गुणा: Difference between revisions
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:<math>2\times 2\times 2\times 2\times 2 = 32</math> | :<math>2\times 2\times 2\times 2\times 2 = 32</math> | ||
गुणन के लिए अन्य गणितीय संकेतन हैं: | गुणन के लिए अन्य गणितीय संकेतन हैं: | ||
* गुणन चिह्न × और सामान्य चर के | * गुणन चिह्न × और सामान्य चर के मध्य दुविधा को कम करने के लिए {{mvar|x}} गुणन को बिंदु चिह्नों द्वारा भी निरूपित किया जाता है''',''' सामान्यतः एक मध्य-स्थिति वाला बिंदु किंचित ही किसी समय मै प्रयोग किया जाता हैं :- | ||
:<math>5 \cdot 2</math> या <math>5\,.\,3</math> | :<math>5 \cdot 2</math> या <math>5\,.\,3</math> | ||
: मध्य बिंदु संकेतन जिन्हे यूनिकोड में {{unichar|22C5|बिंदु संक्रिया}} के रूप मे एन्कोड किया गया है, अब संयुक्त राज्य अमेरिका और अन्य देशों में मानक है। जहां एक समय इसका उपयोग [[ दशमलव विभाजक |दशमलव विभाजक]] के रूप में संदर्भित किया जाता है। वही दुसरी और जब बिंदु | : मध्य बिंदु संकेतन जिन्हे यूनिकोड में {{unichar|22C5|बिंदु संक्रिया}} के रूप मे एन्कोड किया गया है, अब संयुक्त राज्य अमेरिका और अन्य देशों में मानक है। जहां एक समय इसका उपयोग [[ दशमलव विभाजक |दशमलव विभाजक]] के रूप में संदर्भित किया जाता है। वही दुसरी और जब बिंदु संक्रिया चिह्न पहुंच योग्य नहीं होता है, तो [[ इंटरपंक ]] (·) का उपयोग किया जाता है। अन्य देशों में जो दशमलव चिह्न के रूप में [[ अल्पविराम (विराम चिह्न) |अल्पविराम]] का उपयोग करते हैं वही गुणा के लिए ,या तो गुणा चिह्न या मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग किया जाता है। | ||
:ऐतिहासिक रूप से, यूनाइटेड किंगडम और आयरलैंड में, मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग कभी-कभी दशमलव के लिए रेखांकित रेखा के लोप होने से रोकने के लिए किया जाता था, और पूर्ण विराम का उपयोग गुणा के लिए किया जाता था। यद्यपि , चूंकि [[ प्रौद्योगिकी मंत्रालय ]] ने 1968 में इस कालावधि को दशमलव बिंदु के रूप में उपयोग करने का निर्णय लिया था,और एसआई मानक तब से व्यापक रूप से प्रयोग में है, यह उपयोग अब केवल प्राचीन पत्रिकाओं जैसे 'द लांसेट' में पाया जाता है। | :ऐतिहासिक रूप से, यूनाइटेड किंगडम और आयरलैंड में, मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग कभी-कभी दशमलव के लिए रेखांकित रेखा के लोप होने से रोकने के लिए किया जाता था, और पूर्ण विराम का उपयोग गुणा के लिए किया जाता था। यद्यपि , चूंकि [[ प्रौद्योगिकी मंत्रालय ]] ने 1968 में इस कालावधि को दशमलव बिंदु के रूप में उपयोग करने का निर्णय लिया था,और एसआई मानक तब से व्यापक रूप से प्रयोग में है, यह उपयोग अब केवल प्राचीन पत्रिकाओं जैसे 'द लांसेट' में पाया जाता है। | ||
