गुणा: Difference between revisions

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:<math>2\times 2\times 2\times 2\times 2 = 32</math>
:<math>2\times 2\times 2\times 2\times 2 = 32</math>
गुणन के लिए अन्य गणितीय संकेतन हैं:
गुणन के लिए अन्य गणितीय संकेतन हैं:
* गुणन चिह्न × और सामान्य चर के बीच दुविधा को कम करने के लिए {{mvar|x}} गुणन को बिंदु चिह्नों द्वारा भी निरूपित किया जाता है''',''' सामान्यतः एक मध्य-स्थिति वाला बिंदु किंचित ही किसी समय मै प्रयोग किया जाता हैं :-
* गुणन चिह्न × और सामान्य चर के मध्य दुविधा को कम करने के लिए {{mvar|x}} गुणन को बिंदु चिह्नों द्वारा भी निरूपित किया जाता है''',''' सामान्यतः एक मध्य-स्थिति वाला बिंदु किंचित ही किसी समय मै प्रयोग किया जाता हैं :-
:<math>5 \cdot 2</math> या <math>5\,.\,3</math>
:<math>5 \cdot 2</math> या <math>5\,.\,3</math>
: मध्य बिंदु संकेतन जिन्हे यूनिकोड में {{unichar|22C5|बिंदु संक्रिया}} के रूप मे एन्कोड किया गया है, अब संयुक्त राज्य अमेरिका और अन्य देशों में मानक है। जहां एक समय इसका उपयोग [[ दशमलव विभाजक |दशमलव विभाजक]] के रूप में संदर्भित किया जाता है। वही दुसरी और जब बिंदु संक्रिया चिह्न पहुंच योग्य नहीं होता है, तो [[ इंटरपंक ]] (·) का उपयोग किया जाता है। अन्य देशों में जो दशमलव चिह्न के रूप में [[ अल्पविराम (विराम चिह्न) |अल्पविराम]] का उपयोग करते हैं वही गुणा के लिए ,या तो गुणा चिह्न या मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग किया जाता है।
: मध्य बिंदु संकेतन जिन्हे यूनिकोड में {{unichar|22C5|बिंदु संक्रिया}} के रूप मे एन्कोड किया गया है, अब संयुक्त राज्य अमेरिका और अन्य देशों में मानक है। जहां एक समय इसका उपयोग [[ दशमलव विभाजक |दशमलव विभाजक]] के रूप में संदर्भित किया जाता है। वही दुसरी और जब बिंदु संक्रिया चिह्न पहुंच योग्य नहीं होता है, तो [[ इंटरपंक ]] (·) का उपयोग किया जाता है। अन्य देशों में जो दशमलव चिह्न के रूप में [[ अल्पविराम (विराम चिह्न) |अल्पविराम]] का उपयोग करते हैं वही गुणा के लिए ,या तो गुणा चिह्न या मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग किया जाता है।
:ऐतिहासिक रूप से, यूनाइटेड किंगडम और आयरलैंड में, मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग कभी-कभी दशमलव के लिए रेखांकित रेखा के लोप होने से रोकने के लिए किया जाता था, और पूर्ण विराम का उपयोग गुणा के लिए किया जाता था। यद्यपि , चूंकि [[ प्रौद्योगिकी मंत्रालय ]] ने 1968 में इस कालावधि को दशमलव बिंदु के रूप में उपयोग करने का निर्णय लिया था,और एसआई मानक तब से व्यापक रूप से प्रयोग में है, यह उपयोग अब केवल प्राचीन पत्रिकाओं जैसे 'द लांसेट' में पाया जाता है।
:ऐतिहासिक रूप से, यूनाइटेड किंगडम और आयरलैंड में, मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग कभी-कभी दशमलव के लिए रेखांकित रेखा के लोप होने से रोकने के लिए किया जाता था, और पूर्ण विराम का उपयोग गुणा के लिए किया जाता था। यद्यपि , चूंकि [[ प्रौद्योगिकी मंत्रालय ]] ने 1968 में इस कालावधि को दशमलव बिंदु के रूप में उपयोग करने का निर्णय लिया था,और एसआई मानक तब से व्यापक रूप से प्रयोग में है, यह उपयोग अब केवल प्राचीन पत्रिकाओं जैसे 'द लांसेट' में पाया जाता है।
