गुणा: Difference between revisions

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:<math>2\times 2\times 2\times 2\times 2 = 32</math>

गुणन के लिए अन्य गणितीय संकेतन हैं:

* गुणन चिह्न × और सामान्य चर के बीच दुविधा को कम करने के लिए {{mvar|x}} गुणन को बिंदु चिह्नों द्वारा भी निरूपित किया जाता है''',आमतौर पर एक मध्य-स्थिति वाला बिंदु शायद ही ~~कदाचित्~~ समय मै प्रयोग किया जाता हैं :-~~'''~~

* गुणन चिह्न × और सामान्य चर के बीच दुविधा को कम करने के लिए {{mvar|x}} गुणन को बिंदु चिह्नों द्वारा भी निरूपित किया जाता है''','''आमतौर पर एक मध्य-स्थिति वाला बिंदु शायद ही किसी समय मै प्रयोग किया जाता हैं :-

:<math>5 \cdot 2</math> या <math>5\,.\,3</math>

: मध्य बिंदु संकेतन, यूनिकोड में एन्कोड किया गया है {{unichar|22C5|बिंदु ऑपरेटर}}, अब संयुक्त राज्य अमेरिका और अन्य देशों में मानक है जहां एक समय इसका उपयोग [[ दशमलव विभाजक ]] के रूप में लिया जाता है। वही दुसरी और जब बिंदु ऑपरेटर ~~वर्ण~~ पहुंच योग्य नहीं होता है, तो [[ इंटरपंक ]] (·) का उपयोग किया जाता है। अन्य देशों में जो दशमलव चिह्न के रूप में [[ अल्पविराम (विराम चिह्न) ]] का उपयोग करते हैं, गुणा के लिए ,या तो गुणा या मध्य बिंदु का उपयोग किया जाता है।{{citation needed|date=August 2011}}

: मध्य बिंदु संकेतन, यूनिकोड में एन्कोड किया गया है {{unichar|22C5|बिंदु ऑपरेटर}}, अब संयुक्त राज्य अमेरिका और अन्य देशों में मानक है जहां एक समय इसका उपयोग [[ दशमलव विभाजक ]] के रूप में लिया जाता है। वही दुसरी और जब बिंदु ऑपरेटर चिह्न पहुंच योग्य नहीं होता है, तो [[ इंटरपंक ]] (·) का उपयोग किया जाता है। अन्य देशों में जो दशमलव चिह्न के रूप में [[ अल्पविराम (विराम चिह्न) ]] का उपयोग करते हैं, गुणा के लिए ,या तो गुणा चिह्न या मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग किया जाता है।{{citation needed|date=August 2011}}

:ऐतिहासिक रूप से, यूनाइटेड किंगडम और आयरलैंड में, मध्य बिंदु का उपयोग कभी-कभी दशमलव के लिए रेखांकित रेखा के लोप होने से रोकने के लिए किया जाता था, और कालावधि/पूर्ण विराम का उपयोग गुणा के लिए किया जाता था। हालाँकि, चूंकि [[ प्रौद्योगिकी मंत्रालय ]] ने 1968 में इस कालावधि को दशमलव बिंदु के रूप में उपयोग करने का फैसला किया था,और एसआई मानक तब से व्यापक रूप से अपनाया गया है, यह उपयोग अब केवल प्राचीन पत्रिकाओं जैसे द लांसेट में पाया जाता है।

:ऐतिहासिक रूप से, यूनाइटेड किंगडम और आयरलैंड में, मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग कभी-कभी दशमलव के लिए रेखांकित रेखा के लोप होने से रोकने के लिए किया जाता था, और कालावधि/पूर्ण विराम का उपयोग गुणा के लिए किया जाता था। हालाँकि, चूंकि [[ प्रौद्योगिकी मंत्रालय ]] ने 1968 में इस कालावधि को दशमलव बिंदु के रूप में उपयोग करने का फैसला किया था,और एसआई मानक तब से व्यापक रूप से अपनाया गया है, यह उपयोग अब केवल प्राचीन पत्रिकाओं जैसे द लांसेट में पाया जाता है।

* [[ बीजगणित ]] में, [[ चर (गणित) ]] से जुड़े गुणन को अक्सर एक संयोजन गणित के रूप में लिखा जाता है उदाहरण के लिए, <math>xy</math> के लिये <math>x</math> बार <math>y</math> या <math>5x</math> पाँच बार के लिए <math>x</math>, जिसे निहित गुणन भी कहा जाता है। अंकन का उपयोग उन मात्राओं के लिए भी किया जा सकता है, जो कोष्ठकों से घिरी हुई हैं उदाहरण के लिए, <math>5(2)</math>, <math>(5)2</math> या <math>(5)(2)</math> पांच बार दो के लिए। गुणन का यह निहित उपयोग अस्पष्टता का कारण बन सकता है जब समवर्ती चर किसी अन्य चर के नाम से मेल खाते हैं, जब एक कोष्ठक के सामने एक चर नाम को फलन नाम के साथ भ्रमित किया जा सकता है, या संचालन के क्रम के सही निर्धारण में हो सकता है।।{{Citation needed|date=December 2021}}

* सदिश गुणन में, रेखित करना और बिंदु प्रतीकों के बीच अंतर करना है। [[ पार उत्पाद | रेखित गुणन]] आम तौर पर दो [[ वेक्टर (गणित) | सदिश]] के क्रॉस गुणन को करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक सदिश उत्पन्न होता है, जबकि बिंदु दो सदिश के [[ डॉट उत्पाद | बिंदु गुणन]] को करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक ~~स्केलर~~ गणित होता है।{{Citation needed|date=December 2021}}

* सदिश गुणन में, रेखित करना और बिंदु प्रतीकों के बीच अंतर करना है। [[ पार उत्पाद | रेखित गुणन]] आम तौर पर दो [[ वेक्टर (गणित) | सदिश]] के क्रॉस गुणन को करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक सदिश उत्पन्न होता है, जबकि बिंदु दो सदिश के [[ डॉट उत्पाद | बिंदु गुणन]] को करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक अदिश गणित होता है।{{Citation needed|date=December 2021}}

[[ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग | संगणक प्रोग्रामिंग]] में, तारांकन चिह्न जैसा कि <code>5*2</code> अभी भी सबसे आम अंकन है। यह इस तथ्य के कारण है कि अधिकांश कंप्यूटर ऐतिहासिक रूप से छोटे वर्ण सेट जैसे [[ ASCII ]] और [[ EBCDIC ]] तक सीमित थे जिनमें गुणन चिह्न जैसे कि <code>⋅</code> या <code>×</code>शमिल है,जबकि प्रत्येक ~~कीबोर्ड~~ पर तारक (*) दिखाई देता है। यह प्रयोग [[ फोरट्रान ]] प्रोग्रामिंग भाषा में उत्पन्न हुआ।{{Citation needed|date=December 2021}}

