Z-परिवर्तन

For standard z-score in statistics, see Standard score. For Fisher z-transformation in statistics, see Fisher transformation.

गणित और संकेत आगे बढ़ाना में, जेड-ट्रांसफॉर्म असतत-समय सिग्नल को परिवर्तित करता है, जो वास्तविक संख्या या जटिल संख्याओं का एक अनुक्रम है, एक जटिल आवृत्ति-डोमेन (जेड-डोमेन या जेड-प्लेन) प्रतिनिधित्व में। <रेफरी नाम = मंडल 2020 पीपी. 157–195 >{{cite book | last=Mandal | first=Jyotsna Kumar | title=प्रतिवर्ती स्टेग्नोग्राफ़ी और प्रमाणीकरण रूपांतरण एन्कोडिंग के माध्यम से| chapter=Z-Transform-Based Reversible Encoding | series=Studies in Computational Intelligence | publisher=Springer Singapore | publication-place=Singapore | year=2020 | volume=901 | isbn=978-981-15-4396-8 | issn=1860-949X | doi=10.1007/978-981-15-4397-5_7 | pages=157–195 | s2cid=226413693 | quote=Z एक जटिल चर है। जेड-ट्रांसफॉर्म असतत स्थानिक डोमेन सिग्नल को जटिल आवृत्ति डोमेन प्रतिनिधित्व में परिवर्तित करता है। जेड-ट्रांसफॉर्म लाप्लास ट्रांसफॉर्म से लिया गया है।}</ref><रेफरी नाम = लिन 1986 पीपी. 225-272 >Lynn, Paul A. (1986). "The Laplace Transform and the z-transform". इलेक्ट्रॉनिक सिग्नल और सिस्टम. London: Macmillan Education UK. pp. 225–272. doi:10.1007/978-1-349-18461-3_6. ISBN 978-0-333-39164-8. लाप्लास ट्रांसफॉर्म और जेड-ट्रांसफॉर्म फूरियर ट्रांसफॉर्म से निकटता से संबंधित हैं। जेड-ट्रांसफॉर्म असतत संकेतों और प्रणालियों से निपटने के लिए विशेष रूप से उपयुक्त है। यह असतत-समय फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म की तुलना में अधिक कॉम्पैक्ट और सुविधाजनक संकेतन प्रदान करता है।</ref>

इसे लाप्लास रूपांतरण (एस-डोमेन) के असतत-समय के समकक्ष माना जा सकता है। <रेफरी नाम = पलानी पीपी। 921-1055>{{cite book | last=Palani | first=S. | title=सिग्नल और सिस्टम| chapter=The z-Transform Analysis of Discrete Time सिग्नल और सिस्टम| publisher=Springer International Publishing | publication-place=Cham | date=2021-08-26 | isbn=978-3-030-75741-0 | doi=10.1007/978-3-030-75742-7_9 | pages=921–1055 | s2cid=238692483 | quote=जेड-ट्रांसफॉर्म लाप्लास ट्रांसफॉर्म का असतत प्रतिरूप है। जेड-ट्रांसफॉर्म असतत समय प्रणालियों के अंतर समीकरणों को बीजगणितीय समीकरणों में परिवर्तित करता है जो असतत समय प्रणाली विश्लेषण को सरल करता है। लाप्लास ट्रांसफॉर्म और जेड-ट्रांसफॉर्म आम हैं सिवाय इसके कि लाप्लास ट्रांसफॉर्म लगातार समय के संकेतों और प्रणालियों से संबंधित है।}</ref> समय-पैमाने की गणना के सिद्धांत में इस समानता की खोज की गई है।

जबकि लैपलेस एस-डोमेन की काल्पनिक रेखा पर निरंतर-समय के फूरियर रूपांतरण का मूल्यांकन किया जाता है, असतत-समय फूरियर रूपांतरण का मूल्यांकन जेड-डोमेन के यूनिट सर्कल पर किया जाता है। मोटे तौर पर एस-डोमेन का बायाँ आधा-तल क्या है, जो अब जटिल इकाई चक्र के अंदर है; यूनिट सर्कल के बाहर जेड-डोमेन क्या है, मोटे तौर पर एस-डोमेन के दाहिने आधे विमान से मेल खाता है।

डिजिटल फिल्टर डिजाइन करने के साधनों में से एक है एनालॉग डिजाइन लेना, उन्हें बिलिनियर ट्रांसफॉर्म के अधीन करना जो उन्हें एस-डोमेन से जेड-डोमेन तक मैप करता है, और फिर निरीक्षण, अदला बदली या संख्यात्मक सन्निकटन द्वारा डिजिटल फिल्टर का उत्पादन करता है। इस प्रकार के विधियों जटिल एकता के आसपास के क्षेत्र में यथार्थ नहीं होते हैं, अर्थात कम आवृत्तियों पर।