* [[ बीजगणित ]]में, [[ चर (गणित) |चर]] से जुड़े गुणन को प्रायः एक संयोजन गणित के रूप में लिखा जाता है उदाहरण के लिए, <math>xy</math> के लिये <math>x</math> बार <math>y</math> या <math>5x</math> पाँच बार के लिए <math>x</math>, जिसे निहित गुणन भी कहा जाता है। अंकन का उपयोग उन मात्राओं के लिए भी किया जा सकता है, जो कोष्ठकों से घिरी हुई हैं उदाहरण के लिए, <math>5(2)</math>, <math>(5)2</math> या <math>(5)(2)</math> पांच बार दो के लिए। गुणन का यह निहित उपयोग अस्पष्टता का कारण बन सकता है जब समवर्ती चर किसी अन्य चर के नाम से मेल खाते हैं, जब एक कोष्ठक के सामने एक चर नाम को फलन नाम के साथ भ्रमित किया जा सकता है, या संचालन के क्रम के सही निर्धारण में हो सकता है।
* [[ बीजगणित ]]में, [[ चर (गणित) |चर]] से जुड़े गुणन को प्रायः एक संयोजन गणित के रूप में लिखा जाता है उदाहरण के लिए, <math>xy</math> के लिये <math>x</math> बार <math>y</math> या <math>5x</math> पाँच बार के लिए <math>x</math>, जिसे निहित गुणन भी कहा जाता है। अंकन का उपयोग उन मात्राओं के लिए भी किया जा सकता है, जो कोष्ठकों से घिरी हुई हैं उदाहरण के लिए, <math>5(2)</math>, <math>(5)2</math> या <math>(5)(2)</math> पांच बार दो के लिए। गुणन का यह निहित उपयोग अस्पष्टता का कारण बन सकता है जब समवर्ती चर किसी अन्य चर के नाम से मेल खाते हैं, जब एक कोष्ठक के सामने एक चर नाम को फलन नाम के साथ भ्रमित किया जा सकता है, या संचालन के क्रम के सही निर्धारण में हो सकता है।
* सदिश गुणन में, रेखित करना और बिंदु प्रतीकों के बीच अंतर करना है। [[ पार उत्पाद |रेखित गुणन]] सामान्यतः दो [[ वेक्टर (गणित) |सदिश]] राशियों के क्रॉस गुणन करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक सदिश राशि उत्पन्न होती है, जबकि बिंदु दो सदिश के [[ डॉट उत्पाद |बिंदु गुणन]] को करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक अदिश राशि की प्राप्ति होती है।{{Citation needed|date=December 2021}}
* सदिश गुणन में, रेखित करना और बिंदु प्रतीकों के मध्य अंतर करना है। [[ पार उत्पाद |रेखित गुणन]] सामान्यतः दो [[ वेक्टर (गणित) |सदिश]] राशियों के क्रॉस गुणन करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक सदिश राशि उत्पन्न होती है, जबकि बिंदु दो सदिश के [[ डॉट उत्पाद |बिंदु गुणन]] को करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक अदिश राशि की प्राप्ति होती है।{{Citation needed|date=December 2021}}
[[ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग |संगणक प्रोग्रामिंग]] में, तारांकन चिह्न जैसा कि <code>5*2</code> अभी भी सबसे साधारण अंकन है। यह इस तथ्य के कारण है कि अधिकांश [[ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग |संगणक]] ऐतिहासिक रूप से छोटे वर्ण समुच्चय जैसे [[ ASCII ]]और [[ EBCDIC |EBCDIC]] तक सीमित थे जिनमें गुणन चिह्न जैसे कि <code>⋅</code> या <code>×</code>सम्मिलित है,जबकि प्रत्येक कुंजीपटल पर तारक (*) दिखाई देता है। यह प्रयोग [[ फोरट्रान |फोरट्रान]] प्रोग्रामिंग भाषा में उत्पन्न हुआ।
[[ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग |संगणक प्रोग्रामिंग]] में, तारांकन चिह्न जैसा कि <code>5*2</code> अभी भी सबसे साधारण अंकन है। यह इस तथ्य के कारण है कि अधिकांश [[ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग |संगणक]] ऐतिहासिक रूप से छोटे वर्ण समुच्चय जैसे [[ ASCII ]]और [[ EBCDIC |EBCDIC]] तक सीमित थे जिनमें गुणन चिह्न जैसे कि <code>⋅</code> या <code>×</code>सम्मिलित है,जबकि प्रत्येक कुंजीपटल पर तारक (*) दिखाई देता है। यह प्रयोग [[ फोरट्रान |फोरट्रान]] प्रोग्रामिंग भाषा में उत्पन्न हुआ।