[[ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग | संगणक प्रोग्रामिंग]] में, तारांकन चिह्न जैसा कि <code>5*2</code> अभी भी सबसे आम अंकन है। यह इस तथ्य के कारण है कि अधिकांश [[ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग |संगणक]] ऐतिहासिक रूप से छोटे वर्ण सेट जैसे [[ ASCII ]] और [[ EBCDIC ]] तक सीमित थे जिनमें गुणन चिह्न जैसे कि <code>⋅</code> या <code>×</code>शमिल है,जबकि प्रत्येक कुंजीपटल पर तारक (*) दिखाई देता है। यह प्रयोग [[ फोरट्रान ]] प्रोग्रामिंग भाषा में उत्पन्न हुआ।{{Citation needed|date=December 2021}}

गुणा की जाने वाली संख्याओं को आम तौर पर [[ गुणन ]]खंड कहा जाता है। गुणा की जाने वाली संख्या गुण्य है, और जिस संख्या से गुणा किया जाता है वह गुणक है। आमतौर पर, गुणक को पहले और गुण्य को दूसरे स्थान पर रखा जाता है ,हालांकि कभी-कभी पहला कारक गुणक और दूसरा गुणक होता है। इसके अलावा, चूंकि गुणन का परिणाम कारकों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है, गुणक और गुणक के बीच का अंतर केवल एक बहुत ही प्रारंभिक स्तर पर और कुछ गुणन एल्गोरिदम में उपयोगी होता है, जैसे कि [[ लंबा गुणन ]], इसलिए, कुछ स्रोतों में, गुणक शब्द को कारक के पर्याय के रूप में माना जाता है। बीजगणित में, एक संख्या जो एक चर या ~~अभिव्यक्ति~~ का गुणक है उदाहरण के लिए, 3 में <math>3xy^2</math> को गुणांक कहा जाता है।

गुणा की जाने वाली संख्याओं को आम तौर पर [[ गुणन ]]खंड कहा जाता है। गुणा की जाने वाली संख्या गुण्य है, और जिस संख्या से गुणा किया जाता है वह गुणक है। आमतौर पर, गुणक को पहले और गुण्य को दूसरे स्थान पर रखा जाता है ,हालांकि कभी-कभी पहला कारक गुणक और दूसरा गुणक होता है। इसके अलावा, चूंकि गुणन का परिणाम कारकों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है, गुणक और गुणक के बीच का अंतर केवल एक बहुत ही प्रारंभिक स्तर पर और कुछ गुणन एल्गोरिदम में उपयोगी होता है, जैसे कि [[ लंबा गुणन ]], इसलिए, कुछ स्रोतों में, गुणक शब्द को कारक के पर्याय के रूप में माना जाता है। बीजगणित में, एक संख्या जो एक चर या व्यंजक का गुणक है उदाहरण के लिए, 3 में <math>3xy^2</math> को गुणांक कहा जाता है।

गुणन के परिणाम को गुणन गणित कहा जाता है,और जब एक गुणनखंड पूर्णांक होता है, तो एक गुणनफल दूसरे का गुणनफल होता है या अन्य का गुणनफल होता है। इस प्रकार <math>2\times \pi</math> का एक बहुगुणज है {{pi}}, ऐसा है <math>5133 \times 486 \times \pi</math>. पूर्णांकों का गुणनफल प्रत्येक गुणनखंड का गुणज होता है; उदाहरण के लिए, 15 3 और 5 का गुणनफल है और दोनों 3 का गुणज और 5 का गुणज है।{{Citation needed|date=December 2021}}

गुणन के परिणाम को गुणन गणित कहा जाता है,और जब एक गुणनखंड पूर्णांक होता है, तो एक गुणनफल दूसरे का गुणनफल होता है या अन्य का गुणनफल होता है। इस प्रकार <math>2\times \pi</math> का एक बहुगुणज है {{pi}}, ऐसा है <math>5133 \times 486 \times \pi</math>. पूर्णांकों का गुणनफल प्रत्येक गुणनखंड का गुणज होता है; उदाहरण के लिए, 3 और 5 का गुणनफल 15 है, और दोनों 3 के गुणज और 5 के गुणज है।{{Citation needed|date=December 2021}}

== परिभाषाएँ ==

दो संख्याओं के ~~उत्पाद~~ या दो संख्याओं के बीच ~~गुणन~~ को सामान्य विशेष स्थिति के लिए परिभाषित किया जाता है, जैसे पूर्णांक, प्राकृतिक संख्याएँ, भिन्न, वास्तविक संख्याएँ,सम्मिश्र संख्याएँ और चतुष्कोण इत्यादि।

दो संख्याओं के गुणन या दो संख्याओं के बीच गुणनफल को सामान्य विशेष स्थिति के लिए परिभाषित किया जाता है, जैसे पूर्णांक, प्राकृतिक संख्याएँ, भिन्न, वास्तविक संख्याएँ,सम्मिश्र संख्याएँ और चतुष्कोण इत्यादि।

===दो प्राकृत संख्याओं का गुणनफल===

Line 79:

* ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है,

* ऋणात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है,

* ~~ऋणात्मक~~ संख्या को ~~धनात्मक~~ संख्या से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है,

* धनात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है,

* धनात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है।

Line 90:

=== दो वास्तविक संख्याओं का गुणनफल ===

दो वास्तविक संख्याओं के गुणनफल की ~~कठोर~~ परिभाषा वास्तविक संख्याओं के निर्माण का ~~उपोत्पाद~~ है। इस रचना का तात्पर्य है कि, प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए {{mvar|a}} एक सेट {{mvar|A}} हैं[[ परिमेय संख्या | परिमेय संख्या]] {{mvar|a}} के तत्वों की सबसे कम ऊपरी सीमा {{mvar|A}} है :

दो वास्तविक संख्याओं के गुणनफल की परिभाषा वास्तविक संख्याओं के निर्माण का एक भाग है। इस रचना का तात्पर्य है कि, प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए {{mvar|a}} एक सेट {{mvar|A}} हैं[[ परिमेय संख्या | परिमेय संख्या]] {{mvar|a}} के तत्वों की सबसे कम ऊपरी सीमा {{mvar|A}} है :

:<math>a=\sup_{x\in A} x.</math>

यदि {{mvar|b}} एक और वास्तविक संख्या है जो की सबसे कम ऊपरी सीमा {{mvar|B}} हैं गुणन <math>a\cdot b</math> की तरह परिभाषित किया जाता है

:<math>a\cdot b=\sup_{x\in A, y\in B}x\cdot y.</math>

यह परिभाषा किसी विशेष पसंद पर निर्भर नहीं करती है {{mvar|A}} तथा {{mvar|b}}. यही है, अगर वे अपनी कम से कम ऊपरी सीमा को बदले बिना बदल जाते हैं, तो कम से कम ऊपरी सीमा परिभाषित होती है <math>a\cdot b</math> नहीं ~~बदला~~ है।

