इकाई वेक्टर: Difference between revisions

Revision as of 00:13, 6 March 2023

गणित में, सामान्यतया सदिश समष्टि में इकाई सदिश की लंबाई 1 होती है। इकाई सदिश को प्रायः लोअरकेस अक्षर द्वारा सरकमफ्लेक्स या "हैट" के रूप में दर्शाया जाता है, जैसा कि

उच्चारण ${\hat {\mathbf {v} }}$ -हैट के रूप में दर्शाया जाता है।

शब्द दिशा सदिश , जिसे सामान्यतः डी के रूप में निरूपित किया जाता है, जिसका उपयोग स्थानिक दिशा और सापेक्ष दिशा का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाने वाली इकाई सदिश का वर्णन करने के लिए किया जाता है। 2डी स्थानिक दिशाएँ संख्यात्मक रूप से इकाई वृत्त पर बिंदुओं के समतुल्य होते है और 3डी में स्थानिक दिशाएँ इकाई क्षेत्र पर एक बिंदु के के बराबर होते है।

एक गैर-शून्य सदिश यू का सामान्यीकृत सदिश यू की दिशा में इकाई सदिश के रूप में होता है जैसे ,

\mathbf {\hat {u}} ={\frac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}}

जहां एफ यू का मानक (गणित) या लंबाई होता है।^[1]^[2] सामान्यीकृत सदिश शब्द को कभी कभी इकाई सदिश के लिए पर्याय के रूप में उपयोग किया जाता है।

इकाई सदिश को अधिकांशतः सदिश समष्टि के आधार (रैखिक बीजगणित) बनाने के लिए चुना जाता है और समष्टि में प्रत्येक सदिश को इकाई सदिश के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है।

ऑर्थोगोनल निर्देशांक

कार्टेशियन निर्देशांक

इकाई सदिश का उपयोग कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के अक्षों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, तीन आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के x, y, और z अक्षों की दिशा में मानक इकाई सदिश के रूप में होते है

\mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}

वे पारस्परिक रूप से ओर्थोगोनल इकाई सदिश का एक सेट बनाते हैं, जिसे सामान्यतः रैखिक बीजगणित में एक मानक आधार के रूप में संदर्भित किया जाता है।

वे अधिकांशतः सामान्य सदिश संकेतन जैसे, i का उपयोग करके निरूपित किया जाता है ${\vec {\imath }}$ मानक इकाई सदिश संकेतन के अतिरिक्त जैसे, $\mathbf {\hat {\imath }}$ के रूप में होता है, तथा अधिकांश संदर्भों में यह माना जा सकता है कि i, j, और k या ${\vec {\imath }},$ ${\vec {\jmath }},$ और ${\vec {k}}$ एक 3-डी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के वर्सर्स होते है। अंकन पद्धति $(\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} )$ , $(\mathbf {\hat {x}} _{1},\mathbf {\hat {x}} _{2},\mathbf {\hat {x}} _{3})$ , $(\mathbf {\hat {e}} _{x},\mathbf {\hat {e}} _{y},\mathbf {\hat {e}} _{z})$ , या $(\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3})$ , के साथ या उसके बिना गणित का उपयोग किया जाता है,^[1]विशेष रूप से उन संदर्भों में जहां i, j, k किसी अन्य मात्रा के साथ भान्ति उत्पन्न करता है, उदाहरण के लिए, I , J , k जैसे अनुक्रमित सूचकांक प्रतीकों के साथ होता है, जो किसी सेट या सरणी या चर के अनुक्रम के तत्व की पहचान करने के लिए उपयोग किया जाता है।

जब समष्टि में एक इकाई सदिश कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में व्यक्त किया जाता है तो कार्टेशियन संकेतन के साथ सदिश का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि I, J, K के रैखिक संयोजन के रूप में होता है, इसके तीन अदिश घटकों को दिशा कोसाइन के रूप में संदर्भित किया जाता है। प्रत्येक घटक का मान संबंधित आधार सदिश के साथ इकाई सदिश द्वारा गठित कोण के कोसाइन के बराबर होता है। यह एक सीधी रेखा, सीधी रेखा के खंड, उन्मुख अक्ष या उन्मुख अक्ष सदिश के खंड के अभिविन्यास कोणीय स्थिति का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधियों में से एक है।

बेलनाकार निर्देशांक

बेलनाकार समरूपता के लिए उपयुक्त तीन ऑर्थोगोनल इकाई सदिश के रूप में होती है

${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ (भी नामित $\mathbf {\hat {e}}$ या ${\boldsymbol {\hat {s}}}$ ), उस दिशा का प्रतिनिधित्व करती है, जिसके साथ समरूपता के अक्ष से बिंदु की दूरी को मापा जाता है
${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ , गति की दिशा का प्रतिनिधित्व करते हुए देखा जाता है कि यदि बिंदु समरूपता अक्ष के प्रति घड़ी की वामावर्त दिशा में घूमता है
$\mathbf {\hat {z}}$ , समरूपता अक्ष की दिशा का प्रतिनिधित्व करती है

