2}\right)=c\cdot \sum _{k\in \mathbb {Z} }\exp \left(-\pi \cdot (kc)^{2}\right).$$

गॉसियन फ़ंक्शन का इंटीग्रल

एक स्वेच्छ गाऊसी फलन का समाकल है

$$\int _{-\infty }^{\infty }a\,e^{-(x-b)^{2}/2c^{2}}\,dx={\sqrt {2}}a\,|c|\,{\sqrt {\pi }}.$$

एक वैकल्पिक रूप है

$$\int _{-\infty }^{\infty }k\,e^{-fx^{2}+gx+h}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }k\,e^{-f{\big (}x-g/(2f){\big )}^{2}+g^{2}/(4f)+h}\,dx=k\,{\sqrt {\frac {\pi }{f}}}\,\exp \left({\frac {g^{2}}{4f}}+h\right),$$

जहां अभिन्न अभिसरण के लिए एफ सख्ती से सकारात्मक होना चाहिए।

मानक गॉसियन इंटीग्रल से संबंध

अभिन्न

$$\int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/2c^{2}}\,dx$$

कुछ वास्तविक संख्या स्थिरांकों के लिए a, b, c > 0 की गणना गॉसियन समाकल के रूप में करके की जा सकती है। सबसे पहले, स्थिरांक a को केवल समाकलन से गुणनखंडित किया जा सकता है। इसके बाद, एकीकरण के चर को x से बदल दिया जाता है y = x − b:

$$a\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}/2c^{2}}\,dy,$$

और फिर करने के लिए $z=y/{\sqrt {2c^{2}}}$:

$$a{\sqrt {2c^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-z^{2}}\,dz.$$

फिर, गॉसियन इंटीग्रल का उपयोग करना

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-z^{2}}\,dz={\sqrt {\pi }},$$

अपने पास

$$\int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/2c^{2}}\,dx=a{\sqrt {2\pi c^{2}}}.$$

द्वि-आयामी गॉसियन फ़ंक्शन

File:Gaussian 2d surface.png

द्वि-आयामी डोमेन के साथ गॉसियन फ़ंक्शन का 3डी प्लॉट

आधार फार्म:

$$f(x,y)=\exp(-x^{2}-y^{2})$$

दो आयामों में, गाऊसी फलन में ई की शक्ति किसी भी नकारात्मक-निश्चित द्विघात रूप में होती है। नतीजतन, गॉसियन का स्तर सेट हमेशा दीर्घवृत्त होगा।

द्वि-आयामी गॉसियन फ़ंक्शन का एक विशेष उदाहरण है

$$f(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{Y}^{2}}}\right)\right).$$

यहाँ गुणांक A आयाम, x है₀, और₀ केंद्र है, और σ_x, पी_y बूँद के x और y फैलाव हैं। दाईं ओर का चित्र A = 1, x का उपयोग करके बनाया गया था₀ = 0, और₀ = 0, पृ_x = पी_y = 1।

गाऊसी फलन के अंतर्गत आयतन किसके द्वारा दिया जाता है

$$V=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,dx\,dy=2\pi A\sigma _{X}\sigma _{Y}.$$

सामान्य तौर पर, द्वि-आयामी अण्डाकार गॉसियन फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त किया जाता है

$$f(x,y)=A\exp {\Big (}-{\big (}a(x-x_{0})^{2}+2b(x-x_{0})(y-y_{0})+c(y-y_{0})^{2}{\big )}{\Big )},$$

जहां मैट्रिक्स

$${\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}}$$

सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है|सकारात्मक-निश्चित।

इस सूत्रीकरण का उपयोग करके दाईं ओर की आकृति बनाई जा सकती है A = 1, (x₀, y₀) = (0, 0), a = c = 1/2, b = 0.