* [[ बीजगणित ]]में, [[ चर (गणित) |चर]] से जुड़े गुणन को प्रायः एक संयोजन गणित के रूप में लिखा जाता है उदाहरण के लिए, <math>xy</math> के लिये <math>x</math> बार <math>y</math> या <math>5x</math> पाँच बार के लिए <math>x</math>, जिसे निहित गुणन भी कहा जाता है। अंकन का उपयोग उन मात्राओं के लिए भी किया जा सकता है, जो कोष्ठकों से घिरी हुई हैं उदाहरण के लिए, <math>5(2)</math>, <math>(5)2</math> या <math>(5)(2)</math> पांच बार दो के लिए। गुणन का यह निहित उपयोग अस्पष्टता का कारण बन सकता है जब समवर्ती चर किसी अन्य चर के नाम से मेल खाते हैं, जब एक कोष्ठक के सामने एक चर नाम को फलन नाम के साथ भ्रमित किया जा सकता है, या संचालन के क्रम के सही निर्धारण में हो सकता है। | * [[ बीजगणित ]]में, [[ चर (गणित) |चर]] से जुड़े गुणन को प्रायः एक संयोजन गणित के रूप में लिखा जाता है उदाहरण के लिए, <math>xy</math> के लिये <math>x</math> बार <math>y</math> या <math>5x</math> पाँच बार के लिए <math>x</math>, जिसे निहित गुणन भी कहा जाता है। अंकन का उपयोग उन मात्राओं के लिए भी किया जा सकता है, जो कोष्ठकों से घिरी हुई हैं उदाहरण के लिए, <math>5(2)</math>, <math>(5)2</math> या <math>(5)(2)</math> पांच बार दो के लिए। गुणन का यह निहित उपयोग अस्पष्टता का कारण बन सकता है जब समवर्ती चर किसी अन्य चर के नाम से मेल खाते हैं, जब एक कोष्ठक के सामने एक चर नाम को फलन नाम के साथ भ्रमित किया जा सकता है, या संचालन के क्रम के सही निर्धारण में हो सकता है। | ||
* सदिश गुणन में, रेखित करना और बिंदु प्रतीकों के | * सदिश गुणन में, रेखित करना और बिंदु प्रतीकों के मध्य अंतर करना है। [[ पार उत्पाद |रेखित गुणन]] सामान्यतः दो [[ वेक्टर (गणित) |सदिश]] राशियों के क्रॉस गुणन करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक सदिश राशि उत्पन्न होती है, जबकि बिंदु दो सदिश के [[ डॉट उत्पाद |बिंदु गुणन]] को करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक अदिश राशि की प्राप्ति होती है।{{Citation needed|date=December 2021}} | ||
[[ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग |संगणक प्रोग्रामिंग]] में, तारांकन चिह्न जैसा कि <code>5*2</code> अभी भी सबसे साधारण अंकन है। यह इस तथ्य के कारण है कि अधिकांश [[ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग |संगणक]] ऐतिहासिक रूप से छोटे वर्ण समुच्चय जैसे [[ ASCII ]]और [[ EBCDIC |EBCDIC]] तक सीमित थे जिनमें गुणन चिह्न जैसे कि <code>⋅</code> या <code>×</code>सम्मिलित है,जबकि प्रत्येक कुंजीपटल पर तारक (*) दिखाई देता है। यह प्रयोग [[ फोरट्रान |फोरट्रान]] प्रोग्रामिंग भाषा में उत्पन्न हुआ। | [[ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग |संगणक प्रोग्रामिंग]] में, तारांकन चिह्न जैसा कि <code>5*2</code> अभी भी सबसे साधारण अंकन है। यह इस तथ्य के कारण है कि अधिकांश [[ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग |संगणक]] ऐतिहासिक रूप से छोटे वर्ण समुच्चय जैसे [[ ASCII ]]और [[ EBCDIC |EBCDIC]] तक सीमित थे जिनमें गुणन चिह्न जैसे कि <code>⋅</code> या <code>×</code>सम्मिलित है,जबकि प्रत्येक कुंजीपटल पर तारक (*) दिखाई देता है। यह प्रयोग [[ फोरट्रान |फोरट्रान]] प्रोग्रामिंग भाषा में उत्पन्न हुआ। | ||
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== परिभाषाएँ == | == परिभाषाएँ == | ||
दो संख्याओं के गुणन या दो संख्याओं के | दो संख्याओं के गुणन या दो संख्याओं के मध्य गुणनफल को सामान्य विशेष स्थिति के लिए परिभाषित किया जाता है, जैसे पूर्णांक, प्राकृतिक संख्याएँ, भिन्न, वास्तविक संख्याएँ,सम्मिश्र संख्याएँ और चतुष्कोण इत्यादि। | ||
