गुणा: Difference between revisions
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* गुणन चिह्न × और सामान्य चर के बीच दुविधा को कम करने के लिए {{mvar|x}} गुणन को बिंदु चिह्नों द्वारा भी निरूपित किया जाता है''',''' सामान्यतः एक मध्य-स्थिति वाला बिंदु किंचित ही किसी समय मै प्रयोग किया जाता हैं :- | * गुणन चिह्न × और सामान्य चर के बीच दुविधा को कम करने के लिए {{mvar|x}} गुणन को बिंदु चिह्नों द्वारा भी निरूपित किया जाता है''',''' सामान्यतः एक मध्य-स्थिति वाला बिंदु किंचित ही किसी समय मै प्रयोग किया जाता हैं :- | ||
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: मध्य बिंदु संकेतन जिन्हे यूनिकोड में {{unichar|22C5|बिंदु संक्रिया}} के रूप मे एन्कोड किया गया है, अब संयुक्त राज्य अमेरिका और अन्य देशों में मानक है। जहां एक समय इसका उपयोग [[ दशमलव विभाजक |दशमलव विभाजक]] के रूप में संदर्भित किया जाता है। वही दुसरी और जब बिंदु | : मध्य बिंदु संकेतन जिन्हे यूनिकोड में {{unichar|22C5|बिंदु संक्रिया}} के रूप मे एन्कोड किया गया है, अब संयुक्त राज्य अमेरिका और अन्य देशों में मानक है। जहां एक समय इसका उपयोग [[ दशमलव विभाजक |दशमलव विभाजक]] के रूप में संदर्भित किया जाता है। वही दुसरी और जब बिंदु संक्रिया चिह्न पहुंच योग्य नहीं होता है, तो [[ इंटरपंक ]] (·) का उपयोग किया जाता है। अन्य देशों में जो दशमलव चिह्न के रूप में [[ अल्पविराम (विराम चिह्न) |अल्पविराम]] का उपयोग करते हैं वही गुणा के लिए ,या तो गुणा चिह्न या मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग किया जाता है। | ||
:ऐतिहासिक रूप से, यूनाइटेड किंगडम और आयरलैंड में, मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग कभी-कभी दशमलव के लिए रेखांकित रेखा के लोप होने से रोकने के लिए किया जाता था, और पूर्ण विराम का उपयोग गुणा के लिए किया जाता था। यद्यपि , चूंकि [[ प्रौद्योगिकी मंत्रालय ]] ने 1968 में इस कालावधि को दशमलव बिंदु के रूप में उपयोग करने का निर्णय लिया था,और एसआई मानक तब से व्यापक रूप से प्रयोग में है, यह उपयोग अब केवल प्राचीन पत्रिकाओं जैसे 'द लांसेट' में पाया जाता है। | :ऐतिहासिक रूप से, यूनाइटेड किंगडम और आयरलैंड में, मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग कभी-कभी दशमलव के लिए रेखांकित रेखा के लोप होने से रोकने के लिए किया जाता था, और पूर्ण विराम का उपयोग गुणा के लिए किया जाता था। यद्यपि , चूंकि [[ प्रौद्योगिकी मंत्रालय ]] ने 1968 में इस कालावधि को दशमलव बिंदु के रूप में उपयोग करने का निर्णय लिया था,और एसआई मानक तब से व्यापक रूप से प्रयोग में है, यह उपयोग अब केवल प्राचीन पत्रिकाओं जैसे 'द लांसेट' में पाया जाता है। | ||
* [[ बीजगणित ]]में, [[ चर (गणित) |चर]] से जुड़े गुणन को प्रायः एक संयोजन गणित के रूप में लिखा जाता है उदाहरण के लिए, <math>xy</math> के लिये <math>x</math> बार <math>y</math> या <math>5x</math> पाँच बार के लिए <math>x</math>, जिसे निहित गुणन भी कहा जाता है। अंकन का उपयोग उन मात्राओं के लिए भी किया जा सकता है, जो कोष्ठकों से घिरी हुई हैं उदाहरण के लिए, <math>5(2)</math>, <math>(5)2</math> या <math>(5)(2)</math> पांच बार दो के लिए। गुणन का यह निहित उपयोग अस्पष्टता का कारण बन सकता है जब समवर्ती चर किसी अन्य चर के नाम से मेल खाते हैं, जब एक कोष्ठक के सामने एक चर नाम को फलन नाम के साथ भ्रमित किया जा सकता है, या संचालन के क्रम के सही निर्धारण में हो सकता है। | * [[ बीजगणित ]]में, [[ चर (गणित) |चर]] से जुड़े गुणन को प्रायः एक संयोजन गणित के रूप में लिखा जाता है उदाहरण के लिए, <math>xy</math> के लिये <math>x</math> बार <math>y</math> या <math>5x</math> पाँच बार के लिए <math>x</math>, जिसे निहित गुणन भी कहा जाता है। अंकन का उपयोग उन मात्राओं के लिए भी किया जा सकता है, जो कोष्ठकों से घिरी हुई हैं उदाहरण के लिए, <math>5(2)</math>, <math>(5)2</math> या <math>(5)(2)</math> पांच बार दो के लिए। गुणन का यह निहित उपयोग अस्पष्टता का कारण बन सकता है जब समवर्ती चर किसी अन्य चर के नाम से मेल खाते हैं, जब एक कोष्ठक के सामने एक चर नाम को फलन नाम के साथ भ्रमित किया जा सकता है, या संचालन के क्रम के सही निर्धारण में हो सकता है। | ||
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दो वास्तविक संख्याओं के गुणनफल की परिभाषा वास्तविक संख्याओं के निर्माण का एक भाग है। इस रचना का तात्पर्य है कि, प्रत्येक वास्तविक संख्या {{mvar|a}} के एक समुच्चय {{mvar|A}} हैं[[ परिमेय संख्या | परिमेय संख्या]] {{mvar|a}} के तत्वों की न्यूनतम उच्च सीमा {{mvar|A}} है : | दो वास्तविक संख्याओं के गुणनफल की परिभाषा वास्तविक संख्याओं के निर्माण का एक भाग है। इस रचना का तात्पर्य है कि, प्रत्येक वास्तविक संख्या {{mvar|a}} के एक समुच्चय {{mvar|A}} हैं[[ परिमेय संख्या | परिमेय संख्या]] {{mvar|a}} के तत्वों की न्यूनतम उच्च सीमा {{mvar|A}} है : | ||
:<math>a=\sup_{x\in A} x.</math> | :<math>a=\sup_{x\in A} x.</math> | ||
यद्यपि {{mvar|b}} एक और वास्तविक संख्या है जिसकी न्यूनतम ऊपरी सीमा {{mvar|B}} हैं गुणन <math>a\cdot b</math> की तरह परिभाषित किया जाता है | |||
:<math>a\cdot b=\sup_{x\in A, y\in B}x\cdot y.</math> | :<math>a\cdot b=\sup_{x\in A, y\in B}x\cdot y.</math> | ||
यह परिभाषा किसी विशेष पसंद पर निर्भर नहीं करती है {{mvar|A}} तथा {{mvar|b}}. यही है, अगर वे अपनी न्यूनतम उच्च सीमा को परिवर्तन के बिना परिवर्तित हो जाते हैं, तो न्यूनतम उच्च सीमा परिभाषित होती है तथा <math>a\cdot b</math> परिवर्तित नहीं होता है। | यह परिभाषा किसी विशेष पसंद पर निर्भर नहीं करती है {{mvar|A}} तथा {{mvar|b}}. यही है, अगर वे अपनी न्यूनतम उच्च सीमा को परिवर्तन के बिना परिवर्तित हो जाते हैं, तो न्यूनतम उच्च सीमा परिभाषित होती है तथा <math>a\cdot b</math> परिवर्तित नहीं होता है। | ||
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== संगणना == | == संगणना == | ||
{{Main|गुणन एल्गोरिथ्म}} | {{Main|गुणन एल्गोरिथ्म}} | ||
[[file:צעצוע מכני משנת 1918 לחישובי לוח הכפל The Educated Monkey.jpg|200px|right|thumb|शिक्षित बंदर - 1918 का एक [[ टिन का खिलौना ]], जिसका उपयोग गुणन कैलकुलेटर के रूप में किया जाता है। उदाहरण के लिए: बंदर के पैर को 4 और 9 पर सेट करें, और उत्पाद - 36 - उसके हाथों में प्राप्त करें।]]पेंसिल और कागज का उपयोग करके संख्याओं को गुणा करने के कई सामान्य विधिया | [[file:צעצוע מכני משנת 1918 לחישובי לוח הכפל The Educated Monkey.jpg|200px|right|thumb|शिक्षित बंदर - 1918 का एक [[ टिन का खिलौना ]], जिसका उपयोग गुणन कैलकुलेटर के रूप में किया जाता है। उदाहरण के लिए: बंदर के पैर को 4 और 9 पर सेट करें, और उत्पाद - 36 - उसके हाथों में प्राप्त करें।]]पेंसिल और कागज का उपयोग करके संख्याओं को गुणा करने के कई सामान्य विधिया अत्यधिक हैं , परंतु छोटी संख्याओं सामान्यतः 0 से 9 तक कोई भी दो संख्या के याद किए गए या परामर्शित गुणन की गुणन तालिका की आवश्यकता होती है। यद्यपि , यह विधि, प्राचीन मिस्री गुणन एल्गोरिथम से नहीं है। नीचे दिया गया उदाहरण दीर्घ गुणन मानक एल्गोरिथम ,प्राथमिक विद्यालय गुणन प्रदर्शित करता है: | ||