वे कार्टेशियन आधार से संबंधित हैं ${\hat {x}}$ , ${\hat {y}}$ , ${\hat {z}}$ द्वारा दर्शायी गई है,

{\boldsymbol {\hat {\rho }}}=\cos(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\sin(\varphi )\mathbf {\hat {y}}

[1]

[2]

@@ Line 29: / Line 29: @@
 वे अधिकांशतः  सामान्य सदिश संकेतन जैसे,'' i '' का उपयोग करके निरूपित किया जाता है <math alt= "vector i">\vec{\imath}</math> मानक इकाई सदिश संकेतन के अतिरिक्त  जैसे, <math alt= "unit vector i">\mathbf{\hat{\imath}}</math>   के रूप में होता है, तथा अधिकांश संदर्भों में यह माना जा सकता है कि i, j, और  k या <math alt="vector i">\vec{\imath},</math> <math alt= "vector j">\vec{\jmath},</math> और <math alt= "vector k"> \vec{k}</math> एक 3-डी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के वर्सर्स  होते है। अंकन पद्धति <math alt="x-hat, y-hat, z-hat">(\mathbf{\hat{x}}, \mathbf{\hat{y}}, \mathbf{\hat{z}})</math>, <math alt="x-hat sub 1, x-hat sub 2, x-hat sub 3">(\mathbf{\hat{x}}_1, \mathbf{\hat{x}}_2, \mathbf{\hat{x}}_3)</math>, <math alt="e-hat sub x, e-hat sub y, e-hat sub z">(\mathbf{\hat{e}}_x, \mathbf{\hat{e}}_y, \mathbf{\hat{e}}_z)</math>, या <math alt= "e-hat sub 1, e-hat sub 2, e-hat sub 3">(\mathbf{\hat{e}}_1, \mathbf{\hat{e}}_2, \mathbf{\hat{e}}_3)</math>, के साथ या उसके बिना गणित का उपयोग किया जाता है,<ref name=":0" />विशेष रूप से उन संदर्भों में जहां i, j, k किसी अन्य मात्रा के साथ भान्ति उत्पन्न  करता है, उदाहरण के लिए, '' I '', '' J '', '' k '' जैसे अनुक्रमित सूचकांक प्रतीकों के साथ होता है, जो किसी सेट या सरणी या चर के अनुक्रम के तत्व की पहचान करने के लिए उपयोग किया जाता है।
-जब समष्टि में एक इकाई सदिश कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में व्यक्त किया जाता है तो कार्टेशियन संकेतन के साथ सदिश का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि I, J, K के रैखिक संयोजन के रूप में होता है, इसके तीन स्केलर घटकों को [[दिशा कोसाइन]] के रूप में संदर्भित किया जाता है। प्रत्येक घटक का मान संबंधित आधार सदिश के साथ इकाई सदिश द्वारा गठित कोण के कोसाइन के बराबर होता है। यह एक सीधी रेखा, सीधी रेखा के खंड, उन्मुख अक्ष या उन्मुख अक्ष सदिश के खंड के [[अभिविन्यास]] कोणीय स्थिति का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधियों में से एक है।
+जब समष्टि में एक इकाई सदिश कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में व्यक्त किया जाता है तो कार्टेशियन संकेतन के साथ सदिश का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि I, J, K के रैखिक संयोजन के रूप में होता है, इसके तीन अदिश घटकों को [[दिशा कोसाइन]] के रूप में संदर्भित किया जाता है। प्रत्येक घटक का मान संबंधित आधार सदिश के साथ इकाई सदिश द्वारा गठित कोण के कोसाइन के बराबर होता है। यह एक सीधी रेखा, सीधी रेखा के खंड, उन्मुख अक्ष या उन्मुख अक्ष सदिश के खंड के [[अभिविन्यास]] कोणीय स्थिति का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधियों में से एक है।
 === बेलनाकार निर्देशांक ===
@@ Line 106: / Line 106: @@
 == वक्रता निर्देशांक ==
-सामान्यतः , एक समन्वय प्रणाली को कई रैखिक स्वतंत्रता इकाई सदिश का उपयोग करके विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है <math alt="e-hat sub n">\mathbf{\hat{e}}_n</math><ref name=":0" />(वास्तविक संख्या समष्टि की स्वतंत्रता की डिग्री के बराबर है)।साधारण 3-समष्टि के लिए, इन सदिश को निरूपित किया जा सकता है <math alt="e-hat sub 1, e-hat sub 2, e-hat sub 3">\mathbf{\hat{e}}_1, \mathbf{\hat{e}}_2, \mathbf{\hat{e}}_3</math>।यह लगभग हमेशा सुविधाजनक होता है कि सिस्टम को ऑर्थोनॉर्मल और [[दाहिने हाथ का नियम]] होना चाहिए। दाएं हाथ:
+सामान्यतः, एक समन्वय प्रणाली को कई रैखिक स्वतंत्र इकाई सदिश <math alt="e-hat sub n">\mathbf{\hat{e}}_n</math> का उपयोग करके विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जाता है<ref name=":0" /> वास्तविक संख्या समष्टि की स्वतंत्र डिग्री के बराबर होती है। साधारणतया 3समष्टि के लिए, इन सदिश <math alt="e-hat sub 1, e-hat sub 2, e-hat sub 3">\mathbf{\hat{e}}_1, \mathbf{\hat{e}}_2, \mathbf{\hat{e}}_3</math> को निरूपित किया जाता है। यह अधिकांशतः सुविधाजनक रूप में होता है प्रणाली को ऑर्थोनॉर्मल और [[दाहिने हाथ का नियम]] होना चाहिए।
 :<math alt="e-hat sub i dot e-hat sub j equals Kronecker delta of i and j">\mathbf{\hat{e}}_i \cdot \mathbf{\hat{e}}_j = \delta_{ij} </math>
 :<math alt="e-hat sub i dot e-hat sub j cross e-hat sub k = epsilon sub ijk">\mathbf{\hat{e}}_i \cdot (\mathbf{\hat{e}}_j \times \mathbf{\hat{e}}_k) = \varepsilon_{ijk} </math>
-कहाँ <math> \delta_{ij} </math> [[क्रोनकर डेल्टा]] है (जो कि i = j के लिए 1 है, और 0 अन्यथा) और  <math alt="epsilon sub i,j,k"> \varepsilon_{ijk} </math> [[लेवी-सिविटा प्रतीक]] है (जो कि IJK के रूप में आदेशित क्रम के लिए 1 है, और kji के रूप में आदेशित क्रमपरिवर्तन के लिए −1)।
+जहाँ <math> \delta_{ij} </math> [[क्रोनकर डेल्टा]], जो कि i = j के लिए 1 है, और 0 अन्यथा और  <math alt="epsilon sub i,j,k"> \varepsilon_{ijk} </math> [[लेवी-सिविटा प्रतीक]] के रूप में होता है, जो कि आईजेके के रूप में क्रमबद्ध क्रम के लिए 1 है और केजेआई के रूप में क्रमबद्ध क्रमपरिवर्तन के लिए −1 के रूप में होता है।
 == राइट वर्सोर ==
-में एक इकाई सदिश <math>\mathbb{R}^3</math> डब्ल्यू। आर। हैमिल्टन द्वारा एक राइट वर्सोर कहा जाता था, क्योंकि उन्होंने अपने चतुर्भुजों को विकसित किया था <math>\mathbb{H} \subset \mathbb{R}^4</math>।वास्तव में, वह सदिश शब्द का प्रवर्तक था, हर चतुर्भुज के रूप में <math>q = s + v</math> एक स्केलर भाग s और एक सदिश भाग v है। यदि V एक इकाई सदिश है <math>\mathbb{R}^3</math>, फिर v का वर्ग चतुर्भुज में -1 है।इस प्रकार यूलर के सूत्र द्वारा, <math>\exp (\theta v) = \cos \theta + v \sin \theta</math> 3-स्पेयर में एक [[पाठ्यक्रम में होना]] है।जब ang एक [[समकोण]] है, तो वर्सोर एक सही संस्करण है: इसका स्केलर भाग शून्य है और इसका सदिश भाग V एक इकाई सदिश है <math>\mathbb{R}^3</math>।
+एक इकाई सदिश मे <math>\mathbb{R}^3</math> को डब्ल्यू आर हैमिल्टन द्वारा एक राइट वर्सोर कहा जाता था, क्योंकि उन्होंने अपने चतुर्भुजों  <math>\mathbb{H} \subset \mathbb{R}^4</math>को विकसित किया था। वास्तव में, वह सदिश शब्द का प्रवर्तक था, हर चतुर्भुज के रूप में <math>q = s + v</math> एक अदिश भाग s और एक सदिश भाग v के रूप में होते है। यदि V एक इकाई सदिश <math>\mathbb{R}^3</math> है, फिर v का वर्ग चतुर्भुज -1 है। इस प्रकार यूलर के सूत्र द्वारा, <math>\exp (\theta v) = \cos \theta + v \sin \theta</math> 3-गोलाकार का एक [[पाठ्यक्रम में होना|वर्सोर]] है। जब θ एक [[समकोण]] है, तो वर्सोर एक समकोण संस्करण है इसका अदिश भाग शून्य है और इसका सदिश भाग V एक इकाई सदिश <math>\mathbb{R}^3</math> के रूप में होता है।
 == यह भी देखें ==

Anonymous

Search

इकाई वेक्टर: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

Revision as of 00:13, 6 March 2023

Contents

ऑर्थोगोनल निर्देशांक

कार्टेशियन निर्देशांक

बेलनाकार निर्देशांक