===दो प्राकृत संख्याओं का गुणनफल=== | ===दो प्राकृत संख्याओं का गुणनफल=== | ||
[[File:Three by Four.svg|thumb|3 बटा 4 12 है]]एक आयताकार प्रतिरुप में कई पत्थरों को | [[File:Three by Four.svg|thumb|3 बटा 4 12 है]]एक आयताकार प्रतिरुप में कई पत्थरों को <math>r</math> पंक्तियाँ और <math>s</math> स्तम्भ मे रखने पर | ||
:<math> r \cdot s = \sum_{i=1}^s r = \underbrace{ r+r+\cdots+r }_{s\text{ times}}= \sum_{j=1}^r s = \underbrace{ s+s+\cdots+s }_{r\text{ times}} </math> | :<math> r \cdot s = \sum_{i=1}^s r = \underbrace{ r+r+\cdots+r }_{s\text{ times}}= \sum_{j=1}^r s = \underbrace{ s+s+\cdots+s }_{r\text{ times}} </math> | ||
पत्थर प्राप्त होतें है। | |||
=== दो पूर्णांकों का गुणनफल === | === दो पूर्णांकों का गुणनफल === | ||
पूर्णांक सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की अनुमति देता हैं। उनका गुणन उनकी सकारात्मक मात्रा के गुणन द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो निम्नलिखित नियम से प्राप्त | पूर्णांक सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की अनुमति देता हैं। उनका गुणन उनकी सकारात्मक मात्रा के गुणन द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो निम्नलिखित नियम से प्राप्त चिन्ह के साथ संयुक्त होता है: | ||
:<math>\begin{array}{|c|c c|} | :<math>\begin{array}{|c|c c|} | ||
| Line 76: | Line 76: | ||
यह नियम जोड़ पर गुणन की विशेषताये की मांग का एक आवश्यक परिणाम है, और इसके अतिरिक्त्त कोई नियम नहीं है। | यह नियम जोड़ पर गुणन की विशेषताये की मांग का एक आवश्यक परिणाम है, और इसके अतिरिक्त्त कोई नियम नहीं है। | ||
शब्दों में, | शब्दों में, हम इन्हे निम्नलिखित विधियों से दर्शाया जा सकता है। : | ||
* ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है, | * ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है, | ||
| Line 84: | Line 84: | ||
===दो भिन्नों का गुणनफल=== | ===दो भिन्नों का गुणनफल=== | ||
दो भिन्नों | दो भिन्नों का गुणनफल उनके अंश और हर को गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है: | ||
:<math> \frac{z}{n} \cdot \frac{z'}{n'} = \frac{z\cdot z'}{n\cdot n'}</math> | :<math> \frac{z}{n} \cdot \frac{z'}{n'} = \frac{z\cdot z'}{n\cdot n'}</math> | ||
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=== दो वास्तविक संख्याओं का गुणनफल === | === दो वास्तविक संख्याओं का गुणनफल === | ||
दो वास्तविक संख्याओं के गुणनफल की परिभाषा वास्तविक संख्याओं के निर्माण का एक भाग है। इस रचना का तात्पर्य है कि, प्रत्येक वास्तविक संख्या | दो वास्तविक संख्याओं के गुणनफल की परिभाषा वास्तविक संख्याओं के निर्माण का एक भाग है। इस रचना का तात्पर्य है कि, प्रत्येक वास्तविक संख्या {{mvar|a}} के एक समुच्चय {{mvar|A}} हैं[[ परिमेय संख्या | परिमेय संख्या]] {{mvar|a}} के तत्वों की न्यूनतम उच्च सीमा {{mvar|A}} है : | ||
:<math>a=\sup_{x\in A} x.</math> | :<math>a=\sup_{x\in A} x.</math> | ||
यद्यपि {{mvar|b}} एक और वास्तविक संख्या है जिसकी न्यूनतम ऊपरी सीमा {{mvar|B}} हैं गुणन <math>a\cdot b</math> की तरह परिभाषित किया जाता है | |||