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== परिभाषाएँ ==
== परिभाषाएँ ==
दो संख्याओं के  गुणन या दो संख्याओं के बीच गुणनफल को सामान्य विशेष स्थिति के लिए परिभाषित किया जाता है, जैसे पूर्णांक, प्राकृतिक संख्याएँ, भिन्न, वास्तविक संख्याएँ,सम्मिश्र संख्याएँ और चतुष्कोण इत्यादि।
दो संख्याओं के  गुणन या दो संख्याओं के मध्य गुणनफल को सामान्य विशेष स्थिति के लिए परिभाषित किया जाता है, जैसे पूर्णांक, प्राकृतिक संख्याएँ, भिन्न, वास्तविक संख्याएँ,सम्मिश्र संख्याएँ और चतुष्कोण इत्यादि।


===दो प्राकृत संख्याओं का गुणनफल===
===दो प्राकृत संख्याओं का गुणनफल===
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{{Main|आयामी विश्लेषण}}
{{Main|आयामी विश्लेषण}}


एक ही प्रकार की मात्राओं को केवल अर्थपूर्ण रूप से जोड़ या घटाया जा सकता है, लेकिन विभिन्न प्रकार की मात्राओं को बिना किसी समस्या के गुणा या विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, तीन कंचों वाले चार बैगों के बारे में सोचा जा सकता है:  
एक ही प्रकार की मात्राओं को केवल अर्थपूर्ण रूप से जोड़ या घटाया जा सकता है, परन्तु  विभिन्न प्रकार की मात्राओं को बिना किसी समस्या के गुणा या विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, तीन कंचों वाले चार बैगों के बारे में सोचा जा सकता है:  




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जब दो मापों को एक साथ गुणा किया जाता है, तो गुणन माप के प्रकार के आधार पर एक प्रकार का होता है। इसे सामान्य सिद्धांत आयामी विश्लेषण द्वारा दिया गया है। यह विश्लेषण भौतिकी में नियमित रूप से लागू होता है, लेकिन इसमें वित्त और अन्य अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में सम्मिलित हैं।
जब दो मापों को एक साथ गुणा किया जाता है, तो गुणन माप के प्रकार के आधार पर एक प्रकार का होता है। इसे सामान्य सिद्धांत आयामी विश्लेषण द्वारा दिया गया है। यह विश्लेषण भौतिकी में नियमित रूप से लागू होता है, परन्तु  इसमें वित्त और अन्य अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में सम्मिलित हैं।


भौतिकी में यह एक सामान्य तथ्य है कि भौतिकी में गति को समय से गुणा करने पर [[ दूरी ]] मिलती है। उदाहरण के लिए:
भौतिकी में यह एक सामान्य तथ्य है कि भौतिकी में गति को समय से गुणा करने पर [[ दूरी ]] मिलती है। उदाहरण के लिए:
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== घातांक ==
== घातांक ==
{{Main|घातांक}}
{{Main|घातांक}}
जब गुणन दोहराया जाता है, तो परिणामी संक्रिया घातांक प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, दो (2×2×2) के तीन कारकों का गुणनफल दो को तीसरी घात तक बढ़ा दिया जाता है, और इसे 2 घात 3 से दर्शाया जाता है।, एक दो [[ ऊपर की ओर लिखा हुआ | सुपरस्क्रिप्ट]] तीन के साथ लिखा जाता है,  
जब गुणन दोहराया जाता है, तो परिणामी संक्रिया घातांक प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, दो (2×2×2) के तीन कारकों का गुणनफल दो को तीसरी घात तक बढ़ा दिया जाता है, और इसे 2 घात 3 से दर्शाया जाता है।, एक दो [[ ऊपर की ओर लिखा हुआ |सुपरस्क्रिप्ट]] तीन के साथ लिखा जाता है,  


उदाहरण में, संख्या दो आधार है, और तीन घातांक है। सामान्य तौर परप्रतिपादक तिपादकंटइंगि (या सुपस्क्रिप्ट)  ताकिकव्यंजक (गणित) व्यंजक में आधार कितनी बार निम्न प्रकट  होता  है, जिससे व्यंजक
उदाहरण में, संख्या दो आधार है, और तीन घातांक है। सामान्य तौर परप्रतिपादक तिपादकंटइंगि (या सुपस्क्रिप्ट)  ताकिकव्यंजक (गणित) व्यंजक में आधार कितनी बार निम्न प्रकट  होता  है, जिससे व्यंजक
:<math>a^n = \underbrace{a\times a \times \cdots  \times a}_n</math>
:<math>a^n = \underbrace{a\times a \times \cdots  \times a}_n</math>
घातांक यह इंगित करता है, कि आधार की n प्रतियां एक स गुणा की जाती हैं। और इस अंकन का उपयोग तब भी किया जाता है जब गुणन को घात सहयोगीता के रूप में जाना जाता है।
घातांक यह इंगित करता है, कि आधार की n प्रतियां एक साथ गुणा की जाती हैं। और इस अंकन का उपयोग तब भी किया जाता है जब गुणन को घात सहयोगीता के रूप में जाना जाता है।