यह परिभाषा किसी विशेष पसंद पर निर्भर नहीं करती है {{mvar|A}} तथा {{mvar|b}}. यही है, अगर वे अपनी कम से कम ऊपरी सीमा को बदले बिना बदल जाते हैं, तो कम से कम ऊपरी सीमा परिभाषित होती है <math>a\cdot b</math> नहीं बदलता है।

===दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल===

दो सम्मिश्र संख्याओं को वितरण नियम और इस तथ्य से गुणा किया जा सकता है <math> i^2=-1</math>, निम्नलिखित अनुसार:

दो सम्मिश्र संख्याओं को वितरण नियम और इस तथ्य से गुणा किया जा सकता है <math> i^2=-1</math>,

निम्नलिखित अनुसार:

:<math>\begin{align}

(a + b\, i) \cdot (c + d\, i)

Line 111:

Line 113:

जिससे प्राप्त होता है

:<math>(a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) i = r \cdot s \cdot e^{i(\varphi + \psi)}.</math>

ज्यामितीय का अर्थ यह है,कि गुणा का विस्तार किया जाता है और ~~तर्क~~ जोड़े जाते हैं।

ज्यामितीय का अर्थ यह है,कि गुणा का विस्तार किया जाता है और युक्ति जोड़े जाते हैं।

=== दो चतुर्भुजों का गुणनफल ===

दो [[ quaternion |चतुर्भुजों]] के ~~उत्पाद~~ [[ quaternions |चतुष्कोणों]] पर लेख में पाया जा सकता है। ध्यान दें, इस मामले में, कि <math> a\cdot\quad b </math> और <math> b \cdot\quad a </math> सामान्य रूप से भिन्न होते हैं।

दो [[ quaternion |चतुर्भुजों]] के गुणन [[ quaternions |चतुष्कोणों]] पर लेख में पाया जा सकता है। ध्यान दें, इस मामले में, कि <math> a\cdot\quad b </math> और <math> b \cdot\quad a </math> सामान्य रूप से भिन्न होते हैं।

== संगणना ==

[[file:צעצוע מכני משנת 1918 לחישובי לוח הכפל The Educated Monkey.jpg|200px|right|thumb|शिक्षित बंदर - 1918 का एक [[ टिन का खिलौना ]], जिसका उपयोग गुणन कैलकुलेटर के रूप में किया जाता है। ~~<छोटा>~~उदाहरण के लिए: बंदर के पैर को 4 और 9 पर सेट करें, और उत्पाद - 36 - उसके हाथों में प्राप्त करें।~~</छोटा>~~]]पेंसिल और कागज का उपयोग करके संख्याओं को गुणा करने के कई सामान्य तरीके बहुत हैं , परंतु छोटी संख्याओं आमतौर पर 0 से 9 तक कोई भी दो संख्या के याद किए गए या परामर्शित गुणन की गुणन तालिका की आवश्यकता होती है। हालाँकि, यह विधि, प्राचीन मिस्री गुणन एल्गोरिथम, नहीं है। नीचे दिया गया उदाहरण दीर्घ गुणन मानक एल्गोरिथम , ~~ग्रेड-स्कूल~~ गुणन दिखाता है:

[[file:צעצוע מכני משנת 1918 לחישובי לוח הכפל The Educated Monkey.jpg|200px|right|thumb|शिक्षित बंदर - 1918 का एक [[ टिन का खिलौना ]], जिसका उपयोग गुणन कैलकुलेटर के रूप में किया जाता है। उदाहरण के लिए: बंदर के पैर को 4 और 9 पर सेट करें, और उत्पाद - 36 - उसके हाथों में प्राप्त करें।]]पेंसिल और कागज का उपयोग करके संख्याओं को गुणा करने के कई सामान्य तरीके बहुत हैं , परंतु छोटी संख्याओं आमतौर पर 0 से 9 तक कोई भी दो संख्या के याद किए गए या परामर्शित गुणन की गुणन तालिका की आवश्यकता होती है। हालाँकि, यह विधि, प्राचीन मिस्री गुणन एल्गोरिथम, नहीं है। नीचे दिया गया उदाहरण दीर्घ गुणन मानक एल्गोरिथम ,प्राथमिक विद्यालय गुणन दिखाता है:

23958233

Line 129:

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————————————————

139676498390 (= 139,676,498,390)

[[ जर्मनी ]] जैसे कुछ देशों में, ~~उपरोक्त~~ गुणन को समान रूप से दर्शाया गया है, लेकिन मूल उत्पाद को क्षैतिज रखा गया है और गणना गुणक के पहले अंक से शुरू होती है:

[[ जर्मनी ]] जैसे कुछ देशों में,गुणन को समान उपरोक्त रूप से दर्शाया गया है, लेकिन मूल उत्पाद को क्षैतिज रखा गया है और गणना गुणक के पहले अंक से शुरू होती है:

23958233 · 5830 ————————————————

119791165

Line 137:

Line 139:

————————————————

139676498390

संख्याओं को दशमलव स्थानों के एक ~~जोड़े~~ से अधिक हाथ से गुणा करना थकाऊ और त्रुटि-प्रवण है। ऐसी गणनाओं को सरल बनाने के लिए [[ सामान्य लघुगणक ]] का आविष्कार किया गया था, क्योंकि लघुगणक जोड़ना गुणा करने के बराबर है। [[ स्लाइड नियम ]] ने संख्याओं को सटीकता के लगभग तीन स्थानों पर त्वरित रूप से गुणा करने की अनुमति दी। 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में, यांत्रिक [[ कैलकुलेटर ]], जैसे कि [[ मर्चेंट कैलकुलेटर ]], 10-अंकों की संख्या का स्वचालित ~~गुणन।~~ आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक ~~कंप्यूटर~~ और कैलकुलेटर ने हाथ से गुणा करने की आवश्यकता को बहुत कम कर ~~दिया~~ है।

संख्याओं को दशमलव स्थानों के एक जोड़ से अधिक हाथ से गुणा करना थकाऊ और त्रुटि-प्रवण है। ऐसी गणनाओं को सरल बनाने के लिए [[ सामान्य लघुगणक ]] का आविष्कार किया गया था, क्योंकि लघुगणक जोड़ना गुणा करने के बराबर है। [[ स्लाइड नियम ]] ने संख्याओं को सटीकता के लगभग तीन स्थानों पर त्वरित रूप से गुणा करने की अनुमति दी। 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में, यांत्रिक [[ कैलकुलेटर |गणक]], जैसे कि [[ मर्चेंट कैलकुलेटर | मर्चेंट गणक]] , 10 अंकों की संख्या का स्वचालित गुणन है। आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक संगणक और [[ कैलकुलेटर |गणक]] ने हाथ से गुणा करने की आवश्यकता को बहुत कम कर दी है।