:<math>a\cdot b=\sup_{x\in A, y\in B}x\cdot y.</math> | :<math>a\cdot b=\sup_{x\in A, y\in B}x\cdot y.</math> | ||
यह परिभाषा किसी विशेष पसंद पर निर्भर नहीं करती है {{mvar|A}} तथा {{mvar|b}}. यही है, अगर वे अपनी | यह परिभाषा किसी विशेष पसंद पर निर्भर नहीं करती है {{mvar|A}} तथा {{mvar|b}}. यही है, अगर वे अपनी न्यूनतम उच्च सीमा को परिवर्तन के बिना परिवर्तित हो जाते हैं, तो न्यूनतम उच्च सीमा परिभाषित होती है तथा <math>a\cdot b</math> परिवर्तित नहीं होता है। | ||
===दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल=== | ===दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल=== | ||
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\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
[[File:Komplexe zahlenebene.svg|thumb|upright=1.25|ध्रुवीय निर्देशांक में एक सम्मिश्र संख्या।]]सम्मिश्र गुणन का ज्यामितीय अर्थ समझा जा सकता है ध्रुवीय निर्देशांक में सम्मिश्र संख्याओं को | [[File:Komplexe zahlenebene.svg|thumb|upright=1.25|ध्रुवीय निर्देशांक में एक सम्मिश्र संख्या।]]सम्मिश्र गुणन का ज्यामितीय अर्थ समझा जा सकता है तथा ध्रुवीय निर्देशांक में सम्मिश्र संख्याओं को पुनः लिखना: | ||
:<math>a + b\, i = r \cdot ( \cos(\varphi) + i \sin(\varphi) ) = r \cdot e ^{ i \varphi} </math> | :<math>a + b\, i = r \cdot ( \cos(\varphi) + i \sin(\varphi) ) = r \cdot e ^{ i \varphi} </math> | ||
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जिससे प्राप्त होता है | जिससे प्राप्त होता है | ||
:<math>(a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) i = r \cdot s \cdot e^{i(\varphi + \psi)}.</math> | :<math>(a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) i = r \cdot s \cdot e^{i(\varphi + \psi)}.</math> | ||
ज्यामितीय का अर्थ | ज्यामितीय का अर्थ है,कि गुणा का विस्तार और कथन जोड़े जाते हैं। | ||
=== दो चतुर्भुजों का गुणनफल === | === दो चतुर्भुजों का गुणनफल === | ||
दो [[ quaternion |चतुर्भुजों]] के गुणन [[ quaternions |चतुष्कोणों]] पर लेख में पाया जा सकता है। ध्यान दें, इस | दो [[ quaternion |चतुर्भुजों]] के गुणन [[ quaternions |चतुष्कोणों]] पर लेख में पाया जा सकता है। ध्यान दें, इस विषय में, कि <math> a\cdot\quad b </math> और <math> b \cdot\quad a </math> सामान्य रूप से भिन्न होते हैं। | ||
== संगणना == | == संगणना == | ||
{{Main|गुणन एल्गोरिथ्म}} | {{Main|गुणन एल्गोरिथ्म}} | ||
[[file:צעצוע מכני משנת 1918 לחישובי לוח הכפל The Educated Monkey.jpg|200px|right|thumb|शिक्षित बंदर - 1918 का एक [[ टिन का खिलौना ]], जिसका उपयोग गुणन कैलकुलेटर के रूप में किया जाता है। उदाहरण के लिए: बंदर के पैर को 4 और 9 पर सेट करें, और उत्पाद - 36 - उसके हाथों में प्राप्त करें।]]पेंसिल और कागज का उपयोग करके संख्याओं को गुणा करने के कई सामान्य | [[file:צעצוע מכני משנת 1918 לחישובי לוח הכפל The Educated Monkey.jpg|200px|right|thumb|शिक्षित बंदर - 1918 का एक [[ टिन का खिलौना ]], जिसका उपयोग गुणन कैलकुलेटर के रूप में किया जाता है। उदाहरण के लिए: बंदर के पैर को 4 और 9 पर सेट करें, और उत्पाद - 36 - उसके हाथों में प्राप्त करें।]]पेंसिल और कागज का उपयोग करके संख्याओं को गुणा करने के कई सामान्य विधिया अत्यधिक हैं , परंतु छोटी संख्याओं सामान्यतः 0 से 9 तक कोई भी दो संख्या के याद किए गए या परामर्शित गुणन की गुणन तालिका की आवश्यकता होती है। यद्यपि , यह विधि, प्राचीन मिस्री गुणन एल्गोरिथम से नहीं है। नीचे दिया गया उदाहरण दीर्घ गुणन मानक एल्गोरिथम ,प्राथमिक विद्यालय गुणन प्रदर्शित करता है: | ||