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== विशेषता ==
== विशेषता ==
[[Image:Multiplication chart.svg|thumb|right|संख्याओं का गुणन 0-10। रेखा लेबल = गुणन। एक्स-अक्ष = गुणक। Y-अक्ष = गुणन।<br>अन्य चतुर्थांशों में इस पैटर्न का विस्तार कारण बताता है कि एक ऋणात्मक संख्या का गुणा एक ऋणात्मक संख्या के साथ एक धनात्मक संख्या उत्पन्न करती है।<br>ध्यान दें कि कैसे शून्य से गुणा करने से आयामीता में कमी आती है, जैसा कि गुणन करता है एक एकल मैट्रिक्स द्वारा जहां निर्धारक 0 है। इस प्रक्रिया में, जानकारी खो जाती है और उसे वापस नहीं लाया जा सकता है।]]वास्तविक संख्या और  सम्मिश्र संख्या संख्याओं में सम्मिलित हैं, उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याएं, पूर्णांक और परिमेय संख्या, गुणन में कुछ विशेषता होत हैं:
[[Image:Multiplication chart.svg|thumb|right|संख्याओं का गुणन 0-10। रेखा लेबल = गुणन। एक्स-अक्ष = गुणक। Y-अक्ष = गुणन।<br>अन्य चतुर्थांशों में इस प्रतिरूप के विस्तार का कारण बताता है कि एक ऋणात्मक संख्या का गुणा एक ऋणात्मक संख्या के साथ एक धनात्मक संख्या उत्पन्न करती है।<br>ध्यान दें कि कैसे शून्य से गुणा करने से आयामीता में कमी आती है, जैसा कि गुणन करता है एक एकल मैट्रिक्स द्वारा जहां निर्धारक 0 है। इस प्रक्रिया में, जानकारी खो जाती है और उसे पुनरावर्तित नहीं लाया जा सकता है।]]वास्तविक संख्या और  सम्मिश्र संख्या संख्याओं में सम्मिलित हैं, उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याएं, पूर्णांक और परिमेय संख्या, गुणन में कुछ विशेषता होत हैं:


;क्रमचयी गुणधर्म
;क्रमचयी गुणधर्म
: जिस क्रम में दो संख्याओं को गुणा किया जाता है वह कोई मायने नहीं रखता:
: जिस क्रम में दो संख्याओं को गुणा किया जाता है वह कोई मूल्य नहीं रखता:
::<math>x\cdot y = y\cdot x.</math>
::<math>x\cdot y = y\cdot x.</math>


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== स्वयंसिद्ध ==
== स्वयंसिद्ध ==
{{Main|पियानो सिद्धांत}}
{{Main|पियानो सिद्धांत}}
अंकगणित प्रिंसिपिया, नोवा मेथोडो एक्सपोसिटा पुस्तक में, [[ जोसेफ पीनो ]] ने प्राकृतिक संख्याओं के लिए अपने स्वयंसिद्धों के आधार पर अंकगणित के लिए स्वयंसिद्धों का प्रस्ताव रखा। पीनो अंकगणित में गुणन के लिए दो अभिगृहीत हैं:
अंकगणित प्रिंसिपिया, नोवा मेथोडो एक्सपोसिटा पुस्तक में, [[ जोसेफ पीनो |जोसेफ पीनो]] ने प्राकृतिक संख्याओं के लिए अपने स्वयंसिद्धों के आधार पर अंकगणित के लिए स्वयंसिद्धों का प्रस्ताव रखा। पीनो अंकगणित में गुणन के लिए दो अभिगृहीत हैं:
:<math>x \times 0 = 0</math>
:<math>x \times 0 = 0</math>
:<math>x \times S(y) = (x \times y) + x</math>
:<math>x \times S(y) = (x \times y) + x</math>
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== समुच्चय सिद्धांत के सापेक्ष गुणा ==
== समुच्चय सिद्धांत के सापेक्ष गुणा ==
गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के गुणनफल को गणन संख्या गणन गुणन या पीनो स्वयंसिद्ध अंकगणित का उपयोग करके समुच्चय सिद्धांत के सापेक्ष परिभाषित किया जा सकता है।कैसे विभिन्न प्रकार की संख्याओं का गुणन  स्वेच्छाचारी पूर्णांकों को और पुनः स्वेच्छाचारी परिमेय संख्याएँ गुणा करने के लिए विस्तारित किया जाए। वास्तविक संख्याओं के गुणनफल और परिमेय संख्याओं के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है; वास्तविक संख्या का अभिप्राय दर्शायें गए हैं।{{Citation needed|date=December 2021}}
गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के गुणनफल को गणन संख्या गणन गुणन या पीनो स्वयंसिद्ध अंकगणित का उपयोग करके समुच्चय सिद्धांत के सापेक्ष परिभाषित किया जा सकता है।कैसे विभिन्न प्रकार की संख्याओं का गुणन  स्वेच्छाचारी पूर्णांकों को और पुनः स्वेच्छाचारी परिमेय संख्याएँ गुणा करने के लिए विस्तारित किया जाए। वास्तविक संख्याओं के गुणनफल और परिमेय संख्याओं के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है; वास्तविक संख्या का अभिप्राय दर्शायें गए हैं।




== समूह सिद्धांत में गुणन ==<!--linked from below-->
 
ऐसे कई समुच्चय हैं, जो गुणन की संक्रिया के अंतर्गत उन अभिगृहीतों को  समाधान करते हैं जो [[ समूह (गणित) | समूह गणित]] संरचना को परिभाषित करते हैं। स्वयंसिद्ध समापन, साहचर्य,पहचान तत्व और व्युत्क्रम का समावेश हैं।
== समूह सिद्धांत में गुणन ==
ऐसे कई समुच्चय हैं, जो गुणन की संक्रिया के अंतर्गत उन अभिगृहीतों का समाधान करते हैं जो[[ समूह (गणित) | समूह गणित]] संरचना को परिभाषित करते हैं। स्वयंसिद्ध समापन, साहचर्य,पहचान तत्व और व्युत्क्रम का समावेश हैं।