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संख्याओं को दशमलव स्थानों के एक जोड़ से अधिक हाथ से गुणा करना थकाऊ और त्रुटि-प्रवण है। ऐसी गणनाओं को सरल बनाने के लिए [[ सामान्य लघुगणक ]] का आविष्कार किया गया था, क्योंकि लघुगणक जोड़ना गुणा करने के समान है। [[ स्लाइड नियम ]] ने संख्याओं को सटीकता के लगभग तीन स्थानों पर त्वरित रूप से गुणा करने की अनुमति दी हैं। 20 वीं शताब्दी की प्रारंभ में, यांत्रिक [[ कैलकुलेटर |गणक]], जैसे कि [[ मर्चेंट कैलकुलेटर | मर्चेंट गणक]] , 10 अंकों की संख्या का स्वचालित गुणन है। आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक संगणक और [[ कैलकुलेटर |गणक]] ने हाथ से गुणा करने की आवश्यकता को न्यूनतम कर दी है। | संख्याओं को दशमलव स्थानों के एक जोड़ से अधिक हाथ से गुणा करना थकाऊ और त्रुटि-प्रवण है। ऐसी गणनाओं को सरल बनाने के लिए [[ सामान्य लघुगणक ]] का आविष्कार किया गया था, क्योंकि लघुगणक जोड़ना गुणा करने के समान है। [[ स्लाइड नियम ]] ने संख्याओं को सटीकता के लगभग तीन स्थानों पर त्वरित रूप से गुणा करने की अनुमति दी हैं। 20 वीं शताब्दी की प्रारंभ में, यांत्रिक [[ कैलकुलेटर |गणक]], जैसे कि [[ मर्चेंट कैलकुलेटर | मर्चेंट गणक]] , 10 अंकों की संख्या का स्वचालित गुणन है। आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक संगणक और [[ कैलकुलेटर |गणक]] ने हाथ से गुणा करने की आवश्यकता को न्यूनतम कर दी है। | ||
=== ऐतिहासिक | === ऐतिहासिक विधिकलन === | ||
गुणन के विधि[[ प्राचीन मिस्र ]] {{Citation needed span|text=Greek, Indian,|date=December 2021|reason=This claim is not sourced in the subsections below.}} और चीन का इतिहास प्राचीन चीन की सभ्यताएं लेखन में प्रलेखित थे,। | गुणन के विधि[[ प्राचीन मिस्र ]] {{Citation needed span|text=Greek, Indian,|date=December 2021|reason=This claim is not sourced in the subsections below.}} और चीन का इतिहास प्राचीन चीन की सभ्यताएं लेखन में प्रलेखित थे,। | ||
| Line 160: | Line 160: | ||
==== चीनी ==== | ==== चीनी ==== | ||
{{see also|चीनी गुणा तालिका}} | {{see also|चीनी गुणा तालिका}} | ||
[[File:Multiplication algorithm.GIF|thumb|right|250px|{{nowrap|1=38 × 76 = 2888}}]]300 ईसा पूर्व के गणितीय पाठ झोउबी सुआंजिंग, और गणितीय कला पर नौ अध्यायों में, गुणन गणना को शब्दों में लिखा गया था ,यद्यपि प्रारंभिक चीनी गणितज्ञों ने स्थानीय | [[File:Multiplication algorithm.GIF|thumb|right|250px|{{nowrap|1=38 × 76 = 2888}}]]300 ईसा पूर्व के गणितीय पाठ झोउबी सुआंजिंग, और गणितीय कला पर नौ अध्यायों में, गुणन गणना को शब्दों में लिखा गया था ,यद्यपि प्रारंभिक चीनी गणितज्ञों ने स्थानीय मानों वृद्धि, घटाव, गुणा और भाग को सम्मिलित करते हुए [[ रॉड कैलकुलस | रॉड गणना]] को नियोजित किया था। [[ युद्धरत राज्य ]] की अवधि के अंत तक चीनी पहले से ही एक चीनी गुणन तालिका का उपयोग कर रहे थे। | ||
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[[Image:Gelosia multiplication 45 256.png|right|250px|thumb|45 और 256 का गुणनफल। ध्यान दें कि 45 में अंकों का क्रम बाएँ कॉलम में उल्टा है। गुणन का कैरी स्टेप गणना के अंतिम चरण में (बोल्ड में) किया जा सकता है, का अंतिम उत्पाद लौटाता है {{nowrap|1=45 × 256 = 11520}}. यह [[ जाली गुणन ]] का एक रूप है।]]हिंदू-अरबी अंक प्रणाली पर आधारित गुणन की आधुनिक विधि का वर्णन सर्वप्रथम [[ ब्रह्मगुप्त ]] ने किया था। ब्रह्मगुप्त ने जोड़, घटाव, गुणा और भाग के नियम दिए। [[ प्रिंसटन विश्वविद्यालय ]]में गणित के तत्कालीन प्रवक्ता [[ हेनरी बर्चर्ड फाइन |हेनरी बर्चर्ड फाइन]] ने निम्नलिखित कथन लिखा : | [[Image:Gelosia multiplication 45 256.png|right|250px|thumb|45 और 256 का गुणनफल। ध्यान दें कि 45 में अंकों का क्रम बाएँ कॉलम में उल्टा है। गुणन का कैरी स्टेप गणना के अंतिम चरण में (बोल्ड में) किया जा सकता है, का अंतिम उत्पाद लौटाता है {{nowrap|1=45 × 256 = 11520}}. यह [[ जाली गुणन ]] का एक रूप है।]]हिंदू-अरबी अंक प्रणाली पर आधारित गुणन की आधुनिक विधि का वर्णन सर्वप्रथम [[ ब्रह्मगुप्त ]] ने किया था। ब्रह्मगुप्त ने जोड़, घटाव, गुणा और भाग के नियम दिए। [[ प्रिंसटन विश्वविद्यालय ]]में गणित के तत्कालीन प्रवक्ता [[ हेनरी बर्चर्ड फाइन |हेनरी बर्चर्ड फाइन]] ने निम्नलिखित कथन लिखा : | ||
