ऑपेराड: Difference between revisions
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* क्रमचय क्रियाओं को संरक्षित करता है: <math>f(x*s)=f(x)*s</math>. | * क्रमचय क्रियाओं को संरक्षित करता है: <math>f(x*s)=f(x)*s</math>. | ||
*ऑपेराड इसलिए [[श्रेणी (गणित)]] बनाते हैं जिसे | *ऑपेराड इसलिए [[श्रेणी (गणित)]] बनाते हैं जिसे ऑपेराड द्वारा निरूपित किया जाता है . | ||
=== अन्य श्रेणियों में === | === अन्य श्रेणियों में === | ||
अब तक ऑपेराड को सिर्फ समूह के [[श्रेणी सिद्धांत]] में ही माना जाता है। | अब तक ऑपेराड को सिर्फ समूह के [[श्रेणी सिद्धांत]] में ही माना जाता है। अत्यधिक सामान्यतः, किसी भी [[सममित मोनोइडल श्रेणी]] सी में ऑपेराड को परिभाषित करना संभव है। ऐसे में प्रत्येक <math>P(n)</math> सी की ऑब्जेक्ट है, रचना <math>\circ</math> व्याख्या है <math>P(n)\otimes P(k_1)\otimes\cdots\otimes P(k_n) \to P(k_1+\cdots+k_n)</math> सी में (जहां <math>\otimes</math> मोनोइडल श्रेणी के टेंसर प्रोडक्ट्स को दर्शाता है), और सममित समूह के अवयव की क्रियाएं सी में समरूपता द्वारा दी जाती हैं। | ||
कार्टेशियन प्रोडक्ट द्वारा दिए गए मोनोइडल प्रोडक्ट के साथ सामान्य उदाहरण [[टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान|टोपोलॉजिकल स्पेस]] और निरंतर | कार्टेशियन प्रोडक्ट द्वारा दिए गए मोनोइडल प्रोडक्ट के साथ सामान्य उदाहरण [[टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान|टोपोलॉजिकल स्पेस]] और निरंतर मानचित्र की श्रेणी है। इस कथन में, टोपोलॉजिकल ऑपेराड स्पेस (समूह के विपरीत) के अनुक्रम द्वारा दिया जाता है <math>\{ P(n) \}_{n \ge 0}</math>. ऑपेराड के संरचना मानचित्र (सममित समूहों की रचना और क्रियाएं) को तब निरंतर माना जाता है। परिणाम को टोपोलॉजिकल ऑपेराड कहा जाता है। इसी मानचित्र, ऑपेराड के आकारिकी की परिभाषा में, यह मान लेना आवश्यक होगा कि इसमें प्रकार सम्मिलित मानचित्र निरंतर हैं। | ||
ऑपेराड को परिभाषित करने के लिए अन्य सामान्य सेटिंग्स में सम्मिलित हैं, उदाहरण के लिए,[[ क्रमविनिमेय अंगूठी | क्रमविनिमेय रिंग]], [[चेन कॉम्प्लेक्स]], ग्रुपोइड्स (या यहां तक कि श्रेणियों की श्रेणी), [[कोलजेब्रा]], [[मॉड्यूल (गणित)|मॉड्यूल (गणित) इत्यादि हैं]]। | ऑपेराड को परिभाषित करने के लिए अन्य सामान्य सेटिंग्स में सम्मिलित हैं, उदाहरण के लिए,[[ क्रमविनिमेय अंगूठी | क्रमविनिमेय रिंग]], [[चेन कॉम्प्लेक्स]], ग्रुपोइड्स (या यहां तक कि श्रेणियों की श्रेणी), [[कोलजेब्रा]], [[मॉड्यूल (गणित)|मॉड्यूल (गणित) इत्यादि हैं]]। | ||
=== बीजगणित की परिभाषा === | === बीजगणित की परिभाषा === | ||