सामान्य समीकरण के लिए मापदंडों का अर्थ

समीकरण के सामान्य रूप के लिए गुणांक ए चोटी की ऊंचाई है और (x₀, y₀) बूँद का केंद्र है।

अगर हम सेट करते हैं

$${\begin{aligned}a&={\frac {\cos ^{2}\theta }{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{2\sigma _{Y}^{2}}},\\b&=-{\frac {\sin 2\theta }{4\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {\sin 2\theta }{4\sigma _{Y}^{2}}},\\c&={\frac {\sin ^{2}\theta }{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{2\sigma _{Y}^{2}}},\end{aligned}}$$

फिर हम ब्लॉब को एक सकारात्मक, वामावर्त कोण से घुमाते हैं $\theta$ (नकारात्मक, दक्षिणावर्त घुमाने के लिए, b गुणांक में चिह्नों को उल्टा करें)। गुणांक वापस पाने के लिए $\theta$, $\sigma _{X}$ और $\sigma _{Y}$ से $a$, $b$ और $c$ उपयोग

${\begin{aligned}\theta &={\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2b}{a-c}}\right),\quad \theta \in [-45,45],\\\sigma _{X}^{2}&={\frac {1}{2(a\cdot \cos ^{2}\theta +2b\cdot \cos \theta \sin \theta +c\cdot \sin ^{2}\theta )}},\\\sigma _{Y}^{2}&={\frac {1}{2(a\cdot \sin ^{2}\theta -2b\cdot \cos \theta \sin \theta +c\cdot \cos ^{2}\theta )}}.\end{aligned}}$ गॉसियन ब्लॉब्स के उदाहरण घुमावों को निम्नलिखित उदाहरणों में देखा जा सकता है:

File:Gaussian 2d 0 degrees.png $\theta =0$

File:Gaussian 2d 30 degrees.png $\theta =-\pi /6$

File:Gaussian 2d 60 degrees.png $\theta =-\pi /3$

निम्नलिखित जीएनयू ऑक्टेव कोड का उपयोग करके, पैरामीटर बदलने के प्रभाव को आसानी से देखा जा सकता है:

A = 1;
x0 = 0; y0 = 0;

sigma_X = 1;
sigma_Y = 2;

[X, Y] = meshgrid(-5:.1:5, -5:.1:5);

for theta = 0:pi/100:pi
    a = cos(theta)^2 / (2 * sigma_X^2) + sin(theta)^2 / (2 * sigma_Y^2);
    b = sin(2 * theta) / (4 * sigma_X^2) - sin(2 * theta) / (4 * sigma_Y^2);
    c = sin(theta)^2 / (2 * sigma_X^2) + cos(theta)^2 / (2 * sigma_Y^2);

    Z = A * exp(-(a * (X - x0).^2 + 2 * b * (X - x0) .* (Y - y0) + c * (Y - y0).^2));

    surf(X, Y, Z);
    shading interp;
    view(-36, 36)
    waitforbuttonpress
end

इस तरह के कार्यों का उपयोग अक्सर इमेज प्रोसेसिंग और दृश्य प्रणाली फ़ंक्शन के कम्प्यूटेशनल मॉडल में किया जाता है - स्केल स्पेस और एफ़िन आकार अनुकूलन पर लेख देखें।

बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण भी देखें।

उच्च-क्रम गॉसियन या सुपर-गाऊसी फ़ंक्शन

एक फ्लैट-टॉप और गॉसियन फॉल-ऑफ के साथ गॉसियन फ़ंक्शन का एक अधिक सामान्य सूत्रीकरण एक्सपोनेंट की सामग्री को एक शक्ति तक बढ़ाकर लिया जा सकता है। $P$:

$$f(x)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}\right)^{P}\right).$$

इस फ़ंक्शन को सुपर-गाऊसी फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है और इसे अक्सर गॉसियन बीम फॉर्मूलेशन के लिए उपयोग किया जाता है। यह फलन आधी अधिकतम (एफडब्ल्यूएचएम) पर पूरी चौड़ाई के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है, जिसका प्रतिनिधित्व किया जाता है w:

$$f(x)=A\exp \left(-\ln 2\left(4{\frac {(x-x_{0})^{2}}{w^{2}}}\right)^{P}\right).$$

एक द्वि-आयामी फॉर्मूलेशन में, एक गॉसियन फ़ंक्शन साथ में $x$ और $y$ जोड़ा जा सकता है संभावित भिन्न के साथ $P_{X}$ और $P_{Y}$ अण्डाकार गॉसियन वितरण बनाने के लिए:

$$f(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{Y}^{2}}}\right)^{P}\right)$$

या एक आयताकार गाऊसी वितरण:

$$f(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}\right)^{P_{X}}-\left({\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{Y}^{2}}}\right)^{P_{Y}}\right).$$