एक साधारण उदाहरण ये है की शून्येतर[[ परिमेय संख्या | परिमेय संख्याओं]] का समुच्चय है। यहां हमारे पास सर्वसमिका 1 है, इसके अतिरिक्त समूहों के विपरीत सर्वसमिका सामान्यतः 0 है।परिमेय और शून्य को बाहर करना चाहिए क्योंकि, गुणन के तहत, इसका व्युत्क्रम नहीं होता है: ऐसी कोई परिमेय संख्या नहीं है जिसे शून्य से गुणा करके 1 प्राप्त किया जा सके। इस उदाहरण में, हमारे पास एक [[ एबेलियन समूह ]] है| परन्तु ऐसा हमेशा नहीं होता है ,की हमारे पास हमेशा एक एबेलियन समूह हो।
एक साधारण उदाहरण ये है की शून्येतर[[ परिमेय संख्या | परिमेय संख्याओं]] का समुच्चय है। यहां हमारे पास सर्वसमिका 1 है, इसके अतिरिक्त समूहों के विपरीत सर्वसमिका सामान्यतः 0 है।परिमेय और शून्य को बाहर करना चाहिए क्योंकि, गुणन के तहत, इसका व्युत्क्रम नहीं होता है: ऐसी कोई परिमेय संख्या नहीं है जिसे शून्य से गुणा करके 1 प्राप्त किया जा सके। इस उदाहरण में, हमारे पास एक [[ एबेलियन समूह ]] है| परन्तु ऐसा हमेशा नहीं होता है ,की हमारे पास हमेशा एक एबेलियन समूह हो।


इसे देखने के लिए, किसी दिए गए [[ क्षेत्र (गणित) ]] पर दिए गए आयाम के व्युत्क्रमणीय वर्ग मैट्रिक्स के सेट पर विचार किया जाता है। यहां, समापन, साहचर्य, और सर्वसमिका, [[ पहचान मैट्रिक्स |सर्वसमिका मैट्रिक्स]] और व्युत्क्रमों को सम्मिलित करने या सत्यापित करने का सीधा मार्ग है। यद्यपि , मैट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय नहीं है, जो यह दर्शाता है कि यह समूह गैर-अबेलियन है।
इसे देखने के लिए, किसी दिए गए [[ क्षेत्र (गणित) |क्षेत्र]] पर दिए गए आयाम के व्युत्क्रमणीय वर्ग मैट्रिक्स के सेट पर विचार किया जाता है। यहां, समापन, साहचर्य, और सर्वसमिका, [[ पहचान मैट्रिक्स |सर्वसमिका मैट्रिक्स]] और व्युत्क्रमों को सम्मिलित करने या सत्यापित करने का सीधा मार्ग है। यद्यपि , मैट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय नहीं है, जो यह दर्शाता है कि यह समूह गैर-अबेलियन है।


ध्यान देने योग्य एक अन्य तथ्य यह है कि गुणन के अंतर्गत आने वाले पूर्णांक एक समूह नहीं बनाते हैं - भले ही हम शून्य को छोड़ दें। यह 1 और -1 के अतिरिक्त अन्य सभी तत्वों के व्युत्क्रम के अस्तित्वहीनता को आसानी से देखा जा सकता है।
ध्यान देने योग्य एक अन्य तथ्य यह है कि गुणन के अंतर्गत आने वाले पूर्णांक एक समूह नहीं बनाते हैं - भले ही हम शून्य को छोड़ दें। यह 1 और -1 के अतिरिक्त अन्य सभी तत्वों के व्युत्क्रम के अस्तित्वहीनता को आसानी से देखा जा सकता है।


समूह सिद्धांत में गुणन को सामान्यतः या तो बिन्दु द्वारा या जक्सटैपिशन(तत्वों के बीच एक संक्रिया प्रतीक की लोप) द्वारा टिप्पणी किया जाता है। इसलिए तत्व a को तत्व b से गुणा करने पर a <math>\cdot</math> b या ab के रूप में टिप्पणी किया जा सकता है । समुच्चय और संक्रिया के संकेत के माध्यम से एक समूह का  निर्देशीत करते समय, बिन्दु  का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, हमारा पहला उदाहरण इनके द्वारा <math>\left( \mathbb{Q}/ \{ 0 \} ,\, \cdot \right)</math> दर्शाया जा सकता है  
समूह सिद्धांत में गुणन को सामान्यतः या तो बिन्दु द्वारा या जक्सटैपिशन (तत्वों के मध्य एक संक्रिया प्रतीक की लोप) द्वारा टिप्पणी किया जाता है। इसलिए तत्व a को तत्व b से गुणा करने पर a <math>\cdot</math> b या ab के रूप में टिप्पणी किया जा सकता है । समुच्चय और संक्रिया के संकेत के माध्यम से एक समूह का  निर्देशीत करते समय, बिन्दु  का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, हमारा पहला उदाहरण इनके द्वारा <math>\left( \mathbb{Q}/ \{ 0 \} ,\, \cdot \right)</math> दर्शाया जा सकता है  
 