इतिहास

मूल विचार जिसे अब जेड-ट्रांसफॉर्म के रूप में जाना जाता है, लाप्लास के लिए जाना जाता था, और इसे 1947 में विटोल्ड ह्यूरविक्ज़ | डब्ल्यू द्वारा फिर से प्रस्तुत किया गया था। ह्यूरविक्ज़ और अन्य रडार के साथ उपयोग किए जाने वाले सैंपल-डेटा कंट्रोल सिस्टम के उपचार के विधियों के रूप में। यह रैखिक, स्थिर-गुणांक अंतर समीकरणों को हल करने का एक आसान तरीका देता है। इसे पश्चात 1952 में कोलंबिया विश्वविद्यालय में सैंपल्ड-डेटा कंट्रोल ग्रुप में जॉन आर. रागाजिनी और लोत्फी ए. ज़ादेह द्वारा जेड-ट्रांसफॉर्म करार दिया गया। संशोधित या उन्नत Z-रूपांतरण पश्चात Eliahu I. Jury|E द्वारा विकसित और लोकप्रिय किया गया था। आई. जूरी। जेड-रूपांतरण के भीतर निहित विचार को गणितीय साहित्य में कार्यों को उत्पन्न करने की विधि के रूप में भी जाना जाता है जिसे 1730 के आरंभ में पता लगाया जा सकता है जब इसे अब्राहम डी मोइवरे द्वारा संभाव्यता सिद्धांत के संयोजन के साथ प्रस्तुत किया गया था। गणितीय दृष्टि से जेड-रूपांतरण को लॉरेंट श्रृंखला के रूप में भी देखा जा सकता है जहां एक विश्लेषणात्मक कार्य के (लॉरेंट) विस्तार के रूप में विचाराधीन संख्याओं के अनुक्रम को देखता है।

परिभाषा

Z- परिवर्तन को एक तरफा या दो तरफा परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। (जैसे हमारे पास लाप्लास रूपांतरण है। एक तरफा लाप्लास रूपांतरण और दो तरफा लाप्लास रूपांतरण।) <रेफरी नाम = जैक्सन 1996 पीपी। 29-54>Jackson, Leland B. (1996). "The z Transform". डिजिटल फिल्टर और सिग्नल प्रोसेसिंग. Boston, MA: Springer US. pp. 29–54. doi:10.1007/978-1-4757-2458-5_3. ISBN 978-1-4419-5153-3. z ट्रांस्फ़ॉर्म डिस्क्रीट-टाइम सिस्टम के लिए है जो लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म निरंतर-टाइम सिस्टम के लिए है। z एक जटिल चर है। इसे कभी-कभी दो तरफा z परिवर्तन के रूप में संदर्भित किया जाता है, जिसमें एक तरफा z परिवर्तन n = 0 से अनंत तक के योग को छोड़कर समान होता है। एक तरफा परिवर्तन का प्राथमिक उपयोग ... कारण अनुक्रमों के लिए है, जिस स्थिति में दो परिवर्तन वैसे भी समान हैं। इसलिए, हम यह भेद नहीं करेंगे और ... को x(n) के केवल z रूपांतरण के रूप में संदर्भित करेंगे।</ref>

द्विपक्षीय जेड-ट्रांसफॉर्म

असतत-समय संकेत का द्विपक्षीय या दो तरफा जेड-रूपांतरण $x[n]$ औपचारिक शक्ति श्रृंखला है $X(z)$ के रूप में परिभाषित

$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}$

(Eq.1)

कहाँ $n$ एक पूर्णांक है और $z$ सामान्यतः , एक सम्मिश्र संख्या है:

$z=Ae^{j\phi }=A\cdot (\cos {\phi }+j\sin {\phi })$

कहाँ $A$ का परिमाण है $z$, $j$ काल्पनिक इकाई है, और $\phi$ कांति में जटिल तर्क (जिसे कोण या चरण भी कहा जाता है) है।

एकतरफा जेड-ट्रांसफॉर्म

वैकल्पिक रूप से, ऐसे स्थिति में जहां $x[n]$ के लिए ही परिभाषित किया गया है $n\geq 0$, एकतरफा या एकतरफा जेड-ट्रांसफॉर्म को इस रूप में परिभाषित किया गया है

$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}.$

(Eq.2)

सिग्नल प्रोसेसिंग में, इस परिभाषा का उपयोग परिमित आवेग प्रतिक्रिया # असतत-समय कारण प्रणाली की आवृत्ति प्रतिक्रिया के Z- परिवर्तन का मूल्यांकन करने के लिए किया जा सकता है।