क्रमविनिमेय वलय | क्रमविनिमेय वलय आर दिया गया है हम आर से अत्यधिक मॉड्यूल की श्रेणी आर-मॉड पर विचार करते हैं। आर पर ऑपेराड को[[ मोनॉइड वस्तु | मोनॉइड ऑब्जेक्ट]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>(T, \gamma, \eta)</math> [[एंडोफंक्टर्स की मोनोइडल श्रेणी]] में आर-मॉड (यह मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) है) कुछ परिमित स्थिति को संतुष्ट करता है।उदाहरण के लिए, बहुपद एंडोफंक्टर्स की श्रेणी में मोनोइड ऑब्जेक्ट आर-मॉड ऑपेराड है।<ref name=Deligne /> इसी प्रकार, सममित ऑपेराड को एस-ऑब्जेक्ट की श्रेणी में मोनोइड ऑब्जेक्ट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>\mathbb{S}</math>-ऑब्जेक्ट्स, जहां <math>\mathbb{S}</math> अर्थ सममित समूह है।<ref>{{cite arXiv|last1=Jones|first1=J. D. S.|last2=Getzler|first2=Ezra|date=8 March 1994|title=डबल लूप स्पेस के लिए ऑपरेड्स, होमोटॉपी बीजगणित और पुनरावृत्त इंटीग्रल|eprint=hep-th/9403055|language=en}}</ref> संयोजी प्रजातियों की श्रेणी में मोनोइड ऑब्जेक्ट परिमित समूहों में ऑपेराड है। | ||
उपरोक्त अर्थ में ऑपेराड को कभी-कभी सामान्यीकृत रिंग के रूप में माना जाता है। उदाहरण के लिए, निकोलाई ड्यूरोव अपने सामान्यीकृत रिंगों को एंडोफंक्टर्स की मोनोइडल श्रेणी में मोनोइड ऑब्जेक्ट्स के रूप में परिभाषित करता है। समूह जो फ़िल्टर्ड कोलिमिट्स के साथ चलता है।<ref>N. Durov, New approach to Arakelov geometry, University of Bonn, PhD thesis, 2007; [http://www.arxiv.org/abs/0704.2030 arXiv:0704.2030].</ref> यह वलय का सामान्यीकरण है क्योंकि प्रत्येक साधारण वलय R मोनाड को परिभाषित करता है <math>\Sigma_R: \textbf{Set} \to \textbf{Set}</math> जो फ्री मॉड्यूल है | फ्री आर-मॉड्यूल के अंतर्निहित समूह को समूह एक्स भेजता है जो <math>R^{(X)}</math>X द्वारा उत्पन्न होता है। | उपरोक्त अर्थ में ऑपेराड को कभी-कभी सामान्यीकृत रिंग के रूप में माना जाता है। उदाहरण के लिए, निकोलाई ड्यूरोव अपने सामान्यीकृत रिंगों को एंडोफंक्टर्स की मोनोइडल श्रेणी में मोनोइड ऑब्जेक्ट्स के रूप में परिभाषित करता है। समूह जो फ़िल्टर्ड कोलिमिट्स के साथ चलता है।<ref>N. Durov, New approach to Arakelov geometry, University of Bonn, PhD thesis, 2007; [http://www.arxiv.org/abs/0704.2030 arXiv:0704.2030].</ref> यह वलय का सामान्यीकरण है क्योंकि प्रत्येक साधारण वलय R मोनाड को परिभाषित करता है <math>\Sigma_R: \textbf{Set} \to \textbf{Set}</math> जो फ्री मॉड्यूल है | फ्री आर-मॉड्यूल के अंतर्निहित समूह को समूह एक्स भेजता है जो <math>R^{(X)}</math>X द्वारा उत्पन्न होता है। | ||
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== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
