Z-परिवर्तन: Difference between revisions

Latest revision as of 10:24, 15 March 2023

गणित और संकेत संसाधन में, जेड ट्रांसफॉर्म , वास्तविक संख्या या जटिल संख्याओं के अनुक्रम को एक असतत समय संकेत को परिवर्तित करता है, जो कि एक जटिल आवृत्ति-डोमेन जेड या जेड समतल प्रतिनिधित्व में परिवर्तित करता है।

लिन, पॉल ए. (1986). "लाप्लास रूपांतरण और जेड-रूपांतरण के लिए". इलेक्ट्रॉनिक सिग्नल और सिस्टम. लंडन: मैकमिलन शिक्षा यूके. pp. 225–272. doi:10.1007/978-1-349-18461-3_6. ISBN 978-0-333-39164-8. लाप्लास ट्रांसफॉर्म और जेड-ट्रांसफॉर्म फूरियर ट्रांसफॉर्म से निकटता से संबंधित हैं। जेड-ट्रांसफॉर्म असतत संकेतों और प्रणालियों से निपटने के लिए विशेष रूप से उपयुक्त है। यह असतत-समय फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म की तुलना में अधिक कॉम्पैक्ट और सुविधाजनक संकेतन प्रदान करता है।

जेड-ट्रांसफॉर्म लाप्लास ट्रांसफॉर्म का असतत प्रतिरूप है। जेड-ट्रांसफॉर्म असतत समय प्रणालियों के अंतर समीकरणों को बीजगणितीय समीकरणों में परिवर्तित करता है, जो असतत समय प्रणाली विश्लेषण को सरल करता है। लाप्लास ट्रांसफॉर्म और जेड-ट्रांसफॉर्म आमरूप में होते है सिवाय इसके कि लाप्लास ट्रांसफॉर्म लगातार समय के संकेतों और प्रणालियों से संबंधित होते है। समय-पैमाने की गणना के सिद्धांत में इस समानता की खोज की गई है।

जबकि लैपलेस एस-डोमेन की काल्पनिक रेखा पर निरंतर-समय के फूरियर ट्रांसफॉर्म का मूल्यांकन किया जाता है, असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म का मूल्यांकन जेड-डोमेन के यूनिट वृत्त पर किया जाता है। जो लगभग एस-डोमेन के बाएँ आधा समतल के रूप में है, जो अब जटिल इकाई वृत्त के अंदर है; यूनिट वृत्त के बाहर जेड-डोमेन क्या है, जो लगभग एस डोमेन के दाहिने आधे समतल से मेल खाती है।

.डिजिटल फिल्टर डिजाइन करने का एक साधन एनालॉग डिजाइन को उनको एक बिलिनियर ट्रांसफॉर्म पर ले जाना है, जो उन्हें एस डोमेन से जेड डोमेन के मानचित्र में भेजता है और फिर निरीक्षण प्रकलन या संख्यात्मक सन्निकटन द्वारा डिजीटल फिल्टर का उत्पादन करता है। इस तरह की विधियां जटिल एकता के आसपास के क्षेत्र में यथार्थ नहीं होते हैं, अर्थात कम आवृत्तियों को छोड़कर सटीक रूप में नहीं होती हैं।

इतिहास

इस परीक्षण का मूल विचार जो अब जेड-ट्रांसफ़ॉर्मेशन तथा लैपलेस के नाम से भी जाना जाता था और इसे 1947 में डब्ल्यू. ह्यूरविक्ज़ द्वारा फिर से प्रस्तुत किया गया था।^[1]^[2] और अन्य लोगों ने रडार के साथ प्रयोग में लाये जाने वाले सैंपल-डेटा कंट्रोल प्रणाली के उपचार के विधियों के रूप में पुनः आरंभ किया। यह रैखिक, स्थिर-गुणांक अंतर समीकरणों को हल करने का एक आसान विधि प्रदान करता है। इसे बाद में, 1952 में कोलंबिया विश्वविद्यालय में सैंपल्ड-डेटा कंट्रोल ग्रुप में जॉन आर. रागाजिनी और लोत्फी ए. ज़ादेह द्वारा इस नाम का ट्रांसफॉर्म किया गया।^[3]^[4]

संशोधित या उन्नत जेड- ट्रांसफॉर्म बाद में ई.आई. जूरी द्वारा विकसित और लोकप्रिय किया गया था^[5]^[6]

जेड- ट्रांसफॉर्म के भीतर निहित विचार को गणितीय साहित्य में कार्यों को उत्पन्न करने की विधि के रूप में भी जाना जाता है जिसे 1730 के आरंभ में पता लगाया जा सकता है जब इसे अब्राहम डी मोइवरे द्वारा संभाव्यता सिद्धांत के संयोजन के साथ प्रस्तुत किया गया था।^[7] गणितीय दृष्टि से जेड- ट्रांसफॉर्म को लॉरेंट श्रृंखला के रूप में भी देखा जा सकता है जहां एक विश्लेषणात्मक कार्य के (लॉरेंट) विस्तार के रूप में विचाराधीन संख्याओं के अनुक्रम को देखता है।

परिभाषा

जेड -ट्रांसफ़ॉर्म को या तो एक तरफा या दो तरफा रूपान्तरण के रूप में परिभाषित किया जाता है। जैसे हम एक तरफा लैपलेस ट्रांसफॉर्मेशन और दो तरफा लैपलेस ट्रांसफॉर्मेशन करते है। जैक्सन, लेलैंड बी. (1996). "जेड ट्रांसफॉर्म". डिजिटल फिल्टर और सिग्नल प्रोसेसिंग. बोस्टन, एमए: स्प्रिंगर यू.एस. pp. 29–54. doi:10.1007/978-1-4757-2458-5_3. ISBN 978-1-4419-5153-3. जेड रूपांतरण डिस्क्रीट-टाइम प्रणाली के रुप में होता है, जो लाप्लास रूपांतरण निरंतर-टाइम प्रणाली के लिए होता है। जेड एक जटिल चर के रुप में होता है। इसे कभी-कभी दो तरफा जेड परिवर्तन के रूप में संदर्भित किया जाता है, जिसमें एक तरफा जेड परिवर्तन n = 0 से अनंत तक के योग को छोड़कर समान होता है। एक तरफा परिवर्तन का प्राथमिक उपयोग कारण अनुक्रमों के लिए होता है, जिस स्थिति में दो परिवर्तन वैसे भी समान रुप में होता है। इसलिए, हम यह भेद नहीं कर सकते है और x(n) को केवल जेड रूपांतरण के रूप में संदर्भित करते है।

द्विपक्षीय जेड- ट्रांसफॉर्म

असतत-समय संकेत $x[n]$ का द्विपक्षीय या दो तरफा जेड- ट्रांसफॉर्म औपचारिक शक्ति श्रृंखला $X(z)$ के रूप में परिभाषित होती है।

X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}

(Eq.1)

जहाँ $n$ एक पूर्णांक है और $z$ सामान्यतः, एक सम्मिश्र संख्या के रुप में है।

z=Ae^{j\phi }=A\cdot (\cos {\phi }+j\sin {\phi })

जहाँ $A$ , $z$ का परिमाण है और $j$ काल्पनिक इकाई के रुप में है और $\phi$ कांति में जटिल तर्क के रुप में है जिसे रेडियंस में कोण या चरण भी कहा जाता है।

एकतरफा जेड-ट्रांसफॉर्म

वैकल्पिक रूप से, ऐसे स्थिति में जहां $x[n]$ केवल $n\geq 0$ के लिए ही परिभाषित किया गया है एकतरफा या एकपक्षीय जेड-ट्रांसफॉर्म को इस रूप में परिभाषित किया जाता है।

X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}.

(Eq.2)

सिग्नल प्रोसेसिंग में, इस परिभाषा का उपयोग परिमित आवेग प्रतिक्रिया असतत-समय कारण प्रणाली की आवृत्ति प्रतिक्रिया के जेड - परिवर्तन का मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है।

एकतरफा जेड-ट्रांसफॉर्म का एक महत्वपूर्ण उदाहरण प्रायिकता उत्पन्न करने वाला कार्य होता है, जहां घटक $x[n]$ की संभावना होती है कि एक असतत यादृच्छिक चर मान $n$ लेता है और फलन $X(z)$ को सामान्यतः $X(s)$ के रूप में लिखा जाता है। $s=z^{-1}$ .के अनुसार संभाव्यता सिद्धांत के संदर्भ में नीचे दिए गए जेड-ट्रांसफॉर्म के गुणों की उपयोगी व्याख्या दी गई है।

इनवर्स जेड-ट्रांसफॉर्म

प्रतिलोम जेड -ट्रांसफॉर्म को इस प्रकार दर्शाया गया है

x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz

(Eq.3)

जहाँ सी एक वामावर्त बंद पथ के रुप में होता है, जो मूल को घेरता है और पूरी तरह से अभिसरण की त्रिज्या (आरओसी) के क्षेत्र में होती है। ऐसे स्थितियों में जहां आरओसी कारणात्मक रुप में होते है जैसे उदाहरण 2 दिखाया गया है, इसका मतलब है कि पथ सी $X(z)$ .के सभी ध्रुवों को घेरना चाहिए।

इस परिरेखा समाकलन का एक विशेष स्थिति तब होता है जब सी इकाई वृत्त के रुप में होता है। इस समोच्च का उपयोग तब किया जा सकता है जब आरओसी में यूनिट वृत्त के रुप में सम्मलित होता है, जिसकी सदैव गारंटी होती है $X(z)$ स्थिर रुप में होता है अर्थात जब सभी ध्रुव इकाई वृत्त के अंदर होते है। इस समोच्च के साथ, व्युत्क्रम जेड - ट्रांसफॉर्म इकाई चक्र के चारों ओर जेड-ट्रांसफॉर्म के आवधिक मूल्यों के व्युत्क्रम असतत-समय फूरियर रूपांतरण, या फूरियर श्रृंखला को सरल करता है।

x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega .

(Eq.4)

एन की एक परिमित सीमा के साथ जेड- ट्रांसफॉर्म और समान दूरी वाले जेड मानों की एक सीमित संख्या को ब्लूस्टीन के एफएफटी कलन विधि के माध्यम से कुशलतापूर्वक गणना की जाती है। असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म डीटीएफटी और असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म डीएफटी के साथ अस्पष्ट नहीं होता है इस प्रकार के जेड-ट्रांसफॉर्म का एक विशेष स्थिति होती है, जो जेड को यूनिट वृत्त पर लाई बोलने के लिए प्रतिबंधित करता है।

अभिसरण का क्षेत्र

अभिसरण क्षेत्र (आरओसी) जटिल तल में बिंदुओं का एक समूह होता है, जिसके लिए जेड ट्रांसफॉर्म समीकरण परिवर्तित करता है।

\mathrm {ROC} =\left\{z:\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}

उदाहरण 1 (कोई आरओसी नहीं)

माना $x[n]=0.5^{n}\$ . अंतराल (−∞, ∞) पर x[n] का विस्तार करने पर यह इस रुप में बन जाता है

x[n]=\left\{\dots ,0.5^{-3},0.5^{-2},0.5^{-1},1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\dots \right\}=\left\{\dots ,2^{3},2^{2},2,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\dots \right\}.

इन राशियो का योग इस प्रकार दिखाया गया है

\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\to \infty .

इसलिए, जेड का कोई मान नहीं है जो इस शर्त को पूरा करता हो।

उदाहरण 2 (कारण आरओसी)

आरओसी नीले रंग में दिखाया गया है, यूनिट सर्कल एक बिंदीदार ग्रे सर्कल और सर्कल |z| =0.5 को काले घेरे के रूप में दिखाया गया है

माना $x[n]=0.5^{n}u[n]\$ जहाँ u हैवीसाइड स्टेप फलन के रुप में होता है। अंतराल (−∞, ∞) पर x[n] का विस्तार करने पर यह इस रुप में बन जाता है

x[n]=\left\{\dots ,0,0,0,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\dots \right\}.

इन राशियो का योग इस प्रकार दिखाया गया है

\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }0.5^{n}z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {0.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}.

अंतिम समानता अनंत ज्यामितीय श्रृंखला से उत्पन्न होती है और समानता केवल तभी होती है जब |0.5z⁻¹| <1, जिसे जेड के पदों में |z|> 0.5। के रूप में फिर से लिखा जा सकता है इस प्रकार, आरओसी |z|> 0.5 के रुप में है। इस स्थितियों में आरओसी एक जटिल तल है, जिसकी त्रिज्या 0.5 की एक डिस्क के साथ छिद्रित होती है।

उदाहरण 3 (कारण विरोधी आरओसी)

आरओसी को नीले रंग में दिखाया गया है, यूनिट सर्कल को बिंदीदार ग्रे सर्कल और सर्कल |z| =0.5 को काले घेरे के रूप में दिखाया गया है

माना $x[n]=-(0.5)^{n}u[-n-1]\$ जहाँ u हीविसाइड स्टेप फलन के रुप में होता है। अंतराल (−∞, ∞) पर x[n] का विस्तार करने पर यह इस रुप में बन जाता है

x[n]=\left\{\dots ,-(0.5)^{-3},-(0.5)^{-2},-(0.5)^{-1},0,0,0,0,\dots \right\}.

इन राशियो का योग इस प्रकार दिखाया गया है

\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=-\sum _{n=-\infty }^{-1}0.5^{n}z^{-n}=-\sum _{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{0.5}}\right)^{m}=-{\frac {0.5^{-1}z}{1-0.5^{-1}z}}=-{\frac {1}{0.5z^{-1}-1}}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}.