23958233 | 23958233 | ||
| Line 132: | Line 132: | ||
———————————————— | ———————————————— | ||
139676498390 (= 139,676,498,390) | 139676498390 (= 139,676,498,390) | ||
[[ जर्मनी ]] जैसे कुछ देशों में,गुणन को समान | [[ जर्मनी ]] जैसे कुछ देशों में,गुणन को समान रूप से दर्शाया गया है, परंतु मूल उत्पाद को क्षैतिज रखा गया है और गणना गुणक के पहले अंक से प्रारंभ होती है: | ||
23958233 · 5830 ———————————————— | 23958233 · 5830 ———————————————— | ||
119791165 | 119791165 | ||
| Line 140: | Line 140: | ||
———————————————— | ———————————————— | ||
139676498390 | 139676498390 | ||
संख्याओं को दशमलव स्थानों के एक जोड़ से अधिक हाथ से गुणा करना थकाऊ और त्रुटि-प्रवण है। ऐसी गणनाओं को सरल बनाने के लिए [[ सामान्य लघुगणक ]] का आविष्कार किया गया था, क्योंकि लघुगणक जोड़ना गुणा करने के | संख्याओं को दशमलव स्थानों के एक जोड़ से अधिक हाथ से गुणा करना थकाऊ और त्रुटि-प्रवण है। ऐसी गणनाओं को सरल बनाने के लिए [[ सामान्य लघुगणक ]] का आविष्कार किया गया था, क्योंकि लघुगणक जोड़ना गुणा करने के समान है। [[ स्लाइड नियम ]] ने संख्याओं को सटीकता के लगभग तीन स्थानों पर त्वरित रूप से गुणा करने की अनुमति दी हैं। 20 वीं शताब्दी की प्रारंभ में, यांत्रिक [[ कैलकुलेटर |गणक]], जैसे कि [[ मर्चेंट कैलकुलेटर | मर्चेंट गणक]] , 10 अंकों की संख्या का स्वचालित गुणन है। आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक संगणक और [[ कैलकुलेटर |गणक]] ने हाथ से गुणा करने की आवश्यकता को न्यूनतम कर दी है। | ||
=== ऐतिहासिक | === ऐतिहासिक विधिकलन === | ||
गुणन के | गुणन के विधि[[ प्राचीन मिस्र ]] {{Citation needed span|text=Greek, Indian,|date=December 2021|reason=This claim is not sourced in the subsections below.}} और चीन का इतिहास प्राचीन चीन की सभ्यताएं लेखन में प्रलेखित थे,। | ||
लगभग 18,000 से 20,000 ईसा पूर्व ईशांगो की हड्डी [[ मध्य अफ्रीका ]] में | लगभग 18,000 से 20,000 ईसा पूर्व ईशांगो की हड्डी [[ मध्य अफ्रीका ]] में प्रारंभिक पुरापाषाण काल में गुणन ज्ञान का संकेत दिया था, परंतु यह काल्पनिक है।{{Verification needed|date=December 2021}} | ||
==== मिस्रवासी ==== | ==== मिस्रवासी ==== | ||
{{Main|प्राचीन मिस्र का गुणन}} | {{Main|प्राचीन मिस्र का गुणन}} | ||
पूर्णांकों और भिन्नों के गुणन की मिस्र विधि है, जो कि [[ रिहंद गणितीय पेपिरस ]] में उत्तरोत्तर जोड़ और दोहरीकरण प्रलेखित है,। उदाहरण के लिए, 13 और 21 का गुणनफल ज्ञात करने के लिए व्यक्ति को 21 को तीन बार दुगुना करके प्राप्त | पूर्णांकों और भिन्नों के गुणन की मिस्र विधि है, जो कि [[ रिहंद गणितीय पेपिरस ]] में उत्तरोत्तर जोड़ और दोहरीकरण प्रलेखित है,। उदाहरण के लिए, 13 और 21 का गुणनफल ज्ञात करने के लिए व्यक्ति को 21 को तीन बार दुगुना करके प्राप्त किया जाता है {{nowrap|1=2 × 21 = 42}}, {{nowrap|1=4 × 21 = 2 × 42 = 84}}, {{nowrap|1=8 × 21 = 2 × 84 = 168}}. पूर्ण गुणन तथा दोहरीकरण अनुक्रम में पाए जाने वाले उपयुक्त संबंध को जोड़कर पाया जा सकता है: | ||