:भारतीय न केवल स्थितीय दशमलव प्रणाली के आविष्कारक हैं, बल्कि इस प्रणाली के साथ प्राथमिक गणना में सम्मिलित अधिकांश प्रक्रियाओं के भी आविष्कारक हैं। जोड़ और घटाव उन्होंने वैसा ही किया जैसा आजकल किया जाता है | वे गुणा अत्यधिक प्रकार से करते थे, परन्तु विभाजन वे एक ही प्रकार से करते थे | | :भारतीय न केवल स्थितीय दशमलव प्रणाली के आविष्कारक हैं, बल्कि इस प्रणाली के साथ प्राथमिक गणना में सम्मिलित अधिकांश प्रक्रियाओं के भी आविष्कारक हैं। जोड़ और घटाव उन्होंने वैसा ही किया जैसा आजकल किया जाता है | वे गुणा अत्यधिक प्रकार से करते थे, परन्तु विभाजन वे एक ही प्रकार से करते थे | | ||
ये स्थानीय मान दशमलव अंकगणितीय | ये स्थानीय मान दशमलव अंकगणितीय विधिकलन 9वीं शताब्दी की प्रारंभ में [[ अलखावरिज़मी ]] द्वारा अरब देशों में प्रस्तुत किया गया था,और 13 वीं शताब्दी में [[ फिबोनैकी ]] द्वारा पश्चिमी संसार में लोकप्रिय हो गया था। | ||
==== ग्रिड विधि ==== | ==== ग्रिड विधि ==== | ||
[[ ग्रिड विधि गुणन ]], या बॉक्स विधि [[ ग्रिड विधि गुणन |गुणन]], इंग्लैंड और वेल्स और कुछ क्षेत्रों के प्राथमिक विद्यालयों में उपयोग की जाती है संयुक्त राज्य अमेरिका की यह समझने में | [[ ग्रिड विधि गुणन ]], या बॉक्स विधि [[ ग्रिड विधि गुणन |गुणन]], इंग्लैंड और वेल्स और कुछ क्षेत्रों के प्राथमिक विद्यालयों में उपयोग की जाती है संयुक्त राज्य अमेरिका की यह समझने में सहायता करने के लिए एकाधिक अंकों का गुणन कैसे कार्य करता है। 34 को 13 से गुणा करने का उदाहरण संख्याओं को एक तालिका में इस प्रकार रखना होगा: | ||
:{| class="wikitable" style="text-align: center;" | :{| class="wikitable" style="text-align: center;" | ||
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और अन्य प्रविष्टियाँ जोड़ सकते हैं। | और अन्य प्रविष्टियाँ जोड़ सकते हैं। | ||
=== संगणक | === संगणक विधिकलन === | ||
{{main|गुणन | {{main|गुणन विधिकलन बड़े आगत के लिए तीव्रता से गुणा विधिकलन}} | ||
दो n-अंकीय संख्याओं को गुणा करने की शास्त्रीय विधि के लिए ''n''<sup>2</sup> अंकों के गुणन की आवश्यकता होती है। बड़ी संख्या को गुणा करते समय गणना समय को | दो n-अंकीय संख्याओं को गुणा करने की शास्त्रीय विधि के लिए ''n''<sup>2</sup> अंकों के गुणन की आवश्यकता होती है। बड़ी संख्या को गुणा करते समय गणना समय को अत्यधिक कम करने के लिए गुणन विधिकलन को प्रारूप किया गया है । बड़े पूर्णांकों का गुणन असतत फूरियर रूपांतरण पर आधारित विधियाँ कम्प्यूटेशनल सम्मिश्रणता को कम करता है {{math|''O''(''n'' log ''n'' log log ''n'')}}. 2016 में, कारक {{math|log log ''n''}} एक फलन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था जो अत्यधिक धीमी गति से बढ़ता है, यद्यपि अभी भी स्थिर नहीं है। मार्च 2019 में, डेविड हार्वे और जोरिस वैन डेर होवेन ने एक सम्मिश्र के साथ एक पूर्णांक गुणन विधिकलन प्रस्तुत करते हुए एक पेपर प्रस्तुत किया <math>O(n\log n).</math>विधिकलन , फास्ट फूरियर परिवर्तन पर भी आधारित है, जिसे एसिम्प्टोटिक रूप से इष्टतम माना जाता है। विधिकलन व्यावहारिक रूप से उपयोगी नहीं है, क्योंकि यह केवल अत्यधिक बड़ी संख्याओं को (इससे अधिक होने पर {{math|2<sup>1729<sup>12</sup></sup>}} बिट्स।) को गुणा करने के लिए तीव्र हो जाता है । | ||