अनंत ज्यामितीय श्रृंखला का उपयोग करते हुए, समानता केवल तभी होती है जब |0.5⁻¹z| <1 जिसे जेड के पदों में |z| <0.5 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इस प्रकार, आरओसी है |z| <0.5 के रुप में होती है। इस स्थितियों में आरओसी मूल बिंदु पर केंद्रित और 0.5 त्रिज्या की एक डिस्क के रुप में होती है।

जो पिछले उदाहरण से इस उदाहरण को अलग करता है वह केवल आरओसी है। यह प्रदर्शित करने के लिए जानबूझकर है कि केवल ट्रांसफॉर्म परिणाम अपर्याप्त रुप में होते है।

उदाहरण निष्कर्ष

उदाहरण 2 और 3 स्पष्ट रूप से दिखाते हैं कि एक्स [एन] का जेड-ट्रांसफॉर्म एक्स (जेड) अद्वितीय है जब और केवल आरओसी निर्दिष्ट करते समय होता है। कार्य कारण और प्रतिकार-विरोधी स्थितियों के लिए ध्रुव-शून्य प्लॉट बनाने से पता चलता है कि किसी भी स्थितियों के लिए आरओसी में वह ध्रुव के रुप में सम्मलित नहीं है, जो 0.5 पर स्थित होता है। यह कई ध्रुवों वाले स्थितियो तक फैला हुआ है तथा आरओसी में कभी भी पोल नहीं होंते है

उदाहरण 2 में, प्रणाली एक आरओसी उत्पन्न करती है, जिसमें |z| = ∞ के रुप में सम्मलित होती है, जबकि उदाहरण 3 में एंटीकॉज़ल प्रणाली एक आरओसी उत्पन्न करता है, जिसमें |z| = 0 के रुप में सम्मलित होती है

आरओसी को एक नीले वलय के रूप में दिखाया गया है 0.5 < |z| < 0.75

कई ध्रुवों वाले प्रणाली में एक आरओसी होना संभव होता है, जिसमें कोई |z| = ∞ न ही |z| = 0.के रुप में सम्मलित न हो आरओसी एक गोलाकार बैंड बनाता है। उदाहरण को इस प्रकार दिखाया गया है

x[n]=0.5^{n}u[n]-0.75^{n}u[-n-1]

0.5 और 0.75 पर पोल हैं। आरओसी 0.5 < |z| < 0.75 के रुप में होता है, जिसमें न तो मूल और न ही अनंत सम्मलित होता है। इस प्रकार की प्रणाली को मिश्रित कारणात्मक प्रणाली कहा जाता है क्योंकि इसमें एक कारक शब्द (0.5)nu[n] और एक कारण-विरोधी शब्द -(0.75)nu[−n−1] होता है।

नियंत्रण सिद्धांत अकेले आरओसी को जानकर प्रणाली की स्थिरता भी निर्धारित की जाती है। यदि आरओसी में यूनिट वृत्त है अर्थात, |z| = 1 तो प्रणाली स्थिर रुप में होती है। उपरोक्त प्रणालियों में कारण प्रणाली उदाहरण 2 में स्थिर है क्योंकि |z| > 0.5 में यूनिट वृत्त के रुप में होते है।

आइए मान लें कि हमें आरओसी के बिना एक प्रणाली का जेड- ट्रांसफॉर्म प्रदान किया गया है अर्थात, एक अस्पष्ट एक्स [एन]) के रुप में होता है। हम एक अद्वितीय एक्स [एन] निर्धारित कर सकते हैं बशर्ते हम निम्नलिखित प्रकार चाहते हैं

स्थिरता
कारणता

स्थिरता के लिए आरओसी में यूनिट वृत्त होना चाहिए। यदि हमें एक कारण प्रणाली की आवश्यकता है, तो आरओसी में अनंत होना चाहिए और प्रणाली फलन दाएं तरफा अनुक्रम होगा। यदि हमें एक एंटीकॉज़ल प्रणाली की आवश्यकता है तो आरओसी में मूल होना चाहिए और प्रणाली फलन बाएं तरफा अनुक्रम रुप में होता है। यदि हमें स्थिरता और कार्य-कारण दोनों की आवश्यकता है, तो प्रणाली फलन के सभी ध्रुवों को यूनिट वृत्त के अंदर होना चाहिए।

अद्वितीय x [n] तब पाया जा सकता है।

गुण

**जेड-ट्रांसफॉर्म के गुण**
	समय क्षेत्र	जेड-डोमेन	प्रमाण	आरओसी
नोटेशन	$x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}$	$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}$		$r_{2}<\|z\|<r_{1}$
रैखिकता	$a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]$	$a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)$	${\begin{aligned}X(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{1}x_{1}(n)+a_{2}x_{2}(n))z^{-n}\\&=a_{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}(n)z^{-n}+a_{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\\&=a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\end{aligned}}$	Contains ROC₁ ∩ ROC₂
समय विस्तार	$x_{K}[n]={\begin{cases}x[r],&n=Kr\\0,&n\notin K\mathbb {Z} \end{cases}}$ with $K\mathbb {Z} :=\{Kr:r\in \mathbb {Z} \}$	$X(z^{K})$	${\begin{aligned}X_{K}(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{K}(n)z^{-n}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)z^{-rK}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)(z^{K})^{-r}\\&=X(z^{K})\end{aligned}}$	$R^{\frac {1}{K}}$
तबाही	$x[Kn]$	${\frac {1}{K}}\sum _{p=0}^{K-1}X\left(z^{\tfrac {1}{K}}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{K}}p}\right)$	ohio-state.edu or ee.ic.ac.uk
समय विलंब	$x[n-k]$ with $k>0$ and $x:x[n]=0\ \forall n<0$	$z^{-k}X(z)$	${\begin{aligned}Z\{x[n-k]\}&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-(j+k)}&&j=n-k\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}z^{-k}\\&=z^{-k}\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}\\&=z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}&&x[\beta ]=0,\beta <0\\&=z^{-k}X(z)\end{aligned}}$	ROC, except जेड = 0 if k > 0 and जेड = ∞ if k < 0
समय अग्रिम	$x[n+k]$ with $k>0$	Bilateral जेड -transform: $z^{k}X(z)$ Unilateral जेड -transform:^[8] $z^{k}X(z)-z^{k}\sum _{n=0}^{k-1}x[n]z^{-n}$
पहला अंतर पिछड़ा	$x[n]-x[n-1]$ with x[n] = 0 for n < 0	$(1-z^{-1})X(z)$		Contains the intersection of आरओसी of X₁(जेड ) and जेड ≠ 0
पहला अंतर आगे	$x[n+1]-x[n]$	$(z-1)X(z)-zx[0]$
समय उलटा	$x[-n]$	$X(z^{-1})$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x(-n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(-n)z^{-n}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m)z^{m}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m){(z^{-1})}^{-m}\\&=X(z^{-1})\\\end{aligned}}$	${\tfrac {1}{r_{1}}}<\|z\|<{\tfrac {1}{r_{2}}}$
जेड-डोमेन में स्केलिंग	$a^{n}x[n]$	$X(a^{-1}z)$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\left\{a^{n}x[n]\right\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n}x(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(a^{-1}z)^{-n}\\&=X(a^{-1}z)\end{aligned}}$	$\|a\|r_{2}<\|z\|<\|a\|r_{1}$
जटिल संयुग्मन	$x^{*}[n]$	$X^{}(z^{})$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x^{}(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{}(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[x(n)(z^{})^{-n}\right]^{}\\&=\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(z^{})^{-n}\right]^{}\\&=X^{}(z^{})\end{aligned}}$
सही हिस्सा	$\operatorname {Re} \{x[n]\}$	${\tfrac {1}{2}}\left[X(z)+X^{}(z^{})\right]$
काल्पनिक भाग	$\operatorname {Im} \{x[n]\}$	${\tfrac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{}(z^{})\right]$
अवकलन	$nx[n]$	$-z{\frac {dX(z)}{dz}}$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{nx(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n}\\&=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n-1}\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(-nz^{-n-1})\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n){\frac {d}{dz}}(z^{-n})\\&=-z{\frac {dX(z)}{dz}}\end{aligned}}$	ROC, if $X(z)$ is rational; आरओसी possibly excluding the boundary, if $X(z)$ is irrational^[9]
घुमाव	$x_{1}[n]*x_{2}[n]$	$X_{1}(z)X_{2}(z)$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}&={\mathcal {Z}}\left\{\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right]z^{-n}\\&=\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n-l)z^{-n}\right]\\&=\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)z^{-l}\right]\!\!\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\right]\\&=X_{1}(z)X_{2}(z)\end{aligned}}$	Contains ROC₁ ∩ ROC₂
पार सहसंबंध	$r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{}[-n]x_{2}[n]$	$R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}^{}({\tfrac {1}{z^{}}})X_{2}(z)$		Contains the intersection of आरओसी of $X_{1}({\tfrac {1}{z^{*}}})$ and $X_{2}(z)$
संचय	$\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}X(z)$	${\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]z^{-n}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x[n]+\cdots +x[-\infty ])z^{-n}\\&=X(z)\left(1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots \right)\\&=X(z)\sum _{j=0}^{\infty }z^{-j}\\&=X(z){\frac {1}{1-z^{-1}}}\end{aligned}}$
गुणन	$x_{1}[n]x_{2}[n]$	${\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({\tfrac {z}{v}})v^{-1}\mathrm {d} v$		-

पारसेवल की प्रमेय

\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v

प्रारंभिक मूल्य प्रमेय: यदि x[n] कारण है, तो

x[0]=\lim _{z\to \infty }X(z).

अंतिम मूल्य प्रमेय: यदि (जेड − 1)X(जेड ) के ध्रुव इकाई वृत्त के अंदर हैं, तो

x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z).

सामान्य जेड-ट्रांसफॉर्म जोड़े की तालिका

यहाँ:

u:n\mapsto u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}

यूनिट या हीविसाइड स्टेप फलन के रुप में है और

\delta :n\mapsto \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}

क्रोनकर डेल्टा डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग डिस्क्रीट-टाइम यूनिट इम्पल्स फलन सीएफ डिराक डेल्टा फलन है, जो एक सतत-समय संस्करण के रुप में है। दो कार्यों को एक साथ चुना जाता है जिससे कि यूनिट स्टेप फलन यूनिट इंपल्स फलन का संचय रनिंग टोटल हो।

	संकेत, $x[n]$	जेड -रूपांतरण, $X(z)$	आरओसी
1	$\delta [n]$	1	all जेड
2	$\delta [n-n_{0}]$	$z^{-n_{0}}$	$z\neq 0$
3	$u[n]\,$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}$	$\|z\|>1$
4	$-u[-n-1]$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}$	$\|z\|<1$
5	$nu[n]$	${\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}$	$\|z\|>1$
6	$-nu[-n-1]\,$	${\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}$	$\|z\|<1$
7	$n^{2}u[n]$	${\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}$	$\|z\|>1\,$
8	$-n^{2}u[-n-1]\,$	${\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}$	$\|z\|<1\,$
9	$n^{3}u[n]$	${\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}$	$\|z\|>1\,$
10	$-n^{3}u[-n-1]$	${\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}$	$\|z\|<1\,$
11	$a^{n}u[n]$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$\|z\|>\|a\|$
12	$-a^{n}u[-n-1]$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$\|z\|<\|a\|$
13	$na^{n}u[n]$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$\|z\|>\|a\|$
14	$-na^{n}u[-n-1]$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$\|z\|<\|a\|$
15	$n^{2}a^{n}u[n]$	${\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}$	$\|z\|>\|a\|$
16	$-n^{2}a^{n}u[-n-1]$	${\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}$	$\|z\|<\|a\|$
17	$\left({\begin{array}{c}n+m-1\\m-1\end{array}}\right)a^{n}u[n]$	${\frac {1}{(1-az^{-1})^{m}}}$ , for positive integer $m$ ^[9]	$\|z\|>\|a\|$
18	$(-1)^{m}\left({\begin{array}{c}-n-1\\m-1\end{array}}\right)a^{n}u[-n-m]$	${\frac {1}{(1-az^{-1})^{m}}}$ , for positive integer $m$ ^[9]	$\|z\|<\|a\|$
19	$\cos(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$\|z\|>1$
20	$\sin(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$\|z\|>1$
21	$a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$\|z\|>\|a\|$
22	$a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$\|z\|>\|a\|$

फूरियर श्रृंखला और फूरियर ट्रांसफॉर्म से संबंध

के मूल्यों के लिए $z$ क्षेत्र में $|z|=1$ होता है, जिसे यूनिट वृत्त के रूप में जाना जाता है, हम परिवर्तन को परिभाषित करके एकल, वास्तविक चर, ω के कार्य के रूप में व्यक्त कर सकते हैं $z=e^{j\omega }$ . और द्वि-पार्श्व परिवर्तन फूरियर श्रृंखला में कम हो जाता है

\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ z^{-n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n},

(Eq.4)

जिसे असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म डीटीएफटी के रूप में जाना जाता है $x[n]$ अनुक्रम के रुप में होता है। यह 2 $π$ -पीरियॉडिक फलन एक निरंतर फूरियर ट्रांसफॉर्म का आवधिक योग होता है, जो इसे व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला विश्लेषण उपकरण बनाता है। इसे समझने के लिए आइए $X(f)$ किसी भी फलन का फूरियर ट्रांसफॉर्म $x(t)$ के रुप में होता है, जिनके नमूने कुछ अंतराल पर, टी, एक्स [एन] अनुक्रम के बराबर होते है। तब x [n] अनुक्रम का डीटीएफटी निम्नानुसार लिखा जा सकता है।

$\underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ e^{-j2\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(f-k/T).$

(Eq.5)

जब T के पास सेकंड की इकाई होती है, तो $\scriptstyle f$ के पास हर्ट्ज़ की इकाई होती है। दोनों श्रृंखलाओं की तुलना से पता चलता है $\omega =2\pi fT$ एक सामान्यीकृत आवृत्ति डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग प्रति नमूना रेडियन की इकाई के साथ वैकल्पिक सामान्यीकरण रुप में होता है। मान ω = 2 $π$ से मेल खाती है ${\textstyle f={\frac {1}{T}}}$ . और अब, प्रतिस्थापन के साथ ${\textstyle f={\frac {\omega }{2\pi T}},}$ Eq.4 फूरियर ट्रांसफॉर्म, X(•) के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {X\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-{\tfrac {k}{T}}\right)} _{X\left({\frac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right)}.$

(Eq.6)

जैसे ही पैरामीटर T बदलता है, Eq.5 की अलग-अलग शर्तें f-अक्ष के साथ-साथ दूर या एक साथ आगे बढ़ती हैं। चूँकि Eq.6 में, केंद्र 2 $π$ अलग रहते हैं, इसके अतिरिक्त, जबकि उनकी चौड़ाई फैलती या सिकुड़ती है। जब अनुक्रम x(nT) एक एलटीआई प्रणाली की आवेग प्रतिक्रिया का प्रतिनिधित्व करता है, तो इन कार्यों को इसकी आवृत्ति प्रतिक्रिया के रूप में भी जाना जाता है। जब $x(nT)$ अनुक्रम आवधिक रुप में होता है, तो इसका डीटीएफटी एक या अधिक हार्मोनिक आवृत्तियों पर भिन्न होता है और अन्य सभी आवृत्तियों पर शून्य होता है। यह अधिकांशतः हार्मोनिक आवृत्तियों पर आयाम-भिन्न डिराक डेल्टा कार्यों के उपयोग द्वारा दर्शाया जाता है। आवधिकता के कारण, अद्वितीय आयामों की केवल एक सीमित संख्या होती है, जो बहुत सरल असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म (डीएफटी) द्वारा आसानी से गणना की जाती है। असतत-समय फूरियर रूपांतरण § आवधिक डेटा.को इस प्रकार देखते है,

लेपलेस ट्रांसफॉर्म से संबंध

बिलिनियर ट्रांसफॉर्म

द्विरेखीय परिवर्तन का उपयोग निरंतर-समय के फिल्टर लाप्लास डोमेन में प्रतिनिधित्व को असतत-समय के फिल्टर जेड-डोमेन में प्रतिनिधित्व में परिवर्तित करने के लिए किया जाता है और इसके विपरीत निम्नलिखित प्रतिस्थापन का प्रयोग किया जाता है

s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}

कुछ कार्यों को परिवर्तित करने के लिए $H(s)$ लाप्लास डोमेन में एक फलन के लिए $H(z)$ जेड-डोमेन बिलिनियर ट्रांसफॉर्म में इस प्रकार दिखाते है या

z=e^{sT}\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}

जेड-डोमेन से लेपलेस डोमेन तक होते है। द्विरेखीय परिवर्तन के माध्यम से, लाप्लास परिवर्तन के जटिल एस-प्लेन को जेड-ट्रांसफॉर्म के जटिल जेड-प्लेन में मैप किया जाता है। जबकि यह मैपिंग आवश्यकरूप से गैर-रैखिक होती है, यह उपयोगी है कि यह एस-समतल के पूरे $j\omega$ अक्ष को जेड-समतल में यूनिट वृत्त पर मैप करता है। इस प्रकार, फूरियर ट्रांसफॉर्म, जो लाप्लास ट्रांसफॉर्म के रुप में होता है जिसका मूल्यांकन कियाजाता है $j\omega$ अक्ष असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म बन जाता है। यह मानता है कि फूरियर ट्रांसफॉर्म उपस्थित है; अर्थात कि $j\omega$ अक्ष लाप्लास परिवर्तन के अभिसरण के क्षेत्र में होता है।

तारांकित ट्रांसफॉर्म

एक समय-नमूना फलन के एक तरफा जेड- ट्रांसफॉर्म, एक्स (जेड) को देखते हुए, संबंधित 'तारांकित परिवर्तन' एक लाप्लास परिवर्तन उत्पन्न करता है और नमूना पैरामीटर टी पर निर्भरता को पुनर्स्थापित करता है,

{\bigg .}X^{*}(s)=X(z){\bigg |}_{\displaystyle z=e^{sT}}

व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन एक गणितीय अमूर्तता है, जिसे एक आवेग-नमूना फलन के रूप में जाना जाता है।

रैखिक निरंतर-गुणांक अंतर समीकरण

रैखिक स्थिर-गुणांक अंतर (एलसीसीडी ) समीकरण ऑटोरेग्रेसिव मूविंग-एवरेज समीकरण पर आधारित एक रैखिक प्रणाली के लिए एक प्रतिनिधित्व के रुप में होते है।

\sum _{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}

उपरोक्त समीकरण के दोनों पक्षों को α₀ द्वारा विभाजित किया जा सकता है, यदि यह शून्य नहीं है, तो α₀ = 1 को सामान्य करना और एलसीसीडी समीकरण के रुप में लिखा जा सकता है

y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]\alpha _{p}.