:13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273. | :13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273. | ||
==== [[ बेबीलोन ]] ==== | ==== [[ बेबीलोन ]] ==== | ||
बेबीलोनियों ने आधुनिक समय के [[ दशमलव विस्तार ]] के अनुरूप एक [[ साठवाँ |षाष्टिक]] [[ स्थितीय संख्या प्रणाली ]] का उपयोग किया है। इस प्रकार, बेबीलोनियाई गुणन आधुनिक दशमलव गुणन के समान था। | बेबीलोनियों ने आधुनिक समय के [[ दशमलव विस्तार ]] के अनुरूप एक [[ साठवाँ |षाष्टिक]] [[ स्थितीय संख्या प्रणाली ]] का उपयोग किया है। इस प्रकार, बेबीलोनियाई गुणन आधुनिक दशमलव गुणन के समान था। स्मरण रखने की कठिनाई के कारण {{nowrap|60 × 60}} विभिन्न उत्पादों, बेबीलोनियन गणितज्ञों ने गुणन सारणी का उपयोग किया है। इन तालिकाओं में एक निश्चित प्रमुख संख्या n: n, 2n, ..., 20n के पहले बीस गुणकों की सूची सम्मिलित है | इसके बाद 10n: 30n 40n, और 50n के गुणक आते हैं,पुनः किसी भी [[ साठवाँ |षाष्टिक]] गुणन की गणना करने के लिए, 53 n के लिए केवल 50 n और 3 n को जोड़ने के लिए तालिका से अभिकलन करने की आवश्यकता है।{{Citation needed|date=December 2021}} | ||
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==== चीनी ==== | ==== चीनी ==== | ||
{{see also|चीनी गुणा तालिका}} | {{see also|चीनी गुणा तालिका}} | ||
[[File:Multiplication algorithm.GIF|thumb|right|250px|{{nowrap|1=38 × 76 = 2888}}]]300 ईसा पूर्व के गणितीय पाठ झोउबी सुआंजिंग, और गणितीय कला पर नौ अध्यायों में, गुणन गणना को शब्दों में लिखा गया था ,यद्यपि प्रारंभिक चीनी गणितज्ञों ने स्थानीय | [[File:Multiplication algorithm.GIF|thumb|right|250px|{{nowrap|1=38 × 76 = 2888}}]]300 ईसा पूर्व के गणितीय पाठ झोउबी सुआंजिंग, और गणितीय कला पर नौ अध्यायों में, गुणन गणना को शब्दों में लिखा गया था ,यद्यपि प्रारंभिक चीनी गणितज्ञों ने स्थानीय मानों वृद्धि, घटाव, गुणा और भाग को सम्मिलित करते हुए [[ रॉड कैलकुलस | रॉड गणना]] को नियोजित किया था। [[ युद्धरत राज्य ]] की अवधि के अंत तक चीनी पहले से ही एक चीनी गुणन तालिका का उपयोग कर रहे थे। | ||
=== आधुनिक तरीके === | === आधुनिक तरीके === | ||
[[Image:Gelosia multiplication 45 256.png|right|250px|thumb|45 और 256 का गुणनफल। ध्यान दें कि 45 में अंकों का क्रम बाएँ कॉलम में उल्टा है। गुणन का कैरी स्टेप गणना के अंतिम चरण में (बोल्ड में) किया जा सकता है, का अंतिम उत्पाद लौटाता है {{nowrap|1=45 × 256 = 11520}}. यह [[ जाली गुणन ]] का एक रूप है।]]हिंदू-अरबी अंक प्रणाली पर आधारित गुणन की आधुनिक विधि का वर्णन सर्वप्रथम [[ ब्रह्मगुप्त ]] ने किया था। ब्रह्मगुप्त ने जोड़, घटाव, गुणा और भाग के नियम दिए। [[ प्रिंसटन विश्वविद्यालय ]] में गणित के तत्कालीन | [[Image:Gelosia multiplication 45 256.png|right|250px|thumb|45 और 256 का गुणनफल। ध्यान दें कि 45 में अंकों का क्रम बाएँ कॉलम में उल्टा है। गुणन का कैरी स्टेप गणना के अंतिम चरण में (बोल्ड में) किया जा सकता है, का अंतिम उत्पाद लौटाता है {{nowrap|1=45 × 256 = 11520}}. यह [[ जाली गुणन ]] का एक रूप है।]]