एकतरफा जेड-ट्रांसफॉर्म का एक महत्वपूर्ण उदाहरण प्रायिकता-उत्पन्न करने वाला कार्य है, जहां घटक $x[n]$ संभावना है कि एक असतत यादृच्छिक चर मान लेता है $n$, और समारोह $X(z)$ सामान्यतः के रूप में लिखा जाता है $X(s)$ के अनुसार $s=z^{-1}$. संभाव्यता सिद्धांत के संदर्भ में जेड-ट्रांसफॉर्म (नीचे) के गुणों की उपयोगी व्याख्या है।

उलटा जेड-ट्रांसफॉर्म

प्रतिलोम Z-रूपांतरण है

$x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz$

(Eq.3)

जहाँ C एक वामावर्त बंद पथ है जो उद्गम को घेरता है और पूरी प्रकार अभिसरण की त्रिज्या (ROC) में है। ऐसे स्थितियों में जहां आरओसी कारण है (देखें #उदाहरण 2 (कारण आरओसी)), इसका मतलब है कि पथ सी को सभी ध्रुवों को घेरना चाहिए $X(z)$.

इस समोच्च अभिन्न का एक विशेष मामला तब होता है जब C इकाई चक्र होता है। इस समोच्च का उपयोग तब किया जा सकता है जब ROC में यूनिट सर्कल सम्मलित होता है, जिसकी हमेशा गारंटी होती है $X(z)$ स्थिर है, अर्थात, जब सभी ध्रुव इकाई चक्र के अंदर हों। इस समोच्च के साथ, व्युत्क्रम Z-रूपांतरण असतत-समय फूरियर रूपांतरण# उलटा परिवर्तन| उलटा असतत-समय फूरियर रूपांतरण, या फूरियर श्रृंखला, इकाई चक्र के चारों ओर जेड-रूपांतरण के आवधिक मूल्यों के लिए सरल करता है:

$x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega .$

(Eq.4)

एन की एक परिमित सीमा के साथ जेड-रूपांतरण और समान दूरी वाले जेड मानों की एक सीमित संख्या को ब्लूस्टीन के एफएफटी एल्गोरिदम के माध्यम से कुशलतापूर्वक गणना की जा सकती है। असतत-समय फूरियर ट्रांसफॉर्म (DTFT) - असतत फूरियर रूपांतरण (DFT) के साथ भ्रमित नहीं होना - इस प्रकार के जेड-ट्रांसफॉर्म का एक विशेष मामला है जो जेड को यूनिट सर्कल पर झूठ बोलने के लिए प्रतिबंधित करता है।

अभिसरण का क्षेत्र

अभिसरण का त्रिज्या (आरओसी) जटिल विमान में बिंदुओं का समूह है जिसके लिए जेड-रूपांतर योग अभिसरण करता है।

$\mathrm {ROC} =\left\{z:\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}$

उदाहरण 1 (कोई आरओसी नहीं)

होने देना $x[n]=0.5^{n}\$. अंतराल (−∞, ∞) पर x[n] का विस्तार करने पर यह बन जाता है

$x[n]=\left\{\dots ,0.5^{-3},0.5^{-2},0.5^{-1},1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\dots \right\}=\left\{\dots ,2^{3},2^{2},2,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\dots \right\}.$

राशि देख रहे हैं

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\to \infty .$

इसलिए, z का कोई मान नहीं है जो इस शर्त को पूरा करता हो।

उदाहरण 2 (कारण आरओसी)

के रूप में दिखाया गया है = 0.5 को धराशायी काले घेरे के रूप में दिखाया गया है

होने देना $x[n]=0.5^{n}u[n]\$ (जहाँ u हैवीसाइड स्टेप फंक्शन है)। अंतराल (−∞, ∞) पर x[n] का विस्तार करने पर यह बन जाता है

$x[n]=\left\{\dots ,0,0,0,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\dots \right\}.$

राशि देख रहे हैं

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }0.5^{n}z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {0.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}.$

अंतिम समानता अनंत ज्यामितीय श्रृंखला से उत्पन्न होती है और समानता केवल तभी होती है |0.5z⁻¹| <1, जिसे z के रूप में फिर से लिखा जा सकता है |z|> 0.5। इस प्रकार, आरओसी है |z|> 0.5। इस स्थितियों में आरओसी एक जटिल विमान है, जिसकी त्रिज्या 0.5 की एक डिस्क के साथ छिद्रित होती है।

उदाहरण 3 (कारण विरोधी आरओसी)

के रूप में दिखाया गया है = 0.5 को धराशायी काले घेरे के रूप में दिखाया गया है

होने देना $x[n]=-(0.5)^{n}u[-n-1]\$ (जहाँ u हीविसाइड स्टेप फंक्शन है)। अंतराल (−∞, ∞) पर x[n] का विस्तार करने पर यह बन जाता है