एलसीसीडी समीकरण का यह रूप इसे और अधिक स्पष्ट करने के लिए अनुकूल बनाता है, कि वर्तमान आउटपुट y[n] पिछले आउटपुट y[n - p], वर्तमान इनपुट x[n] और पिछले इनपुट x[n - q] का एक कार्य है। .

स्थानांतरण फलन

रैखिकता और समय परिवर्तन नियमो का उपयोग करके उपरोक्त समीकरण के Z-ट्रांसफॉर्म को प्राप्त होता है।

Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}

और परिणामों को पुनर्व्यवस्थित करते है

H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}.

शून्य और ध्रुव

बीजगणित के मौलिक प्रमेय से अंश में एक फलन का एम मूल होता है, एच के शून्य के अनुरूप और हर में N मूल ध्रुवों के अनुरूप होता है। स्थानांतरण प्रकार्य को शून्य और ध्रुवों के संदर्भ में फिर से लिखते है

H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}},

जहां क्यू_के के वें शून्य है और पी_के केवां ध्रुव है। शून्य और ध्रुव सामान्यतः जटिल होते हैं और जब जटिल समतल जेड-प्लेन पर प्लॉट किया जाता है तो इसे ध्रुव-शून्य प्लॉट कहा जाता है।

इसके अतिरिक्त, जेड = 0 और जेड = ∞ पर शून्य और ध्रुव भी उपस्थित हो सकते हैं। यदि हम इन ध्रुवों और शून्यों के साथ-साथ बहु-क्रम शून्यों और ध्रुवों को ध्यान में रखते हैं, तो शून्य और ध्रुवों की संख्या हमेशा बराबर होती है।

विभाजक को विभाजित करके, आंशिक अंश अपघटन का उपयोग किया जा सकता है, जिसके पश्चात समय डोमेन में परिवर्तित किया जा सकता है। ऐसा करने से आवेग प्रतिक्रिया और प्रणाली के रैखिक निरंतर गुणांक अंतर समीकरण का परिणाम के रुप में होता है।

आउटपुट प्रतिक्रिया

यदि ऐसी प्रणाली एच (जेड) सिग्नल एक्स (जेड) द्वारा संचालित होती है तो आउटपुट वाई (जेड) = एच (जेड) एक्स (जेड) होता है। वाई(जेड ) पर आंशिक अंश अपघटन करके और फिर व्युत्क्रम जेड - ट्रांसफॉर्म करके आउटपुट y[n] पाया जाता है। व्यवहार में, यह अधिकांशतः आंशिक रूप से विघटित करने के लिए उपयोगी होता है $\textstyle {\frac {Y(z)}{z}}$ उस मात्रा को जेड से गुणा करने से पहले वाई (जेड) का एक रूप उत्पन्न करता है जिसमें आसानी से गणना योग्य व्युत्क्रम जेड- ट्रांसफॉर्म के साथ शब्द होते हैं।

यह भी देखें

उन्नत जेड- ट्रांसफॉर्म
बिलिनियर परिवर्तन
अंतर समीकरण (पुनरावृत्ति संबंध)
असतत कनवल्शन
असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म
परिमित आवेग प्रतिक्रिया
औपचारिक शक्ति श्रृंखला
जनरेटिंग फलन
फलन परिवर्तन उत्पन्न करना
लाप्लास परिवर्तन
लॉरेंट श्रृंखला
कम से कम वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण
संभावना उत्पन्न करने वाला कार्य
तारा परिवर्तन
ज़क परिवर्तन
जीटा फलन नियमितीकरण

संदर्भ

↑ E. R. Kanasewich (1981). Time Sequence Analysis in Geophysics. University of Alberta. pp. 186, 249. ISBN 978-0-88864-074-1.
↑ E. R. Kanasewich (1981). भूभौतिकी में समय अनुक्रम विश्लेषण (3rd ed.). University of Alberta. pp. 185–186. ISBN 978-0-88864-074-1.
↑ Ragazzini, J. R.; Zadeh, L. A. (1952). "नमूना-डेटा सिस्टम का विश्लेषण". Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, Part II: Applications and Industry. 71 (5): 225–234. doi:10.1109/TAI.1952.6371274. S2CID 51674188.
↑ Cornelius T. Leondes (1996). डिजिटल नियंत्रण प्रणाली कार्यान्वयन और कम्प्यूटेशनल तकनीक. Academic Press. p. 123. ISBN 978-0-12-012779-5.
↑ Eliahu Ibrahim Jury (1958). Sampled-Data Control Systems. John Wiley & Sons.
↑ Eliahu Ibrahim Jury (1973). Theory and Application of the Z-Transform Method. Krieger Pub Co. ISBN 0-88275-122-0.
↑ Eliahu Ibrahim Jury (1964). Theory and Application of the Z-Transform Method. John Wiley & Sons. p. 1.
↑ Bolzern, Paolo; Scattolini, Riccardo; Schiavoni, Nicola (2015). Fondamenti di Controlli Automatici (in italiano). MC Graw Hill Education. ISBN 978-88-386-6882-1.
↑ ^9.0 ^9.1 ^9.2 A. R. Forouzan (2016). "Region of convergence of derivative of Z transform". Electronics Letters. 52 (8): 617–619. Bibcode:2016ElL....52..617F. doi:10.1049/el.2016.0189. S2CID 124802942.

अग्रिम पठन

Refaat El Attar, Lecture notes on जेड -Transform, Lulu Press, Morrisville NC, 2005. ISBN 1-4116-1979-X.
Ogata, Katsuhiko, Discrete Time Control Systems 2nd Ed, Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. ISBN 0-13-034281-5.
Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer (1999). Discrete-Time Signal Processing, 2nd Edition, Prentice Hall Signal Processing Series. ISBN 0-13-754920-2.

बाहरी संबंध

[kanasewich-1] E. R. Kanasewich (1981). Time Sequence Analysis in Geophysics. University of Alberta. pp. 186, 249. ISBN 978-0-88864-074-1.

[2] E. R. Kanasewich (1981). भूभौतिकी में समय अनुक्रम विश्लेषण (3rd ed.). University of Alberta. pp. 185–186. ISBN 978-0-88864-074-1.

[3] Ragazzini, J. R.; Zadeh, L. A. (1952). "नमूना-डेटा सिस्टम का विश्लेषण". Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, Part II: Applications and Industry. 71 (5): 225–234. doi:10.1109/TAI.1952.6371274. S2CID 51674188.

[4] Cornelius T. Leondes (1996). डिजिटल नियंत्रण प्रणाली कार्यान्वयन और कम्प्यूटेशनल तकनीक. Academic Press. p. 123. ISBN 978-0-12-012779-5.

[5] Eliahu Ibrahim Jury (1958). Sampled-Data Control Systems. John Wiley & Sons.

[6] Eliahu Ibrahim Jury (1973). Theory and Application of the Z-Transform Method. Krieger Pub Co. ISBN 0-88275-122-0.

[7] Eliahu Ibrahim Jury (1964). Theory and Application of the Z-Transform Method. John Wiley & Sons. p. 1.

[8] Bolzern, Paolo; Scattolini, Riccardo; Schiavoni, Nicola (2015). Fondamenti di Controlli Automatici (in italiano). MC Graw Hill Education. ISBN 978-88-386-6882-1.

[forouzan-9] 9.0 ^9.1 ^9.2 A. R. Forouzan (2016). "Region of convergence of derivative of Z transform". Electronics Letters. 52 (8): 617–619. Bibcode:2016ElL....52..617F. doi:10.1049/el.2016.0189. S2CID 124802942.

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v t e Digital signal processing
Theory	Detection theory Discrete signal Estimation theory Nyquist–Shannon sampling theorem
Sub-fields	Audio signal processing Digital image processing Speech processing Statistical signal processing
Techniques	Z-transform Advanced z-transform Matched Z-transform method Bilinear transform Constant-Q transform Discrete cosine transform (DCT) Discrete Fourier transform (DFT) Discrete-time Fourier transform (DTFT) Impulse invariance Integral transform Laplace transform Post's inversion formula Starred transform Zak transform
Sampling	Aliasing Anti-aliasing filter Downsampling Nyquist rate / frequency Oversampling Quantization Sampling rate Undersampling Upsampling

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Latest revision as of 10:24, 15 March 2023

Contents

इतिहास

परिभाषा

द्विपक्षीय जेड- ट्रांसफॉर्म

एकतरफा जेड-ट्रांसफॉर्म

इनवर्स जेड-ट्रांसफॉर्म

अभिसरण का क्षेत्र

उदाहरण 1 (कोई आरओसी नहीं)

उदाहरण 2 (कारण आरओसी)

उदाहरण 3 (कारण विरोधी आरओसी)