हिंदू-अरबी अंक प्रणाली पर आधारित गुणन की आधुनिक विधि का वर्णन सर्वप्रथम [[ ब्रह्मगुप्त ]] ने किया था। ब्रह्मगुप्त ने जोड़, घटाव, गुणा और भाग के नियम दिए। [[ प्रिंसटन विश्वविद्यालय ]]में गणित के तत्कालीन प्रवक्ता [[ हेनरी बर्चर्ड फाइन |हेनरी बर्चर्ड फाइन]] ने निम्नलिखित कथन लिखा : | ||
:भारतीय न केवल स्थितीय दशमलव प्रणाली के आविष्कारक हैं, बल्कि प्रणाली के साथ प्राथमिक गणना में | :भारतीय न केवल स्थितीय दशमलव प्रणाली के आविष्कारक हैं, बल्कि इस प्रणाली के साथ प्राथमिक गणना में सम्मिलित अधिकांश प्रक्रियाओं के भी आविष्कारक हैं। जोड़ और घटाव उन्होंने वैसा ही किया जैसा आजकल किया जाता है | वे गुणा अत्यधिक प्रकार से करते थे, परन्तु विभाजन वे एक ही प्रकार से करते थे | | ||
ये स्थानीय मान दशमलव अंकगणितीय | ये स्थानीय मान दशमलव अंकगणितीय विधिकलन 9वीं शताब्दी की प्रारंभ में [[ अलखावरिज़मी ]] द्वारा अरब देशों में प्रस्तुत किया गया था,और 13 वीं शताब्दी में [[ फिबोनैकी ]] द्वारा पश्चिमी संसार में लोकप्रिय हो गया था। | ||
==== ग्रिड विधि ==== | ==== ग्रिड विधि ==== | ||
[[ ग्रिड विधि गुणन ]], या बॉक्स विधि [[ ग्रिड विधि गुणन |गुणन]], इंग्लैंड और वेल्स और कुछ क्षेत्रों के प्राथमिक विद्यालयों में उपयोग की जाती है संयुक्त राज्य अमेरिका की यह समझने में | [[ ग्रिड विधि गुणन ]], या बॉक्स विधि [[ ग्रिड विधि गुणन |गुणन]], इंग्लैंड और वेल्स और कुछ क्षेत्रों के प्राथमिक विद्यालयों में उपयोग की जाती है संयुक्त राज्य अमेरिका की यह समझने में सहायता करने के लिए एकाधिक अंकों का गुणन कैसे कार्य करता है। 34 को 13 से गुणा करने का उदाहरण संख्याओं को एक तालिका में इस प्रकार रखना होगा: | ||
:{| class="wikitable" style="text-align: center;" | :{| class="wikitable" style="text-align: center;" | ||
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और अन्य प्रविष्टियाँ जोड़ सकते हैं। | और अन्य प्रविष्टियाँ जोड़ सकते हैं। | ||
=== संगणक | === संगणक विधिकलन === | ||
{{main|गुणन | {{main|गुणन विधिकलन बड़े आगत के लिए तीव्रता से गुणा विधिकलन}} | ||
दो n-अंकीय संख्याओं को गुणा करने की शास्त्रीय विधि के लिए ''n''<sup>2</sup> अंकों के गुणन की आवश्यकता होती है। बड़ी संख्या को गुणा करते समय गणना समय को | दो n-अंकीय संख्याओं को गुणा करने की शास्त्रीय विधि के लिए ''n''<sup>2</sup> अंकों के गुणन की आवश्यकता होती है। बड़ी संख्या को गुणा करते समय गणना समय को अत्यधिक कम करने के लिए गुणन विधिकलन को प्रारूप किया गया है । बड़े पूर्णांकों का गुणन असतत फूरियर रूपांतरण पर आधारित विधियाँ कम्प्यूटेशनल सम्मिश्रणता को कम करता है {{math|''O''(''n'' log ''n'' log log ''n'')}}. 2016 में, कारक {{math|log log ''n''}} एक फलन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था जो अत्यधिक धीमी गति से बढ़ता है, यद्यपि अभी भी स्थिर नहीं है। मार्च 2019 में, डेविड हार्वे और जोरिस वैन डेर होवेन ने एक सम्मिश्र के साथ एक पूर्णांक गुणन विधिकलन प्रस्तुत करते हुए एक पेपर प्रस्तुत किया <math>O(n\log n).</math>विधिकलन , फास्ट फूरियर परिवर्तन पर भी आधारित है, जिसे एसिम्प्टोटिक रूप से इष्टतम माना जाता है। विधिकलन व्यावहारिक रूप से उपयोगी नहीं है, क्योंकि यह केवल अत्यधिक बड़ी संख्याओं को (इससे अधिक होने पर {{math|2<sup>1729<sup>12</sup></sup>}} बिट्स।) को गुणा करने के लिए तीव्र हो जाता है । | ||
