गुणा: Difference between revisions

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{{about| गणितीय कार्य विधि  }}
{{more citations needed|date=April 2012}}
[[File:Multiply 4 bags 3 marbles.svg|thumb|right|3 मार्बल्स के 4 बैग बारह मार्बल्स (4 × 3 = 12) देते हैं।]]
<डिव क्लास = राइट>{{Arithmetic operations}}</div>
[[File:Multiply 4 bags 3 marbles.svg|thumb|right|तीन मार्बल्स के साथ चार बैग प्रति बैग बारह मार्बल्स (4 × 3 = 12) देते हैं।]]
[[File:Multiply scaling.svg|thumb|right|गुणन को [[ पैमाने के कारक ]] भी माना जा सकता है। यहां हम देखते हैं कि स्केलिंग का उपयोग करके 2 को 3 से गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 6 मिलता है।]]
[[File:Multiply scaling.svg|thumb|right|गुणन को [[ पैमाने के कारक ]] भी माना जा सकता है। यहां हम देखते हैं कि स्केलिंग का उपयोग करके 2 को 3 से गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 6 मिलता है।]]
[[File:Multiplication as scaling integers.gif|thumb|गुणा 2 × 3 = 6 के लिए एनिमेशन।]]
[[File:Multiplication as scaling integers.gif|thumb|गुणा 2 × 3 = 6 के लिए एनिमेशन।]]
[[File:Multiplication scheme 4 by 5.jpg|thumb|right|4 × 5 = 20। बड़ा आयत 20 वर्गों से बना है, प्रत्येक 1 इकाई 1 इकाई है।]]
[[File:Multiplication scheme 4 by 5.jpg|thumb|right|4 × 5 = 20। बड़ा आयत 20 वर्गों से बना है, प्रत्येक 1 इकाई 1 इकाई है।]]
[[File:Multiply field fract.svg|thumb|right|एक कपड़े का क्षेत्रफल {{nowrap|1=4.5m × 2.5m = 11.25m<sup>2</sup>}}; {{nowrap|1=4{{sfrac|1|2}} × 2{{sfrac|1|2}} = 11{{sfrac|1|4}}}}]]गुणन अक्सर गुणन चिन्ह द्वारा निरूपित किया जाता है {{char|'''×'''}}, मध्य-पंक्ति संकेत और शब्दावली द्वारा {{char|'''⋅'''}}, तुलना द्वारा, या, [[ संगणक ]] पर, तारक द्वारा {{char|'''*'''}} [[ अंकगणित ]] के चार [[ प्राथमिक अंकगणित ]]ीय [[ ऑपरेशन (गणित) | ऑपरेशन गणित]] में से एक है, अन्य जोड़, [[ घटाव ]] और भाग गणित हैं। गुणन संक्रिया के परिणाम को [[ उत्पाद (गणित) | उत्पाद गणित]] कहा जाता है।
[[File:Multiply field fract.svg|thumb|right|एक कपड़े का क्षेत्रफल {{nowrap|1=4.5m × 2.5m = 11.25m<sup>2</sup>}}; {{nowrap|1=4{{sfrac|1|2}} × 2{{sfrac|1|2}} = 11{{sfrac|1|4}}}}]]गुणन (प्रायः क्रॉस प्रतीक {{char|'''×'''}} द्वारा चिह्नित, मध्य-रेखा डॉट संक्रिया {{char|'''⋅'''}} द्वारा, जक्सटैप द्वारा, या, कंप्यूटर पर, एक तारक द्वारा {{char|'''*'''}}) [[ अंकगणित |अंकगणित]] के चार [[Index.php?title=प्राथमिक अंकगणितीय|प्राथमिक अंकगणितीय]] [[Index.php?title=ऑपरेशन गणित|संक्रियाओं]] में से एक है, जिनमे अन्य संक्रियाए जोड़, घटाव, और विभाजन हैं। गुणन संक्रिया के परिणाम को [[Index.php?title= उत्पाद(गणित)|गुणनफल]] कहा जाता है।