उदाहरण निष्कर्ष

गुण

सामान्य जेड-ट्रांसफॉर्म जोड़े की तालिका

फूरियर श्रृंखला और फूरियर ट्रांसफॉर्म से संबंध

लेपलेस ट्रांसफॉर्म से संबंध

बिलिनियर ट्रांसफॉर्म

तारांकित ट्रांसफॉर्म

रैखिक निरंतर-गुणांक अंतर समीकरण

स्थानांतरण फलन

शून्य और ध्रुव

आउटपुट प्रतिक्रिया

यह भी देखें

संदर्भ

अग्रिम पठन

बाहरी संबंध

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Wiki tools

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Mathematical transform which converts signals from the time domain to the frequency domain}}
-{{About||standard z-score in statistics|Standard score|Fisher z-transformation in statistics|Fisher transformation}}
+{{About||सांख्यिकी में मानक जेड-स्कोर के लिए |मानक स्कोर को देखते है और|फिशर जेड-आँकड़ों में परिवर्तन के लिए |फिशर परिवर्तन को देखते है}}
-गणित और [[ संकेत आगे बढ़ाना ]] में, जेड-ट्रांसफॉर्म असतत-समय सिग्नल को परिवर्तित करता है, जो [[वास्तविक संख्या]] या [[जटिल संख्या]]ओं का एक [[अनुक्रम]] है, एक जटिल आवृत्ति-डोमेन (जेड-डोमेन या जेड-प्लेन) प्रतिनिधित्व में। <रेफरी नाम = मंडल 2020 पीपी. 157–195 >{{cite book | last=Mandal | first=Jyotsna Kumar | title=प्रतिवर्ती स्टेग्नोग्राफ़ी और प्रमाणीकरण रूपांतरण एन्कोडिंग के माध्यम से| chapter=Z-Transform-Based Reversible Encoding | series=Studies in Computational Intelligence | publisher=Springer Singapore | publication-place=Singapore | year=2020 | volume=901 | isbn=978-981-15-4396-8 | issn=1860-949X | doi=10.1007/978-981-15-4397-5_7 | pages=157–195 | s2cid=226413693 | quote=Z एक जटिल चर है। जेड-ट्रांसफॉर्म असतत स्थानिक डोमेन सिग्नल को जटिल आवृत्ति डोमेन प्रतिनिधित्व में परिवर्तित करता है। जेड-ट्रांसफॉर्म लाप्लास ट्रांसफॉर्म से लिया गया है।}</ref><रेफरी नाम = लिन 1986 पीपी. 225-272 >{{cite book | last=Lynn | first=Paul A. | title=इलेक्ट्रॉनिक सिग्नल और सिस्टम| chapter=The Laplace Transform and the z-transform | publisher=Macmillan Education UK | publication-place=London | year=1986 | isbn=978-0-333-39164-8 | doi=10.1007/978-1-349-18461-3_6 | pages=225–272|quote=लाप्लास ट्रांसफॉर्म और जेड-ट्रांसफॉर्म फूरियर ट्रांसफॉर्म से निकटता से संबंधित हैं। जेड-ट्रांसफॉर्म असतत संकेतों और प्रणालियों से निपटने के लिए विशेष रूप से उपयुक्त है। यह असतत-समय फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म की तुलना में अधिक कॉम्पैक्ट और सुविधाजनक संकेतन प्रदान करता है।}}</ref>
+गणित और [[संकेत]] संसाधन में, जेड ट्रांसफॉर्म , [[वास्तविक संख्या]] या [[जटिल संख्या|जटिल संख्याओं]] के अनुक्रम को एक असतत समय संकेत को परिवर्तित करता है, जो कि एक जटिल आवृत्ति-डोमेन जेड या जेड समतल प्रतिनिधित्व में परिवर्तित करता है।
-इसे [[लाप्लास रूपांतरण]] (एस-डोमेन) के असतत-समय के समकक्ष माना जा सकता है। <रेफरी नाम = पलानी पीपी। 921-1055>{{cite book | last=Palani | first=S. | title=सिग्नल और सिस्टम| chapter=The z-Transform Analysis of Discrete Time सिग्नल और सिस्टम| publisher=Springer International Publishing | publication-place=Cham | date=2021-08-26 | isbn=978-3-030-75741-0 | doi=10.1007/978-3-030-75742-7_9 | pages=921–1055 | s2cid=238692483 | quote=जेड-ट्रांसफॉर्म लाप्लास ट्रांसफॉर्म का असतत प्रतिरूप है। जेड-ट्रांसफॉर्म असतत समय प्रणालियों के अंतर समीकरणों को बीजगणितीय समीकरणों में परिवर्तित करता है जो असतत समय प्रणाली विश्लेषण को सरल करता है। लाप्लास ट्रांसफॉर्म और जेड-ट्रांसफॉर्म आम हैं सिवाय इसके कि लाप्लास ट्रांसफॉर्म लगातार समय के संकेतों और प्रणालियों से संबंधित है।}</ref> [[ समय-पैमाने की गणना ]] के सिद्धांत में इस समानता की खोज की गई है।
+{{cite book | last=लिन | first=पॉल ए. | title=इलेक्ट्रॉनिक सिग्नल और सिस्टम| chapter=लाप्लास रूपांतरण और जेड-रूपांतरण के लिए | publisher=मैकमिलन शिक्षा यूके | publication-place=लंडन | year=1986 | isbn=978-0-333-39164-8 | doi=10.1007/978-1-349-18461-3_6 | pages=225–272|quote=लाप्लास ट्रांसफॉर्म और जेड-ट्रांसफॉर्म फूरियर ट्रांसफॉर्म से निकटता से संबंधित हैं। जेड-ट्रांसफॉर्म असतत संकेतों और प्रणालियों से निपटने के लिए विशेष रूप से उपयुक्त है। यह असतत-समय फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म की तुलना में अधिक कॉम्पैक्ट और सुविधाजनक संकेतन प्रदान करता है।}}
-जबकि लैपलेस एस-डोमेन की काल्पनिक रेखा पर निरंतर-समय के फूरियर रूपांतरण का मूल्यांकन किया जाता है, [[असतत-समय फूरियर रूपांतरण]] का मूल्यांकन जेड-डोमेन के [[यूनिट सर्कल]] पर किया जाता है। मोटे तौर पर एस-डोमेन का बायाँ आधा-तल क्या है, जो अब जटिल इकाई चक्र के अंदर है; यूनिट सर्कल के बाहर जेड-डोमेन क्या है, मोटे तौर पर एस-डोमेन के दाहिने आधे विमान से मेल खाता है।
+जेड-ट्रांसफॉर्म लाप्लास ट्रांसफॉर्म का असतत प्रतिरूप है। जेड-ट्रांसफॉर्म असतत समय प्रणालियों के अंतर समीकरणों को बीजगणितीय समीकरणों में परिवर्तित करता है, जो असतत समय प्रणाली विश्लेषण को सरल करता है। लाप्लास ट्रांसफॉर्म और जेड-ट्रांसफॉर्म आमरूप में होते है सिवाय इसके कि लाप्लास ट्रांसफॉर्म लगातार समय के संकेतों और प्रणालियों से संबंधित होते है। [[ समय-पैमाने की गणना |समय-पैमाने की गणना]] के सिद्धांत में इस समानता की खोज की गई है।
-[[डिजिटल फिल्टर]] डिजाइन करने के साधनों में से एक है एनालॉग डिजाइन लेना, उन्हें बिलिनियर ट्रांसफॉर्म के अधीन करना जो उन्हें एस-डोमेन से जेड-डोमेन तक मैप करता है, और फिर निरीक्षण, हेरफेर या संख्यात्मक सन्निकटन द्वारा डिजिटल फिल्टर का उत्पादन करता है। इस तरह के तरीके जटिल एकता के आसपास के क्षेत्र में सटीक नहीं होते हैं, यानी कम आवृत्तियों पर।
+जबकि लैपलेस एस-डोमेन की काल्पनिक रेखा पर निरंतर-समय के फूरियर ट्रांसफॉर्म का मूल्यांकन किया जाता है, [[असतत-समय फूरियर रूपांतरण|असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म]] का मूल्यांकन जेड-डोमेन के [[यूनिट सर्कल|यूनिट]] वृत्त पर किया जाता है। जो लगभग एस-डोमेन के बाएँ आधा समतल के रूप में है, जो अब जटिल इकाई वृत्त के अंदर है; यूनिट वृत्त के बाहर जेड-डोमेन क्या है, जो लगभग एस डोमेन के दाहिने आधे समतल से मेल खाती है।
+.[[डिजिटल फिल्टर]] डिजाइन करने का एक साधन एनालॉग डिजाइन को उनको एक बिलिनियर ट्रांसफॉर्म पर ले जाना है, जो उन्हें एस डोमेन से जेड डोमेन के मानचित्र में भेजता है और फिर निरीक्षण प्रकलन या संख्यात्मक सन्निकटन द्वारा डिजीटल फिल्टर का उत्पादन करता है। इस तरह की विधियां जटिल एकता के आसपास के क्षेत्र में यथार्थ नहीं होते हैं, अर्थात कम आवृत्तियों को छोड़कर सटीक रूप में नहीं होती हैं।
 == इतिहास ==
-मूल विचार जिसे अब जेड-ट्रांसफॉर्म के रूप में जाना जाता है, [[लाप्लास]] के लिए जाना जाता था, और इसे 1947 में विटोल्ड ह्यूरविक्ज़ | डब्ल्यू द्वारा फिर से पेश किया गया था। ह्यूरविक्ज़<ref name="kanasewich">
+इस परीक्षण का मूल विचार जो अब जेड-ट्रांसफ़ॉर्मेशन तथा [[लैपलेस]] के नाम से भी जाना जाता था और इसे 1947 में डब्ल्यू. ह्यूरविक्ज़ द्वारा फिर से प्रस्तुत किया गया था।<ref name="kanasewich">
-{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=k8SSLy-FYagC&q=inauthor%3AKanasewich++poles+stability&pg=PA249|title=Time Sequence Analysis in Geophysics|author=E. R. Kanasewich|publisher=University of Alberta|year=1981|isbn=978-0-88864-074-1|pages=186, 249}}</ref><ref>{{cite book  | title = भूभौतिकी में समय अनुक्रम विश्लेषण| edition = 3rd  | author = E. R. Kanasewich  | publisher = University of Alberta  | year = 1981  | isbn = 978-0-88864-074-1  | pages = 185–186  | url = https://books.google.com/books?id=k8SSLy-FYagC&pg=PA185}}</ref> और अन्य रडार के साथ उपयोग किए जाने वाले सैंपल-डेटा कंट्रोल सिस्टम के उपचार के तरीके के रूप में। यह रैखिक, स्थिर-गुणांक [[अंतर समीकरण]]ों को हल करने का एक आसान तरीका देता है। इसे बाद में 1952 में कोलंबिया विश्वविद्यालय में सैंपल्ड-डेटा कंट्रोल ग्रुप में जॉन आर. रागाजिनी और लोत्फी ए. ज़ादेह द्वारा जेड-ट्रांसफॉर्म करार दिया गया।<ref>{{cite journal |last1=Ragazzini |first1=J. R. |last2=Zadeh |first2=L. A. |title=नमूना-डेटा सिस्टम का विश्लेषण|journal=Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, Part II: Applications and Industry |date=1952 |volume=71 |issue=5 |pages=225–234 |doi=10.1109/TAI.1952.6371274|s2cid=51674188 }}</ref><ref>{{cite book  | title = डिजिटल नियंत्रण प्रणाली कार्यान्वयन और कम्प्यूटेशनल तकनीक| author = Cornelius T. Leondes  | publisher = Academic Press  | year = 1996| isbn = 978-0-12-012779-5  | page = 123  | url = https://books.google.com/books?id=aQbk3uidEJoC&pg=PA123  }}</ref>
+{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=k8SSLy-FYagC&q=inauthor%3AKanasewich++poles+stability&pg=PA249|title=Time Sequence Analysis in Geophysics|author=E. R. Kanasewich|publisher=University of Alberta|year=1981|isbn=978-0-88864-074-1|pages=186, 249}}</ref><ref>{{cite book  | title = भूभौतिकी में समय अनुक्रम विश्लेषण| edition = 3rd  | author = E. R. Kanasewich  | publisher = University of Alberta  | year = 1981  | isbn = 978-0-88864-074-1  | pages = 185–186  | url = https://books.google.com/books?id=k8SSLy-FYagC&pg=PA185}}</ref> और अन्य लोगों ने रडार के साथ प्रयोग में लाये जाने वाले सैंपल-डेटा कंट्रोल प्रणाली के उपचार के विधियों के रूप में पुनः आरंभ किया। यह रैखिक, स्थिर-गुणांक [[अंतर समीकरण|अंतर समीकरणों]] को हल करने का एक आसान विधि प्रदान करता है। इसे बाद में, 1952 में कोलंबिया विश्वविद्यालय में सैंपल्ड-डेटा कंट्रोल ग्रुप में जॉन आर. रागाजिनी और लोत्फी ए. ज़ादेह द्वारा इस नाम का ट्रांसफॉर्म किया गया।<ref>{{cite journal |last1=Ragazzini |first1=J. R. |last2=Zadeh |first2=L. A. |title=नमूना-डेटा सिस्टम का विश्लेषण|journal=Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, Part II: Applications and Industry |date=1952 |volume=71 |issue=5 |pages=225–234 |doi=10.1109/TAI.1952.6371274|s2cid=51674188 }}</ref><ref>{{cite book  | title = डिजिटल नियंत्रण प्रणाली कार्यान्वयन और कम्प्यूटेशनल तकनीक| author = Cornelius T. Leondes  | publisher = Academic Press  | year = 1996| isbn = 978-0-12-012779-5  | page = 123  | url = https://books.google.com/books?id=aQbk3uidEJoC&pg=PA123  }}</ref>
-संशोधित या उन्नत Z-रूपांतरण बाद में Eliahu I. Jury|E द्वारा विकसित और लोकप्रिय किया गया था। आई. जूरी।<ref>
+संशोधित या उन्नत जेड- ट्रांसफॉर्म बाद में ई.आई. जूरी द्वारा विकसित और लोकप्रिय किया गया था<ref>
 {{cite book
   | title = Sampled-Data Control Systems
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   | isbn = 0-88275-122-0
   }}</ref>
-जेड-रूपांतरण के भीतर निहित विचार को गणितीय साहित्य में कार्यों को उत्पन्न करने की विधि के रूप में भी जाना जाता है जिसे 1730 के आरंभ में पता लगाया जा सकता है जब इसे [[अब्राहम डी मोइवरे]] द्वारा संभाव्यता सिद्धांत के संयोजन के साथ पेश किया गया था।<ref>
+जेड- ट्रांसफॉर्म के भीतर निहित विचार को गणितीय साहित्य में कार्यों को उत्पन्न करने की विधि के रूप में भी जाना जाता है जिसे 1730 के आरंभ में पता लगाया जा सकता है जब इसे [[अब्राहम डी मोइवरे]] द्वारा संभाव्यता सिद्धांत के संयोजन के साथ प्रस्तुत किया गया था।<ref>
 {{cite book
   | title = Theory and Application of the Z-Transform Method
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   | year = 1964
   | page = 1
-  }}</ref>
+  }}</ref> गणितीय दृष्टि से जेड- ट्रांसफॉर्म को [[लॉरेंट श्रृंखला]] के रूप में भी देखा जा सकता है जहां एक विश्लेषणात्मक कार्य के (लॉरेंट) विस्तार के रूप में विचाराधीन संख्याओं के अनुक्रम को देखता है।
-गणितीय दृष्टि से जेड-रूपांतरण को [[लॉरेंट श्रृंखला]] के रूप में भी देखा जा सकता है जहां एक विश्लेषणात्मक कार्य के (लॉरेंट) विस्तार के रूप में विचाराधीन संख्याओं के अनुक्रम को देखता है।