बहु-आयामी गॉसियन फ़ंक्शन

Main article: Multivariate normal distribution

एक में $n$आयामी स्थान एक गॉसियन फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$$f(x)=\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx),$$

कहाँ $x={\begin{bmatrix}x_{1}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}$ का स्तंभ है $n$ निर्देशांक, $C$ सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है|सकारात्मक-निश्चित $n\times n$ मैट्रिक्स, और ${}^{\mathsf {T}}$ स्थानान्तरण दर्शाता है।

इस गॉसियन फ़ंक्शन का अभिन्न अंग संपूर्ण है $n$-आयामी स्थान के रूप में दिया गया है

$$\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx)\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det C}}}.$$

मैट्रिक्स को विकर्ण करके इसकी गणना आसानी से की जा सकती है $C$ और के eigenvectors के लिए एकीकरण चर को बदलना $C$.

अधिक आम तौर पर एक स्थानांतरित गॉसियन फ़ंक्शन को इस रूप में परिभाषित किया जाता है

$$f(x)=\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx+s^{\mathsf {T}}x),$$

कहाँ $s={\begin{bmatrix}s_{1}&\cdots &s_{n}\end{bmatrix}}$ शिफ्ट वेक्टर और मैट्रिक्स है $C$ सममित माना जा सकता है, $C^{\mathsf {T}}=C$, और सकारात्मक-निश्चित। इस फ़ंक्शन के साथ निम्नलिखित इंटीग्रल की गणना उसी तकनीक से की जा सकती है:

$$\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det {C}}}}\exp \left({\frac {1}{4}}v^{\mathsf {T}}C^{-1}v\right)\equiv {\mathcal {M}}.$$

$$\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}(a^{\mathsf {T}}x)\,dx=(a^{T}u)\cdot {\mathcal {M}},{\text{ where }}u={\frac {1}{2}}C^{-1}v.$$

$$\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}(x^{\mathsf {T}}Dx)\,dx=\left(u^{\mathsf {T}}Du+{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (DC^{-1})\right)\cdot {\mathcal {M}}.$$

$${\begin{aligned}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}C'x+s'^{\mathsf {T}}x}\left(-{\frac {\partial }{\partial x}}\Lambda {\frac {\partial }{\partial x}}\right)e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+s^{\mathsf {T}}x}\,dx\\&\qquad =\left(2\operatorname {tr} (C'\Lambda CB^{-1})+4u^{\mathsf {T}}C'\Lambda Cu-2u^{\mathsf {T}}(C'\Lambda s+C\Lambda s')+s'^{\mathsf {T}}\Lambda s\right)\cdot {\mathcal {M}},\end{aligned}}$$

कहाँ ${\textstyle u={\frac {1}{2}}B^{-1}v,\ v=s+s',\ B=C+C'.}$

मापदंडों का अनुमान

See also: Normal distribution § Estimation of parameters

फोटोमेट्री (खगोल विज्ञान), गॉसियन बीम लक्षण वर्णन, और उत्सर्जन स्पेक्ट्रम#उत्सर्जन स्पेक्ट्रोस्कोपी| उत्सर्जन/अवशोषण लाइन स्पेक्ट्रोस्कोपी जैसे कई क्षेत्र नमूना गॉसियन कार्यों के साथ काम करते हैं और फ़ंक्शन की ऊंचाई, स्थिति और चौड़ाई पैरामीटर का सटीक अनुमान लगाने की आवश्यकता होती है। 1D गॉसियन फ़ंक्शन के लिए तीन अज्ञात पैरामीटर हैं (a, b, c) और 2D गॉसियन फ़ंक्शन के लिए पांच $(A;x_{0},y_{0};\sigma _{X},\sigma _{Y})$.