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जब दो मापों को एक साथ गुणा किया जाता है, तो गुणन माप के प्रकार के आधार पर एक प्रकार का होता है। इसे सामान्य सिद्धांत आयामी विश्लेषण द्वारा दिया गया है। यह विश्लेषण भौतिकी में नियमित रूप से लागू होता है, लेकिन इसमें वित्त और अन्य अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में | जब दो मापों को एक साथ गुणा किया जाता है, तो गुणन माप के प्रकार के आधार पर एक प्रकार का होता है। इसे सामान्य सिद्धांत आयामी विश्लेषण द्वारा दिया गया है। यह विश्लेषण भौतिकी में नियमित रूप से लागू होता है, लेकिन इसमें वित्त और अन्य अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में सम्मिलित हैं। | ||
भौतिकी में एक सामान्य तथ्य | भौतिकी में यह एक सामान्य तथ्य है कि भौतिकी में गति को समय से गुणा करने पर [[ दूरी ]] मिलती है। उदाहरण के लिए: | ||
:50 किलोमीटर प्रति घंटा × 3 घंटे = 150 किलोमीटर। | :50 किलोमीटर प्रति घंटा × 3 घंटे = 150 किलोमीटर। | ||
इस | इस विषय में, घंटे की मापन की इकाई समाप्त हो जाती हैं, उत्पाद को केवल किलोमीटर मापन की इकाई के सापेक्ष रहने दिया जाता है। | ||
मापन इकाइयों से जुड़े गुणन | मापन इकाइयों से जुड़े गुणन अन्य उदाहरणों में सम्मिलित हैं: | ||
: 2.5 मीटर × 4.5 मीटर = 11.25 वर्ग मीटर | : 2.5 मीटर × 4.5 मीटर = 11.25 वर्ग मीटर | ||
: 11 मीटर/सेकंड × 9 सेकंड = 99 मीटर | : 11 मीटर/सेकंड × 9 सेकंड = 99 मीटर | ||
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{{Further information| | {{Further information| | ||
पुनरावृत्त बाइनरी संक्रिया # अंकन}} | पुनरावृत्त बाइनरी संक्रिया # अंकन}} | ||
गुणनखंडों के अनुक्रम के गुणनफल को गुणन चिह्न के साथ लिखा जा सकता है <math>\textstyle \prod</math>, जो [[ ग्रीक वर्णमाला ]] के बड़े अक्षर Π (पाई) से | गुणनखंडों के अनुक्रम के गुणनफल को गुणन चिह्न के साथ लिखा जा सकता है <math>\textstyle \prod</math>, जो [[ ग्रीक वर्णमाला ]] के बड़े अक्षर Π (पाई) से प्राप्त है बिल्कुल उसी प्रकार जैसे [[ योग प्रतीक ]] <math>\textstyle \sum</math> ग्रीक अक्षर सिग्मा से लिया गया है। इस अंकन का अर्थ है :- | ||
:<math>\prod_{i=1}^4 (i+1) = (1+1)\,(2+1)\,(3+1)\, (4+1),</math> | :<math>\prod_{i=1}^4 (i+1) = (1+1)\,(2+1)\,(3+1)\, (4+1),</math> | ||
जिसके परिणामस्वरूप | जिसके परिणामस्वरूप | ||
:<math>\prod_{i=1}^4 (i+1) = 120.</math> | :<math>\prod_{i=1}^4 (i+1) = 120.</math> | ||
ऐसे अंकन में, चर गणित {{mvar|i}} एक भिन्न [[ पूर्णांक ]] का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे गुणन सूचकांक कहा जाता है, जो निम्न मान {{math|1}} से चलता है तथा | ऐसे अंकन में, चर गणित {{mvar|i}} एक भिन्न [[ पूर्णांक ]] का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे गुणन सूचकांक कहा जाता है, जो निम्न मान {{math|1}} से चलता है तथा उच्च मानों के लिए {{math|4}} संकेत दिया गया है सुपरस्क्रिप्ट सबस्क्रिप्ट द्वारा दिया गया है। गुणन संक्रिया के द्वारा निम्न और उच्च मानों में सम्मिलित सीमा के मध्य एक पूर्णांक के लिए गुणन सूचकांक को प्रतिस्थापित करके प्राप्त सभी कारकों को एक साथ गुणा करके उत्पाद प्राप्त किया जाता है। | ||
सामान्यतः सामान्यतः अंकन के रूप में परिभाषित किया गया है | सामान्यतः सामान्यतः अंकन के रूप में परिभाषित किया गया है | ||