$x[n]=\left\{\dots ,-(0.5)^{-3},-(0.5)^{-2},-(0.5)^{-1},0,0,0,0,\dots \right\}.$

राशि देख रहे हैं

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=-\sum _{n=-\infty }^{-1}0.5^{n}z^{-n}=-\sum _{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{0.5}}\right)^{m}=-{\frac {0.5^{-1}z}{1-0.5^{-1}z}}=-{\frac {1}{0.5z^{-1}-1}}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}.$

अनंत ज्यामितीय श्रृंखला का उपयोग करते हुए, समानता केवल तभी होती है जब |0.5⁻¹z| <1 जिसे z के रूप में फिर से लिखा जा सकता है |z| <0.5। इस प्रकार, आरओसी है |z| <0.5। इस स्थितियों में ROC मूल बिंदु पर केंद्रित और 0.5 त्रिज्या की एक डिस्क है।

इस उदाहरण को पिछले उदाहरण से जो अलग करता है वह केवल ROC है। यह जानबूझकर प्रदर्शित करना है कि केवल परिवर्तन परिणाम अपर्याप्त है।

उदाहरण निष्कर्ष

उदाहरण 2 और 3 स्पष्ट रूप से दिखाते हैं कि एक्स [एन] का जेड-ट्रांसफॉर्म एक्स (जेड) अद्वितीय है जब और केवल आरओसी निर्दिष्ट करते समय। कार्य-कारण और प्रतिकार-विरोधी स्थितियों के लिए ध्रुव-शून्य भूखंड बनाना दर्शाता है कि किसी भी स्थितियों के लिए ROC में वह ध्रुव सम्मलित नहीं है जो 0.5 पर है। यह कई ध्रुवों वाले स्थिति तक फैला हुआ है: ROC में कभी भी खंभे नहीं होंगे।

उदाहरण 2 में, कारण प्रणाली एक आरओसी उत्पन्न करती है जिसमें सम्मलित है |z| = ∞ जबकि उदाहरण 3 में एंटीकॉज़ल सिस्टम एक आरओसी उत्पन्न करता है जिसमें सम्मलित है |z| = 0.

के रूप में दिखाया गया है <0.75

कई ध्रुवों वाले सिस्टम में एक आरओसी होना संभव है जिसमें कोई भी सम्मलित न हो |z| = ∞ न ही |z| = 0. आरओसी एक गोलाकार बैंड बनाता है। उदाहरण के लिए,

$x[n]=0.5^{n}u[n]-0.75^{n}u[-n-1]$

0.5 और 0.75 पर डंडे हैं। आरओसी 0.5 < होगा |z| < 0.75, जिसमें न तो मूल और न ही अनंत सम्मलित है। इस प्रकार की प्रणाली को मिश्रित-कारणात्मक प्रणाली कहा जाता है क्योंकि इसमें एक कारण शब्द (0.5) होता है।ⁿu[n] और एक कारण-विरोधी शब्द −(0.75)ⁿयू[−n−1].

नियंत्रण सिद्धांत # अकेले आरओसी को जानकर सिस्टम की स्थिरता भी निर्धारित की जा सकती है। यदि ROC में यूनिट सर्कल है (अर्थात , |z| = 1) तो सिस्टम स्थिर है। उपरोक्त प्रणालियों में कारण प्रणाली (उदाहरण 2) स्थिर है क्योंकि |z| > 0.5 में यूनिट सर्कल है।

आइए मान लें कि हमें आरओसी के बिना एक सिस्टम का जेड-रूपांतरण प्रदान किया गया है (अर्थात , एक अस्पष्ट एक्स [एन])। हम एक अद्वितीय एक्स [एन] निर्धारित कर सकते हैं बशर्ते हम निम्नलिखित चाहते हैं:

• स्थिरता
• कारणता

स्थिरता के लिए आरओसी में यूनिट सर्कल होना चाहिए। यदि हमें एक कारण प्रणाली की आवश्यकता है तो आरओसी में अनंत होना चाहिए और सिस्टम फ़ंक्शन दाएं तरफा अनुक्रम होगा। यदि हमें एक एंटीकॉज़ल सिस्टम की आवश्यकता है तो आरओसी में मूल होना चाहिए और सिस्टम फ़ंक्शन बाएं तरफा अनुक्रम होगा। यदि हमें स्थिरता और कार्य-कारण दोनों की आवश्यकता है, तो सिस्टम फ़ंक्शन के सभी ध्रुवों को यूनिट सर्कल के अंदर होना चाहिए।