=== ऐतिहासिक एल्गोरिदम ===

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==== चीनी ====

[[File:Multiplication algorithm.GIF|thumb|right|250px|{{nowrap|1=38 × 76 = 2888}}]]300 ईसा पूर्व के गणितीय पाठ झोउबी सुआंजिंग, और गणितीय कला पर नौ अध्यायों में, गुणन गणना को शब्दों में लिखा गया था ,हालांकि प्रारंभिक चीनी गणितज्ञों ने स्थानीय मूल्य वृद्धि, घटाव, गुणा और भाग को शामिल करते हुए [[ रॉड कैलकुलस ]] को नियोजित किया था। [[ युद्धरत राज्य ]] की अवधि के अंत तक चीनी पहले से ही एक चीनी गुणन तालिका का उपयोग कर रहे थे।

[[File:Multiplication algorithm.GIF|thumb|right|250px|{{nowrap|1=38 × 76 = 2888}}]]300 ईसा पूर्व के गणितीय पाठ झोउबी सुआंजिंग, और गणितीय कला पर नौ अध्यायों में, गुणन गणना को शब्दों में लिखा गया था ,हालांकि प्रारंभिक चीनी गणितज्ञों ने स्थानीय मूल्य वृद्धि, घटाव, गुणा और भाग को शामिल करते हुए [[ रॉड कैलकुलस | रॉड गणना]] को नियोजित किया था। [[ युद्धरत राज्य ]] की अवधि के अंत तक चीनी पहले से ही एक चीनी गुणन तालिका का उपयोग कर रहे थे।

=== आधुनिक तरीके ===

[[Image:Gelosia multiplication 45 256.png|right|250px|thumb|45 और 256 का गुणनफल। ध्यान दें कि 45 में अंकों का क्रम बाएँ कॉलम में उल्टा है। गुणन का कैरी स्टेप गणना के अंतिम चरण में (बोल्ड में) किया जा सकता है, का अंतिम उत्पाद लौटाता है {{nowrap|1=45 × 256 = 11520}}. यह [[ जाली गुणन ]] का एक रूप है।]]हिंदू-अरबी अंक प्रणाली पर आधारित गुणन की आधुनिक विधि का वर्णन सर्वप्रथम [[ ब्रह्मगुप्त ]] ने किया था। ब्रह्मगुप्त ने जोड़, घटाव, गुणा और भाग के नियम दिए। [[ प्रिंसटन विश्वविद्यालय ]] में गणित के तत्कालीन प्रोफेसर [[ हेनरी बर्चर्ड फाइन ]] ने निम्नलिखित लिखा :

:भारतीय न केवल स्थितीय दशमलव प्रणाली के आविष्कारक हैं, बल्कि प्रणाली के साथ प्राथमिक गणना में शामिल अधिकांश प्रक्रियाओं के भी आविष्कारक हैं। जोड़ और घटाव उन्होंने वैसा ही किया जैसा आजकल किया जाता है; वे बहुत प्रकार से गुणा करते थे, उन में हमारा भी,परन्तु विभाजन उन्होंने बड़ी चतुराई से किया

:भारतीय न केवल स्थितीय दशमलव प्रणाली के आविष्कारक हैं, बल्कि प्रणाली के साथ प्राथमिक गणना में शामिल अधिकांश प्रक्रियाओं के भी आविष्कारक हैं। जोड़ और घटाव उन्होंने वैसा ही किया जैसा आजकल किया जाता है | वे बहुत प्रकार से गुणा करते थे, उन में हमारा भी,परन्तु विभाजन उन्होंने बड़ी चतुराई से किया जाता है |

ये स्थानीय मान दशमलव अंकगणितीय एल्गोरिदम 9वीं शताब्दी की शुरुआत में [[ अलखावरिज़मी ]] द्वारा अरब देशों में प्रस्तुत किया गया था,और 13 वीं शताब्दी में [[ फिबोनैकी ]] द्वारा पश्चिमी दुनिया में लोकप्रिय हो गया था।

Line 193:

Line 195:

और अन्य प्रविष्टियाँ जोड़ सकते हैं।

=== ~~कंप्यूटर~~ एल्गोरिदम ===

=== संगणक एल्गोरिदम ===

{{main|गुणन एल्गोरिथ्म बड़े ~~इनपुट~~ के लिए तेजी से गुणा एल्गोरिदम}}

दो n-अंकीय संख्याओं को गुणा करने की शास्त्रीय विधि के लिए ''n''2 अंकों के गुणन की आवश्यकता होती है। बड़ी संख्या को गुणा करते समय गणना समय को काफी कम करने के लिए गुणन एल्गोरिदम को डिज़ाइन किया गया है । बड़े पूर्णांकों का गुणन असतत फूरियर रूपांतरण पर आधारित विधियाँ कम्प्यूटेशनल ~~जटिलता~~ को कम करता है {{math|''O''(''n'' log ''n'' log log ''n'')}}. 2016 में, कारक {{math|log log ''n''}} एक ~~फ़ंक्शन~~ द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था जो बहुत धीमी गति से बढ़ता है, हालांकि अभी भी स्थिर नहीं है। मार्च 2019 में, डेविड हार्वे और जोरिस वैन डेर होवेन ने एक ~~जटिलता~~ के साथ एक पूर्णांक गुणन एल्गोरिथ्म प्रस्तुत करते हुए एक पेपर प्रस्तुत किया <math>O(n\log n).</math>एल्गोरिथम, फास्ट फूरियर परिवर्तन पर भी आधारित है, जिसे एसिम्प्टोटिक रूप से इष्टतम माना जाता है। एल्गोरिथ्म व्यावहारिक रूप से उपयोगी नहीं है, क्योंकि यह केवल बहुत बड़ी संख्याओं को (इससे अधिक होने पर {{math|2172912}} बिट्स।) को गुणा करने के लिए तेज़ हो जाता है ।

दो n-अंकीय संख्याओं को गुणा करने की शास्त्रीय विधि के लिए ''n''2 अंकों के गुणन की आवश्यकता होती है। बड़ी संख्या को गुणा करते समय गणना समय को काफी कम करने के लिए गुणन एल्गोरिदम को डिज़ाइन किया गया है । बड़े पूर्णांकों का गुणन असतत फूरियर रूपांतरण पर आधारित विधियाँ कम्प्यूटेशनल सम्मिश्रणता को कम करता है {{math|''O''(''n'' log ''n'' log log ''n'')}}. 2016 में, कारक {{math|log log ''n''}} एक फलन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था जो बहुत धीमी गति से बढ़ता है, हालांकि अभी भी स्थिर नहीं है। मार्च 2019 में, डेविड हार्वे और जोरिस वैन डेर होवेन ने एक सम्मिश्र के साथ एक पूर्णांक गुणन एल्गोरिथ्म प्रस्तुत करते हुए एक पेपर प्रस्तुत किया <math>O(n\log n).</math>एल्गोरिथम, फास्ट फूरियर परिवर्तन पर भी आधारित है, जिसे एसिम्प्टोटिक रूप से इष्टतम माना जाता है। एल्गोरिथ्म व्यावहारिक रूप से उपयोगी नहीं है, क्योंकि यह केवल बहुत बड़ी संख्याओं को (इससे अधिक होने पर {{math|2172912}} बिट्स।) को गुणा करने के लिए तेज़ हो जाता है ।