आकारिकी समूह और ऑपेराड बीजगणित में संचालित होता है ऊपर दिए गए अनुभव पर अनुभाग में दिए गए सबसे आकारिकी ऑपेराड हैं। किसी भी समूह के लिए <math>X</math>, हम <math>\mathcal{End}_X </math> सभी फलन से मिलकर <math>X^n\to X</math>आकारिकी ऑपेराड प्राप्त करते हैं। ये ऑपेराड महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे ऑपेराड बीजगणित को परिभाषित करने के लिए कार्य करते हैं। यदि <math>\mathcal{O}</math> ऑपेराड है, ऑपेराड | आकारिकी समूह और ऑपेराड बीजगणित में संचालित होता है ऊपर दिए गए अनुभव पर अनुभाग में दिए गए सबसे आकारिकी ऑपेराड हैं। किसी भी समूह के लिए <math>X</math>, हम <math>\mathcal{End}_X </math> सभी फलन से मिलकर <math>X^n\to X</math>आकारिकी ऑपेराड प्राप्त करते हैं। ये ऑपेराड महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे ऑपेराड बीजगणित को परिभाषित करने के लिए कार्य करते हैं। यदि <math>\mathcal{O}</math> ऑपेराड है, ऑपेराड बीजगणित <math>\mathcal{O}</math> है <math>X</math> समूह द्वारा दिया जाता और ऑपेराड व्याख्या <math>\mathcal{O} \to \mathcal{End}_X</math> है। सरल प्रकार से, इस प्रकार की व्याख्या के प्रत्येक संक्षेप संचालन को बदल देता है <math>\mathcal{O}(n)</math> ठोस में <math>n</math> समूह एन-एरी ऑपरेशन <math>X</math> है। '''''O''''' पर ऑपेराड बीजगणित इस प्रकार '''''X''''' पर ठोस संचालन के साथ समूह '''''X''''' होता है जो ऑपेराड '''''O''''' द्वारा स्पष्ट प्रकार से निर्दिष्ट नियमों का पालन करता है। | ||
=== वेक्टर रिक्त स्थान में एंडोमोर्फिज्म ऑपरैड और ऑपरैड अलजेब्रा === | === वेक्टर रिक्त स्थान में एंडोमोर्फिज्म ऑपरैड और ऑपरैड अलजेब्रा === | ||
यदि के [[क्षेत्र (गणित)]] है, तो हम के पर परिमित- विमीय सदिश समष्टियों की श्रेणी पर विचार कर सकते हैं; यह के पर साधारण [[टेंसर उत्पाद]] का उपयोग करके मोनोइडल श्रेणी बन जाती है। हम इस श्रेणी में आकारिकी ऑपरेशंस को निम्नानुसार परिभाषित कर सकते हैं। चलो वी परिमित- विमीय वेक्टर स्पेस हो आकारिकी ऑपेराड | यदि के [[क्षेत्र (गणित)]] है, तो हम के पर परिमित-विमीय सदिश समष्टियों की श्रेणी पर विचार कर सकते हैं; यह के पर साधारण [[टेंसर उत्पाद]] का उपयोग करके मोनोइडल श्रेणी बन जाती है। हम इस श्रेणी में आकारिकी ऑपरेशंस को निम्नानुसार परिभाषित कर सकते हैं। चलो वी परिमित- विमीय वेक्टर स्पेस हो आकारिकी ऑपेराड <math>\mathcal{End}_V = \{ \mathcal{End}_V(n) \}</math>वी के होते हैं<ref>{{cite journal|last1=Markl|first1=Martin|year=2006|title=ऑपरेशंस और प्रोप|journal=Handbook of Algebra|volume=5|issue=1|pages=87–140|doi=10.1016/S1570-7954(07)05002-4|arxiv=math/0601129 |isbn=9780444531018|s2cid=3239126}} Example 2</ref> | ||