== विभिन्न प्रकार की संख्याओं का गुणन ==<!--linked from above-->
संख्याएं (3 सेब), क्रम( तीसरा सेब), या माप (3.5 फ़ुट ऊंचा) गिन सकती हैं; जैसे-जैसे गणित का इतिहास हमारी उंगलियों पर गिनने से लेकर प्रतिरूपण क्वांटम यांत्रिकी को लेके आगे बढ़ा है, गुणा को अधिक जटिल और अमूर्त प्रकार की संख्याओं के लिए सामान्यीकृत किया गया है, और उन चीजों के लिए जो संख्याएं नहीं हैं जैसे मैट्रिक्स गणित या संख्याओं की तरह नहीं दिखती हैं ( जैसे चतुष्कोण)।


== विभिन्न प्रकार की संख्याओं का गुणन ==
संख्याएं (3 सेब), क्रम( तीसरा सेब), या माप (3.5 फ़ुट ऊंचा) गिन सकती हैं; जैसे-जैसे गणित का इतिहास हमारी उंगलियों पर गिनने से लेकर प्रतिरूपण क्वांटम यांत्रिकी को लेकर आगे बढ़ा है, गुणा को अधिक जटिल और अमूर्त प्रकार की संख्याओं के लिए सामान्यीकृत किया गया है, और उन चीजों के लिए जो संख्याएं नहीं हैं जैसे मैट्रिक्स गणित या संख्याओं की तरह नहीं दिखती हैं ( जैसे चतुष्कोण)।
; पूर्णांक
; पूर्णांक
:<math>N\times M</math> M और N प्रतियों का योग है, जबकी N और M धनात्मक पूर्ण संख्याएँ हैं। यह n चौड़ाई और m  ऊंचाई एरे( शृंखला समूह) में वस्तु की संख्या देता है। ऋणात्मक संख्याओं का सामान्यीकरण सामान्यीकरण द्वारा किया जा सकता है
:<math>N\times M</math> M और N प्रतियों का योग है, जबकी N और M धनात्मक पूर्ण संख्याएँ हैं। यह n चौड़ाई और m  ऊंचाई एरे( शृंखला समूह) में वस्तु की संख्या देता है। ऋणात्मक संख्याओं का सामान्यीकरण सामान्यीकरण द्वारा किया जा सकता है
:<math>N\times (-M) = (-N)\times M = - (N\times M)</math> तथा
:<math>N\times (-M) = (-N)\times M = - (N\times M)</math> तथा
:<math>(-N)\times (-M) = N\times M</math>
:<math>(-N)\times (-M) = N\times M</math>
:परिमेय और वास्तविक संख्याओं पर समान चिह्न नियम लागू होते हैं।{{Citation needed|date=December 2021}}
:परिमेय और वास्तविक संख्याओं पर समान चिह्न नियम लागू होते हैं।
;परिमेय संख्या
;परिमेय संख्या
: अंशों के सामान्यीकरण के लिए  <math>\frac{A}{B}\times \frac{C}{D}</math> अंशों और हरों का क्रमशः गुणा करते है: <math>\frac{A}{B}\times \frac{C}{D} = \frac{(A\times C)}{(B\times D)}</math>. यह एक आयत का क्षेत्रफल है <math>\frac{A}{B}</math> ऊंचाई और <math>\frac{C}{D}</math> चौड़ाई है,एक और सारणी में  परिमेय संख्याएँ और  पूर्ण संख्याएँ होती हैं तथा चीजों की संख्या के समान होती है|
: अंशों के सामान्यीकरण के लिए  <math>\frac{A}{B}\times \frac{C}{D}</math> अंशों और हरों का क्रमशः गुणा करते है: <math>\frac{A}{B}\times \frac{C}{D} = \frac{(A\times C)}{(B\times D)}</math>. यह एक आयत का क्षेत्रफल है <math>\frac{A}{B}</math> ऊंचाई और <math>\frac{C}{D}</math> चौड़ाई है,एक और सारणी में  परिमेय संख्याएँ और  पूर्ण संख्याएँ होती हैं तथा चीजों की संख्या के समान होती है|
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;सम्मिश्र संख्या  
;सम्मिश्र संख्या  
:सम्मिश्र संख्याओं को ध्यान में रखते हुए <math>z_1</math> तथा <math>z_2</math> वास्तविक संख्याओं के क्रमित जोड़े के रूप में <math>(a_1, b_1)</math> तथा <math>(a_2, b_2)</math>, उत्पाद <math>z_1\times z_2</math> है <math>(a_1\times a_2 - b_1\times b_2, a_1\times b_2 + a_2\times b_1)</math>. यह तत्त्व के समान ही है <math>a_1\times a_2</math> जब काल्पनिक भाग <math>b_1</math> तथा <math>b_2</math> शून्य हैं।{{Citation needed|date=December 2021}}
:सम्मिश्र संख्याओं को ध्यान में रखते हुए <math>z_1</math> तथा <math>z_2</math> वास्तविक संख्याओं के क्रमित जोड़े के रूप में <math>(a_1, b_1)</math> तथा <math>(a_2, b_2)</math>, उत्पाद <math>z_1\times z_2</math> है <math>(a_1\times a_2 - b_1\times b_2, a_1\times b_2 + a_2\times b_1)</math>. यह तत्त्व के समान ही है <math>a_1\times a_2</math> जब काल्पनिक भाग <math>b_1</math> तथा <math>b_2</math> शून्य हैं।
: समतुल्य, निरूपित करना <math>\sqrt{-1}</math> जैसा <math>i</math>, अपने पास <math>z_1 \times z_2 = (a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1 \times a_2)+(a_1\times b_2i)+(b_1\times a_2i)+(b_1\times b_2i^2)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2)i.</math>वैकल्पिक रूप से, त्रिकोणमितीय रूप में, यद्यपि <math>z_1 = r_1(\cos\phi_1+i\sin\phi_1), z_2 = r_2(\cos\phi_2+i\sin\phi_2)</math>, पुनः<math display="inline">z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\phi_1 + \phi_2) + i\sin(\phi_1 + \phi_2)).</math>
: समतुल्य, निरूपण  <math>\sqrt{-1}</math> के लिए  <math>i</math>, <math>z_1 \times z_2 = (a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1 \times a_2)+(a_1\times b_2i)+(b_1\times a_2i)+(b_1\times b_2i^2)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2)i.</math>वैकल्पिक रूप से, त्रिकोणमितीय रूप में, यद्यपि <math>z_1 = r_1(\cos\phi_1+i\sin\phi_1), z_2 = r_2(\cos\phi_2+i\sin\phi_2)</math>, पुनः <math display="inline">z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\phi_1 + \phi_2) + i\sin(\phi_1 + \phi_2)).</math>