| Line 205: | Line 205: | ||
{{Main|आयामी विश्लेषण}} | {{Main|आयामी विश्लेषण}} | ||
एक ही प्रकार की मात्राओं को केवल अर्थपूर्ण रूप से जोड़ या घटाया जा सकता है, | एक ही प्रकार की मात्राओं को केवल अर्थपूर्ण रूप से जोड़ या घटाया जा सकता है, परन्तु विभिन्न प्रकार की मात्राओं को बिना किसी समस्या के गुणा या विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, तीन कंचों वाले चार बैगों के बारे में सोचा जा सकता है: | ||
| Line 212: | Line 212: | ||
जब दो मापों को एक साथ गुणा किया जाता है, तो गुणन माप के प्रकार के आधार पर एक प्रकार का होता है। इसे सामान्य सिद्धांत आयामी विश्लेषण द्वारा दिया गया है। यह विश्लेषण भौतिकी में नियमित रूप से लागू होता है, | जब दो मापों को एक साथ गुणा किया जाता है, तो गुणन माप के प्रकार के आधार पर एक प्रकार का होता है। इसे सामान्य सिद्धांत आयामी विश्लेषण द्वारा दिया गया है। यह विश्लेषण भौतिकी में नियमित रूप से लागू होता है, परन्तु इसमें वित्त और अन्य अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में सम्मिलित हैं। | ||
भौतिकी में एक सामान्य तथ्य | भौतिकी में यह एक सामान्य तथ्य है कि भौतिकी में गति को समय से गुणा करने पर [[ दूरी ]] मिलती है। उदाहरण के लिए: | ||
:50 किलोमीटर प्रति घंटा × 3 घंटे = 150 किलोमीटर। | :50 किलोमीटर प्रति घंटा × 3 घंटे = 150 किलोमीटर। | ||
इस | इस विषय में, घंटे की मापन की इकाई समाप्त हो जाती हैं, उत्पाद को केवल किलोमीटर मापन की इकाई के सापेक्ष रहने दिया जाता है। | ||
मापन इकाइयों से जुड़े गुणन | मापन इकाइयों से जुड़े गुणन अन्य उदाहरणों में सम्मिलित हैं: | ||
: 2.5 मीटर × 4.5 मीटर = 11.25 वर्ग मीटर | : 2.5 मीटर × 4.5 मीटर = 11.25 वर्ग मीटर | ||
: 11 मीटर/सेकंड × 9 सेकंड = 99 मीटर | : 11 मीटर/सेकंड × 9 सेकंड = 99 मीटर | ||
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{{Further information| | {{Further information| | ||
पुनरावृत्त बाइनरी संक्रिया # अंकन}} | पुनरावृत्त बाइनरी संक्रिया # अंकन}} | ||
गुणनखंडों के अनुक्रम के गुणनफल को गुणन चिह्न के साथ लिखा जा सकता है <math>\textstyle \prod</math>, जो [[ ग्रीक वर्णमाला ]] के बड़े अक्षर Π (पाई) से | गुणनखंडों के अनुक्रम के गुणनफल को गुणन चिह्न के साथ लिखा जा सकता है <math>\textstyle \prod</math>, जो [[ ग्रीक वर्णमाला ]] के बड़े अक्षर Π (पाई) से प्राप्त है बिल्कुल उसी प्रकार जैसे [[ योग प्रतीक ]] <math>\textstyle \sum</math> ग्रीक अक्षर सिग्मा से लिया गया है। इस अंकन का अर्थ है :- | ||
:<math>\prod_{i=1}^4 (i+1) = (1+1)\,(2+1)\,(3+1)\, (4+1),</math> | :<math>\prod_{i=1}^4 (i+1) = (1+1)\,(2+1)\,(3+1)\, (4+1),</math> | ||
जिसके परिणामस्वरूप | जिसके परिणामस्वरूप | ||
:<math>\prod_{i=1}^4 (i+1) = 120.</math> | :<math>\prod_{i=1}^4 (i+1) = 120.</math> | ||