# <math>\mathcal{End}_V(n)</math> = रैखिक मानचित्रों का स्थान <math>V^{\otimes n} \to V</math>, | # <math>\mathcal{End}_V(n)</math> = रैखिक मानचित्रों का स्थान <math>V^{\otimes n} \to V</math>, | ||
# (रचना) दिया गया <math>f\in\mathcal{End}_V(n)</math>, <math>g_1\in\mathcal{End}_V(k_1)</math>, ..., <math>g_n\in\mathcal{End}_V(k_n)</math>, उनकी रचना मानचित्र द्वारा दी गई है <math>V^{\otimes k_1} \otimes \cdots \otimes V^{\otimes k_n} \ \overset{g_1 \otimes \cdots \otimes g_n}\longrightarrow \ V^{\otimes n} \ \overset{f}\to \ V</math>, | # (रचना) दिया गया <math>f\in\mathcal{End}_V(n)</math>, <math>g_1\in\mathcal{End}_V(k_1)</math>, ..., <math>g_n\in\mathcal{End}_V(k_n)</math>, उनकी रचना मानचित्र द्वारा दी गई है <math>V^{\otimes k_1} \otimes \cdots \otimes V^{\otimes k_n} \ \overset{g_1 \otimes \cdots \otimes g_n}\longrightarrow \ V^{\otimes n} \ \overset{f}\to \ V</math>, | ||
# (पहचान) में पहचान | # (पहचान) में पहचान अवयव <math>\mathcal{End}_V(1)</math> पहचान मानचित्र है <math>\operatorname{id}_V</math>, | ||
# (सममित समूह क्रिया) <math>S_n</math> <math>V^{\otimes n}</math> में टेंसर के घटकों की अनुमति देकर <math>\mathcal{End}_V(n)</math> पर कार्य करता है। | # (सममित समूह क्रिया) <math>S_n</math> <math>V^{\otimes n}</math> में टेंसर के घटकों की अनुमति देकर <math>\mathcal{End}_V(n)</math> पर कार्य करता है। | ||
यदि <math>\mathcal{O}</math> ऑपेराड है, के-रैखिक ऑपेराड बीजगणितीय ओवर <math>\mathcal{O}</math> परिमित- विमीय वेक्टर स्पेस वी ओवर के और ऑपेराड व्याख्या द्वारा दिया जाता है <math>\mathcal{O} \to \mathcal{End}_V</math>; यह वी पर ठोस बहुरेखीक ऑपरेशंस को निर्दिष्ट करने की मात्रा है जो <math>\mathcal{O}</math> के ऑपरेशंस की तरह व्यवहार करती है. (ऑपेराड्स और ऑपेराड बीजगणित और रिंग्स और मॉड्यूल के बीच समानता पर ध्यान दें: रिंग आर पर मॉड्यूल एबेलियन समूह एम द्वारा रिंग <math>R \to \operatorname{End}(M)</math> समरूपता के साथ दिया जाता है) | यदि <math>\mathcal{O}</math> ऑपेराड है, के-रैखिक ऑपेराड बीजगणितीय ओवर <math>\mathcal{O}</math> परिमित- विमीय वेक्टर स्पेस वी ओवर के और ऑपेराड व्याख्या द्वारा दिया जाता है <math>\mathcal{O} \to \mathcal{End}_V</math>; यह वी पर ठोस बहुरेखीक ऑपरेशंस को निर्दिष्ट करने की मात्रा है जो <math>\mathcal{O}</math> के ऑपरेशंस की तरह व्यवहार करती है. (ऑपेराड्स और ऑपेराड बीजगणित और रिंग्स और मॉड्यूल के बीच समानता पर ध्यान दें: रिंग आर पर मॉड्यूल एबेलियन समूह एम द्वारा रिंग <math>R \to \operatorname{End}(M)</math> समरूपता के साथ दिया जाता है) | | ||