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:<math>\prod_{i=m}^n x_i = x_m \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \,\,\cdots\,\, \cdot x_{n-1} \cdot x_n,</math> | :<math>\prod_{i=m}^n x_i = x_m \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \,\,\cdots\,\, \cdot x_{n-1} \cdot x_n,</math> | ||
जहाँ m और n पूर्णांक या व्यंजक हैं जो पूर्णांकों का मूल्यांकन करते हैं। जहां स्थिति में {{nowrap|1=''m'' = ''n''}}, गुणनफल का मान वही है जो एकल कारक ''x<sub>m</sub>'' का है | जहाँ m और n पूर्णांक या व्यंजक हैं जो पूर्णांकों का मूल्यांकन करते हैं। जहां स्थिति में {{nowrap|1=''m'' = ''n''}}, गुणनफल का मान वही है जो एकल कारक ''x<sub>m</sub>'' का है यद्यपि {{nowrap|''m'' > ''n''}}, उत्पाद एक [[ खाली उत्पाद | रिक्त उत्पाद (]]कारकों के लिए व्यंजक पर ध्यान दिए बिना।) है जिसका मान 1 है— | ||
==== कैपिटल पाई नोटेशन के गुण ==== | ==== कैपिटल पाई नोटेशन के गुण ==== | ||
परिभाषा से, | परिभाषा से, | ||
:<math>\prod_{i=1}^{n}x_i=x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_n.</math> | :<math>\prod_{i=1}^{n}x_i=x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_n.</math> | ||
यद्यपि सभी कारक समान हैं, तो गुणन के एक समान {{mvar|n}} कारक [[ घातांक | घातांक]] है: | |||
:<math>\prod_{i=1}^{n}x=x\cdot x\cdot\ldots\cdot x=x^n.</math> | :<math>\prod_{i=1}^{n}x=x\cdot x\cdot\ldots\cdot x=x^n.</math> | ||
गुणन की साहचर्यता और [[ क्रमविनिमेयता ]] का अर्थ है | गुणन की साहचर्यता और [[ क्रमविनिमेयता ]] का अर्थ है | ||
:<math>\prod_{i=1}^{n}{x_iy_i} =\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)\left(\prod_{i=1}^{n}y_i\right)</math> तथा | :<math>\prod_{i=1}^{n}{x_iy_i} =\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)\left(\prod_{i=1}^{n}y_i\right)</math> तथा | ||
:<math>\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^a =\prod_{i=1}^{n}x_i^a</math> | :<math>\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^a =\prod_{i=1}^{n}x_i^a</math> | ||
यद्यपि {{mvar|a}} एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, या यद्पी भी <math>x_i</math> धनात्मक [[ वास्तविक संख्या |वास्तविक संख्याए]] हैं, और | |||
<math>\prod_{i=1}^{n}x^{a_i} =x^{\sum_{i=1}^{n}a_i}</math> | <math>\prod_{i=1}^{n}x^{a_i} =x^{\sum_{i=1}^{n}a_i}</math> | ||
सभी <math>a_i</math> गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, या | सभी <math>a_i</math> गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, या यद्पी {{mvar|x}} एक धनात्मक वास्तविक संख्या है। | ||
=== अनंत उत्पाद === | === अनंत उत्पाद === | ||
{{Main|अनंत गुणन}} | {{Main|अनंत गुणन}} | ||
अपरिमित रूप से अनेक पदों के गुणनफलों पर भी विचार | अपरिमित रूप से अनेक पदों के गुणनफलों पर भी विचार किया जा सकता है,अत: इन्हें [[ अनंत उत्पाद | अनंत गुणन]] कहा जाता है। उलेखनीय रूप से, इसमें n को अनंत प्रतीक ∞ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। अनंत अनुक्रम के गुणन को पहले n सीमा के गुणन के [[ अनुक्रम की सीमा ]] के रूप में परिभाषित किया जाता है, क्योंकि n के बढ़ने की कोई सीमा ही नही है, | ||
:<math>\prod_{i=m}^\infty x_i = \lim_{n\to\infty} \prod_{i=m}^n x_i.</math> | :<math>\prod_{i=m}^\infty x_i = \lim_{n\to\infty} \prod_{i=m}^n x_i.</math> | ||
इसी तरह m को नकारात्मक से अनंतता में | इसी तरह m को नकारात्मक से अनंतता में परिवर्तित किया जा सकता है, और परिभाषित किया जा सकता है: | ||
