ऑपेराड: Difference between revisions

Revision as of 14:37, 7 March 2023

गणित में, ऑपेराड एक संरचना है जिसमें एब्स्ट्रैक्ट (संक्षेप) ऑपरेशन (गणित) होते हैं, प्रत्येक में निश्चित परिमित संख्या में इनपुट और आउटपुट होता है, साथ ही इन ऑपरेशनों को बनाने के प्रकार का विनिर्देश होता है। ओपेरा O दिया गया है $O$ इस समूह पर कंक्रीट ऑपरेशंस के साथ सेट होने के लिए बीजगणित को परिभाषित करता है जो कि संक्षेप ऑपरेशन की तरह ही व्यवहार करता है उदाहरण के लिए, ओपेरा L जैसे L के ऊपर बीजगणित लाई बीजगणित है; अर्थ में L संक्षेप प्रकार से उन ऑपरेशनों को स्कैनकोड करता है जो सभी लाई बीजगणित के लिए सामान्य है।ऑपेराड अपने बीजगणित के लिए समूह (गणित) के रूप में अपने समूह के प्रतिनिधित्व के लिए है।

इतिहास

ऑपरेशंस बीजगणितीय टोपोलॉजी में उत्पन्न होते हैं ऑपेराड; 1969 में जे माइकल बोर्डमैन और रेनर एम. वोग्ट^[1]^[2] और 1970 मई जे. पीटर मे द्वारा प्रस्तुत लिया गया था।^[3] ऑपेराड शब्द मई द्वारा संचालन और मोनड (श्रेणी सिद्धांत) के पोर्टमंतेऊ के रूप में बनाया गया था (और इसलिए भी कि उनकी मां एक ऑपेरा गायक थीं)।^[4] 90 के दशक की प्रारम्भ में ऑपेराड में रुचि अधिकांशतः नवीनीकृत हो गई थी, जब मैक्सिम कोंटेसेविच, विक्टर गिन्ज़बर्ग और मिखाइल कापरानोव की प्रारंभिक अंतर्दृष्टि के आधार पर पता चला कि तर्कसंगत होमोटोपी सिद्धांत में कुछ द्वंद (गणित) घटनाओं को ऑपेराड के कोज़ुल द्वंद का उपयोग करके समझाया जा सकता है।^[5]^[6] इसके बाद से ऑपरेड्स ने कई अनुप्रयोगों को पाया है, जैसे जहर कई गुना के विरूपण परिमाणीकरण में, डेलिग्ने अनुमान,^[7] या मैक्सिम कोंटसेविच और थॉमस विलवाकर के कार्य में ग्राफ (असतत गणित) होमोलॉजी (गणित) में किया गया है।

अंतर्ज्ञान

माना X एक समूह है और

n\in \mathbb {N}

को परिभाषित करता है

और

P(n):=\{f:X^{n}\to X\}

,

कार्टेशियन प्रोडक्ट से सभी फलन का समूह $n$ की प्रतिरूप $X$ को $X$ है।

हम इन कार्यों की रचना कर सकते हैं: दिया गया $f\in P(n)$ , $f_{1}\in P(k_{1}),\ldots ,f_{n}\in P(k_{n})$ , फलन

f\circ (f_{1},\ldots ,f_{n})\in P(k_{1}+\cdots +k_{n})

निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: दिया गया $k_{1}+\cdots +k_{n}$ से तर्क $X$ , हम उन्हें विभाजित करते हैं $n$ ब्लॉक, पहले वाला $k_{1}$ तर्क, दूसरा $k_{2}$ तर्क, इत्यादि, और फिर क्रियान्वित करें $f_{1}$ पहले ब्लॉक के लिए, $f_{2}$ दूसरे ब्लॉक इत्यादि के लिए है। फिर हम मान X से प्राप्त n मानों की सूचि में f को इस प्रकार क्रियान्वित करते हैं |

हम तर्कों को भी अनुमति दे सकते हैं, अर्थात हमारे पास समूह क्रिया है $*$ सममित समूह का $S_{n}$ पर $P(n)$ , द्वारा परिभाषित

(f*s)(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{s^{-1}(1)},\ldots ,x_{s^{-1}(n)})

के लिए $f\in P(n)$ , $s\in S_{n}$ और $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X$ .

नीचे दी गई सममित ऑपेराड की परिभाषा इन दो आपरेशनों के आवश्यक गुणों को पकड़ती है $\circ$ और $*$ .