अद्वितीय x [n] तब पाया जा सकता है।

गुण

Properties of the z-transform

	Time domain	Z-domain	Proof	ROC
Notation	$x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}$	$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}$		$r_{2}<|z|<r_{1}$
Linearity	$a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]$	$a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)$	${\begin{aligned}X(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{1}x_{1}(n)+a_{2}x_{2}(n))z^{-n}\\&=a_{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}(n)z^{-n}+a_{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\\&=a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\end{aligned}}$	Contains ROC1 ∩ ROC2
Time expansion	$x_{K}[n]={\begin{cases}x[r],&n=Kr\\0,&n\notin K\mathbb {Z} \end{cases}}$ with $K\mathbb {Z} :=\{Kr:r\in \mathbb {Z} \}$	$X(z^{K})$	${\begin{aligned}X_{K}(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{K}(n)z^{-n}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)z^{-rK}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)(z^{K})^{-r}\\&=X(z^{K})\end{aligned}}$	$R^{\frac {1}{K}}$
Decimation	$x[Kn]$	${\frac {1}{K}}\sum _{p=0}^{K-1}X\left(z^{\tfrac {1}{K}}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{K}}p}\right)$	ohio-state.edu  or  ee.ic.ac.uk
Time delay	$x[n-k]$ with $k>0$ and $x:x[n]=0\ \forall n<0$	$z^{-k}X(z)$	${\begin{aligned}Z\{x[n-k]\}&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-(j+k)}&&j=n-k\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}z^{-k}\\&=z^{-k}\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}\\&=z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}&&x[\beta ]=0,\beta <0\\&=z^{-k}X(z)\end{aligned}}$	ROC, except z = 0 if k > 0 and z = ∞ if k < 0
Time advance	$x[n+k]$ with $k>0$	Bilateral Z-transform: $$z^{k}X(z)$$ Unilateral Z-transform: $$z^{k}X(z)-z^{k}\sum _{n=0}^{k-1}x[n]z^{-n}$$
First difference backward	$x[n]-x[n-1]$ with x[n] = 0 for n < 0	$(1-z^{-1})X(z)$		Contains the intersection of ROC of X1(z) and z ≠ 0
First difference forward	$x[n+1]-x[n]$	$(z-1)X(z)-zx[0]$
Time reversal	$x[-n]$	$X(z^{-1})$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x(-n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(-n)z^{-n}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m)z^{m}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m){(z^{-1})}^{-m}\\&=X(z^{-1})\\\end{aligned}}$	${\tfrac {1}{r_{1}}}<|z|<{\tfrac {1}{r_{2}}}$
Scaling in the z-domain	$a^{n}x[n]$	$X(a^{-1}z)$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\left\{a^{n}x[n]\right\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n}x(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(a^{-1}z)^{-n}\\&=X(a^{-1}z)\end{aligned}}$	$|a|r_{2}<|z|<|a|r_{1}$
Complex conjugation	$x^{*}[n]$	$X^{*}(z^{*})$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x^{*}(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{*}(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=X^{*}(z^{*})\end{aligned}}$
Real part	$\operatorname {Re} \{x[n]\}$	${\tfrac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]$
Imaginary part	$\operatorname {Im} \{x[n]\}$	${\tfrac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]$
Differentiation	$nx[n]$	$-z{\frac {dX(z)}{dz}}$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{nx(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n}\\&=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n-1}\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(-nz^{-n-1})\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n){\frac {d}{dz}}(z^{-n})\\&=-z{\frac {dX(z)}{dz}}\end{aligned}}$	ROC, if $X(z)$ is rational; ROC possibly excluding the boundary, if $X(z)$ is irrational
Convolution	$x_{1}[n]*x_{2}[n]$	$X_{1}(z)X_{2}(z)$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}&={\mathcal {Z}}\left\{\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right]z^{-n}\\&=\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n-l)z^{-n}\right]\\&=\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)z^{-l}\right]\!\!\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\right]\\&=X_{1}(z)X_{2}(z)\end{aligned}}$	Contains ROC1 ∩ ROC2
Cross-correlation	$r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]$	$R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}^{*}({\tfrac {1}{z^{*}}})X_{2}(z)$		Contains the intersection of ROC of $X_{1}({\tfrac {1}{z^{*}}})$ and $X_{2}(z)$
Accumulation	$\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}X(z)$	${\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]z^{-n}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x[n]+\cdots +x[-\infty ])z^{-n}\\&=X(z)\left(1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots \right)\\&=X(z)\sum _{j=0}^{\infty }z^{-j}\\&=X(z){\frac {1}{1-z^{-1}}}\end{aligned}}$
Multiplication	$x_{1}[n]x_{2}[n]$	${\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({\tfrac {z}{v}})v^{-1}\mathrm {d} v$		-