:<math>\prod_{i=-\infty}^\infty x_i = \left(\lim_{m\to-\infty}\prod_{i=m}^0 x_i\right) \cdot \left(\lim_{n\to\infty} \prod_{i=1}^n x_i\right),</math> | :<math>\prod_{i=-\infty}^\infty x_i = \left(\lim_{m\to-\infty}\prod_{i=m}^0 x_i\right) \cdot \left(\lim_{n\to\infty} \prod_{i=1}^n x_i\right),</math> | ||
यदपि दोनों की सीमाएं उपलब्ध हों।{{Citation needed|date=December 2021}} | |||
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जब गुणन दोहराया जाता है, तो परिणामी संक्रिया घातांक प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, दो (2×2×2) के तीन कारकों का गुणनफल दो को तीसरी घात तक बढ़ा दिया जाता है, और इसे 2 घात 3 से दर्शाया जाता है।, एक दो [[ ऊपर की ओर लिखा हुआ | सुपरस्क्रिप्ट]] तीन के साथ लिखा जाता है, | जब गुणन दोहराया जाता है, तो परिणामी संक्रिया घातांक प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, दो (2×2×2) के तीन कारकों का गुणनफल दो को तीसरी घात तक बढ़ा दिया जाता है, और इसे 2 घात 3 से दर्शाया जाता है।, एक दो [[ ऊपर की ओर लिखा हुआ | सुपरस्क्रिप्ट]] तीन के साथ लिखा जाता है, | ||
उदाहरण में, संख्या दो आधार है, और तीन घातांक है। सामान्य तौर परप्रतिपादक तिपादकंटइंगि (या सुपस्क्रिप्ट) ताकिकव्यंजक (गणित) व्यंजक में आधार कितनी बार निम्न प्रकट होता है, | उदाहरण में, संख्या दो आधार है, और तीन घातांक है। सामान्य तौर परप्रतिपादक तिपादकंटइंगि (या सुपस्क्रिप्ट) ताकिकव्यंजक (गणित) व्यंजक में आधार कितनी बार निम्न प्रकट होता है, जिससे व्यंजक | ||
:<math>a^n = \underbrace{a\times a \times \cdots \times a}_n</math> | :<math>a^n = \underbrace{a\times a \times \cdots \times a}_n</math> | ||
घातांक यह इंगित करता है, कि आधार की n प्रतियां एक | घातांक यह इंगित करता है, कि आधार की n प्रतियां एक स गुणा की जाती हैं। और इस अंकन का उपयोग तब भी किया जाता है जब गुणन को घात सहयोगीता के रूप में जाना जाता है। | ||
== | == विशेषता == | ||
[[Image:Multiplication chart.svg|thumb|right|संख्याओं का गुणन 0-10। रेखा लेबल = गुणन। एक्स-अक्ष = गुणक। Y-अक्ष = गुणन।<br>अन्य चतुर्थांशों में इस पैटर्न का विस्तार कारण बताता है कि एक ऋणात्मक संख्या का गुणा एक ऋणात्मक संख्या के साथ एक धनात्मक संख्या उत्पन्न करती है।<br>ध्यान दें कि कैसे शून्य से गुणा करने से आयामीता में कमी आती है, जैसा कि गुणन करता है एक एकल मैट्रिक्स द्वारा जहां निर्धारक 0 है। इस प्रक्रिया में, जानकारी खो जाती है और उसे वापस नहीं लाया जा सकता है।]]वास्तविक संख्या और सम्मिश्र संख्या संख्याओं में सम्मिलित हैं, उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याएं, पूर्णांक और परिमेय संख्या, गुणन में कुछ | [[Image:Multiplication chart.svg|thumb|right|संख्याओं का गुणन 0-10। रेखा लेबल = गुणन। एक्स-अक्ष = गुणक। Y-अक्ष = गुणन।<br>अन्य चतुर्थांशों में इस पैटर्न का विस्तार कारण बताता है कि एक ऋणात्मक संख्या का गुणा एक ऋणात्मक संख्या के साथ एक धनात्मक संख्या उत्पन्न करती है।<br>ध्यान दें कि कैसे शून्य से गुणा करने से आयामीता में कमी आती है, जैसा कि गुणन करता है एक एकल मैट्रिक्स द्वारा जहां निर्धारक 0 है। इस प्रक्रिया में, जानकारी खो जाती है और उसे वापस नहीं लाया जा सकता है।]]वास्तविक संख्या और सम्मिश्र संख्या संख्याओं में सम्मिलित हैं, उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याएं, पूर्णांक और परिमेय संख्या, गुणन में कुछ विशेषता होत हैं: | ||
;क्रमचयी गुणधर्म | ;क्रमचयी गुणधर्म | ||
: | : जिस क्रम में दो संख्याओं को गुणा किया जाता है वह कोई मायने नहीं रखता: | ||
::<math>x\cdot y = y\cdot x.</math> | ::<math>x\cdot y = y\cdot x.</math> | ||
;[[ संबंधी संपत्ति ]] | ;[[ संबंधी संपत्ति |साहचर्य गुणधर्म]] | ||