गॉसियन मापदंडों का आकलन करने के लिए सबसे आम तरीका डेटा के लघुगणक और परिणामी डेटा सेट के बहुपद फिटिंग को लेना है। हालांकि यह एक सरल वक्र फिटिंग प्रक्रिया प्रदान करता है, परिणामी एल्गोरिथ्म छोटे डेटा मानों को अत्यधिक भारित करके पक्षपाती हो सकता है, जो प्रोफ़ाइल अनुमान में बड़ी त्रुटियां उत्पन्न कर सकता है। भारित न्यूनतम वर्गों के अनुमान के माध्यम से इस समस्या की आंशिक रूप से भरपाई की जा सकती है, छोटे डेटा मानों के वजन को कम किया जा सकता है, लेकिन यह भी गॉसियन की पूंछ को फिट पर हावी होने की अनुमति देकर पक्षपाती हो सकता है। पूर्वाग्रह को दूर करने के लिए, इसके बजाय एक पुनरावृत्त रूप से पुन: भारित न्यूनतम वर्ग प्रक्रिया का उपयोग कर सकते हैं, जिसमें प्रत्येक पुनरावृत्ति पर भार अद्यतन किए जाते हैं।लॉगरिदमिक डेटा परिवर्तन को शामिल किए बिना सीधे डेटा पर गैर-रैखिक प्रतिगमन करना भी संभव है; अधिक विकल्पों के लिए, प्रायिकता वितरण फिटिंग देखें।

पैरामीटर परिशुद्धता

गॉसियन फ़ंक्शन मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए एक बार एक एल्गोरिथ्म होने के बाद, यह जानना भी महत्वपूर्ण है कि ये अनुमान कितने सटीक और सटीक हैं। कोई भी कम से कम वर्ग अनुमान एल्गोरिदम प्रत्येक पैरामीटर के भिन्नता के लिए संख्यात्मक अनुमान प्रदान कर सकता है (यानी, अनुमानित ऊंचाई, स्थिति और फ़ंक्शन की चौड़ाई का भिन्नता)। डेटा के बारे में कुछ मान्यताओं को देखते हुए, पैरामीटर भिन्नताओं पर निचली सीमा के लिए एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए क्रैमर-राव बाध्य सिद्धांत का भी उपयोग कर सकते हैं।

1. मापा प्रोफ़ाइल में शोर या तो स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर है|i.i.d. गॉसियन, या शोर पॉसों वितरण है | पॉसों-वितरित।
2. प्रत्येक नमूने के बीच की दूरी (यानी डेटा को मापने वाले पिक्सेल के बीच की दूरी) एक समान है।
3. चोटी अच्छी तरह से नमूना है, ताकि चोटी के नीचे के क्षेत्र या आयतन का 10% से कम (क्षेत्र अगर 1डी गॉसियन है, मात्रा अगर 2डी गॉसियन है) माप क्षेत्र के बाहर है।
4. चोटी की चौड़ाई नमूना स्थानों के बीच की दूरी से बहुत बड़ी है (यानी डिटेक्टर पिक्सल गॉसियन एफडब्ल्यूएचएम से कम से कम 5 गुना छोटा होना चाहिए)।

जब ये धारणाएँ संतुष्ट होती हैं, तो निम्न सहप्रसरण मैट्रिक्स K 1D प्रोफ़ाइल पैरामीटर के लिए लागू होता है $a$, $b$, और $c$ आई.आई.डी. गाऊसी शोर और पोइसन शोर के तहत:

$$\mathbf {K} _{\text{Gauss}}={\frac {\sigma ^{2}}{{\sqrt {\pi }}\delta _{X}Q^{2}}}{\begin{pmatrix}{\frac {3}{2c}}&0&{\frac {-1}{a}}\\0&{\frac {2c}{a^{2}}}&0\\{\frac {-1}{a}}&0&{\frac {2c}{a^{2}}}\end{pmatrix}}\ ,\qquad \mathbf {K} _{\text{Poiss}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\begin{pmatrix}{\frac {3a}{2c}}&0&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {c}{a}}&0\\-{\frac {1}{2}}&0&{\frac {c}{2a}}\end{pmatrix}}\ ,$$

कहाँ $\delta _{X}$ फ़ंक्शन का नमूना लेने के लिए उपयोग किए जाने वाले पिक्सेल की चौड़ाई है, $Q$ डिटेक्टर की क्वांटम दक्षता है, और $\sigma$ माप शोर के मानक विचलन को इंगित करता है। इस प्रकार, पैरामीटर के लिए अलग-अलग भिन्नता गॉसियन शोर मामले में हैं,

$${\begin{aligned}\operatorname {var} (a)&={\frac {3\sigma ^{2}}{2{\sqrt {\pi }}\,\delta _{X}Q^{2}c}}\\\operatorname {var} (b)&={\frac {2\sigma ^{2}c}{\delta _{X}{\sqrt {\pi }}\,Q^{2}a^{2}}}\\\operatorname {var} (c)&={\frac {2\sigma ^{2}c}{\delta _{X}{\sqrt {\pi }}\,Q^{2}a^{2}}}\end{aligned}}$$