[[ प्राकृतिक संख्या ]] के गुणन को गुणन और बार-बार जोड़ के रूप में माना जा सकता है; अर्थात्, दो संख्याओं का गुणन उनमें से एक की कई प्रतियों को जोड़ने के बराबर है, गुण्य, दूसरे की मात्रा के रूप में, गुणक। दोनों संख्याओं को कारकों के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।
[[ प्राकृतिक संख्या |प्राकृतिक संख्या]] के गुणन को पुनरावर्ती जोड़ के रूप में संदर्भित किया जा स है; अर्थात्, दो संख्याओं का गुणन उनमें से एक की कई प्रतियों को जोड़ने के समान है, गुण्य, दूसरे की मात्रा के रूप में, गुणक होता है। दोनों संख्याओं को कारकों के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।
:<math>a\times b = \underbrace{b + \cdots + b}_{a \text{ times}}</math>
:<math>a\times b = \underbrace{b + \cdots + b}_{a \text{ times}}</math>
उदाहरण के लिए, 4 को 3 से गुणा किया जाता है, जिसे अक्सर इस रूप में लिखा जाता है <math> 3 \times 4 </math> और 3 गुना 4 के रूप में बोला जाता है, इसकी गणना 4 की 3 प्रतियों को एक साथ जोड़कर की जा सकती है:
उदाहरण के लिए, 4 का 3 से गुणा किया जाता है, जिसे प्रायः इस रूप में <math> 3 \times 4 </math> लिखा जाता है और 3 गुना 4 के रूप में बोला जाता है, इसकी गणना 4 की 3 प्रतियों को एक साथ जोड़कर भी की जा सकती है:
:<math>3 \times 4 = 4 + 4 + 4 = 12</math>
:<math>3 \times 4 = 4 + 4 + 4 = 12</math>
यहाँ, 3 गुणक और 4 गुणक गुणनखंड हैं, और 12 गुणनफल है।
यहाँ, 3 (गुणक) और 4 (गुण्य) गुणनखंड हैं, और 12 गुणनफल है।


गुणन के मुख्य गुणों में से एक [[ क्रमचयी गुणधर्म ]] है, जो इस मामले में बताता है कि 4 की 3 प्रतियां जोड़ने से 3 की 4 प्रतियां जोड़ने के समान परिणाम मिलता है:
गुणन के मुख्य गुणों में से एक[[ क्रमचयी गुणधर्म | क्रम विनिमय गुण]] है, जो इस परिप्रेक्ष्य में बताता है कि 4 की 3 प्रतियां जोड़ने से और 3 की 4 प्रतियां जोड़ने से समान परिणाम मिलता है:
:<math>4 \times 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12</math>
:<math>4 \times 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12</math>
इस प्रकार गुणक और गुणक का पदनाम गुणन के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।<ref name="Devlin">{{cite web |last=Devlin |first=Keith |url=http://www.maa.org/external_archive/devlin/devlin_01_11.html |title=गुणन वास्तव में क्या है?|author-link=Keith Devlin |publisher=[[Mathematical Association of America]] |date=January 2011 |quote=गुणा के साथ आपके पास एक गुणक (लिखित दूसरा) गुणक द्वारा गुणा किया जाता है (पहले लिखा गया)|access-date=May 14, 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170527070801/http://www.maa.org/external_archive/devlin/devlin_01_11.html |archive-date=May 27, 2017 |url-status=live }}</ref>इस मूल परिभाषा के व्यवस्थित सामान्यीकरण पूर्णांकों ऋणात्मक संख्याओं सहित, परिमेय संख्याओं अंशों और वास्तविक संख्याओं के गुणन को परिभाषित करते हैं।
इस प्रकार गुणक और गुण्य का पदनाम, गुणन के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। इस मूल परिभाषा के व्यवस्थित सामान्यीकरण, पूर्णांकों के ऋणात्मक संख्याओं सहित, परिमेय संख्याओं के अंशों और वास्तविक संख्याओं के गुणन को परिभाषित करता हैं।


गुणन को एक [[ आयत ]] पूर्ण संख्याओं के लिए में व्यवस्थित वस्तुओं की [[ गिनती ]] के रूप में भी देखा जा सकता है या आयत के [[ क्षेत्र ]]फल को खोजने के रूप में देखा जा सकता है, जिनके पक्षों में कुछ दी गई [[ लंबाई ]] होती है। एक आयत का क्षेत्रफल इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि किस पक्ष को पहले मापा जाता है क्रमविनिमेय संपत्ति का एक परिणाम।
गुणन को एक [[ आयत |आयत]] (पूर्ण संख्याओं के लिए) में व्यवस्थित वस्तुओं की गिनती के रूप में भी देखा जा सकता है या एक आयत का [[ क्षेत्र |क्षेत्रफल]] ज्ञात करने के रूप में देखा जा सकता है, जिसकी भुजाओं में कुछ दी गई [[ लंबाई |लंबाई]] होती है। एक आयत का क्षेत्रफल इस बात पर निर्भर नहीं करता है,कि किस भुजा को पहले मापा जाता है,यह क्रमविनिमेय विशेषता का एक परिणाम है।