Line 225:

Line 227:

=== कैपिटल पाई अंकन===

{{Further information|

पुनरावृत्त बाइनरी ~~ऑपरेशन~~ # ~~नोटेशन~~}}

पुनरावृत्त बाइनरी संक्रिया # अंकन}}

गुणनखंडों के अनुक्रम के गुणनफल को गुणन चिह्न के साथ लिखा जा सकता है <math>\textstyle \prod</math>, जो [[ ग्रीक वर्णमाला ]] के बड़े अक्षर Π (पाई) से निकला है बिल्कुल उसी तरह जैसे [[ योग प्रतीक ]] <math>\textstyle \sum</math> ग्रीक अक्षर सिग्मा से लिया गया है। इस अंकन का अर्थ

गुणनखंडों के अनुक्रम के गुणनफल को गुणन चिह्न के साथ लिखा जा सकता है <math>\textstyle \prod</math>, जो [[ ग्रीक वर्णमाला ]] के बड़े अक्षर Π (पाई) से निकला है बिल्कुल उसी तरह जैसे [[ योग प्रतीक ]] <math>\textstyle \sum</math> ग्रीक अक्षर सिग्मा से लिया गया है। इस अंकन का अर्थ है :-

है

:<math>\prod_{i=1}^4 (i+1) = (1+1)\,(2+1)\,(3+1)\, (4+1),</math>

जिसके परिणामस्वरूप

:<math>\prod_{i=1}^4 (i+1) = 120.</math>

ऐसे अंकन में, चर गणित {{mvar|i}} एक भिन्न [[ पूर्णांक ]] का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे गुणन सूचकांक कहा जाता है, जो निम्न मान {{math|1}} से चलता है तथा ऊपरी मूल्य के लिए {{math|4}} संकेत दिया गया है सुपरस्क्रिप्ट सबस्क्रिप्ट द्वारा दिया गया है। ~~उत्पाद~~ ऑपरेटर के द्वारा निचले और ऊपरी मूल्यों में शामिल सीमा के बीच एक पूर्णांक के लिए गुणन सूचकांक को प्रतिस्थापित करके प्राप्त सभी कारकों को एक साथ गुणा करके उत्पाद प्राप्त किया जाता है।

ऐसे अंकन में, चर गणित {{mvar|i}} एक भिन्न [[ पूर्णांक ]] का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे गुणन सूचकांक कहा जाता है, जो निम्न मान {{math|1}} से चलता है तथा ऊपरी मूल्य के लिए {{math|4}} संकेत दिया गया है सुपरस्क्रिप्ट सबस्क्रिप्ट द्वारा दिया गया है। गुणन ऑपरेटर के द्वारा निचले और ऊपरी मूल्यों में शामिल सीमा के बीच एक पूर्णांक के लिए गुणन सूचकांक को प्रतिस्थापित करके प्राप्त सभी कारकों को एक साथ गुणा करके उत्पाद प्राप्त किया जाता है।

सामान्यतः आम तौर पर अंकन के रूप में परिभाषित किया गया है

Line 238:

:<math>\prod_{i=m}^n x_i = x_m \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \,\,\cdots\,\, \cdot x_{n-1} \cdot x_n,</math>

जहाँ m और n पूर्णांक या व्यंजक हैं जो पूर्णांकों का मूल्यांकन करते हैं। जहां स्थिति में {{nowrap|1=''m'' = ''n''}}, गुणनफल का मान वही है जो एकल कारक ~~xm;~~ का है यदि {{nowrap|''m'' > ''n''}}, उत्पाद एक [[ खाली उत्पाद | खाली उत्पाद (]]कारकों के लिए व्यंजक पर ध्यान दिए बिना।) है जिसका मान 1 है—

जहाँ m और n पूर्णांक या व्यंजक हैं जो पूर्णांकों का मूल्यांकन करते हैं। जहां स्थिति में {{nowrap|1=''m'' = ''n''}}, गुणनफल का मान वही है जो एकल कारक ''xm'' का है यदि {{nowrap|''m'' > ''n''}}, उत्पाद एक [[ खाली उत्पाद | खाली उत्पाद (]]कारकों के लिए व्यंजक पर ध्यान दिए बिना।) है जिसका मान 1 है—

==== ~~पूंजी~~ पाई ~~संकेतन~~ के गुण ====

==== कैपिटल पाई नोटेशन के गुण ====

परिभाषा से,

:<math>\prod_{i=1}^{n}x_i=x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_n.</math>

यदि सभी कारक समान हैं, तो ~~उत्पाद~~ के एक बराबर {{mvar|n}} कारक [[ घातांक | घातांक]] है:

यदि सभी कारक समान हैं, तो गुणन के एक बराबर {{mvar|n}} कारक [[ घातांक | घातांक]] है:

:<math>\prod_{i=1}^{n}x=x\cdot x\cdot\ldots\cdot x=x^n.</math>

गुणन की साहचर्यता और [[ क्रमविनिमेयता ]] का अर्थ है

:<math>\prod_{i=1}^{n}{x_iy_i} =\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)\left(\prod_{i=1}^{n}y_i\right)</math> तथा

:<math>\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^a =\prod_{i=1}^{n}x_i^a</math>

यदि {{mvar|a}} एक ऋणात्मक पूर्णांक है, या यदि सभी <math>x_i</math> धनात्मक [[ वास्तविक संख्या |वास्तविक संख्याए]]

यदि {{mvar|a}} एक ऋणात्मक पूर्णांक है, या यदि सभी <math>x_i</math> धनात्मक [[ वास्तविक संख्या |वास्तविक संख्याए]] हैं, और

हैं,

~~:हैं, और <math>\prod_{i=1}^{n}x^{a_i} =x^{\sum_{i=1}^{n}a_i}</math>~~

सभी <math>a_i</math> गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, या यदि {{mvar|x}} एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।

=== अनंत उत्पाद ===

अपरिमित रूप से अनेक पदों के गुणनफलों पर भी विचार कर सकता है ,अत: इन्हें [[ अनंत उत्पाद ]] कहा जाता है। उलेखनीय रूप से, इसमें n को अनंत प्रतीक ∞ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। अनंत अनुक्रम के ~~उत्पाद~~ को पहले n शर्तों के ~~उत्पाद~~ के [[ अनुक्रम की सीमा ]] के रूप में परिभाषित किया जाता है, क्योंकि n के बढ़ने की कोई सीमा ही नही है,