आगे सामान्यीकरण
आगे सामान्यीकरण
: ऊपर समूह सिद्धांत में गुणा देखें, और [[ गुणक समूह ]], जिसमें उदाहरण के लिए मैट्रिक्स गुणन सम्मिलित है। एक अत्यधिक ही सामान्य, और अमूर्त, गुणन की अवधारणा एक वलय गणित में गुणात्मक रूप से निरूपित दूसरा बाइनरी संक्रिया के रूप में है। वलय का एक उदाहरण जो उपरोक्त संख्या प्रणालियों में से कोई नहीं है, एक बहुपद वलय है आप बहुपदों को जोड़ और गुणा कर सकते हैं, लेकिन बहुपद किसी भी सामान्य अर्थ में संख्या नहीं हैं।
: ऊपर समूह सिद्धांत में गुणा देखें, और [[ गुणक समूह ]], जिसमें उदाहरण के लिए मैट्रिक्स गुणन सम्मिलित है। एक अत्यधिक सामान्य, और अमूर्त, गुणन की अवधारणा वलय गणित में गुणात्मक रूप से निरूपित दूसरा द्विआधारी संक्रिया के रूप में है। वलय का उदाहरण जो उपरोक्त संख्या प्रणालियों में से कोई नहीं है, एक बहुपद वलय है आप बहुपदों को जोड़ और गुणा कर सकते हैं, परन्तु  बहुपद किसी भी सामान्य अर्थ में संख्या नहीं हैं।


;विभाजन
;विभाजन
: विभाजन, <math>\frac{x}{y}</math>, व्युत्क्रम से गुणा के <math>x\left(\frac{1}{y}\right)</math> समान है. समान प्रकार की संख्याओं के गुणन के बिना व्युत्क्रम में विभाजन हो सकता है; पूर्णांकीय डोमेन में x का कोई व्युत्क्रम नहीं हो सकता है<math>\frac{1}{x}</math>लेकिन <math>\frac{x}{y}</math> परिभाषित किया जा सकता है। एक विभाजन वलय के व्युत्क्रम होते हैं, लेकिन <math>\frac{x}{y}</math> गैर-कम्यूटेटिव  वलय  में अस्पष्ट हो सकता है क्योंकि <math>x\left(\frac{1}{y}\right)</math>और <math>\left(\frac {1}{y}\right)x </math>के समान नहीं होना चाहिए
: विभाजन, <math>\frac{x}{y}</math>, व्युत्क्रम से गुणा <math>x\left(\frac{1}{y}\right)</math> के समान है. समान प्रकार की संख्याओं के गुणन के बिना व्युत्क्रम में विभाजन हो सकता है; पूर्णांकीय क्षेत्र में x का कोई व्युत्क्रम नहीं हो सकता है<math>\frac{1}{x}</math>परन्तु  <math>\frac{x}{y}</math> परिभाषित किया जा सकता है। एक विभाजन वलय के व्युत्क्रम होते हैं, परन्तु  <math>\frac{x}{y}</math> गैर-कम्यूटेटिव  वलय  में अस्पष्ट हो सकता है क्योंकि <math>x\left(\frac{1}{y}\right)</math>और <math>\left(\frac {1}{y}\right)x </math>के समान नहीं होना चाहिए