दो मापों का उत्पाद एक नए प्रकार का माप है। उदाहरण के लिए, किसी आयत की दोनों भुजाओं की लंबाइयों को गुणा करने पर उसका क्षेत्रफल प्राप्त होता है। ऐसा उत्पाद [[ आयामी विश्लेषण ]] का विषय है।
दो मापों का गुणन एक नए प्रकार का मापन है। उदाहरण के लिए, किसी आयत की दोनों भुजाओं की लंबाइयों को गुणा करने पर उसका क्षेत्रफल प्राप्त होता है। ऐसा गुणन[[ आयामी विश्लेषण | विमितीय विश्लेषण]] का विषय है।


गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया विभाजन गणित है। उदाहरण के लिए, चूँकि 4 को 3 से गुणा करने पर 12, 12 को 3 से विभाजित करने पर 4 प्राप्त होता है। वास्तव में, 3 से गुणा करने पर 3 से भाग करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। 0 के अलावा किसी अन्य संख्या का विभाजन 1 के बराबर होता है।
गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया विभाजन है। उदाहरण के लिए, 4 को 3 से गुणा करने पर 12 प्राप्त होता है, तो 12 को 3 से विभाजित करने पर भी 4 प्राप्त होता है। वास्तव में, 3 से गुणा करने पर 3 से भाग करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। 0 के अतिरिक्त किसी अन्य संख्या का सामान संख्या से विभाजन करने पर 1 प्राप्त होता है।
 
गुणन को अन्य प्रकार की संख्याओं के लिए भी परिभाषित किया गया है, जैसे कि [[ जटिल संख्या |सम्मिश्र संख्याएँ]], और अधिक अमूर्त निर्माणों जैसे [[ मैट्रिक्स (गणित) |मैट्रिक्स गणित]] आदि। इनमें से कुछ अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए,यह मुख्य है की किस क्रम में संकार्य को एक साथ गुणा किया जाए। गणित में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न प्रकार के गुणन की सूची गुणन में दी गई है।


गुणन को अन्य प्रकार की संख्याओं के लिए भी परिभाषित किया गया है, जैसे कि [[ जटिल संख्या ]]एँ, और अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए, जैसे [[ मैट्रिक्स (गणित) | मैट्रिक्स गणित]] । इनमें से कुछ अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए, जिस क्रम में ऑपरेंड को एक साथ गुणा किया जाता है, वह मायने रखता है। गणित में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न प्रकार के उत्पादों की सूची उत्पाद गणित में दी गई है।{{Verify source|date=December 2021|reason=please check whether this is sourced in the body}}