 == परिभाषा ==
-Z- परिवर्तन को एक तरफा या दो तरफा परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। (जैसे हमारे पास लाप्लास रूपांतरण है। एक तरफा लाप्लास रूपांतरण और दो तरफा लाप्लास रूपांतरण।) <रेफरी नाम = जैक्सन 1996 पीपी। 29-54>{{cite book | last=Jackson | first=Leland B. | title=डिजिटल फिल्टर और सिग्नल प्रोसेसिंग| chapter=The z Transform | publisher=Springer US | publication-place=Boston, MA | year=1996 | isbn=978-1-4419-5153-3 | doi=10.1007/978-1-4757-2458-5_3 | pages=29–54 | quote= z ट्रांस्फ़ॉर्म डिस्क्रीट-टाइम सिस्टम के लिए है जो लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म निरंतर-टाइम सिस्टम के लिए है। ''z'' एक जटिल चर है। इसे कभी-कभी दो तरफा ''z'' परिवर्तन के रूप में संदर्भित किया जाता है, जिसमें एक तरफा z परिवर्तन ''n'' = 0 से अनंत तक के योग को छोड़कर समान होता है। एक तरफा परिवर्तन का प्राथमिक उपयोग ... कारण अनुक्रमों के लिए है, जिस स्थिति में दो परिवर्तन वैसे भी समान हैं। इसलिए, हम यह भेद नहीं करेंगे और ... को ''x''(''n'') के केवल z रूपांतरण के रूप में संदर्भित करेंगे।}}</ref>
+जेड -ट्रांसफ़ॉर्म को या तो एक तरफा या दो तरफा रूपान्तरण के रूप में परिभाषित किया जाता है। जैसे हम एक तरफा लैपलेस ट्रांसफॉर्मेशन और दो तरफा लैपलेस ट्रांसफॉर्मेशन करते है। {{cite book | last=जैक्सन | first=लेलैंड बी. | title=डिजिटल फिल्टर और सिग्नल प्रोसेसिंग| chapter=जेड ट्रांसफॉर्म | publisher=स्प्रिंगर यू.एस | publication-place=बोस्टन, एमए | year=1996 | isbn=978-1-4419-5153-3 | doi=10.1007/978-1-4757-2458-5_3 | pages=29–54 | quote= जेड रूपांतरण डिस्क्रीट-टाइम प्रणाली के रुप में होता है, जो लाप्लास रूपांतरण निरंतर-टाइम प्रणाली के लिए होता है। जेड एक जटिल चर के रुप में होता है। इसे कभी-कभी दो तरफा जेड परिवर्तन के रूप में संदर्भित किया जाता है, जिसमें एक तरफा जेड परिवर्तन ''n'' = 0 से अनंत तक के योग को छोड़कर समान होता है। एक तरफा परिवर्तन का प्राथमिक उपयोग कारण अनुक्रमों के लिए होता है, जिस स्थिति में दो परिवर्तन वैसे भी समान रुप में होता है। इसलिए, हम यह भेद नहीं कर सकते है और ''x''(''n'')  को केवल जेड रूपांतरण के रूप में संदर्भित करते है।}}
-=== द्विपक्षीय जेड-ट्रांसफॉर्म ===
+=== द्विपक्षीय जेड- ट्रांसफॉर्म ===
-असतत-समय संकेत का द्विपक्षीय या दो तरफा जेड-रूपांतरण <math>x[n]</math> [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] है <math>X(z)</math> के रूप में परिभाषित
+असतत-समय संकेत <math>x[n]</math> का द्विपक्षीय या दो तरफा जेड- ट्रांसफॉर्म [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] <math>X(z)</math> के रूप में परिभाषित होती है।
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 |background colour=#F5FFFA}}
-कहाँ <math>n</math> एक पूर्णांक है और <math>z</math> सामान्य तौर पर, एक सम्मिश्र संख्या है:
+जहाँ <math>n</math> एक पूर्णांक है और <math>z</math> सामान्यतः, एक सम्मिश्र संख्या के रुप में है।
 :<math>z = A e^{j\phi} = A\cdot(\cos{\phi}+j\sin{\phi})</math>
-कहाँ <math>A</math> का परिमाण है <math>z</math>, <math>j</math> [[काल्पनिक इकाई]] है, और <math>\phi</math> [[कांति]] में [[जटिल तर्क]] (जिसे कोण या चरण भी कहा जाता है) है।
+जहाँ <math>A</math>, <math>z</math> का परिमाण है और <math>j</math> [[काल्पनिक इकाई]] के रुप में है और <math>\phi</math> [[कांति]] में [[जटिल तर्क]] के रुप में है जिसे रेडियंस में कोण या चरण भी कहा जाता है।
 === एकतरफा जेड-ट्रांसफॉर्म ===
-वैकल्पिक रूप से, ऐसे मामलों में जहां <math>x[n]</math> के लिए ही परिभाषित किया गया है <math>n \ge 0</math>, एकतरफा या एकतरफा जेड-ट्रांसफॉर्म को इस रूप में परिभाषित किया गया है
+वैकल्पिक रूप से, ऐसे स्थिति में जहां <math>x[n]</math> केवल <math>n \ge 0</math> के लिए ही परिभाषित किया गया है एकतरफा या एकपक्षीय जेड-ट्रांसफॉर्म को इस रूप में परिभाषित किया जाता है।
 {{Equation box 1
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-सिग्नल प्रोसेसिंग में, इस परिभाषा का उपयोग परिमित आवेग प्रतिक्रिया # असतत-समय [[कारण प्रणाली]] की आवृत्ति प्रतिक्रिया के Z- परिवर्तन का मूल्यांकन करने के लिए किया जा सकता है।
+सिग्नल प्रोसेसिंग में, इस परिभाषा का उपयोग परिमित आवेग प्रतिक्रिया असतत-समय [[कारण प्रणाली]] की आवृत्ति प्रतिक्रिया के जेड - परिवर्तन का मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है।
-एकतरफा जेड-ट्रांसफॉर्म का एक महत्वपूर्ण उदाहरण प्रायिकता-उत्पन्न करने वाला कार्य है, जहां घटक <math>x[n]</math> संभावना है कि एक असतत यादृच्छिक चर मान लेता है <math>n</math>, और समारोह <math>X(z)</math> आमतौर पर के रूप में लिखा जाता है <math>X(s)</math> के अनुसार <math>s=z^{-1}</math>. संभाव्यता सिद्धांत के संदर्भ में जेड-ट्रांसफॉर्म (नीचे) के गुणों की उपयोगी व्याख्या है।
+एकतरफा जेड-ट्रांसफॉर्म का एक महत्वपूर्ण उदाहरण प्रायिकता उत्पन्न करने वाला कार्य होता है, जहां घटक <math>x[n]</math> की संभावना होती है कि एक असतत यादृच्छिक चर मान <math>n</math> लेता है और फलन <math>X(z)</math> को सामान्यतः <math>X(s)</math> के रूप में लिखा जाता है। <math>s=z^{-1}</math>.के अनुसार संभाव्यता सिद्धांत के संदर्भ में नीचे दिए गए जेड-ट्रांसफॉर्म के गुणों की उपयोगी व्याख्या दी गई है।
-== उलटा जेड-ट्रांसफॉर्म ==
+== इनवर्स जेड-ट्रांसफॉर्म ==
-प्रतिलोम Z-रूपांतरण है
+प्रतिलोम जेड -ट्रांसफॉर्म को इस प्रकार दर्शाया गया है
 {{Equation box 1
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 |border colour = #0073CF
 |background colour=#F5FFFA}}
-जहाँ C एक वामावर्त बंद पथ है जो उद्गम को घेरता है और पूरी तरह [[अभिसरण की त्रिज्या]] (ROC) में है। ऐसे मामले में जहां आरओसी कारण है (देखें #उदाहरण 2 (कारण आरओसी)), इसका मतलब है कि पथ सी को सभी ध्रुवों को घेरना चाहिए <math>X(z)</math>.
+जहाँ सी एक वामावर्त बंद पथ के रुप में होता है, जो मूल को घेरता है और पूरी तरह से [[अभिसरण की त्रिज्या]] (आरओसी) के क्षेत्र में होती है। ऐसे स्थितियों में जहां आरओसी कारणात्मक रुप में होते है जैसे उदाहरण 2 दिखाया गया है, इसका मतलब है कि पथ सी <math>X(z)</math>.के सभी ध्रुवों को घेरना चाहिए।
-इस [[समोच्च अभिन्न]] का एक विशेष मामला तब होता है जब C इकाई चक्र होता है। इस समोच्च का उपयोग तब किया जा सकता है जब ROC में यूनिट सर्कल शामिल होता है, जिसकी हमेशा गारंटी होती है <math>X(z)</math> स्थिर है, अर्थात, जब सभी ध्रुव इकाई चक्र के अंदर हों। इस समोच्च के साथ, व्युत्क्रम Z-रूपांतरण असतत-समय फूरियर रूपांतरण# उलटा परिवर्तन| उलटा असतत-समय फूरियर रूपांतरण, या फूरियर श्रृंखला, इकाई चक्र के चारों ओर जेड-रूपांतरण के आवधिक मूल्यों के लिए सरल करता है:
+इस [[परिरेखा समाकलन]] का एक विशेष स्थिति तब होता है जब सी इकाई वृत्त के रुप में होता है। इस समोच्च का उपयोग तब किया जा सकता है जब आरओसी में यूनिट वृत्त के रुप में सम्मलित होता है, जिसकी सदैव गारंटी होती है <math>X(z)</math> स्थिर रुप में होता है अर्थात जब सभी ध्रुव इकाई वृत्त के अंदर होते है। इस समोच्च के साथ, व्युत्क्रम जेड - ट्रांसफॉर्म इकाई चक्र के चारों ओर जेड-ट्रांसफॉर्म के आवधिक मूल्यों के व्युत्क्रम असतत-समय फूरियर रूपांतरण, या फूरियर श्रृंखला को सरल करता है।
 {{Equation box 1
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 |background colour=#F5FFFA}}
-एन की एक परिमित सीमा के साथ जेड-रूपांतरण और समान दूरी वाले जेड मानों की एक सीमित संख्या को ब्लूस्टीन के एफएफटी एल्गोरिदम के माध्यम से कुशलतापूर्वक गणना की जा सकती है। असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म (DTFT) - [[असतत फूरियर रूपांतरण]] (DFT) के साथ भ्रमित नहीं होना - इस तरह के जेड-ट्रांसफॉर्म का एक विशेष मामला है जो जेड को यूनिट सर्कल पर झूठ बोलने के लिए प्रतिबंधित करता है।
+एन की एक परिमित सीमा के साथ जेड- ट्रांसफॉर्म और समान दूरी वाले जेड मानों की एक सीमित संख्या को ब्लूस्टीन के एफएफटी कलन विधि के माध्यम से कुशलतापूर्वक गणना की जाती है। असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म डीटीएफटी और [[असतत फूरियर रूपांतरण|असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म]] डीएफटी के साथ अस्पष्ट नहीं होता है इस प्रकार के जेड-ट्रांसफॉर्म का एक विशेष स्थिति होती है, जो जेड को यूनिट वृत्त पर लाई बोलने के लिए प्रतिबंधित करता है।
 == अभिसरण का क्षेत्र ==
-अभिसरण का त्रिज्या (आरओसी) जटिल विमान में बिंदुओं का समूह है जिसके लिए जेड-रूपांतर योग अभिसरण करता है।
+अभिसरण क्षेत्र (आरओसी) जटिल तल में बिंदुओं का एक समूह होता है, जिसके लिए जेड ट्रांसफॉर्म समीकरण परिवर्तित करता है।
 :<math>\mathrm{ROC} = \left\{ z : \left|\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}\right| < \infty \right\} </math>
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 === उदाहरण 1 (कोई आरओसी नहीं) ===
-होने देना <math>x[n] = 0.5^n\ </math>. अंतराल (−∞, ∞) पर x[n] का विस्तार करने पर यह बन जाता है
+माना <math>x[n] = 0.5^n\ </math>. अंतराल (−∞, ∞) पर x[n] का विस्तार करने पर यह इस रुप में बन जाता है
 :<math>x[n] = \left \{\dots, 0.5^{-3}, 0.5^{-2}, 0.5^{-1}, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, \dots \right \} = \left \{\dots, 2^3, 2^2, 2, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, \dots \right\}.</math>
-राशि देख रहे हैं
+इन राशियो का योग इस प्रकार दिखाया गया है
 :<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} \to \infty.</math>
-इसलिए, z का कोई मान नहीं है जो इस शर्त को पूरा करता हो।
+इसलिए, जेड का कोई मान नहीं है जो इस शर्त को पूरा करता हो।
 === उदाहरण 2 (कारण आरओसी) ===
-[[Image:Region of convergence 0.5 causal.svg|thumb|250px|ROC को नीले रंग में दिखाया गया है, यूनिट सर्कल को बिंदीदार ग्रे सर्कल और सर्कल |z| के रूप में दिखाया गया है = 0.5 को धराशायी काले घेरे के रूप में दिखाया गया है]]होने देना <math>x[n] = 0.5^n u[n]\ </math> (जहाँ u [[हैवीसाइड स्टेप फंक्शन]] है)। अंतराल (−∞, ∞) पर x[n] का विस्तार करने पर यह बन जाता है
+[[Image:Region of convergence 0.5 causal.svg|thumb|250px|<nowiki> आरओसी नीले रंग में दिखाया गया है, यूनिट सर्कल एक बिंदीदार ग्रे सर्कल और सर्कल |</nowiki>''z''<nowiki>| =0.5  को काले घेरे के रूप में दिखाया गया है</nowiki>]]माना <math>x[n] = 0.5^n u[n]\ </math> जहाँ u [[हैवीसाइड स्टेप फंक्शन|हैवीसाइड स्टेप फलन]] के रुप में होता है। अंतराल (−∞, ∞) पर x[n] का विस्तार करने पर यह इस रुप में बन जाता है
 :<math>x[n] = \left \{\dots, 0, 0, 0, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, \dots \right \}.</math>
-राशि देख रहे हैं
+इन राशियो का योग इस प्रकार दिखाया गया है
 :<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}0.5^nz^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{0.5}{z}\right)^n = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}.</math>
-अंतिम समानता अनंत ज्यामितीय श्रृंखला से उत्पन्न होती है और समानता केवल तभी होती है {{abs|0.5''z''<sup>−1</sup>}} <1, जिसे z के रूप में फिर से लिखा जा सकता है {{abs|''z''}}> 0.5। इस प्रकार, आरओसी है {{abs|''z''}}> 0.5। इस मामले में आरओसी एक जटिल विमान है, जिसकी त्रिज्या 0.5 की एक डिस्क के साथ छिद्रित होती है।{{clear}}
+अंतिम समानता अनंत ज्यामितीय श्रृंखला से उत्पन्न होती है और समानता केवल तभी होती है जब {{abs|0.5''z''<sup>−1</sup>}} <1, जिसे जेड के पदों में {{abs|''z''}}> 0.5। के रूप में फिर से लिखा जा सकता है इस प्रकार, आरओसी {{abs|''z''}}> 0.5 के रुप में है। इस स्थितियों में आरओसी एक जटिल तल है, जिसकी त्रिज्या 0.5 की एक डिस्क के साथ छिद्रित होती है।
 === उदाहरण 3 (कारण विरोधी आरओसी) ===