अनुप्रयोगों के आधार पर, उपरोक्त की विविधताएं संभव हैं: उदाहरण के लिए, बीजगणितीय टोपोलॉजी में, उनके बीच वेक्टर स्पेस और टेंसर प्रोडक्ट्स के विपरीत उनके बिच टोपोलॉजिकल स्पेस और कार्टेशियन प्रोडक्ट का उपयोग किया जाता है। | अनुप्रयोगों के आधार पर, उपरोक्त की विविधताएं संभव हैं: उदाहरण के लिए, बीजगणितीय टोपोलॉजी में, उनके बीच वेक्टर स्पेस और टेंसर प्रोडक्ट्स के विपरीत उनके बिच टोपोलॉजिकल स्पेस और कार्टेशियन प्रोडक्ट का उपयोग किया जाता है। | ||
Revision as of 11:10, 8 March 2023
गणित में, ऑपेराड एक संरचना है जिसमें एब्स्ट्रैक्ट (संक्षेप) ऑपरेशन (गणित) होते हैं, प्रत्येक में निश्चित परिमित संख्या में इनपुट और आउटपुट होता है, साथ ही इन ऑपरेशनों को बनाने के प्रकार का विनिर्देश होता है। ओपेरा O दिया गया है इस समूह पर ठोस ऑपरेशंस के साथ सेट होने के लिए बीजगणित को परिभाषित करता है जो कि संक्षेप ऑपरेशन की तरह ही व्यवहार करता है उदाहरण के लिए, ऑपेराड L जैसे L के ऊपर बीजगणित लाई बीजगणित है; अर्थ में L संक्षेप प्रकार से उन ऑपरेशनों को स्कैनकोड करता है जो सभी लाई बीजगणित के लिए सामान्य है। ऑपेराड अपने बीजगणित के लिए समूह (गणित) के रूप में अपने समूह के प्रतिनिधित्व के लिए है।
इतिहास
ऑपरेशंस बीजगणितीय टोपोलॉजी में उत्पन्न होते हैं ऑपेराड; 1969 में जे माइकल बोर्डमैन और रेनर एम. वोग्ट[1][2] और 1970 मई जे. पीटर मे द्वारा प्रस्तुत किया गया था।[3] ऑपेराड शब्द मई द्वारा संचालन और मोनड (श्रेणी सिद्धांत) के पोर्टमंतेऊ के रूप में बनाया गया था (और इसलिए भी कि उनकी मां एक ऑपेरा गायक थीं)।[4] 90 के दशक की प्रारम्भ में ऑपेराड में रुचि अधिकांशतः नवीनीकृत हो गई थी, जब मैक्सिम कोंटेसेविच, विक्टर गिन्ज़बर्ग और मिखाइल कापरानोव की प्रारंभिक अंतर्दृष्टि के आधार पर पता चला कि तर्कसंगत होमोटोपी सिद्धांत में कुछ द्वंद (गणित) घटनाओं को ऑपेराड के कोज़ुल द्वंद का उपयोग करके समझाया जा सकता है।[5][6] इसके बाद से ऑपरेड्स ने कई अनुप्रयोगों को पाया है, जैसे जहर कई गुना के विरूपण परिमाणीकरण में, डेलिग्ने अनुमान,[7] या मैक्सिम कोंटसेविच और थॉमस विलवाकर के कार्य में ग्राफ (असतत गणित) होमोलॉजी (गणित) में किया गया है।
अंतर्ज्ञान
- माना X एक समूह है और को परिभाषित करता है
- और ,
कार्टेशियन प्रोडक्ट से सभी फलन का समूह की प्रतिरूप को है।
हम इन फलन की रचना कर सकते हैं: दिया गया , , फलन
निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: दिया गया से तर्क , हम उन्हें विभाजित करते हैं ब्लॉक, पहले वाला तर्क, दूसरा तर्क, इत्यादि, और फिर क्रियान्वित करें पहले ब्लॉक के लिए, दूसरे ब्लॉक इत्यादि के लिए है। फिर हम मान X से प्राप्त एन मानों की सूचि में एफ को इस प्रकार क्रियान्वित करते हैं |
हम तर्कों को भी अनुमति दे सकते हैं, अर्थात हमारे पास समूह क्रिया है सममित समूह का पर , द्वारा परिभाषित