: गुणन या जोड़ को सम्मिलित करने वाले व्यंजक संचालन के क्रम के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं: | : गुणन या जोड़ को सम्मिलित करने वाले व्यंजक संचालन के क्रम के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं: | ||
::<math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math> | ::<math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math> | ||
;वितरण | ;वितरण [[ संबंधी संपत्ति |गुणधर्म]] | ||
:जोड़ और गुणन के संबंध पर पकड़ रखता है तथा बीजगणितीय व्यंजकों को सरल बनाने में सर्वसमिका अत्यंत महत्वपूर्ण है: | :जोड़ और गुणन के संबंध पर पकड़ रखता है तथा बीजगणितीय व्यंजकों को सरल बनाने में सर्वसमिका अत्यंत महत्वपूर्ण है: | ||
::<math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math> | ::<math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math> | ||
;[[ पहचान तत्व ]] | ;[[ पहचान तत्व | सर्वसमिका तत्व]] | ||
:गुणात्मक पहचान 1 है तथा किसी भी अंक को 1 से गुणा करने पर वह स्वयं प्राप्त होता है। 1 को इस सर्वसमिका विशेषता के रूप में जाना जाता है| | :गुणात्मक पहचान 1 है तथा किसी भी अंक को 1 से गुणा करने पर वह स्वयं प्राप्त होता है। 1 को इस सर्वसमिका विशेषता के रूप में जाना जाता है| | ||
::<math>x\cdot 1 = x</math> | ::<math>x\cdot 1 = x</math> | ||
'''0 की | '''0 की विशेषता''' | ||
: किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर 0 प्राप्त होता है। इसे गुणन | : किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर 0 प्राप्त होता है। इसे शून्य गुणन की विशेषता कहा जाता है: | ||
::<math>x\cdot 0 = 0</math> | ::<math>x\cdot 0 = 0</math> | ||
;[[ योगज प्रतिलोम ]] | ;[[ योगज प्रतिलोम ]] | ||
:किसी भी संख्या का −1 गुना उस संख्या के योगात्मक व्युत्क्रम के | :किसी भी संख्या का −1 गुना उस संख्या के योगात्मक व्युत्क्रम के समान होता है। | ||
::<math>(-1)\cdot x = (-x)</math> कहाँ पे <math>(-x)+x=0</math> | ::<math>(-1)\cdot x = (-x)</math> कहाँ पे <math>(-x)+x=0</math> | ||
::-1 गुना -1 1 है। | ::-1 गुना -1 1 है। | ||
| Line 307: | Line 307: | ||
[[ आदेश सिद्धांत |क्रम सिद्धांत]] संरक्षण | [[ आदेश सिद्धांत |क्रम सिद्धांत]] संरक्षण | ||
:एक सकारात्मक संख्या से गुणा क्रम सिद्धांत को संरक्षित करता है: | :एक सकारात्मक संख्या से गुणा क्रम सिद्धांत को संरक्षित करता है: | ||
::के लिये {{nowrap|''a'' > 0}}, | ::के लिये {{nowrap|''a'' > 0}}, यद्यपि {{nowrap|''b'' > ''c''}} पुनः {{nowrap|''ab'' > ''ac''}}. | ||
: ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर क्रम | : ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर क्रम परिवर्तित हो जाता है: | ||
::के लिये {{nowrap|''a'' < 0}}, | ::के लिये {{nowrap|''a'' < 0}}, यद्यपि {{nowrap|''b'' > ''c''}} पुनः {{nowrap|''ab'' < ''ac''}}. | ||
: सम्मिश्र संख्याओं में ऐसा क्रम नहीं होता है जो जोड़ और गुणा दोनों के अनुकूल हो। | : सम्मिश्र संख्याओं में ऐसा क्रम नहीं होता है,जो जोड़ और गुणा दोनों के अनुकूल हो। | ||
अन्य गणितीय प्रणालियाँ जिनमें गुणन संक्रिया सम्मिलित है या हो | अन्य गणितीय प्रणालियाँ जिनमें गुणन संक्रिया सम्मिलित है या हो सकती है या उनमें ये सभी विशेषता न हों। उदाहरण के लिए, गुणन सामान्य रूप से, मैट्रिक्स गणित और चतुष्कोणों के लिए क्रमविनिमेय नहीं है। | ||
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यहाँ S(y) y के परवर्ती क्रमांक का प्रतिनिधित्व करता है, साहचर्य जैसे विभिन्न गुणों को इनसे और पियानो अंकगणित के अन | |||