-[[Image:Region of convergence 0.5 anticausal.svg|thumb|250px|ROC को नीले रंग में दिखाया गया है, यूनिट सर्कल को बिंदीदार ग्रे सर्कल और सर्कल |z| के रूप में दिखाया गया है = 0.5 को धराशायी काले घेरे के रूप में दिखाया गया है]]होने देना <math>x[n] = -(0.5)^n u[-n-1]\ </math> (जहाँ u हीविसाइड स्टेप फंक्शन है)। अंतराल (−∞, ∞) पर x[n] का विस्तार करने पर यह बन जाता है
+[[Image:Region of convergence 0.5 anticausal.svg|thumb|250px|<nowiki> आरओसी को नीले रंग में दिखाया गया है, यूनिट सर्कल को बिंदीदार ग्रे सर्कल और सर्कल |</nowiki>''z''<nowiki>| =0.5 को काले घेरे के रूप में दिखाया गया है</nowiki>]]माना <math>x[n] = -(0.5)^n u[-n-1]\ </math> जहाँ u हीविसाइड स्टेप फलन के रुप में होता है। अंतराल (−∞, ∞) पर x[n] का विस्तार करने पर यह इस रुप में बन जाता है
 :<math>x[n] = \left \{ \dots, -(0.5)^{-3}, -(0.5)^{-2}, -(0.5)^{-1}, 0, 0, 0, 0, \dots \right \}.</math>
-राशि देख रहे हैं
+इन राशियो का योग इस प्रकार दिखाया गया है
 :<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} = -\sum_{n=-\infty}^{-1}0.5^nz^{-n} = -\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{z}{0.5}\right)^{m} = -\frac{0.5^{-1}z}{1 - 0.5^{-1}z} = -\frac{1}{0.5z^{-1}-1} = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}.</math>
-अनंत ज्यामितीय श्रृंखला का उपयोग करते हुए, समानता केवल तभी होती है जब {{abs|0.5<sup>−1</sup>''z''}} <1 जिसे z के रूप में फिर से लिखा जा सकता है {{abs|''z''}} <0.5। इस प्रकार, आरओसी है {{abs|''z''}} <0.5। इस मामले में ROC मूल बिंदु पर केंद्रित और 0.5 त्रिज्या की एक डिस्क है।
+अनंत ज्यामितीय श्रृंखला का उपयोग करते हुए, समानता केवल तभी होती है जब {{abs|0.5<sup>−1</sup>''z''}} <1 जिसे जेड के पदों में {{abs|''z''}} <0.5 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इस प्रकार, आरओसी है {{abs|''z''}} <0.5 के रुप में होती है। इस स्थितियों में आरओसी मूल बिंदु पर केंद्रित और 0.5 त्रिज्या की एक डिस्क के रुप में होती है।
-इस उदाहरण को पिछले उदाहरण से जो अलग करता है वह केवल ROC है। यह जानबूझकर प्रदर्शित करना है कि केवल परिवर्तन परिणाम अपर्याप्त है।
-{{Clear}}
+जो पिछले उदाहरण से इस उदाहरण को अलग करता है वह केवल आरओसी है। यह प्रदर्शित करने के लिए जानबूझकर है कि केवल ट्रांसफॉर्म परिणाम अपर्याप्त रुप में होते है।
 === उदाहरण निष्कर्ष ===
-उदाहरण 2 और 3 स्पष्ट रूप से दिखाते हैं कि एक्स [एन] का जेड-ट्रांसफॉर्म एक्स (जेड) अद्वितीय है जब और केवल आरओसी निर्दिष्ट करते समय। कार्य-कारण और प्रतिकार-विरोधी मामले के लिए ध्रुव-शून्य भूखंड बनाना दर्शाता है कि किसी भी मामले के लिए ROC में वह ध्रुव शामिल नहीं है जो 0.5 पर है। यह कई ध्रुवों वाले मामलों तक फैला हुआ है: ROC में कभी भी खंभे नहीं होंगे।
+उदाहरण 2 और 3 स्पष्ट रूप से दिखाते हैं कि एक्स [एन] का जेड-ट्रांसफॉर्म एक्स (जेड) अद्वितीय है जब और केवल आरओसी निर्दिष्ट करते समय होता है। कार्य कारण और प्रतिकार-विरोधी स्थितियों के लिए ध्रुव-शून्य प्लॉट बनाने से पता चलता है कि किसी भी स्थितियों के लिए आरओसी में वह ध्रुव के रुप में सम्मलित नहीं है, जो 0.5 पर स्थित होता है। यह कई ध्रुवों वाले स्थितियो तक फैला हुआ है तथा आरओसी में कभी भी पोल नहीं होंते है
-उदाहरण 2 में, कारण प्रणाली एक आरओसी उत्पन्न करती है जिसमें शामिल है {{abs|''z''}} = ∞ जबकि उदाहरण 3 में एंटीकॉज़ल सिस्टम एक आरओसी उत्पन्न करता है जिसमें शामिल है {{abs|''z''}} = 0.
+उदाहरण 2 में, प्रणाली एक आरओसी उत्पन्न करती है, जिसमें {{abs|''z''}} = ∞ के रुप में सम्मलित होती है, जबकि उदाहरण 3 में एंटीकॉज़ल प्रणाली एक आरओसी उत्पन्न करता है, जिसमें {{abs|''z''}} = 0 के रुप में सम्मलित होती है
-[[Image:Region of convergence 0.5 0.75 mixed-causal.svg|thumb|250px|आरओसी को नीले रंग की अंगूठी 0.5 < |z| के रूप में दिखाया गया है <0.75]]कई ध्रुवों वाले सिस्टम में एक आरओसी होना संभव है जिसमें कोई भी शामिल न हो {{abs|''z''}} = ∞ न ही {{abs|''z''}} = 0. आरओसी एक गोलाकार बैंड बनाता है। उदाहरण के लिए,
+[[Image:Region of convergence 0.5 0.75 mixed-causal.svg|thumb|250px|<nowiki> आरओसी को एक नीले वलय के रूप में दिखाया गया है 0.5 < |</nowiki>''z''<nowiki>| < 0.75</nowiki>]]कई ध्रुवों वाले प्रणाली में एक आरओसी होना संभव होता है, जिसमें कोई {{abs|''z''}} = ∞ न ही {{abs|''z''}} = 0.के रुप में सम्मलित न हो आरओसी एक गोलाकार बैंड बनाता है। उदाहरण को इस प्रकार दिखाया गया है
 :<math>x[n] = 0.5^nu[n] - 0.75^nu[-n-1]</math>
-.5 और 0.75 पर डंडे हैं। आरओसी 0.5 < होगा {{abs|''z''}} < 0.75, जिसमें न तो मूल और न ही अनंत शामिल है। इस तरह की प्रणाली को मिश्रित-कारणात्मक प्रणाली कहा जाता है क्योंकि इसमें एक कारण शब्द (0.5) होता है।<sup>n</sup>u[n] और एक कारण-विरोधी शब्द −(0.75)<sup>n</sup>यू[−n−1].
+.5 और 0.75 पर पोल हैं। आरओसी 0.5 < |''z''| < 0.75 के रुप में होता है, जिसमें न तो मूल और न ही अनंत सम्मलित होता है। इस प्रकार की प्रणाली को मिश्रित कारणात्मक प्रणाली कहा जाता है क्योंकि इसमें एक कारक शब्द (0.5)nu[n] और एक कारण-विरोधी शब्द -(0.75)nu[−n−1] होता है।
-नियंत्रण सिद्धांत # अकेले आरओसी को जानकर सिस्टम की स्थिरता भी निर्धारित की जा सकती है। अगर ROC में यूनिट सर्कल है (यानी, {{abs|''z''}} = 1) तो सिस्टम स्थिर है। उपरोक्त प्रणालियों में कारण प्रणाली (उदाहरण 2) स्थिर है क्योंकि {{abs|''z''}} > 0.5 में यूनिट सर्कल है।
+नियंत्रण सिद्धांत अकेले आरओसी को जानकर प्रणाली की स्थिरता भी निर्धारित की जाती है। यदि आरओसी में यूनिट वृत्त है अर्थात, {{abs|''z''}} = 1 तो प्रणाली स्थिर रुप में होती है। उपरोक्त प्रणालियों में कारण प्रणाली उदाहरण 2 में स्थिर है क्योंकि {{abs|''z''}} > 0.5 में यूनिट वृत्त के रुप में होते है।
-आइए मान लें कि हमें आरओसी के बिना एक सिस्टम का जेड-रूपांतरण प्रदान किया गया है (यानी, एक अस्पष्ट एक्स [एन])। हम एक अद्वितीय एक्स [एन] निर्धारित कर सकते हैं बशर्ते हम निम्नलिखित चाहते हैं:
+आइए मान लें कि हमें आरओसी के बिना एक प्रणाली का जेड- ट्रांसफॉर्म प्रदान किया गया है अर्थात, एक अस्पष्ट एक्स [एन]) के रुप में होता है। हम एक अद्वितीय एक्स [एन] निर्धारित कर सकते हैं बशर्ते हम निम्नलिखित प्रकार चाहते हैं
 * स्थिरता
 * कारणता
-स्थिरता के लिए आरओसी में यूनिट सर्कल होना चाहिए। अगर हमें एक कारण प्रणाली की आवश्यकता है तो आरओसी में अनंत होना चाहिए और सिस्टम फ़ंक्शन दाएं तरफा अनुक्रम होगा। अगर हमें एक एंटीकॉज़ल सिस्टम की आवश्यकता है तो आरओसी में मूल होना चाहिए और सिस्टम फ़ंक्शन बाएं तरफा अनुक्रम होगा। यदि हमें स्थिरता और कार्य-कारण दोनों की आवश्यकता है, तो सिस्टम फ़ंक्शन के सभी ध्रुवों को यूनिट सर्कल के अंदर होना चाहिए।
+स्थिरता के लिए आरओसी में यूनिट वृत्त होना चाहिए। यदि हमें एक कारण प्रणाली की आवश्यकता है, तो आरओसी में अनंत होना चाहिए और प्रणाली फलन दाएं तरफा अनुक्रम होगा। यदि हमें एक एंटीकॉज़ल प्रणाली की आवश्यकता है तो आरओसी में मूल होना चाहिए और प्रणाली फलन बाएं तरफा अनुक्रम रुप में होता है। यदि हमें स्थिरता और कार्य-कारण दोनों की आवश्यकता है, तो प्रणाली फलन के सभी ध्रुवों को यूनिट वृत्त के अंदर होना चाहिए।
 अद्वितीय x [n] तब पाया जा सकता है।
@@ Line 156: / Line 156: @@
 == गुण ==
 {| class="wikitable"
-  |+ '''Properties of the z-transform'''
+  |+ '''जेड-ट्रांसफॉर्म के गुण'''
   !
-  	! Time domain
+  	! समय क्षेत्र
-	! Z-domain
+	! जेड-डोमेन
-	! Proof
+	! प्रमाण
-  	! ROC
+  	! आरओसी
   |-
-  ! Notation
+  ! नोटेशन
 	| <math>x[n]=\mathcal{Z}^{-1}\{X(z)\}</math>
 	| <math>X(z)=\mathcal{Z}\{x[n]\}</math>
@@ Line 169: / Line 169: @@
 	|<math>r_2<|z|<r_1</math>
   |-
-  ! [[Linearity]]
+  ! [[Linearity|रैखिकता]]
 	| <math>a_1 x_1[n] + a_2 x_2[n]</math>
 	| <math>a_1 X_1(z) + a_2 X_2(z)</math>
@@ Line 177: / Line 177: @@
 	| Contains ROC<sub>1</sub> ∩ ROC<sub>2</sub>
   |-
-  ! [[Upsampling|Time expansion]]
+  ! [[Upsampling|समय विस्तार]]
 	| <math>x_K[n] = \begin{cases} x[r], & n = Kr \\ 0, & n \notin K\mathbb{Z} \end{cases}</math>
 with <math>K\mathbb{Z} := \{Kr: r \in \mathbb{Z}\}</math>
@@ Line 187: / Line 187: @@
 	| <math>R^{\frac{1}{K}}</math>
   |-
-  ! [[Downsampling|Decimation]]
+  ! [[Downsampling|तबाही]]
 	| <math>x[Kn]</math>
 	| <math>\frac{1}{K} \sum_{p=0}^{K-1} X\left(z^{\tfrac{1}{K}} \cdot e^{-i \tfrac{2\pi}{K} p}\right)</math>
@@ Line 193: / Line 193: @@
 	|
   |-
-  ! Time delay
+  ! समय विलंब
 	| <math>x[n-k]</math>
 with <math>k>0</math> and <math>x : x[n]=0\ \forall n<0</math>
@@ Line 203: / Line 203: @@
 &= z^{-k}\sum_{j=0}^{\infty}x[j]z^{-j} && x[\beta] = 0,  \beta < 0\\
 &= z^{-k}X(z)\end{align} </math>
-	| ROC, except ''z'' = 0 if ''k'' > 0 and ''z'' = ∞ if ''k'' < 0
+	| ROC, except ''जेड'' = 0 if ''k'' > 0 and ''जेड'' = ∞ if ''k'' < 0
   |-
-  ! Time advance
+  ! समय अग्रिम
 	| <math>x[n+k]</math>
 with <math>k>0</math>
-	| Bilateral Z-transform:
+	| Bilateral जेड -transform:
 <math display="block">z^kX(z)</math>
-Unilateral Z-transform:<ref>{{cite book |last1=Bolzern |first1=Paolo |last2=Scattolini |first2=Riccardo |last3=Schiavoni |first3=Nicola |title=Fondamenti di Controlli Automatici |language=it |publisher=MC Graw Hill Education |isbn=978-88-386-6882-1|year=2015 }}</ref>
+Unilateral जेड -transform:<ref>{{cite book |last1=Bolzern |first1=Paolo |last2=Scattolini |first2=Riccardo |last3=Schiavoni |first3=Nicola |title=Fondamenti di Controlli Automatici |language=it |publisher=MC Graw Hill Education |isbn=978-88-386-6882-1|year=2015 }}</ref>
 <math display="block">z^kX(z)-z^k\sum^{k-1}_{n=0}x[n]z^{-n}</math>
 	|
 	|
   |-
-  ! First difference backward
+  ! पहला अंतर पिछड़ा
 	|  <math>x[n] - x[n-1]</math>
 with ''x''[''n''] = 0 for ''n'' < 0
 	| <math> (1-z^{-1})X(z)</math>
 	|
-	| Contains the intersection of ROC of ''X''<sub>1</sub>(''z'') and ''z'' ≠ 0
+	| Contains the intersection of आरओसी of ''X''<sub>1</sub>(''जेड'' ) and ''जेड'' ≠ 0
   |-
-  ! First difference forward
+  ! पहला अंतर आगे
 |  <math>x[n+1] - x[n]</math>
 	| <math> (z-1)X(z)-zx[0]</math>
@@ Line 228: / Line 228: @@
 	|
   |-
-  ! Time reversal
+  ! समय उलटा
 	| <math>x[-n]</math>
 	| <math>X(z^{-1})</math>
@@ Line 238: / Line 238: @@
 	| <math>\tfrac{1}{r_1}<|z|<\tfrac{1}{r_2}</math>
   |-
-  ! Scaling in the z-domain
+  ! जेड-डोमेन में स्केलिंग
 	| <math>a^n x[n]</math>
 	| <math>X(a^{-1}z)</math>
@@ Line 248: / Line 248: @@
   |-
-  ! [[Complex conjugation]]
+  ! [[Complex conjugation|जटिल संयुग्मन]]
 	| <math>x^*[n]</math>
 	| <math>X^*(z^*)</math>
@@ Line 258: / Line 258: @@
 	|
   |-
-  ! [[Real part]]
+  ! [[Real part|सही हिस्सा]]
 	| <math>\operatorname{Re}\{x[n]\}</math>
 	| <math>\tfrac{1}{2}\left[X(z)+X^*(z^*) \right]</math>
@@ Line 264: / Line 264: @@
 	|
   |-
-  ! [[Imaginary part]]
+  ! [[Imaginary part|काल्पनिक भाग]]
 	| <math>\operatorname{Im}\{x[n]\}</math>
 	| <math>\tfrac{1}{2j}\left[X(z)-X^*(z^*) \right]</math>
@@ Line 270: / Line 270: @@
 	|
   |-
-  ! Differentiation
+  ! अवकलन
 	| <math>nx[n]</math>
 	| <math> -z \frac{dX(z)}{dz}</math>
@@ Line 280: / Line 280: @@
 \end{align} </math>
 	| ROC, if <math>X(z)</math> is rational;
-ROC possibly excluding the boundary, if <math>X(z)</math> is irrational<ref name = forouzan>{{cite journal  | journal = Electronics Letters| title = Region of convergence of derivative of Z transform  | author = A. R. Forouzan  | volume = 52  | issue = 8  | pages = 617–619  | year = 2016| doi = 10.1049/el.2016.0189| bibcode = 2016ElL....52..617F | s2cid = 124802942 }}</ref>