अपरिमित रूप से अनेक पदों के गुणनफलों पर भी विचार कर सकता है ,अत: इन्हें [[ अनंत उत्पाद | अनंत गुणन]] कहा जाता है। उलेखनीय रूप से, इसमें n को अनंत प्रतीक ∞ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। अनंत अनुक्रम के गुणन को पहले n शर्तों के गुणन के [[ अनुक्रम की सीमा ]] के रूप में परिभाषित किया जाता है, क्योंकि n के बढ़ने की कोई सीमा ही नही है,

:<math>\prod_{i=m}^\infty x_i = \lim_{n\to\infty} \prod_{i=m}^n x_i.</math>

इसी तरह m को नकारात्मक से अनंतता में ~~बदल~~ सकता है, और परिभाषित कर सकता है:

इसी तरह m को नकारात्मक से अनंतता में बदला जा सकता है, और परिभाषित कर सकता है:

:<math>\prod_{i=-\infty}^\infty x_i = \left(\lim_{m\to-\infty}\prod_{i=m}^0 x_i\right) \cdot \left(\lim_{n\to\infty} \prod_{i=1}^n x_i\right),</math>

बशर्ते दोनों की सीमाएं मौजूद हों।{{Citation needed|date=December 2021}}

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जब गुणन दोहराया जाता है, तो परिणामी संक्रिया घातांक प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, दो (2×2×2) के तीन कारकों का गुणनफल दो को तीसरी घात तक बढ़ा दिया जाता है, और इसे 2 घात 3 से दर्शाया जाता है।, एक दो [[ ऊपर की ओर लिखा हुआ | सुपरस्क्रिप्ट]] तीन के साथ लिखा जाता है,

उदाहरण में, संख्या दो आधार है, और तीन घातांक है।~~<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=घातांक|url=https://mathworld.wolfram.com/घातांक.html|access-date=2021-12-29|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>~~ सामान्य तौर परप्रतिपादक ~~तिपादकंट~~ (या सुपस्क्रिप्ट) ~~इंगि~~ ताकिकव्यंजक (गणित)~~अभिव्यक्ति~~ में आधार कितनी बार प्रकट ~~होत निम्न है :ा~~ है, ताकि ~~अभिव्यक्ति~~

उदाहरण में, संख्या दो आधार है, और तीन घातांक है। सामान्य तौर परप्रतिपादक तिपादकंटइंगि (या सुपस्क्रिप्ट) ताकिकव्यंजक (गणित) व्यंजक में आधार कितनी बार निम्न प्रकट होता है, ताकि व्यंजक

:<math>a^n = \underbrace{a\times a \times \cdots \times a}_n</math>

घातांक यह इंगित करता है, कि आधार की n प्रतियां एक साथ गुणा की जाती हैं। और इस अंकन का उपयोग तब भी किया जाता है जब गुणन को घात सहयोगीता के रूप में जाना जाता है।

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== गुण ==

[[Image:Multiplication chart.svg|thumb|right|संख्याओं का गुणन 0-10। रेखा लेबल = गुणन। एक्स-अक्ष = गुणक। Y-अक्ष = ~~उत्पाद।~~ अन्य चतुर्थांशों में इस पैटर्न का विस्तार कारण बताता है कि एक ऋणात्मक संख्या गुणा एक ऋणात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या उत्पन्न करती है। ध्यान दें कि कैसे शून्य से गुणा करने से आयामीता में कमी आती है, जैसा कि गुणन करता है एक एकल मैट्रिक्स द्वारा जहां निर्धारक 0 है। इस प्रक्रिया में, जानकारी खो जाती है और उसे वापस नहीं लाया जा सकता है।]]वास्तविक संख्या और ~~जटिल~~ संख्या संख्याओं में शामिल हैं, उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याएं, पूर्णांक और परिमेय संख्या, गुणन में कुछ गुण होते हैं:

[[Image:Multiplication chart.svg|thumb|right|संख्याओं का गुणन 0-10। रेखा लेबल = गुणन। एक्स-अक्ष = गुणक। Y-अक्ष = गुणन। अन्य चतुर्थांशों में इस पैटर्न का विस्तार कारण बताता है कि एक ऋणात्मक संख्या का गुणा एक ऋणात्मक संख्या के साथ एक धनात्मक