== संकेतन और शब्दावली ==
== संकेतन और शब्दावली ==
{{Infobox symbol
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|name= Multiplication signs
|name= गुणन चिन्ह
|sign=× ⋅
|sign=× ⋅
|unicode={{unichar|00D7|Multiplication sign|html=}}<br />{{unichar|22C5|Dot operator|html=}}  
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}}
{{See also|Multiplier (linguistics)}}
{{See also|गुणक (भाषाविज्ञान)}}
अंकगणित में, गुणन को अक्सर गुणन चिह्न या तो {{char|&times;}} या {{char|<math>\times</math>}} शर्तों के बीच यानी, [[ इन्फिक्स नोटेशन ]] में।<ref>{{Citation |last=Khan Academy |title=Intro to multiplication {{!}} Multiplication and division {{!}} Arithmetic {{!}} Khan Academy |date=2015-08-14 |url=https://www.youtube.com/watch?v=RNxwasijbAo |access-date=2017-03-07 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170324175113/https://www.youtube.com/watch?v=RNxwasijbAo |archive-date=2017-03-24 |url-status=live }}</ref> उदाहरण के लिए,
अंकगणित में, गुणन को प्रायः गुणन चिह्न ( {{char|&times;}} या {{char|<math>\times</math> }} ) को सबंधों के मध्य अर्थात,[[ इन्फिक्स नोटेशन ]]में दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए,
:<math>2\times 3 = 6</math> दो गुना तीन बराबर छह
:<math>2\times 3 = 6</math>  
:<math>3\times 4 = 12</math>
:<math>3\times 4 = 12</math>
:<math>2\times 3\times 5 = 6\times  5 = 30</math>
:<math>2\times 3\times 5 = 6\times  5 = 30</math>
:<math>2\times 2\times 2\times 2\times 2 = 32</math>
:<math>2\times 2\times 2\times 2\times 2 = 32</math>
गुणन के लिए अन्य गणितीय संकेतन हैं:
गुणन के लिए अन्य गणितीय संकेतन हैं:
* गुणन चिह्न × और सामान्य चर के बीच भ्रम को कम करने के लिए {{mvar|x}}, गुणन को बिंदु चिह्नों द्वारा भी निरूपित किया जाता है,<ref>{{Citation |last=Khan Academy |title=Why aren't we using the multiplication sign? {{!}} Introduction to algebra {{!}} Algebra I {{!}} Khan Academy |date=2012-09-06 |url=https://www.youtube.com/watch?v=vDaIKB19TvY |access-date=2017-03-07 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170327163705/https://www.youtube.com/watch?v=vDaIKB19TvY |archive-date=2017-03-27 |url-status=live }}</ref> आमतौर पर एक मध्य-स्थिति वाला बिंदु (शायद ही कभी [[ पूर्ण विराम ]]):
* गुणन चिह्न × और सामान्य चर के मध्य दुविधा को कम करने के लिए {{mvar|x}} गुणन को बिंदु चिह्नों द्वारा भी निरूपित किया जाता है''',''' सामान्यतः एक मध्य-स्थिति वाला बिंदु किंचित ही किसी समय मै प्रयोग किया जाता हैं :-
:<math>5 \cdot 2</math> या <math>5\,.\,3</math>
:<math>5 \cdot 2</math> या <math>5\,.\,3</math>
: मध्य बिंदु संकेतन, यूनिकोड में एन्कोड किया गया है {{unichar|22C5|dot operator}}, अब संयुक्त राज्य अमेरिका और अन्य देशों में मानक है जहां अवधि का उपयोग [[ दशमलव विभाजक ]] के रूप में किया जाता है। जब डॉट ऑपरेटर वर्ण पहुंच योग्य नहीं होता है, तो [[ इंटरपंक ]] (·) का उपयोग किया जाता है। अन्य देशों में जो दशमलव चिह्न के रूप में [[ अल्पविराम (विराम चिह्न) ]] का उपयोग करते हैं, गुणा के लिए या तो अवधि या मध्य बिंदु का उपयोग किया जाता है।{{citation needed|date=August 2011}}
: मध्य बिंदु संकेतन जिन्हे यूनिकोड में {{unichar|22C5|बिंदु संक्रिया}} के रूप मे एन्कोड किया गया है, अब संयुक्त राज्य अमेरिका और अन्य देशों में मानक है। जहां एक समय इसका उपयोग [[ दशमलव विभाजक |दशमलव विभाजक]] के रूप में संदर्भित किया जाता है। वही दुसरी और जब बिंदु संक्रिया चिह्न पहुंच योग्य नहीं होता है, तो [[ इंटरपंक ]] (·) का उपयोग किया जाता है। अन्य देशों में जो दशमलव चिह्न के रूप में [[ अल्पविराम (विराम चिह्न) |अल्पविराम]] का उपयोग करते हैं वही गुणा के लिए ,या तो गुणा चिह्न या मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग किया जाता है।
:ऐतिहासिक रूप से, यूनाइटेड किंगडम और आयरलैंड में, मध्य बिंदु का उपयोग कभी-कभी दशमलव के लिए शासित रेखा में गायब होने से रोकने के लिए किया जाता था, और अवधि/पूर्ण विराम का उपयोग गुणा के लिए किया जाता था। हालाँकि, चूंकि [[ प्रौद्योगिकी मंत्रालय ]] ने 1968 में इस अवधि को दशमलव बिंदु के रूप में उपयोग करने का फैसला किया था,<ref>{{Cite journal |doi=10.1038/218111c0 |title=अंकों पर विजय|journal=Nature |volume=218 |issue = 5137 |page=111 |year=1968 |bibcode=1968Natur.218S.111. |doi-access=free}}</ref> और एसआई मानक तब से व्यापक रूप से अपनाया गया है, यह उपयोग अब केवल अधिक पारंपरिक पत्रिकाओं जैसे द लांसेट में पाया जाता है।<ref>{{cite web |title=द लैंसेट - पाण्डुलिपियों के इलेक्ट्रॉनिक प्रस्तुतीकरण के लिए प्रारूपण दिशानिर्देश|url=http://download.thelancet.com/pb/assets/raw/Lancet/authors/artwork-guidelines.pdf |access-date=2017-04-25}}</ref>