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* आयामी विश्लेषण
* आयामी विश्लेषण
* गुणन एल्गोरिथ्म
* गुणन विधिकलन
** [[ करत्सुबा एल्गोरिथम ]], बड़ी संख्या के लिए
** [[ करत्सुबा विधिकलन ]], बड़ी संख्या के लिए
** टूम-कुक गुणन, बहुत बड़ी संख्या के लिए
** टूम-कुक गुणन, बहुत बड़ी संख्या के लिए
** बड़ी संख्या के लिए शॉनहेज-स्ट्रैसन एल्गोरिथम
** बड़ी संख्या के लिए शॉनहेज-स्ट्रैसन विधिकलन
* पहाड़ा
* गुणक तालिका
* [[ बाइनरी गुणक ]],  संगणक कैसे गुणा करते हैं
* [[ बाइनरी गुणक ]],  संगणक कैसे गुणा करते हैं
** बूथ का गुणन एल्गोरिथम
** बूथ का गुणन विधिकलन
** [[ चल बिन्दु आधार अंकगणित ]]
** [[ चल बिन्दु आधार अंकगणित ]]
** जुड़े हुए गुणा-जोड़
** जुड़े हुए गुणा-जोड़
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** [[ वालेस का पेड़ ]]
** [[ वालेस का पेड़ ]]
*गुणात्मक प्रतिलोम, व्युत्क्रम
*गुणात्मक प्रतिलोम, व्युत्क्रम
* [[ कारख़ाने का ]]
* [[ क्रम गुणित ]]
* जेनेल-लुकास शासक
* जेनेल-लुकास शासक
* [[ चंद्र अंकगणित ]]
* [[ चंद्र अंकगणित ]]
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*अंगूठी (गणित)
*अंगूठी (गणित)
*बहुपद की अंगूठी
*बहुपद की अंगूठी
*इंटीग्रल डोमेन
*इंटीग्रल क्षेत्र
*विभाजन की अंगूठी
*विभाजन की अंगूठी
==बाहरी संबंध==
==बाहरी संबंध==

Revision as of 22:29, 8 March 2023

This article is about गणितीय कार्य विधि. For other uses, see गुणा (disambiguation).
File:Multiply 4 bags 3 marbles.svg
3 मार्बल्स के 4 बैग बारह मार्बल्स (4 × 3 = 12) देते हैं।
File:Multiply scaling.svg
गुणन को पैमाने के कारक भी माना जा सकता है। यहां हम देखते हैं कि स्केलिंग का उपयोग करके 2 को 3 से गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 6 मिलता है।
File:Multiplication as scaling integers.gif
गुणा 2 × 3 = 6 के लिए एनिमेशन।
File:Multiplication scheme 4 by 5.jpg
4 × 5 = 20। बड़ा आयत 20 वर्गों से बना है, प्रत्येक 1 इकाई 1 इकाई है।
File:Multiply field fract.svg
एक कपड़े का क्षेत्रफल 4.5m × 2.5m = 11.25m2; 41/2 × 21/2 = 111/4

गुणन (प्रायः क्रॉस प्रतीक × द्वारा चिह्नित, मध्य-रेखा डॉट संक्रिया ⋅ द्वारा, जक्सटैप द्वारा, या, कंप्यूटर पर, एक तारक द्वारा *) अंकगणित के चार प्राथमिक अंकगणितीय संक्रियाओं में से एक है, जिनमे अन्य संक्रियाए जोड़, घटाव, और विभाजन हैं। गुणन संक्रिया के परिणाम को गुणनफल कहा जाता है।

प्राकृतिक संख्या के गुणन को पुनरावर्ती जोड़ के रूप में संदर्भित किया जा स है; अर्थात्, दो संख्याओं का गुणन उनमें से एक की कई प्रतियों को जोड़ने के समान है, गुण्य, दूसरे की मात्रा के रूप में, गुणक होता है। दोनों संख्याओं को कारकों के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, 4 का 3 से गुणा किया जाता है, जिसे प्रायः इस रूप में लिखा जाता है और 3 गुना 4 के रूप में बोला जाता है, इसकी गणना 4 की 3 प्रतियों को एक साथ जोड़कर भी की जा सकती है:

यहाँ, 3 (गुणक) और 4 (गुण्य) गुणनखंड हैं, और 12 गुणनफल है।

गुणन के मुख्य गुणों में से एक क्रम