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 :<math>2\times 2\times 2\times 2\times 2 = 32</math>
 गुणन के लिए अन्य गणितीय संकेतन हैं:
-* गुणन चिह्न × और सामान्य चर के बीच दुविधा को कम करने के लिए {{mvar|x}} गुणन को बिंदु चिह्नों द्वारा भी निरूपित किया जाता है''',आमतौर पर एक मध्य-स्थिति वाला बिंदु शायद ही कदाचित् समय मै प्रयोग किया जाता हैं :-'''
+* गुणन चिह्न × और सामान्य चर के बीच दुविधा को कम करने के लिए {{mvar|x}} गुणन को बिंदु चिह्नों द्वारा भी निरूपित किया जाता है''','''आमतौर पर एक मध्य-स्थिति वाला बिंदु शायद ही किसी समय मै प्रयोग किया जाता हैं :-
 :<math>5 \cdot 2</math> या <math>5\,.\,3</math>
-: मध्य बिंदु संकेतन, यूनिकोड में एन्कोड किया गया है {{unichar|22C5|बिंदु ऑपरेटर}}, अब संयुक्त राज्य अमेरिका और अन्य देशों में मानक है जहां एक समय इसका उपयोग [[ दशमलव विभाजक ]] के रूप में लिया जाता है। वही दुसरी और जब बिंदु ऑपरेटर वर्ण पहुंच योग्य नहीं होता है, तो [[ इंटरपंक ]] (·) का उपयोग किया जाता है। अन्य देशों में जो दशमलव चिह्न के रूप में [[ अल्पविराम (विराम चिह्न) ]] का उपयोग करते हैं, गुणा के लिए ,या तो गुणा या मध्य बिंदु का उपयोग किया जाता है।{{citation needed|date=August 2011}}
+: मध्य बिंदु संकेतन, यूनिकोड में एन्कोड किया गया है {{unichar|22C5|बिंदु ऑपरेटर}}, अब संयुक्त राज्य अमेरिका और अन्य देशों में मानक है जहां एक समय इसका उपयोग [[ दशमलव विभाजक ]] के रूप में लिया जाता है। वही दुसरी और जब बिंदु ऑपरेटर चिह्न पहुंच योग्य नहीं होता है, तो [[ इंटरपंक ]] (·) का उपयोग किया जाता है। अन्य देशों में जो दशमलव चिह्न के रूप में [[ अल्पविराम (विराम चिह्न) ]] का उपयोग करते हैं, गुणा के लिए ,या तो गुणा चिह्न या मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग किया जाता है।{{citation needed|date=August 2011}}
-:ऐतिहासिक रूप से, यूनाइटेड किंगडम और आयरलैंड में, मध्य बिंदु का उपयोग कभी-कभी दशमलव के लिए रेखांकित रेखा के लोप होने से रोकने के लिए किया जाता था, और  कालावधि/पूर्ण विराम का उपयोग गुणा के लिए किया जाता था। हालाँकि, चूंकि [[ प्रौद्योगिकी मंत्रालय ]] ने 1968 में इस  कालावधि को दशमलव बिंदु के रूप में उपयोग करने का फैसला किया था,और एसआई मानक तब से व्यापक रूप से अपनाया गया है, यह उपयोग अब केवल प्राचीन पत्रिकाओं जैसे द लांसेट में पाया जाता है।
+:ऐतिहासिक रूप से, यूनाइटेड किंगडम और आयरलैंड में, मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग कभी-कभी दशमलव के लिए रेखांकित रेखा के लोप होने से रोकने के लिए किया जाता था, और  कालावधि/पूर्ण विराम का उपयोग गुणा के लिए किया जाता था। हालाँकि, चूंकि [[ प्रौद्योगिकी मंत्रालय ]] ने 1968 में इस  कालावधि को दशमलव बिंदु के रूप में उपयोग करने का फैसला किया था,और एसआई मानक तब से व्यापक रूप से अपनाया गया है, यह उपयोग अब केवल प्राचीन पत्रिकाओं जैसे द लांसेट में पाया जाता है।
 * [[ बीजगणित ]] में, [[ चर (गणित) ]] से जुड़े गुणन को अक्सर एक संयोजन गणित के रूप में लिखा जाता है उदाहरण के लिए, <math>xy</math> के लिये <math>x</math> बार <math>y</math> या <math>5x</math> पाँच बार के लिए <math>x</math>, जिसे निहित गुणन भी कहा जाता है। अंकन का उपयोग उन मात्राओं के लिए भी किया जा सकता है, जो कोष्ठकों से घिरी हुई हैं उदाहरण के लिए, <math>5(2)</math>, <math>(5)2</math> या <math>(5)(2)</math> पांच बार दो के लिए। गुणन का यह निहित उपयोग अस्पष्टता का कारण बन सकता है जब समवर्ती चर किसी अन्य चर के नाम से मेल खाते हैं, जब एक कोष्ठक के सामने एक चर नाम को फलन नाम के साथ भ्रमित किया जा सकता है, या संचालन के क्रम के सही निर्धारण में हो सकता है।।{{Citation needed|date=December 2021}}
-* सदिश गुणन में, रेखित करना और बिंदु प्रतीकों के बीच अंतर करना है। [[ पार उत्पाद | रेखित गुणन]]  आम तौर पर दो [[ वेक्टर (गणित) | सदिश]]   के क्रॉस गुणन को करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक सदिश उत्पन्न होता है, जबकि बिंदु दो सदिश के [[ डॉट उत्पाद | बिंदु गुणन]] को करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक स्केलर गणित होता है।{{Citation needed|date=December 2021}}
+* सदिश गुणन में, रेखित करना और बिंदु प्रतीकों के बीच अंतर करना है। [[ पार उत्पाद | रेखित गुणन]]  आम तौर पर दो [[ वेक्टर (गणित) | सदिश]]   के क्रॉस गुणन को करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक सदिश उत्पन्न होता है, जबकि बिंदु दो सदिश के [[ डॉट उत्पाद | बिंदु गुणन]] को करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक अदिश गणित होता है।{{Citation needed|date=December 2021}}
-[[ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग | संगणक प्रोग्रामिंग]] में, तारांकन चिह्न जैसा कि <code>5*2</code> अभी भी सबसे आम अंकन है। यह इस तथ्य के कारण है कि अधिकांश कंप्यूटर ऐतिहासिक रूप से छोटे वर्ण सेट जैसे [[ ASCII ]] और [[ EBCDIC ]] तक सीमित थे जिनमें गुणन चिह्न जैसे कि <code>⋅</code> या <code>×</code>शमिल है,जबकि प्रत्येक कीबोर्ड पर तारक (*) दिखाई देता है। यह प्रयोग [[ फोरट्रान ]] प्रोग्रामिंग भाषा में उत्पन्न हुआ।{{Citation needed|date=December 2021}}
+[[ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग | संगणक प्रोग्रामिंग]] में, तारांकन चिह्न जैसा कि <code>5*2</code> अभी भी सबसे आम अंकन है। यह इस तथ्य के कारण है कि अधिकांश [[ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग |संगणक]] ऐतिहासिक रूप से छोटे वर्ण सेट जैसे [[ ASCII ]] और [[ EBCDIC ]] तक सीमित थे जिनमें गुणन चिह्न जैसे कि <code>⋅</code> या <code>×</code>शमिल है,जबकि प्रत्येक कुंजीपटल पर तारक (*) दिखाई देता है। यह प्रयोग [[ फोरट्रान ]] प्रोग्रामिंग भाषा में उत्पन्न हुआ।{{Citation needed|date=December 2021}}
-गुणा की जाने वाली संख्याओं को आम तौर पर [[ गुणन ]]खंड कहा जाता है। गुणा की जाने वाली संख्या गुण्य है, और जिस संख्या से गुणा किया जाता है वह गुणक है। आमतौर पर, गुणक को पहले और गुण्य को दूसरे स्थान पर रखा जाता है ,हालांकि कभी-कभी पहला कारक गुणक और दूसरा गुणक होता है। इसके अलावा, चूंकि गुणन का परिणाम कारकों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है, गुणक और गुणक के बीच का अंतर केवल एक बहुत ही प्रारंभिक स्तर पर और कुछ गुणन एल्गोरिदम में उपयोगी होता है, जैसे कि [[ लंबा गुणन ]], इसलिए, कुछ स्रोतों में, गुणक शब्द को कारक के पर्याय के रूप में माना जाता है। बीजगणित में, एक संख्या जो एक चर या अभिव्यक्ति का गुणक है उदाहरण के लिए, 3 में <math>3xy^2</math> को गुणांक कहा जाता है।