+आरओसी possibly excluding the boundary, if <math>X(z)</math> is irrational<ref name = forouzan>{{cite journal  | journal = Electronics Letters| title = Region of convergence of derivative of Z transform  | author = A. R. Forouzan  | volume = 52  | issue = 8  | pages = 617–619  | year = 2016| doi = 10.1049/el.2016.0189| bibcode = 2016ElL....52..617F | s2cid = 124802942 }}</ref>
   |-
-  ! [[Convolution]]
+  ! [[Convolution|घुमाव]]
 	| <math>x_1[n] * x_2[n]</math>
 	| <math>X_1(z)X_2(z)</math>
@@ Line 293: / Line 294: @@
 	| Contains ROC<sub>1</sub> ∩ ROC<sub>2</sub>
   |-
-  ! [[Cross-correlation]]
+  ! [[Cross-correlation|पार सहसंबंध]]
 	| <math>r_{x_1,x_2}=x_1^*[-n] * x_2[n]</math>
 	| <math>R_{x_1,x_2}(z)=X_1^*(\tfrac{1}{z^*})X_2(z)</math>
 	|
-	| Contains the intersection of ROC of <math>X_1(\tfrac{1}{z^*})</math> and <math>X_2(z)</math>
+	| Contains the intersection of आरओसी of <math>X_1(\tfrac{1}{z^*})</math> and <math>X_2(z)</math>
   |-
-  ! Accumulation
+  ! संचय
 	|<math>\sum_{k=-\infty}^{n} x[k]</math>
 	|<math> \frac{1}{1-z^{-1}}X(z)</math>
@@ Line 309: / Line 310: @@
 	|
   |-
-  ! [[Multiplication]]
+  ! [[Multiplication|गुणन]]
 	|  <math>x_1[n]x_2[n]</math>
 	| <math>\frac{1}{j2\pi}\oint_C X_1(v)X_2(\tfrac{z}{v})v^{-1}\mathrm{d}v</math>
@@ Line 319: / Line 320: @@
 [[प्रारंभिक मूल्य प्रमेय]]: यदि ''x''[''n''] कारण है, तो
 :<math>x[0]=\lim_{z\to \infty}X(z).</math>
-[[अंतिम मूल्य प्रमेय]]: यदि (''z'' − 1)''X''(''z'') के ध्रुव इकाई चक्र के अंदर हैं, तो
+[[अंतिम मूल्य प्रमेय]]: यदि (''जेड'' − 1)''X''(''जेड'' ) के ध्रुव इकाई वृत्त के अंदर हैं, तो
 :<math>x[\infty]=\lim_{z\to 1}(z-1)X(z).</math>
+=== सामान्य जेड-ट्रांसफॉर्म जोड़े की तालिका ===
-== सामान्य जेड-ट्रांसफॉर्म जोड़े == की तालिका
 यहाँ:
 :<math>u : n \mapsto u[n] = \begin{cases} 1, & n \ge 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases}</math>
-हीविसाइड स्टेप फंक्शन|यूनिट (या हीविसाइड) स्टेप फंक्शन है और
+यूनिट या हीविसाइड स्टेप फलन के रुप में है और
 :<math>\delta : n \mapsto \delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}</math>
-क्रोनकर डेल्टा#डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग|डिस्क्रीट-टाइम यूनिट इम्पल्स फंक्शन (cf Dirac [[डिराक डेल्टा समारोह]] एक सतत-समय संस्करण है) है। दो कार्यों को एक साथ चुना जाता है ताकि यूनिट स्टेप फ़ंक्शन यूनिट इंपल्स फ़ंक्शन का संचय (रनिंग टोटल) हो।
+क्रोनकर डेल्टा डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग डिस्क्रीट-टाइम यूनिट इम्पल्स फलन सीएफ [[डिराक डेल्टा समारोह|डिराक डेल्टा]] फलन है, जो एक सतत-समय संस्करण के रुप में है। दो कार्यों को एक साथ चुना जाता है जिससे कि यूनिट स्टेप फलन यूनिट इंपल्स फलन का संचय रनिंग टोटल हो।
 {| class="wikitable"
 |-
-! !! Signal, <math>x[n]</math> !! Z-transform, <math>X(z)</math> !! ROC
+! !! संकेत, <math>x[n]</math> !! जेड -रूपांतरण, <math>X(z)</math> !! आरओसी
 |-
-|  1 || <math>\delta[n]</math> || 1 || all ''z''
+|  1 || <math>\delta[n]</math> || 1 || all ''जेड''
 |-
 |  2 || <math>\delta[n-n_0]</math> || <math> z^{-n_0}</math> || <math> z \neq 0</math>
@@ Line 366: / Line 366: @@
 | 16 ||<math>- n^2 a^n u[-n -1]</math> || <math> \frac{a z^{-1} (1 + a z^{-1}) }{(1-a z^{-1})^3} </math> || <math>|z| < |a|</math>
 |-
-| 17 ||<math> \left(\begin{array}{c} n + m - 1 \\ m - 1 \end{array} \right) a^n u[n]</math> || <math> \frac{1}{(1-a z^{-1})^m} </math>, for positive integer <math>m</math><ref name=forouzan/> || <math>|z| > |a|</math>
+| 17 ||<math> \left(\begin{array}{c} n + m - 1 \\ m - 1 \end{array} \right) a^n u[n]</math> || <math> \frac{1}{(1-a z^{-1})^m} </math>, for positive integer <math>m</math><ref name="forouzan" /> || <math>|z| > |a|</math>
 |-
-| 18 ||<math> (-1)^m \left(\begin{array}{c} -n - 1 \\ m - 1 \end{array} \right) a^n u[-n -m]</math> || <math> \frac{1}{(1-a z^{-1})^m} </math>, for positive integer <math>m</math><ref name=forouzan/> || <math>|z| < |a|</math>
+| 18 ||<math> (-1)^m \left(\begin{array}{c} -n - 1 \\ m - 1 \end{array} \right) a^n u[-n -m]</math> || <math> \frac{1}{(1-a z^{-1})^m} </math>, for positive integer <math>m</math><ref name="forouzan" /> || <math>|z| < |a|</math>
 |-
 | 19 ||<math>\cos(\omega_0 n) u[n]</math> || <math> \frac{ 1-z^{-1} \cos(\omega_0)}{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2}}</math> ||<math> |z| >1</math>
@@ Line 380: / Line 380: @@
-== फूरियर श्रृंखला और फूरियर रूपांतरण से संबंध ==
+== फूरियर श्रृंखला और फूरियर ट्रांसफॉर्म से संबंध ==
-{{further|Discrete-time Fourier transform#Relationship to the Z-transform}}
+{{further|असतत-समय फूरियर & रिलेशनशिप को जेड-ट्रांसफॉर्म में बदल देता है}}
-के मूल्यों के लिए <math>z</math> क्षेत्र में <math>|z|=1</math>, जिसे यूनिट सर्कल के रूप में जाना जाता है, हम परिभाषित करके एकल, वास्तविक चर, ω के कार्य के रूप में परिवर्तन को व्यक्त कर सकते हैं <math>z=e^{j \omega}</math>. और द्वि-पार्श्व परिवर्तन फूरियर श्रृंखला में कम हो जाता है:
+के मूल्यों के लिए <math>z</math> क्षेत्र में <math>|z|=1</math> होता है, जिसे यूनिट वृत्त के रूप में जाना जाता है, हम परिवर्तन को परिभाषित करके एकल, वास्तविक चर, ω के कार्य के रूप में व्यक्त कर सकते हैं <math>z=e^{j \omega}</math>. और द्वि-पार्श्व परिवर्तन फूरियर श्रृंखला में कम हो जाता है
 {{NumBlk|:|<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\ z^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\ e^{-j\omega n},</math>|{{EquationRef|Eq.4}}}}
-जिसे असतत-समय फूरियर रूपांतरण (DTFT) के रूप में भी जाना जाता है <math>x[n]</math> अनुक्रम। यह 2{{pi}}-पीरियॉडिक फ़ंक्शन एक [[निरंतर फूरियर रूपांतरण]] का [[आवधिक योग]] है, जो इसे व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला विश्लेषण उपकरण बनाता है। इसे समझने के लिए आइए <math>X(f)</math> किसी भी समारोह का फूरियर रूपांतरण हो, <math>x(t)</math>, जिनके नमूने कुछ अंतराल पर, टी, एक्स [एन] अनुक्रम के बराबर हैं। तब x [n] अनुक्रम का DTFT निम्नानुसार लिखा जा सकता है।
+जिसे असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म डीटीएफटी के रूप में जाना जाता है <math>x[n]</math> अनुक्रम के रुप में होता है। यह 2{{pi}}-पीरियॉडिक फलन एक [[निरंतर फूरियर रूपांतरण|निरंतर फूरियर ट्रांसफॉर्म]] का [[आवधिक योग]] होता है, जो इसे व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला विश्लेषण उपकरण बनाता है। इसे समझने के लिए आइए <math>X(f)</math> किसी भी फलन का फूरियर ट्रांसफॉर्म <math>x(t)</math> के रुप में होता है, जिनके नमूने कुछ अंतराल पर, टी, एक्स [एन] अनुक्रम के बराबर होते है। तब x [n] अनुक्रम का डीटीएफटी निम्नानुसार लिखा जा सकता है।
 {{NumBlk|:|
@@ Line 395: / Line 395: @@
 |{{EquationRef|Eq.5}}}}
-जब T के पास सेकंड की इकाई होती है, <math>\scriptstyle f</math> [[ हेटर्स ]]़ की इकाइयाँ हैं। दोनों श्रृंखलाओं की तुलना से पता चलता है<math> \omega = 2\pi fT</math>एक सामान्यीकृत आवृत्ति (डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग) # प्रति नमूना रेडियन की इकाई के साथ वैकल्पिक सामान्यीकरण है। मान ω = 2{{pi}} से मेल खाती है <math display="inline"> f = \frac{1}{T}</math>. और अब, प्रतिस्थापन के साथ<math display="inline"> f = \frac{\omega }{2\pi T},</math>  {{EquationNote|Eq.4}} फूरियर रूपांतरण के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, X(•):
+जब T के पास सेकंड की इकाई होती है, तो <math>\scriptstyle f</math> के पास [[हर्ट्ज़]] की इकाई होती है। दोनों श्रृंखलाओं की तुलना से पता चलता है <math> \omega = 2\pi fT</math> एक सामान्यीकृत आवृत्ति डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग प्रति नमूना रेडियन की इकाई के साथ वैकल्पिक सामान्यीकरण रुप में होता है। मान ω = 2{{pi}} से मेल खाती है <math display="inline"> f = \frac{1}{T}</math>. और अब, प्रतिस्थापन के साथ<math display="inline"> f = \frac{\omega }{2\pi T},</math> {{EquationNote|Eq.4}} फूरियर ट्रांसफॉर्म, X(•) के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है
 {{NumBlk|:|
@@ Line 403: / Line 403: @@
 |{{EquationRef|Eq.6}}}}
-जैसे ही पैरामीटर T बदलता है, की अलग-अलग शर्तें {{EquationNote|Eq.5}} f-अक्ष के साथ-साथ दूर या पास-पास जाएँ। में {{EquationNote|Eq.6}} हालांकि, केंद्र 2 रहते हैं{{pi}} इसके अलावा, जबकि उनकी चौड़ाई फैलती या सिकुड़ती है। जब अनुक्रम x(nT) एक LTI प्रणाली की [[आवेग प्रतिक्रिया]] का प्रतिनिधित्व करता है, तो इन कार्यों को इसकी [[आवृत्ति प्रतिक्रिया]] के रूप में भी जाना जाता है। जब <math>x(nT)</math> अनुक्रम आवधिक है, इसका DTFT एक या अधिक हार्मोनिक आवृत्तियों पर भिन्न होता है, और अन्य सभी आवृत्तियों पर शून्य होता है। यह अक्सर हार्मोनिक आवृत्तियों पर आयाम-भिन्न [[डिराक डेल्टा]] कार्यों के उपयोग द्वारा दर्शाया जाता है। आवधिकता के कारण, अद्वितीय आयामों की केवल एक सीमित संख्या होती है, जो बहुत सरल असतत फूरियर रूपांतरण (डीएफटी) द्वारा आसानी से गणना की जाती है। (देखना{{slink|Discrete-time Fourier transform|Periodic data}}.)
+जैसे ही पैरामीटर T बदलता है, {{EquationNote|Eq.5}} की अलग-अलग शर्तें f-अक्ष के साथ-साथ दूर या एक साथ आगे बढ़ती हैं। चूँकि {{EquationNote|Eq.6}} में, केंद्र 2{{pi}} अलग रहते हैं, इसके अतिरिक्त, जबकि उनकी चौड़ाई फैलती या सिकुड़ती है। जब अनुक्रम x(nT) एक एलटीआई प्रणाली की [[आवेग प्रतिक्रिया]] का प्रतिनिधित्व करता है, तो इन कार्यों को इसकी [[आवृत्ति प्रतिक्रिया]] के रूप में भी जाना जाता है। जब <math>x(nT)</math> अनुक्रम आवधिक रुप में होता है, तो इसका डीटीएफटी एक या अधिक हार्मोनिक आवृत्तियों पर भिन्न होता है और अन्य सभी आवृत्तियों पर शून्य होता है। यह अधिकांशतः हार्मोनिक आवृत्तियों पर आयाम-भिन्न [[डिराक डेल्टा]] कार्यों के उपयोग द्वारा दर्शाया जाता है। आवधिकता के कारण, अद्वितीय आयामों की केवल एक सीमित संख्या होती है, जो बहुत सरल असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म (डीएफटी) द्वारा आसानी से गणना की जाती है। {{slink|असतत-समय फूरियर रूपांतरण|आवधिक डेटा}}.को इस प्रकार देखते है,
 == लेपलेस ट्रांसफॉर्म से संबंध ==
-{{further|Laplace transform#Z-transform}}
+{{further|लाप्लास ट्रांसफॉर्म & जेड-ट्रांसफॉर्म}}
+=== बिलिनियर ट्रांसफॉर्म ===
+{{Main|बिलिनियर ट्रांसफॉर्म}}
-=== बिलिनियर रूपांतरण ===
+द्विरेखीय परिवर्तन का उपयोग निरंतर-समय के फिल्टर लाप्लास डोमेन में प्रतिनिधित्व को असतत-समय के फिल्टर जेड-डोमेन में प्रतिनिधित्व में परिवर्तित करने के लिए किया जाता है और इसके विपरीत निम्नलिखित प्रतिस्थापन का प्रयोग किया जाता है
-{{Main|Bilinear transform}}
-द्विरेखीय परिवर्तन का उपयोग निरंतर-समय के फिल्टर (लाप्लास डोमेन में प्रतिनिधित्व) को असतत-समय के फिल्टर (जेड-डोमेन में प्रतिनिधित्व) में परिवर्तित करने के लिए किया जा सकता है, और इसके विपरीत। निम्नलिखित प्रतिस्थापन प्रयोग किया जाता है:
 :<math>s =\frac{2}{T} \frac{(z-1)}{(z+1)}</math>
-कुछ कार्यों को परिवर्तित करने के लिए <math>H(s)</math> लाप्लास डोमेन में एक समारोह के लिए <math>H(z)</math> जेड-डोमेन ([[ बिलिनियर रूपांतरण ]]) में, या
+कुछ कार्यों को परिवर्तित करने के लिए <math>H(s)</math> लाप्लास डोमेन में एक फलन के लिए <math>H(z)</math> जेड-डोमेन[[ बिलिनियर रूपांतरण | बिलिनियर ट्रांसफॉर्म]] में इस प्रकार दिखाते है या
 :<math>z =e^{sT}\approx \frac{1+sT/2}{1-sT/2}</math>