पारसेवल की प्रमेय

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v$

प्रारंभिक मूल्य प्रमेय: यदि x[n] कारण है, तो

$x[0]=\lim _{z\to \infty }X(z).$

अंतिम मूल्य प्रमेय: यदि (z − 1)X(z) के ध्रुव इकाई चक्र के अंदर हैं, तो

$x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z).$

== सामान्य जेड-ट्रांसफॉर्म जोड़े == की तालिका यहाँ:

$u:n\mapsto u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}$

हीविसाइड स्टेप फंक्शन|यूनिट (या हीविसाइड) स्टेप फंक्शन है और

$\delta :n\mapsto \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}$

क्रोनकर डेल्टा#डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग|डिस्क्रीट-टाइम यूनिट इम्पल्स फंक्शन (cf Dirac डिराक डेल्टा समारोह एक सतत-समय संस्करण है) है। दो कार्यों को एक साथ चुना जाता है जिससे कि यूनिट स्टेप फ़ंक्शन यूनिट इंपल्स फ़ंक्शन का संचय (रनिंग टोटल) हो।

	Signal, $x[n]$	Z-transform, $X(z)$	ROC
1	$\delta [n]$	1	all z
2	$\delta [n-n_{0}]$	$z^{-n_{0}}$	$z\neq 0$
3	$u[n]\,$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}$	$|z|>1$
4	$-u[-n-1]$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}$	$|z|<1$
5	$nu[n]$	${\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}$	$|z|>1$
6	$-nu[-n-1]\,$	${\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}$	$|z|<1$
7	$n^{2}u[n]$	${\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}$	$|z|>1\,$
8	$-n^{2}u[-n-1]\,$	${\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}$	$|z|<1\,$
9	$n^{3}u[n]$	${\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}$	$|z|>1\,$
10	$-n^{3}u[-n-1]$	${\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}$	$|z|<1\,$
11	$a^{n}u[n]$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$|z|>|a|$
12	$-a^{n}u[-n-1]$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$|z|<|a|$
13	$na^{n}u[n]$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$|z|>|a|$
14	$-na^{n}u[-n-1]$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$|z|<|a|$
15	$n^{2}a^{n}u[n]$	${\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}$	$|z|>|a|$
16	$-n^{2}a^{n}u[-n-1]$	${\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}$	$|z|<|a|$
17	$\left({\begin{array}{c}n+m-1\\m-1\end{array}}\right)a^{n}u[n]$	${\frac {1}{(1-az^{-1})^{m}}}$, for positive integer $m$	$|z|>|a|$
18	$(-1)^{m}\left({\begin{array}{c}-n-1\\m-1\end{array}}\right)a^{n}u[-n-m]$	${\frac {1}{(1-az^{-1})^{m}}}$, for positive integer $m$	$|z|<|a|$
19	$\cos(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$|z|>1$
20	$\sin(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$|z|>1$
21	$a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$|z|>|a|$
22	$a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$|z|>|a|$

फूरियर श्रृंखला और फूरियर रूपांतरण से संबंध

Further information: Discrete-time Fourier transform § Relationship to the Z-transform

के मूल्यों के लिए $z$ क्षेत्र में $|z|=1$, जिसे यूनिट सर्कल के रूप में जाना जाता है, हम परिभाषित करके एकल, वास्तविक चर, ω के कार्य के रूप में परिवर्तन को व्यक्त कर सकते हैं $z=e^{j\omega }$. और द्वि-पार्श्व परिवर्तन फूरियर श्रृंखला में कम हो जाता है:

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ z^{-n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n},$

(Eq.4)

जिसे असतत-समय फूरियर रूपांतरण (DTFT) के रूप में भी जाना जाता है $x[n]$ अनुक्रम। यह 2π-पीरियॉडिक फ़ंक्शन एक निरंतर फूरियर रूपांतरण का आवधिक योग है, जो इसे व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला विश्लेषण उपकरण बनाता है। इसे समझने के लिए आइए $X(f)$ किसी भी समारोह का फूरियर रूपांतरण हो, $x(t)$, जिनके नमूने कुछ अंतराल पर, टी, एक्स [एन] अनुक्रम के बराबर हैं। तब x [n] अनुक्रम का DTFT निम्नानुसार लिखा जा सकता है।

$\underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ e^{-j2\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(f-k/T).$

(Eq.5)