परिभाषा

गैर-सममित संक्रिया

असममित ऑपेराड (कभी-कभी क्रमचय के बिना ऑपेराड कहा जाता है, या गैर- $\Sigma$ या प्लेन ऑपेराड) में निम्नलिखित सम्मिलित हैं:

अनुक्रम $(P(n))_{n\in \mathbb {N} }$ समूह के, जिनके तत्व कहलाते हैं

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

@@ Line 165: / Line 165: @@
 === साहचर्य संक्रिया ===
-ऑपरैड्स के उदाहरणों का एक अन्य वर्ग बीजगणितीय संरचनाओं की संरचनाओं पर कब्जा कर रहा है, जैसे सहयोगी बीजगणित, कम्यूटेटिव बीजगणित और झूठ बीजगणित। इनमें से प्रत्येक को बाइनरी ऑपरेशंस द्वारा उत्पन्न इन तीनों में से प्रत्येक में एक सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत ओपेरा के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है।
+ऑपेराड के उदाहरणों का अन्य वर्ग बीजगणितीय संरचनाओं की संरचनाओं पर अधिकार कर रहा है, जैसे साहचर्य बीजगणित, क्रमविनिमेय बीजगणित और लाई बीजगणित है। इनमें से प्रत्येक को बाइनरी ऑपरेशंस द्वारा उत्पन्न इन तीनों में से प्रत्येक में सूक्ष्म प्रकार से प्रस्तुत ऑपेराड के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है।
-उदाहरण के लिए, साहचर्य संक्रिया एक द्विआधारी संक्रिया द्वारा उत्पन्न एक सममित संक्रिया है <math>\psi</math>, केवल इस शर्त के अधीन है कि
+उदाहरण के लिए, साहचर्य ऑपेराड बाइनरी ऑपरेशंस द्वारा उत्पन्न सममित ऑपेराड है <math>\psi</math>, केवल इस अवस्था पर आधारित है
 :<math>\psi\circ(\psi,1)=\psi\circ(1,\psi).</math>
-यह स्थिति बाइनरी ऑपरेशन की साहचर्यता से मेल खाती है <math>\psi</math>; लिखना <math>\psi(a,b)</math> गुणात्मक रूप से, उपरोक्त स्थिति है <math>(ab)c = a(bc)</math>. संक्रिया की इस साहचर्यता को संघटन की साहचर्यता के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए जो किसी संक्रिया में धारण करती है; ऊपर साहचर्य का #Axiom देखें।
+यह स्थिति बाइनरी ऑपरेशन की साहचर्यता से मिलता है <math>\psi</math>; लिखना <math>\psi(a,b)</math> गुणात्मक प्रकार से, उपरोक्त स्थिति <math>(ab)c = a(bc)</math> है। ऑपेराड की इस साहचर्यता को संघटन की साहचर्यता के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए जो किसी ऑपेराड में धारण करती है; ऊपर साहचर्य का सूक्ति देखें।
-सहयोगी ओपेरा में, प्रत्येक <math>P(n)</math> सममित समूह द्वारा दिया गया है <math>S_n</math>, जिस पर <math>S_n</math> सही गुणन द्वारा कार्य करता है। समग्र <math>\sigma \circ (\tau_1, \dots, \tau_n)</math> के अनुसार ब्लॉक में इसके इनपुट की अनुमति देता है <math>\sigma</math>, और उपयुक्त के अनुसार ब्लॉकों के भीतर <math>\tau_i</math>.
+साहचर्य ऑपेराड में, प्रत्येक <math>P(n)</math> सममित समूह <math>S_n</math>द्वारा दिया गया है जिस पर <math>S_n</math> सही गुणन द्वारा कार्य करता है। समग्र <math>\sigma \circ (\tau_1, \dots, \tau_n)</math> के अनुसार ब्लॉक में <math>\sigma</math> इसके इनपुट की अनुमति देता है, और <math>\tau_i</math>उपयुक्त के अनुसार ब्लॉकों के भीतर है।
-साहचर्य संक्रिया पर बीजगणित सटीक रूप से अर्धसमूह होते हैं: एक एकल द्विआधारी साहचर्य संक्रिया के साथ सेट होते हैं। साहचर्य संक्रिया पर k-रैखिक बीजगणित वास्तव में साहचर्य बीजगणित हैं | साहचर्य k-अल्जेब्रा।
+साहचर्य ऑपेराड पर बीजगणित सही प्रकार से अर्धसमूह होते हैं: एकल द्विआधारी साहचर्य ऑपेराड के साथ समूह होते हैं। साहचर्य ऑपेराड पर के-रैखिक बीजगणित वास्तव में साहचर्य बीजगणित हैं |
 === टर्मिनल सममित संक्रिया ===
@@ Line 179: / Line 179: @@
 ===ब्रेड समूहों से संचालित होता है===
-इसी प्रकार, एक गैर-<math>\Sigma</math>ऑपेराड जिसके लिए प्रत्येक <math>P(n)</math> आर्टिन ब्रेड समूह <math>B_n</math> द्वारा दिया गया है। इसके अतिरिक्त, यह गैर-<math>\Sigma</math>ऑपेराड में ब्रेडेड ऑपेराड की संरचना होती है, जो ऑपेराड की धारणा को सममित से ब्रेड समूहों तक सामान्यीकृत करती है।
+इसी प्रकार, अप-<math>\Sigma</math>ऑपेराड जिसके लिए प्रत्येक पी(एन) आर्टिन ब्रेड समूह B<sub>n</sub> द्वारा दिया गया है। इसके अतिरिक्त, यह अप-<math>\Sigma</math>ऑपेराड में ब्रेडेड ऑपेराड की संरचना होती है, जो ऑपेराड की धारणा को सममित से ब्रेड समूहों तक सामान्यीकृत करती है।
 === रेखीय बीजगणित ===

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गैर-सममित संक्रिया