:ऐतिहासिक रूप से, यूनाइटेड किंगडम और आयरलैंड में, मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग कभी-कभी दशमलव के लिए रेखांकित रेखा के लोप होने से रोकने के लिए किया जाता था, और पूर्ण विराम का उपयोग गुणा के लिए किया जाता था। यद्यपि , चूंकि [[ प्रौद्योगिकी मंत्रालय ]] ने 1968 में इस कालावधि को दशमलव बिंदु के रूप में उपयोग करने का निर्णय लिया था,और एसआई मानक तब से व्यापक रूप से प्रयोग में है, यह उपयोग अब केवल प्राचीन पत्रिकाओं जैसे 'द लांसेट' में पाया जाता है।
* {{anchor|Implicit|Explicit}}[[ बीजगणित ]] में, [[ चर (गणित) ]] से जुड़े गुणन को अक्सर एक संयोजन गणित के रूप में लिखा जाता है उदाहरण के लिए, <math>xy</math> के लिये <math>x</math> बार <math>y</math> या <math>5x</math> पाँच बार के लिए <math>x</math>, जिसे निहित गुणन भी कहा जाता है।<ref>{{cite book |title=टीआई प्रोग्रामेबल 88 की घोषणा!|publisher=[[Texas Instruments]] |date=1982<!--or 1983--> |url=http://www.datamath.net/Leaflets/TI-88_Announcement.pdf |access-date=2017-08-03 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20170803091337/http://www.datamath.net/Leaflets/TI-88_Announcement.pdf |archive-date=2017-08-03}}</ref> अंकन का उपयोग उन मात्राओं के लिए भी किया जा सकता है जो कोष्ठकों से घिरी हुई हैं उदाहरण के लिए, <math>5(2)</math>, <math>(5)2</math> या <math>(5)(2)</math> पांच बार दो के लिए। गुणन का यह निहित उपयोग अस्पष्टता का कारण बन सकता है जब समवर्ती चर किसी अन्य चर के नाम से मेल खाते हैं, जब एक कोष्ठक के सामने एक चर नाम को फ़ंक्शन नाम के साथ भ्रमित किया जा सकता है, या संचालन के क्रम के सही निर्धारण में।{{Citation needed|date=December 2021}}
* [[ बीजगणित ]]में, [[ चर (गणित) |चर]] से जुड़े गुणन को प्रायः एक संयोजन गणित के रूप में लिखा जाता है उदाहरण के लिए, <math>xy</math> के लिये <math>x</math> बार <math>y</math> या <math>5x</math> पाँच बार के लिए <math>x</math>, जिसे निहित गुणन भी कहा जाता है। अंकन का उपयोग उन मात्राओं के लिए भी किया जा सकता है, जो कोष्ठकों से घिरी हुई हैं उदाहरण के लिए, <math>5(2)</math>, <math>(5)2</math> या <math>(5)(2)</math> पांच बार दो के लिए। गुणन का यह निहित उपयोग अस्पष्टता का कारण बन सकता है जब समवर्ती चर किसी अन्य चर के नाम से मेल खाते हैं, जब एक कोष्ठक के सामने एक चर नाम को फलन नाम के साथ भ्रमित किया जा सकता है, या संचालन के क्रम के सही निर्धारण में हो सकता है।
* सदिश गुणन में, क्रॉस और डॉट प्रतीकों के बीच अंतर होता है। [[ पार उत्पाद ]] आम तौर पर दो [[ वेक्टर (गणित) ]] के क्रॉस उत्पाद को लेने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक वेक्टर उत्पन्न होता है, जबकि डॉट दो वैक्टरों के [[ डॉट उत्पाद ]] को लेने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक स्केलर गणित होता है।{{Citation needed|date=December 2021}}
* सदिश गुणन में, रेखित करना और बिंदु प्रतीकों के मध्य अंतर करना है। [[ पार उत्पाद |रेखित गुणन]] सामान्यतः दो [[ वेक्टर (गणित) |सदिश]] राशियों के क्रॉस गुणन करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक सदिश राशि उत्पन्न होती है, जबकि बिंदु दो सदिश के [[ डॉट उत्पाद |बिंदु गुणन]] को करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक अदिश राशि की प्राप्ति होती है।{{Citation needed|date=December 2021}}
[[ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग ]] में, तारांकन चिह्न जैसा कि <code>5*2</code> अभी भी सबसे आम अंकन है। यह इस तथ्य के कारण है कि अधिकांश कंप्यूटर ऐतिहासिक रूप से छोटे वर्ण सेट जैसे [[ ASCII ]] और [[ EBCDIC ]] तक सीमित थे जिनमें गुणन चिह्न जैसे कि <code>⋅</code> या <code>×</code>, जबकि प्रत्येक कीबोर्ड पर तारक (*) दिखाई देता है। यह प्रयोग [[ फोरट्रान ]] प्रोग्रामिंग भाषा में उत्पन्न हुआ।{{Citation needed|date=December 2021}}
[[ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग |संगणक प्रोग्रामिंग]] में, तारांकन चिह्न जैसा कि <code>5*2</code> अभी भी सबसे साधारण अंकन है। यह इस तथ्य के कारण है कि अधिकांश [[ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग |संगणक]] ऐतिहासिक रूप से छोटे वर्ण समुच्चय जैसे [[ ASCII ]]और [[ EBCDIC |EBCDIC]] तक सीमित थे जिनमें गुणन चिह्न जैसे कि <code>⋅</code> या <code>×</code>सम्मिलित है,जबकि प्रत्येक कुंजीपटल पर तारक (*) दिखाई देता है। यह प्रयोग [[ फोरट्रान |फोरट्रान]] प्रोग्रामिंग भाषा में उत्पन्न हुआ।
 