जब T के पास सेकंड की इकाई होती है, $\scriptstyle f$ हेटर्स ़ की इकाइयाँ हैं। दोनों श्रृंखलाओं की तुलना से पता चलता है$\omega =2\pi fT$एक सामान्यीकृत आवृत्ति (डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग) # प्रति नमूना रेडियन की इकाई के साथ वैकल्पिक सामान्यीकरण है। मान ω = 2π से मेल खाती है ${\textstyle f={\frac {1}{T}}}$. और अब, प्रतिस्थापन के साथ${\textstyle f={\frac {\omega }{2\pi T}},}$  Eq.4 फूरियर रूपांतरण के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, X(•):

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {X\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-{\tfrac {k}{T}}\right)} _{X\left({\frac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right)}.$

(Eq.6)

जैसे ही पैरामीटर T बदलता है, की अलग-अलग शर्तें Eq.5 f-अक्ष के साथ-साथ दूर या पास-पास जाएँ। में Eq.6 चूंकि , केंद्र 2 रहते हैंπ इसके अतिरिक्त , जबकि उनकी चौड़ाई फैलती या सिकुड़ती है। जब अनुक्रम x(nT) एक LTI प्रणाली की आवेग प्रतिक्रिया का प्रतिनिधित्व करता है, तो इन कार्यों को इसकी आवृत्ति प्रतिक्रिया के रूप में भी जाना जाता है। जब $x(nT)$ अनुक्रम आवधिक है, इसका DTFT एक या अधिक हार्मोनिक आवृत्तियों पर भिन्न होता है, और अन्य सभी आवृत्तियों पर शून्य होता है। यह अधिकांशतः हार्मोनिक आवृत्तियों पर आयाम-भिन्न डिराक डेल्टा कार्यों के उपयोग द्वारा दर्शाया जाता है। आवधिकता के कारण, अद्वितीय आयामों की केवल एक सीमित संख्या होती है, जो बहुत सरल असतत फूरियर रूपांतरण (डीएफटी) द्वारा आसानी से गणना की जाती है। (देखनाDiscrete-time Fourier transform § Periodic data.)

लेपलेस ट्रांसफॉर्म से संबंध

Further information: Laplace transform § Z-transform

बिलिनियर रूपांतरण

Main article: Bilinear transform

द्विरेखीय परिवर्तन का उपयोग निरंतर-समय के फिल्टर (लाप्लास डोमेन में प्रतिनिधित्व) को असतत-समय के फिल्टर (जेड-डोमेन में प्रतिनिधित्व) में परिवर्तित करने के लिए किया जा सकता है, और इसके विपरीत। निम्नलिखित प्रतिस्थापन प्रयोग किया जाता है:

$s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}$

कुछ कार्यों को परिवर्तित करने के लिए $H(s)$ लाप्लास डोमेन में एक समारोह के लिए $H(z)$ जेड-डोमेन (बिलिनियर रूपांतरण ) में, या

$z=e^{sT}\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}$

जेड-डोमेन से लेपलेस डोमेन तक। द्विरेखीय परिवर्तन के माध्यम से, जटिल एस-प्लेन (लाप्लास ट्रांसफॉर्म का) जटिल जेड-प्लेन (जेड-ट्रांसफॉर्म का) में मैप किया जाता है। जबकि यह मैपिंग (आवश्यक ) नॉनलाइनियर है, यह उपयोगी है कि यह पूरे को मैप करता है $j\omega$ जेड-प्लेन में यूनिट सर्कल पर एस-प्लेन की धुरी। इस प्रकार, फूरियर रूपांतरण (जो लाप्लास रूपांतरण है जिसका मूल्यांकन किया गया है $j\omega$ अक्ष) असतत-समय फूरियर रूपांतरण बन जाता है। यह मानता है कि फूरियर रूपांतरण उपस्थित है; अर्थात कि $j\omega$ अक्ष लाप्लास परिवर्तन के अभिसरण के क्षेत्र में है।

तारांकित रूपांतरण

Main article: Starred transform

एक समय-नमूना फ़ंक्शन के एक तरफा जेड-रूपांतरण, एक्स (जेड) को देखते हुए, संबंधित 'तारांकित परिवर्तन' एक लाप्लास परिवर्तन उत्पन्न करता है और नमूना पैरामीटर पर निर्भरता को पुनर्स्थापित करता है, टी:

${\bigg .}X^{*}(s)=X(z){\bigg |}_{\displaystyle z=e^{sT}}$

व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन एक गणितीय अमूर्तता है जिसे एक आवेग-नमूना फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है।

रैखिक निरंतर-गुणांक अंतर समीकरण

रैखिक स्थिर-गुणांक अंतर (LCCD) समीकरण ऑटोरेग्रेसिव मूविंग एवरेज मॉडल | ऑटोरेग्रेसिव मूविंग-एवरेज समीकरण पर आधारित एक रैखिक प्रणाली के लिए एक प्रतिनिधित्व है।

$\sum _{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}$

उपरोक्त समीकरण के दोनों पक्षों को α द्वारा विभाजित किया जा सकता है₀, यदि यह शून्य नहीं है, तो α को सामान्य करना₀ = 1 और एलसीसीडी समीकरण लिखा जा सकता है

$y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]\alpha _{p}.$

LCCD समीकरण का यह रूप इसे और अधिक स्पष्ट करने के लिए अनुकूल है कि वर्तमान आउटपुट y[n] पिछले आउटपुट y[n - p], वर्तमान इनपुट x[n], और पिछले इनपुट x[n - q] का एक कार्य है। .

