गॉसियन अभिन्न

आँकड़ों और भौतिकी से इस समाकलन को गौसियन चतुर्भुज, संख्यात्मक समाकलन की एक विधि के साथ भ्रमित नहीं होना है।

गॉसियन समाकलन, जिसे यूलर-पॉइसन समाकलन के रूप में भी जाना जाता है, गौसियन फलन $f(x)=e^{-x^{2}}$ का समाकलन है जो पूरी वास्तविक रेखा पर है। जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस के नाम पर, समाकलन है

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.$$

अब्राहम डी मोइवरे ने मूल रूप से 1733 में इस प्रकार के समाकलन की खोज की थी, जबकि गॉस ने 1809 में परिशुद्ध रूप से समाकलन प्रकाशित किया था। समाकलन में अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला है। उदाहरण के लिए, चरों में सामान्य परिवर्तन के साथ इसका उपयोग सामान्य वितरण के सामान्यीकरण स्थिरांक की गणना करने के लिए किया जाता है। परिमित सीमाओं के साथ एक ही समाकलन त्रुटि फलन और सामान्य वितरण के संचयी वितरण फलन दोनों से निकटता से संबंधित है। भौतिक विज्ञान में इस प्रकार का समाकलन प्रायः प्रकट होता है, उदाहरण के लिए, क्वांटम यांत्रिकी में, सरल आवर्ती दोलक की निम्नतम अवस्था की संभावना घनत्व का पता लगाने के लिए। सरल आवर्ती दोलक के प्रचारक को पता लगाने के लिए, और सांख्यिकीय यांत्रिकी में, इसके विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) को पता लगाने के लिए, इस समाकलन का उपयोग पथ समाकलन सूत्रीकरण में भी किया जाता है।

हालांकि त्रुटि फलन के लिए कोई प्राथमिक फलन सम्मिलित नहीं है, जैसा कि राइश्च एल्गोरिथम द्वारा सिद्ध किया जा सकता है, गॉसियन समाकलन को बहुभिन्नरूपी गणना के तरीकों के माध्यम से विश्लेषणात्मक रूप से संशोधित किया जा सकता है। अर्थात् कोई प्राथमिक अनिश्चित समाकलन नहीं है

$$\int e^{-x^{2}}\,dx,$$

लेकिन निश्चित समाकलन

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx$$

मूल्यांकन किया जा सकता है। एकपक्षीय गॉसियन फलन का निश्चित समाकलन है

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}.$$

संगणना

ध्रुवीय निर्देशांक द्वारा

गॉसियन समाकलन की गणना करने का एक मानक तरीका, जिसका विचार पोइसन तक जाता है, गुण का उपयोग करना है कि:

$$\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}\,dy=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,dx\,dy.$$

फलन $e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}=e^{-r^{2}}$तल $\mathbb {R} ^{2}$ पर विचार करें, और इसके समाकलन दो तरीकों की गणना करें:

1. एक ओर, कार्तीय समन्वय प्रणाली में दोहरे समाकलन द्वारा, इसका समाकलन वर्ग है:
   $$\left(\int e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2};$$
2. दूसरी ओर, शेल समाकलन (ध्रुवीय निर्देशांक में दोहरे समाकलन की स्थिति) द्वारा, इसके समाकलन की गणना $\pi$ के रूप में की जाती है

इन दो संगणनाओं की तुलना करने से समाकलन प्राप्त होती है, हालांकि इसमें सम्मिलित अनुपयुक्त समाकलनो के बारे में ध्यान रखना चाहिए।

$$\begin{array}{rl}{\iint <!--\; \iint \; -->}_{{\mathbb{R}}^2}{e}^{-<!--\; -\; -->\left(x^2+y^2\right)}dxdy& ={\int <!--\; \int \; -->}_0^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->r^2}rdrd\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\\ & =2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}r{e}^{-<!--\; -\; -->r^2}dr\\ & =2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^0\frac{1}{2}{e}^{s}ds& & s=-<!--\; -\; -->r^2\\ & \end{array}$$