गुणा की जाने वाली संख्याओं को सामान्यतः [[ गुणन |गुणन]] खंड कहा जाता है। गुणा की जाने वाली संख्या गुण्य है, और जिस संख्या से गुणा किया जाता है वह गुणक है। सामान्यतः, गुणक को पहले और गुण्य को दूसरे स्थान पर रखा जाता है ,यद्यपि कभी-कभी पहला कारक गुणक और दूसरा गुण्य होता है। इसके अतिरिक्त, चूंकि गुणन का परिणाम कारकों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है, गुणक और गुण्य के मध्य का अंतर केवल प्रारंभिक स्तर पर और कुछ गुणन विधिकलन में उपयोगी होता है, जैसे कि [[ लंबा गुणन |दीर्घ गुणन]], इसलिए, कुछ स्रोतों में, गुणक शब्द को कारक के पर्याय के रूप में माना जाता है। बीजगणित में, एक संख्या जो एक चर या व्यंजक का गुणक है उदाहरण के लिए, 3 में <math>3xy^2</math> को गुणांक कहा जाता है।


गुणा की जाने वाली संख्याओं को आम तौर पर [[ गुणन ]]खंड कहा जाता है। गुणा की जाने वाली संख्या गुण्य है, और जिस संख्या से गुणा किया जाता है वह गुणक है। आमतौर पर, गुणक को पहले और गुण्य को दूसरे स्थान पर रखा जाता है ,हालांकि कभी-कभी पहला कारक गुणक और दूसरा गुणक होता है। इसके अलावा, चूंकि गुणन का परिणाम कारकों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है, गुणक और गुणक के बीच का अंतर केवल एक बहुत ही प्रारंभिक स्तर पर और कुछ गुणन एल्गोरिदम में उपयोगी होता है, जैसे कि [[ लंबा गुणन ]], इसलिए, कुछ स्रोतों में, गुणक शब्द को कारक के पर्याय के रूप में माना जाता है। बीजगणित में, एक संख्या जो एक चर या अभिव्यक्ति का गुणक है उदाहरण के लिए, 3 में <math>3xy^2</math> को गुणांक कहा जाता है।
गुणन के परिणाम को गुणनफल कहा जाता है,और जब गुणनखंड पूर्णांक होता है, तो एक गुणनफल दूसरे का गुणनफल होता है। इस प्रकार <math>2\times \pi</math> का एक बहुगुणज {{pi}} ऐसा है की <math>5133 \times 486 \times \pi</math>. पूर्णांकों का गुणनफल प्रत्येक गुणनखंड का गुणज होता है; उदाहरण के लिए, 3 और 5 का गुणनफल 15 है, और दोनों 3 के गुणज और 5 के गुणज है।


गुणन के परिणाम को उत्पाद गणित कहा जाता है। जब एक गुणनखंड पूर्णांक होता है, तो गुणनफल दूसरे का गुणनफल गणित होता है या अन्य का गुणनफल होता है। इस प्रकार <math>2\times \pi</math> का एक बहु है {{pi}}, जैसा है <math>5133 \times 486 \times \pi</math>. पूर्णांकों का गुणनफल प्रत्येक गुणनखंड का गुणज होता है; उदाहरण के लिए, 15 3 और 5 का गुणनफल है और दोनों 3 का गुणज और 5 का गुणज है।{{Citation needed|date=December 2021}}




== परिभाषाएँ ==
== परिभाषाएँ ==
दो संख्याओं के उत्पाद या दो संख्याओं के बीच गुणन को सामान्य विशेष मामलों के लिए परिभाषित किया जा सकता है: पूर्णांक, प्राकृतिक संख्याएँ, भिन्न, वास्तविक संख्याएँ, जटिल संख्याएँ और चतुष्कोण।
दो संख्याओं के गुणन या दो संख्याओं के मध्य गुणनफल को सामान्य विशेष स्थिति के लिए परिभाषित किया जाता है, जैसे पूर्णांक, प्राकृतिक संख्याएँ, भिन्न, वास्तविक संख्याएँ,सम्मिश्र संख्याएँ और चतुष्कोण इत्यादि।