स्थानांतरण समारोह

उपरोक्त समीकरण के जेड-रूपांतरण (रैखिकता और समय-स्थानांतरण कानूनों का उपयोग करके) उत्पन्न

$Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}$

और परिणामों को पुनर्व्यवस्थित करना

$H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}.$

शून्य और ध्रुव

बीजगणित के मौलिक प्रमेय से अंश में एक फ़ंक्शन का M मूल होता है (H के शून्य के अनुरूप) और हर में N मूल (ध्रुवों के अनुरूप) होता है। स्थानांतरण प्रकार्य को शून्य और ध्रुवों के संदर्भ में फिर से लिखना

$H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}},$

जहां क्यू_kके वें शून्य और पी है_kकेथ पोल है। शून्य और ध्रुव सामान्यतः जटिल होते हैं और जब जटिल विमान (जेड-प्लेन) पर प्लॉट किया जाता है तो इसे ध्रुव-शून्य प्लॉट कहा जाता है।

इसके अतिरिक्त , z = 0 और z = ∞ पर शून्य और ध्रुव भी उपस्थित हो सकते हैं। यदि हम इन ध्रुवों और शून्यों के साथ-साथ बहु-क्रम शून्यों और ध्रुवों को ध्यान में रखते हैं, तो शून्य और ध्रुवों की संख्या हमेशा बराबर होती है।

विभाजक को विभाजित करके, आंशिक अंश अपघटन का उपयोग किया जा सकता है, जिसे पश्चात समय डोमेन में परिवर्तित किया जा सकता है। ऐसा करने से आवेग प्रतिक्रिया और सिस्टम के रैखिक निरंतर गुणांक अंतर समीकरण का परिणाम होगा।

आउटपुट प्रतिक्रिया

यदि ऐसी प्रणाली एच (जेड) सिग्नल एक्स (जेड) द्वारा संचालित होती है तो आउटपुट वाई (जेड) = एच (जेड) एक्स (जेड) होता है। Y(z) पर आंशिक अंश अपघटन करके और फिर व्युत्क्रम Z-रूपांतरण करके आउटपुट y[n] पाया जा सकता है। व्यवहार में, यह अधिकांशतः आंशिक रूप से विघटित करने के लिए उपयोगी होता है $\textstyle {\frac {Y(z)}{z}}$ Y (z) का एक रूप उत्पन्न करने के लिए उस मात्रा को z से गुणा करने से पहले, जिसमें आसानी से गणना योग्य व्युत्क्रम Z- रूपांतरण के साथ शब्द हैं।

यह भी देखें

• उन्नत जेड-रूपांतरण
• बिलिनियर परिवर्तन
• अंतर समीकरण (पुनरावृत्ति संबंध)
• कनवल्शन#असतत कनवल्शन
• असतत-समय फूरियर रूपांतरण
• परिमित आवेग प्रतिक्रिया
• औपचारिक शक्ति श्रृंखला
• जनरेटिंग फ़ंक्शन
• समारोह परिवर्तन उत्पन्न करना
• लाप्लास परिवर्तन
• लॉरेंट श्रृंखला
• कम से कम वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण
• संभावना उत्पन्न करने वाला कार्य
• तारा परिवर्तन
• ज़क परिवर्तन
• जीटा समारोह नियमितीकरण

अग्रिम पठन

• Refaat El Attar, Lecture notes on Z-Transform, Lulu Press, Morrisville NC, 2005. ISBN 1-4116-1979-X.
• Ogata, Katsuhiko, Discrete Time Control Systems 2nd Ed, Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. ISBN 0-13-034281-5.
• Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer (1999). Discrete-Time Signal Processing, 2nd Edition, Prentice Hall Signal Processing Series. ISBN 0-13-754920-2.

बाहरी संबंध

• "Z-transform", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Numerical inversion of the Z-transform
• Z-Transform table of some common Laplace transforms
• Mathworld's entry on the Z-transform
• Z-Transform threads in Comp.DSP
• A graphic of the relationship between Laplace transform s-plane to Z-plane of the Z transform
• A video-based explanation of the Z-Transform for engineers
• What is the z-Transform?