-जेड-डोमेन से लेपलेस डोमेन तक। द्विरेखीय परिवर्तन के माध्यम से, जटिल एस-प्लेन (लाप्लास ट्रांसफॉर्म का) जटिल जेड-प्लेन (जेड-ट्रांसफॉर्म का) में मैप किया जाता है। जबकि यह मैपिंग (जरूरी) नॉनलाइनियर है, यह उपयोगी है कि यह पूरे को मैप करता है <math>j\omega</math> जेड-प्लेन में यूनिट सर्कल पर एस-प्लेन की धुरी। इस प्रकार, फूरियर रूपांतरण (जो लाप्लास रूपांतरण है जिसका मूल्यांकन किया गया है <math>j\omega</math> अक्ष) असतत-समय फूरियर रूपांतरण बन जाता है। यह मानता है कि फूरियर रूपांतरण मौजूद है; यानी कि <math>j\omega</math> अक्ष लाप्लास परिवर्तन के अभिसरण के क्षेत्र में है।
+जेड-डोमेन से लेपलेस डोमेन तक होते है। द्विरेखीय परिवर्तन के माध्यम से, लाप्लास परिवर्तन के जटिल एस-प्लेन को जेड-ट्रांसफॉर्म के जटिल जेड-प्लेन में मैप किया जाता है। जबकि यह मैपिंग आवश्यकरूप से गैर-रैखिक होती है, यह उपयोगी है कि यह एस-समतल के पूरे <math>j\omega</math> अक्ष को जेड-समतल में यूनिट वृत्त पर मैप करता है। इस प्रकार, फूरियर ट्रांसफॉर्म, जो लाप्लास ट्रांसफॉर्म के रुप में होता है जिसका मूल्यांकन कियाजाता है <math>j\omega</math> अक्ष असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म बन जाता है। यह मानता है कि फूरियर ट्रांसफॉर्म उपस्थित है; अर्थात कि <math>j\omega</math> अक्ष लाप्लास परिवर्तन के अभिसरण के क्षेत्र में होता है।
+=== तारांकित ट्रांसफॉर्म ===
+{{Main|तारांकित ट्रांसफॉर्म}}
-=== तारांकित रूपांतरण ===
+एक समय-नमूना फलन के एक तरफा जेड- ट्रांसफॉर्म, एक्स (जेड) को देखते हुए, संबंधित 'तारांकित परिवर्तन' एक लाप्लास परिवर्तन उत्पन्न करता है और नमूना पैरामीटर टी पर निर्भरता को पुनर्स्थापित करता है,
-{{Main|Starred transform}}
-एक समय-नमूना फ़ंक्शन के एक तरफा जेड-रूपांतरण, एक्स (जेड) को देखते हुए, संबंधित 'तारांकित परिवर्तन' एक लाप्लास परिवर्तन पैदा करता है और नमूना पैरामीटर पर निर्भरता को पुनर्स्थापित करता है, टी:
 :<math>\bigg. X^*(s) = X(z)\bigg|_{\displaystyle z = e^{sT}}</math>
-व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन एक गणितीय अमूर्तता है जिसे एक आवेग-नमूना फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है।
+व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन एक गणितीय अमूर्तता है, जिसे एक आवेग-नमूना फलन के रूप में जाना जाता है।
 == रैखिक निरंतर-गुणांक अंतर समीकरण ==
-रैखिक स्थिर-गुणांक अंतर (LCCD) समीकरण [[ऑटोरेग्रेसिव मूविंग एवरेज मॉडल]] | ऑटोरेग्रेसिव मूविंग-एवरेज समीकरण पर आधारित एक रैखिक प्रणाली के लिए एक प्रतिनिधित्व है।
+रैखिक स्थिर-गुणांक अंतर (एलसीसीडी ) समीकरण [[ऑटोरेग्रेसिव मूविंग-एवरेज समीकरण]] पर आधारित एक रैखिक प्रणाली के लिए एक प्रतिनिधित्व के रुप में होते है।
 :<math>\sum_{p=0}^{N}y[n-p]\alpha_{p} = \sum_{q=0}^{M}x[n-q]\beta_{q}</math>
-उपरोक्त समीकरण के दोनों पक्षों को α द्वारा विभाजित किया जा सकता है<sub>0</sub>, यदि यह शून्य नहीं है, तो α को सामान्य करना<sub>0</sub> = 1 और एलसीसीडी समीकरण लिखा जा सकता है
+उपरोक्त समीकरण के दोनों पक्षों को α<sub>0</sub> द्वारा विभाजित किया जा सकता है, यदि यह शून्य नहीं है, तो α<sub>0</sub> = 1 को सामान्य करना और एलसीसीडी समीकरण के रुप में लिखा जा सकता है
 :<math>y[n] = \sum_{q=0}^{M}x[n-q]\beta_{q} - \sum_{p=1}^{N}y[n-p]\alpha_{p}.</math>
-LCCD समीकरण का यह रूप इसे और अधिक स्पष्ट करने के लिए अनुकूल है कि वर्तमान आउटपुट y[n] पिछले आउटपुट y[n - p], वर्तमान इनपुट x[n], और पिछले इनपुट x[n - q] का एक कार्य है। .
+एलसीसीडी समीकरण का यह रूप इसे और अधिक स्पष्ट करने के लिए अनुकूल बनाता है, कि वर्तमान आउटपुट y[n] पिछले आउटपुट y[n - p], वर्तमान इनपुट x[n] और पिछले इनपुट x[n - q] का एक कार्य है। .
-=== स्थानांतरण समारोह ===
+=== स्थानांतरण फलन ===
-उपरोक्त समीकरण के जेड-रूपांतरण (रैखिकता और समय-स्थानांतरण कानूनों का उपयोग करके) पैदावार
+रैखिकता और समय परिवर्तन नियमो का उपयोग करके उपरोक्त समीकरण के Z-ट्रांसफॉर्म को प्राप्त होता है।
 :<math>Y(z) \sum_{p=0}^{N}z^{-p}\alpha_{p} = X(z) \sum_{q=0}^{M}z^{-q}\beta_{q}</math>
-और परिणामों को पुनर्व्यवस्थित करना
+और परिणामों को पुनर्व्यवस्थित करते है
 :<math>H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{q=0}^{M}z^{-q}\beta_{q}}{\sum_{p=0}^{N}z^{-p}\alpha_{p}} = \frac{\beta_0 + z^{-1} \beta_1 + z^{-2} \beta_2 + \cdots + z^{-M} \beta_M}{\alpha_0 + z^{-1} \alpha_1 + z^{-2} \alpha_2 + \cdots + z^{-N} \alpha_N}.</math>
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 === [[शून्य और ध्रुव]] ===
-बीजगणित के मौलिक प्रमेय से अंश में एक फ़ंक्शन का M मूल होता है (H के शून्य के अनुरूप) और हर में N मूल (ध्रुवों के अनुरूप) होता है। [[स्थानांतरण प्रकार्य]] को शून्य और ध्रुवों के संदर्भ में फिर से लिखना
+बीजगणित के मौलिक प्रमेय से अंश में एक फलन का एम मूल होता है, एच के शून्य के अनुरूप और हर में N मूल ध्रुवों के अनुरूप होता है। [[स्थानांतरण प्रकार्य]] को शून्य और ध्रुवों के संदर्भ में फिर से लिखते है
 :<math>H(z) = \frac{(1 - q_1 z^{-1})(1 - q_2 z^{-1})\cdots(1 - q_M z^{-1}) } { (1 - p_1 z^{-1})(1 - p_2 z^{-1})\cdots(1 - p_N z^{-1})} ,</math>
-जहां क्यू<sub>k</sub>के वें शून्य और पी है<sub>k</sub>केथ पोल है। शून्य और ध्रुव आमतौर पर जटिल होते हैं और जब जटिल विमान (जेड-प्लेन) पर प्लॉट किया जाता है तो इसे ध्रुव-शून्य प्लॉट कहा जाता है।
+जहां क्यू<sub>के</sub> के वें शून्य है और पी<sub>के</sub> केवां ध्रुव है। शून्य और ध्रुव सामान्यतः जटिल होते हैं और जब जटिल समतल जेड-प्लेन पर प्लॉट किया जाता है तो इसे ध्रुव-शून्य प्लॉट कहा जाता है।
-इसके अलावा, z = 0 और z = ∞ पर शून्य और ध्रुव भी मौजूद हो सकते हैं। यदि हम इन ध्रुवों और शून्यों के साथ-साथ बहु-क्रम शून्यों और ध्रुवों को ध्यान में रखते हैं, तो शून्य और ध्रुवों की संख्या हमेशा बराबर होती है।
+इसके अतिरिक्त, जेड = 0 और जेड = ∞ पर शून्य और ध्रुव भी उपस्थित हो सकते हैं। यदि हम इन ध्रुवों और शून्यों के साथ-साथ बहु-क्रम शून्यों और ध्रुवों को ध्यान में रखते हैं, तो शून्य और ध्रुवों की संख्या हमेशा बराबर होती है।
-विभाजक को विभाजित करके, [[आंशिक अंश]] अपघटन का उपयोग किया जा सकता है, जिसे बाद में समय डोमेन में परिवर्तित किया जा सकता है। ऐसा करने से आवेग प्रतिक्रिया और सिस्टम के रैखिक निरंतर गुणांक अंतर समीकरण का परिणाम होगा।
+विभाजक को विभाजित करके, [[आंशिक अंश]] अपघटन का उपयोग किया जा सकता है, जिसके पश्चात समय डोमेन में परिवर्तित किया जा सकता है। ऐसा करने से आवेग प्रतिक्रिया और प्रणाली के रैखिक निरंतर गुणांक अंतर समीकरण का परिणाम के रुप में होता है।
 === आउटपुट प्रतिक्रिया ===
-यदि ऐसी प्रणाली एच (जेड) सिग्नल एक्स (जेड) द्वारा संचालित होती है तो आउटपुट वाई (जेड) = एच (जेड) एक्स (जेड) होता है। Y(z) पर आंशिक अंश अपघटन करके और फिर व्युत्क्रम Z-रूपांतरण करके आउटपुट y[n] पाया जा सकता है। व्यवहार में, यह अक्सर आंशिक रूप से विघटित करने के लिए उपयोगी होता है <math>\textstyle \frac{Y(z)}{z}</math> Y (z) का एक रूप उत्पन्न करने के लिए उस मात्रा को z से गुणा करने से पहले, जिसमें आसानी से गणना योग्य व्युत्क्रम Z- रूपांतरण के साथ शब्द हैं।
+यदि ऐसी प्रणाली एच (जेड) सिग्नल एक्स (जेड) द्वारा संचालित होती है तो आउटपुट वाई (जेड) = एच (जेड) एक्स (जेड) होता है। वाई(जेड ) पर आंशिक अंश अपघटन करके और फिर व्युत्क्रम जेड - ट्रांसफॉर्म करके आउटपुट y[n] पाया जाता है। व्यवहार में, यह अधिकांशतः आंशिक रूप से विघटित करने के लिए उपयोगी होता है <math>\textstyle \frac{Y(z)}{z}</math> उस मात्रा को जेड से गुणा करने से पहले वाई (जेड) का एक रूप उत्पन्न करता है जिसमें आसानी से गणना योग्य व्युत्क्रम जेड- ट्रांसफॉर्म के साथ शब्द होते हैं।
 == यह भी देखें ==
-* उन्नत जेड-रूपांतरण
+* उन्नत जेड- ट्रांसफॉर्म
 * बिलिनियर परिवर्तन
 * अंतर समीकरण (पुनरावृत्ति संबंध)
-* कनवल्शन#असतत कनवल्शन
+* असतत कनवल्शन
-* असतत-समय फूरियर रूपांतरण
+* असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म
 * [[परिमित आवेग प्रतिक्रिया]]
 * औपचारिक शक्ति श्रृंखला
-* जनरेटिंग फ़ंक्शन
+* जनरेटिंग फलन
-* [[समारोह परिवर्तन उत्पन्न करना]]
+* [[समारोह परिवर्तन उत्पन्न करना|फलन परिवर्तन उत्पन्न करना]]
 * लाप्लास परिवर्तन
 * लॉरेंट श्रृंखला
 * [[कम से कम वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण]]
-* संभावना पैदा करने वाला कार्य
+* संभावना उत्पन्न करने वाला कार्य
 * [[तारा परिवर्तन]]
 * [[ज़क परिवर्तन]]
-* [[जीटा समारोह नियमितीकरण]]
+* [[जीटा समारोह नियमितीकरण|जीटा फलन नियमितीकरण]]
 ==संदर्भ==
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 ==अग्रिम पठन==
-* Refaat El Attar, ''Lecture notes on Z-Transform'', Lulu Press, Morrisville NC, 2005. {{isbn|1-4116-1979-X}}.
+* Refaat El Attar, ''Lecture notes on जेड -Transform'', Lulu Press, Morrisville NC, 2005. {{isbn|1-4116-1979-X}}.
 * Ogata, Katsuhiko, ''Discrete Time Control Systems 2nd Ed'', Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. {{isbn|0-13-034281-5}}.
 * Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer (1999). Discrete-Time Signal Processing, 2nd Edition, Prentice Hall Signal Processing Series. {{isbn|0-13-754920-2}}.
@@ Line 482: / Line 484: @@
 ==बाहरी संबंध==
 * {{springer|title=Z-transform|id=p/z130010}}
-* [https://arxiv.org/abs/1409.1727 Numerical inversion of the Z-transform]
+* [https://arxiv.org/abs/1409.1727 Numerical inversion of the जेड -transform]
-* [http://www.swarthmore.edu/NatSci/echeeve1/Ref/LPSA/LaplaceZTable/LaplaceZFuncTable.html Z-Transform table of some common Laplace transforms]
+* [http://www.swarthmore.edu/NatSci/echeeve1/Ref/LPSA/LaplaceZTable/LaplaceZFuncTable.html जेड -Transform table of some common Laplace transforms]
-* [http://mathworld.wolfram.com/Z-Transform.html Mathworld's entry on the Z-transform]
+* [http://mathworld.wolfram.com/Z-Transform.html Mathworld's entry on the जेड -transform]
-* [http://www.dsprelated.com/comp.dsp/keyword/Z_Transform.php Z-Transform threads in Comp.DSP]
+* [http://www.dsprelated.com/comp.dsp/keyword/Z_Transform.php जेड -Transform threads in Comp.DSP]
-* [https://www.youtube.com/watch?v=4PV6ikgBShw A graphic of the relationship between Laplace transform s-plane to Z-plane of the Z transform]
+* [https://www.youtube.com/watch?v=4PV6ikgBShw A graphic of the relationship between Laplace transform s-plane to जेड -plane of the जेड transform]
-* [https://www.youtube.com/watch?v=B4IyRw1zvvA A video-based explanation of the Z-Transform for engineers]
+* [https://www.youtube.com/watch?v=B4IyRw1zvvA A video-based explanation of the जेड -Transform for engineers]
-* [https://www.allaboutcircuits.com/technical-articles/what-is-the-z-transform/ What is the z-Transform?]
+* [https://www.allaboutcircuits.com/technical-articles/what-is-the-z-transform/ What is the जेड -Transform?]
 {{DSP}}
 {{Authority control}}
-[[Category: बदल देती है]] [[Category: लाप्लास रूपांतरित होता है]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:CS1 italiano-language sources (it)]]
+[[Category:Collapse templates]]
 [[Category:Created On 02/03/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
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Latest revision as of 10:24, 15 March 2023

इतिहास

परिभाषा

द्विपक्षीय जेड- ट्रांसफॉर्म

एकतरफा जेड-ट्रांसफॉर्म

इनवर्स जेड-ट्रांसफॉर्म

अभिसरण का क्षेत्र

उदाहरण 1 (कोई आरओसी नहीं)

उदाहरण 2 (कारण आरओसी)

उदाहरण 3 (कारण विरोधी आरओसी)

उदाहरण निष्कर्ष

गुण

सामान्य जेड-ट्रांसफॉर्म जोड़े की तालिका

फूरियर श्रृंखला और फूरियर ट्रांसफॉर्म से संबंध

लेपलेस ट्रांसफॉर्म से संबंध

बिलिनियर ट्रांसफॉर्म

तारांकित ट्रांसफॉर्म

रैखिक निरंतर-गुणांक अंतर समीकरण

स्थानांतरण फलन

शून्य और ध्रुव

आउटपुट प्रतिक्रिया

यह भी देखें

संदर्भ

अग्रिम पठन

बाहरी संबंध

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