===दो प्राकृत संख्याओं का गुणनफल===
===दो प्राकृत संख्याओं का गुणनफल===
[[File:Three by Four.svg|thumb|3 बटा 4 12 है]]एक आयताकार पैटर्न में कई पत्थरों को रखकर <math>r</math> पंक्तियाँ और <math>s</math> कॉलम देता है
[[File:Three by Four.svg|thumb|3 बटा 4 12 है]]एक आयताकार प्रतिरुप में कई पत्थरों को <math>r</math> पंक्तियाँ और <math>s</math> स्तम्भ मे रखने पर


:<math> r \cdot s = \sum_{i=1}^s r = \underbrace{ r+r+\cdots+r }_{s\text{ times}}= \sum_{j=1}^r s = \underbrace{ s+s+\cdots+s }_{r\text{ times}} </math>
:<math> r \cdot s = \sum_{i=1}^s r = \underbrace{ r+r+\cdots+r }_{s\text{ times}}= \sum_{j=1}^r s = \underbrace{ s+s+\cdots+s }_{r\text{ times}} </math>
पत्थर।
पत्थर प्राप्त होतें है।


=== दो पूर्णांकों का गुणनफल ===
=== दो पूर्णांकों का गुणनफल ===
पूर्णांक सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की अनुमति देते हैं। उनका उत्पाद उनकी सकारात्मक मात्रा के उत्पाद द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो निम्नलिखित नियम से प्राप्त संकेत के साथ संयुक्त होता है:
पूर्णांक सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की अनुमति देता हैं। उनका गुणन उनकी सकारात्मक मात्रा के गुणन द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो निम्नलिखित नियम से प्राप्त चिन्ह के साथ संयुक्त होता है:


:<math>\begin{array}{|c|c c|}
:<math>\begin{array}{|c|c c|}
Line 74: Line 74:
     +  & - & + \\ \hline
     +  & - & + \\ \hline
\end{array}</math>
\end{array}</math>
(यह नियम जोड़ पर गुणन की वितरण संपत्ति की मांग का एक आवश्यक परिणाम है, और यह एक अतिरिक्त नियम नहीं है।)
यह नियम जोड़ पर गुणन की विशेषताये की मांग का एक आवश्यक परिणाम है, और इसके अतिरिक्त्त कोई नियम नहीं है।


शब्दों में, हमारे पास है:
शब्दों में, हम इन्हे निम्नलिखित विधियों से दर्शाया जा सकता है। :


* ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है,
* ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है,
* ऋणात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है,
* ऋणात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है,
* ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या ऋणात्मक होती है,
* धनात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है,
* धनात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है।
* धनात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है।


===दो भिन्नों का गुणनफल===
===दो भिन्नों का गुणनफल===
दो भिन्नों को उनके अंश और हर को गुणा करके गुणा किया जा सकता है:
दो भिन्नों का गुणनफल उनके अंश और हर को गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है:


:<math> \frac{z}{n} \cdot \frac{z'}{n'} = \frac{z\cdot z'}{n\cdot n'}</math>
:<math> \frac{z}{n} \cdot \frac{z'}{n'} = \frac{z\cdot z'}{n\cdot n'}</math>
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=== दो वास्तविक संख्याओं का गुणनफल ===
=== दो वास्तविक संख्याओं का गुणनफल ===


दो वास्तविक संख्याओं के गुणनफल की कठोर परिभाषा वास्तविक संख्याओं के निर्माण का उपोत्पाद है। इस रचना का तात्पर्य है कि, प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए {{mvar|a}} एक सेट है {{mvar|A}} [[ परिमेय संख्या ]] का ऐसा कि {{mvar|a}} के तत्वों की सबसे कम ऊपरी सीमा है {{mvar|A}}:
दो वास्तविक संख्याओं के गुणनफल की परिभाषा वास्तविक संख्याओं के निर्माण का एक भाग है। इस रचना का तात्पर्य है कि, प्रत्येक वास्तविक संख्या {{mvar|a}} के एक समुच्चय {{mvar|A}} हैं[[ परिमेय संख्या | परिमेय संख्या]] {{mvar|a}} के तत्वों की न्यूनतम उच्च सीमा {{mvar|A}} है :
:<math>a=\sup_{x\in A} x.</math>
:<math>a=\sup_{x\in A} x.</math>
यदि {{mvar|b}} एक और वास्तविक संख्या है जो की सबसे कम ऊपरी सीमा है {{mvar|B}}, उत्पाद <math>a\cdot b</math>
यद्यपि {{mvar|b}} एक और वास्तविक संख्या है जिसकी न्यूनतम ऊपरी सीमा {{mvar|B}} हैं गुणन <math>a\cdot b</math> की तरह परिभाषित किया जाता है
की तरह परिभाषित किया गया है
:<math>a\cdot b=\sup_{x\in A, y\in B}x\cdot y.</math>
:<math>a\cdot b=\sup_{x\in A, y\in B}x\cdot y.</math>
यह परिभाषा किसी विशेष पसंद पर निर्भर नहीं करती है {{mvar|A}} तथा {{mvar|b}}. यही है, अगर वे अपनी कम से कम ऊपरी सीमा को बदले बिना बदल जाते हैं, तो कम से कम ऊपरी सीमा परिभाषित होती है <math>a\cdot b</math> नहीं बदला है।
यह परिभाषा किसी विशेष पसंद पर निर्भर नहीं करती है {{mvar|A}} तथा {{mvar|b}}. यही है, अगर वे अपनी न्यूनतम उच्च सीमा को परिवर्तन के बिना परिवर्तित हो जाते हैं, तो न्यूनतम उच्च सीमा परिभाषित होती है तथा <math>a\cdot b</math> परिवर्तित नहीं होता है।


===दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल===
===दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल===
दो सम्मिश्र संख्याओं को वितरण नियम और इस तथ्य से गुणा किया जा सकता है <math> i^2=-1</math>, निम्नलिखित अनुसार:
दो सम्मिश्र संख्याओं को वितरण नियम और इस तथ्य से गुणा किया जा सकता है <math> i^2=-1</math>,  
 
निम्नलिखित अनुसार:
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
   (a + b\, i) \cdot (c + d\, i)  
   (a + b\, i) \cdot (c + d\, i)  
Line 106: Line 107:
\end{align}</math>
\end{align}</math>


[[File:Komplexe zahlenebene.svg|thumb|upright=1.25|ध्रुवीय निर्देशांक में एक सम्मिश्र संख्या।]]जटिल गुणन का ज्यामितीय अर्थ समझा जा सकता है ध्रुवीय निर्देशांक में जटिल संख्याओं को फिर से लिखना:
[[File:Komplexe zahlenebene.svg|thumb|upright=1.25|ध्रुवीय निर्देशांक में एक सम्मिश्र संख्या।]]सम्मिश्र गुणन का ज्यामितीय अर्थ समझा जा सकता है तथा ध्रुवीय निर्देशांक में सम्मिश्र संख्याओं को पुनः लिखना:


:<math>a + b\, i = r \cdot ( \cos(\varphi) +  i \sin(\varphi) ) = r \cdot  e ^{ i \varphi} </math>
:<math>a + b\, i = r \cdot ( \cos(\varphi) +  i \sin(\varphi) ) = r \cdot  e ^{ i \varphi} </math>
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जिससे प्राप्त होता है
जिससे प्राप्त होता है
:<math>(a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) i = r \cdot s \cdot e^{i(\varphi + \psi)}.</math>
:<math>(a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) i = r \cdot s \cdot e^{i(\varphi + \psi)}.</math>
ज्यामितीय अर्थ यह है कि परिमाण गुणा किया जाता है और तर्क जोड़े जाते हैं।
ज्यामितीय का अर्थ है,कि गुणा का विस्तार और कथन जोड़े जाते हैं।


=== दो चतुर्भुजों का गुणनफल ===
=== दो चतुर्भुजों का गुणनफल ===
दो [[ quaternion ]]s के उत्पाद [[ quaternions ]] पर लेख में पाया जा सकता है। ध्यान दें, इस मामले में, कि <matH> \cdot b</math> और  गणित>बी \cdot a</matH> सामान्य रूप से भिन्न होते हैं।
दो [[ quaternion |चतुर्भुजों]] के गुणन [[ quaternions |चतुष्कोणों]] पर लेख में पाया जा सकता है। ध्यान दें, इस विषय में, कि <math> a\cdot\quad b </math> और <math> b \cdot\quad a </math> सामान्य रूप से भिन्न होते हैं।


== संगणना ==
== संगणना ==
{{Main|Multiplication algorithm}}
{{Main|गुणन एल्गोरिथ्म}}
[[file:צעצוע מכני משנת 1918 לחישובי לוח הכפל The Educated Monkey.jpg|200px|right|thumb|शिक्षित बंदर - 1918 का एक [[ टिन का खिलौना ]], जिसका उपयोग गुणन कैलकुलेटर के रूप में किया जाता है। <छोटा>उदाहरण के लिए: बंदर के पैर को 4 और 9 पर सेट करें, और उत्पाद - 36 - उसके हाथों में प्राप्त करें।</छोटा>]]पेंसिल और कागज का उपयोग करके संख्याओं को गुणा करने के कई सामान्य तरीकों के लिए छोटी संख्याओं (आमतौर पर 0 से 9 तक कोई भी दो संख्या) के याद किए गए या पर