और पॉसों शोर मामले में,

$${\begin{aligned}\operatorname {var} (a)&={\frac {3a}{2{\sqrt {2\pi }}\,c}}\\\operatorname {var} (b)&={\frac {c}{{\sqrt {2\pi }}\,a}}\\\operatorname {var} (c)&={\frac {c}{2{\sqrt {2\pi }}\,a}}.\end{aligned}}$$

आयाम देने वाले 2डी प्रोफाइल पैरामीटर के लिए $A$, पद $(x_{0},y_{0})$, और चौड़ाई $(\sigma _{X},\sigma _{Y})$ प्रोफ़ाइल में, निम्नलिखित सहप्रसरण मैट्रिक्स लागू होते हैं:

जहां अलग-अलग पैरामीटर प्रसरण सहप्रसरण मैट्रिक्स के विकर्ण तत्वों द्वारा दिए गए हैं।

असतत गॉसियन

Main article: Discrete Gaussian kernel

File:Discrete Gaussian kernel.svg

असतत गॉसियन कर्नेल (ठोस), तराजू के लिए नमूना गॉसियन कर्नेल (धराशायी) के साथ तुलना में $t=0.5,1,2,4.$

कोई गॉसियन के असतत अनुरूप के लिए पूछ सकता है;

यह असतत अनुप्रयोगों, विशेष रूप से अंकीय संकेत प्रक्रिया में आवश्यक है। एक सरल उत्तर निरंतर गॉसियन का नमूना लेना है, जो नमूना गॉसियन कर्नेल का उत्पादन करता है। हालांकि, इस असतत फ़ंक्शन में निरंतर फ़ंक्शन के गुणों के असतत एनालॉग नहीं होते हैं, और अवांछित प्रभाव पैदा कर सकते हैं, जैसा लेख स्केल स्पेस कार्यान्वयन में वर्णित है।

असतत गॉसियन कर्नेल का उपयोग करने का एक वैकल्पिक तरीका है:

$$T(n,t)=e^{-t}I_{n}(t)$$

कहाँ $I_{n}(t)$ पूर्णांक क्रम के संशोधित बेसेल कार्यों को दर्शाता है।

यह निरंतर गॉसियन का असतत एनालॉग है जिसमें यह असतत प्रसार समीकरण (असतत स्थान, निरंतर समय) का समाधान है, जैसे निरंतर गॉसियन निरंतर प्रसार समीकरण का समाधान है।

अनुप्रयोग

गॉसियन फलन प्राकृतिक विज्ञान, सामाजिक विज्ञान, गणित और अभियांत्रिकी के कई संदर्भों में दिखाई देते हैं। कुछ उदाहरणों में शामिल हैं:

• सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में, गॉसियन फ़ंक्शन सामान्य वितरण के घनत्व फ़ंक्शन के रूप में दिखाई देते हैं, जो कि केंद्रीय सीमा प्रमेय के अनुसार जटिल योगों का एक सीमित संभाव्यता वितरण है।
• गाऊसी फलन (समरूप और समदैशिक) विसरण समीकरण (और ऊष्मा समीकरण, जो एक ही चीज है) के लिए ग्रीन का फलन है, एक आंशिक अवकल समीकरण जो विसरण के तहत द्रव्यमान-घनत्व के समय विकास का वर्णन करता है। विशेष रूप से, यदि समय t = 0 पर द्रव्यमान-घनत्व एक डिराक डेल्टा द्वारा दिया जाता है, जिसका अनिवार्य रूप से अर्थ है कि द्रव्यमान प्रारंभ में एक बिंदु में केंद्रित होता है, तो समय t पर द्रव्यमान-वितरण एक गॉसियन फ़ंक्शन द्वारा दिया जाएगा, जिसमें पैरामीटर 'ए' रैखिक रूप से 1/ से संबंधित है√t और c रैखिक रूप से संबंधित हैं √t; इस समय-परिवर्तनशील गॉसियन को ऊष्मा कर्नेल द्वारा वर्णित किया गया है। अधिक आम तौर पर, यदि प्रारंभिक द्रव्यमान-घनत्व φ(x) है, तो बाद के समय में द्रव्यमान-घनत्व φ के गाऊसी फलन के साथ कनवल्शन लेकर प्राप्त किया जाता है। एक गाऊसी के साथ एक फ़ंक्शन का कनवल्शन एक वीयरस्ट्रैस ट्रांसफ़ॉर्म के रूप में भी जाना जाता है।
• गॉसियन फ़ंक्शन क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर की जमीनी स्थिति का तरंग फ़ंक्शन है।
• कम्प्यूटेशनल रसायन विज्ञान में उपयोग किए जाने वाले आणविक ऑर्बिटल्स गॉसियन फ़ंक्शन के रैखिक संयोजन हो सकते हैं जिन्हें गाऊसी कक्षीय ्स कहा जाता है (आधार सेट (रसायन विज्ञान) भी देखें)।
• गणितीय रूप से, गॉसियन फ़ंक्शन के यौगिक को हर्मिट फ़ंक्शन का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है। इकाई प्रसरण के लिए, गॉसियन का n-वां डेरिवेटिव गॉसियन फ़ंक्शन है जिसे n-वें हर्मिट बहुपद से गुणा किया जाता है, पैमाने तक।
• नतीजतन, गॉसियन फ़ंक्शन भी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में निर्वात अवस्था से जुड़े होते हैं।
• गॉसियन बीम का उपयोग ऑप्टिकल सिस्टम, माइक्रोवेव सिस्टम और लेजर में किया जाता है।
• स्केल स्पेस प्रतिनिधित्व में, गॉसियन फ़ंक्शंस का उपयोग कंप्यूटर दृष्टि और इमेज प्रोसेसिंग में मल्टी-स्केल रिप्रेजेंटेशन बनाने के लिए स्मूथिंग कर्नेल के रूप में किया जाता है। विशेष रूप से, गाऊसी (हर्मिट कार्य करता है) के डेरिवेटिव का उपयोग बड़ी संख्या में दृश्य संचालन को परिभाषित करने के आधार के रूप में किया जाता है।
• कुछ प्रकार के कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क को परिभाषित करने के लिए गॉसियन फ़ंक्शंस का उपयोग किया जाता है।
• प्रतिदीप्ति माइक्रोस्कोपी में एक 2डी गॉसियन फ़ंक्शन का उपयोग हवादार डिस्क को अनुमानित करने के लिए किया जाता है, जो बिंदु स्रोत द्वारा उत्पादित तीव्रता वितरण का वर्णन करता है।
• सिग्नल प्रोसेसिंग में वे गॉसियन फिल्टर को परिभाषित करने का काम करते हैं, जैसे कि इमेज प्रोसेसिंग में जहां गॉसियन ब्लर्स के लिए 2डी गॉसियन का उपयोग किया जाता है। डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग में, एक असतत गॉसियन कर्नेल का उपयोग करता है, जिसे गॉसियन का नमूना लेकर या एक अलग तरीके से परिभाषित किया जा सकता है।
• भू-सांख्यिकी में उनका उपयोग एक जटिल प्रशिक्षण छवि के पैटर्न के बीच परिवर्तनशीलता को समझने के लिए किया गया है। फीचर स्पेस में पैटर्न को क्लस्टर करने के लिए उनका उपयोग कर्नेल विधियों के साथ किया जाता है।

यह भी देखें

• सामान्य वितरण
• लोरेंट्ज़ियन फ़ंक्शन
• रेडियल आधार फ़ंक्शन कर्नेल

संदर्भ

बाहरी संबंध

• Mathworld, includes a proof for the relations between c and FWHM
• "Integrating The Bell Curve". MathPages.com.
• Haskell, Erlang and Perl implementation of Gaussian distribution
• Bensimhoun Michael, N-Dimensional Cumulative Function, And Other Useful Facts About Gaussians and Normal Densities (2009)
• Code for fitting Gaussians in ImageJ and Fiji.