+गुणा की जाने वाली संख्याओं को आम तौर पर [[ गुणन ]]खंड कहा जाता है। गुणा की जाने वाली संख्या गुण्य है, और जिस संख्या से गुणा किया जाता है वह गुणक है। आमतौर पर, गुणक को पहले और गुण्य को दूसरे स्थान पर रखा जाता है ,हालांकि कभी-कभी पहला कारक गुणक और दूसरा गुणक होता है। इसके अलावा, चूंकि गुणन का परिणाम कारकों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है, गुणक और गुणक के बीच का अंतर केवल एक बहुत ही प्रारंभिक स्तर पर और कुछ गुणन एल्गोरिदम में उपयोगी होता है, जैसे कि [[ लंबा गुणन ]], इसलिए, कुछ स्रोतों में, गुणक शब्द को कारक के पर्याय के रूप में माना जाता है। बीजगणित में, एक संख्या जो एक चर या  व्यंजक का गुणक है उदाहरण के लिए, 3 में <math>3xy^2</math> को गुणांक कहा जाता है।
-गुणन के परिणाम को गुणन गणित कहा जाता है,और जब एक गुणनखंड पूर्णांक होता है, तो एक गुणनफल दूसरे का गुणनफल होता है या अन्य का गुणनफल होता है। इस प्रकार <math>2\times \pi</math> का एक बहुगुणज  है {{pi}}, ऐसा है <math>5133 \times 486 \times \pi</math>. पूर्णांकों का गुणनफल प्रत्येक गुणनखंड का गुणज होता है; उदाहरण के लिए, 15 3 और 5 का गुणनफल है और दोनों 3 का गुणज और 5 का गुणज है।{{Citation needed|date=December 2021}}
+गुणन के परिणाम को गुणन गणित कहा जाता है,और जब एक गुणनखंड पूर्णांक होता है, तो एक गुणनफल दूसरे का गुणनफल होता है या अन्य का गुणनफल होता है। इस प्रकार <math>2\times \pi</math> का एक बहुगुणज  है {{pi}}, ऐसा है <math>5133 \times 486 \times \pi</math>. पूर्णांकों का गुणनफल प्रत्येक गुणनखंड का गुणज होता है; उदाहरण के लिए, 3 और 5 का गुणनफल 15 है, और दोनों 3 के गुणज और 5 के गुणज है।{{Citation needed|date=December 2021}}
 == परिभाषाएँ ==
-दो संख्याओं के उत्पाद या दो संख्याओं के बीच गुणन को सामान्य विशेष स्थिति के लिए परिभाषित किया जाता है, जैसे पूर्णांक, प्राकृतिक संख्याएँ, भिन्न, वास्तविक संख्याएँ,सम्मिश्र संख्याएँ और चतुष्कोण इत्यादि।
+दो संख्याओं के  गुणन या दो संख्याओं के बीच गुणनफल को सामान्य विशेष स्थिति के लिए परिभाषित किया जाता है, जैसे पूर्णांक, प्राकृतिक संख्याएँ, भिन्न, वास्तविक संख्याएँ,सम्मिश्र संख्याएँ और चतुष्कोण इत्यादि।
 ===दो प्राकृत संख्याओं का गुणनफल===
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 * ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है,
 * ऋणात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है,
-* ऋणात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है,
+* धनात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या  से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है,
 * धनात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है।
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 === दो वास्तविक संख्याओं का गुणनफल ===
-दो वास्तविक संख्याओं के गुणनफल की कठोर परिभाषा वास्तविक संख्याओं के निर्माण का उपोत्पाद है। इस रचना का तात्पर्य है कि, प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए {{mvar|a}} एक सेट {{mvar|A}} हैं[[ परिमेय संख्या | परिमेय संख्या]] {{mvar|a}} के तत्वों की सबसे कम ऊपरी सीमा {{mvar|A}} है :
+दो वास्तविक संख्याओं के गुणनफल की परिभाषा वास्तविक संख्याओं के निर्माण का एक भाग है। इस रचना का तात्पर्य है कि, प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए {{mvar|a}} एक सेट {{mvar|A}} हैं[[ परिमेय संख्या | परिमेय संख्या]] {{mvar|a}} के तत्वों की सबसे कम ऊपरी सीमा {{mvar|A}} है :
 :<math>a=\sup_{x\in A} x.</math>
 यदि {{mvar|b}} एक और वास्तविक संख्या है जो की सबसे कम ऊपरी सीमा  {{mvar|B}} हैं गुणन <math>a\cdot b</math> की तरह परिभाषित किया जाता है
 :<math>a\cdot b=\sup_{x\in A, y\in B}x\cdot y.</math>
-यह परिभाषा किसी विशेष पसंद पर निर्भर नहीं करती है {{mvar|A}} तथा {{mvar|b}}. यही है, अगर वे अपनी कम से कम ऊपरी सीमा को बदले बिना बदल जाते हैं, तो कम से कम ऊपरी सीमा परिभाषित होती है <math>a\cdot b</math> नहीं बदला है।
+यह परिभाषा किसी विशेष पसंद पर निर्भर नहीं करती है {{mvar|A}} तथा {{mvar|b}}. यही है, अगर वे अपनी कम से कम ऊपरी सीमा को बदले बिना बदल जाते हैं, तो कम से कम ऊपरी सीमा परिभाषित होती है <math>a\cdot b</math> नहीं बदलता है।
 ===दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल===
-दो सम्मिश्र संख्याओं को वितरण नियम और इस तथ्य से गुणा किया जा सकता है <math> i^2=-1</math>, निम्नलिखित अनुसार:
+दो सम्मिश्र संख्याओं को वितरण नियम और इस तथ्य से गुणा किया जा सकता है <math> i^2=-1</math>,
+निम्नलिखित अनुसार:
 :<math>\begin{align}
    (a + b\, i) \cdot (c + d\, i)
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 जिससे प्राप्त होता है
 :<math>(a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) i = r \cdot s \cdot e^{i(\varphi + \psi)}.</math>
-ज्यामितीय का अर्थ यह है,कि गुणा का विस्तार किया जाता है और तर्क जोड़े जाते हैं।
+ज्यामितीय का अर्थ यह है,कि गुणा का विस्तार किया जाता है और युक्ति जोड़े जाते हैं।
 === दो चतुर्भुजों का गुणनफल ===
-दो [[ quaternion |चतुर्भुजों]] के उत्पाद [[ quaternions |चतुष्कोणों]] पर लेख में पाया जा सकता है। ध्यान दें, इस मामले में, कि  <math>  a\cdot\quad b  </math> और <math>  b \cdot\quad a </math> सामान्य रूप से भिन्न होते हैं।
+दो [[ quaternion |चतुर्भुजों]] के गुणन [[ quaternions |चतुष्कोणों]] पर लेख में पाया जा सकता है। ध्यान दें, इस मामले में, कि  <math>  a\cdot\quad b  </math> और <math>  b \cdot\quad a </math> सामान्य रूप से भिन्न होते हैं।
 == संगणना ==
 {{Main|गुणन एल्गोरिथ्म}}
-[[file:צעצוע מכני משנת 1918 לחישובי לוח הכפל The Educated Monkey.jpg|200px|right|thumb|शिक्षित बंदर - 1918 का एक [[ टिन का खिलौना ]], जिसका उपयोग गुणन कैलकुलेटर के रूप में किया जाता है। <छोटा>उदाहरण के लिए: बंदर के पैर को 4 और 9 पर सेट करें, और उत्पाद - 36 - उसके हाथों में प्राप्त करें।</छोटा>]]पेंसिल और कागज का उपयोग करके संख्याओं को गुणा करने के कई सामान्य तरीके बहुत हैं ,  परंतु छोटी संख्याओं आमतौर पर 0 से 9 तक कोई भी दो संख्या के याद किए गए या परामर्शित गुणन की गुणन तालिका की आवश्यकता होती है। हालाँकि, यह विधि, प्राचीन मिस्री गुणन एल्गोरिथम, नहीं है। नीचे दिया गया उदाहरण दीर्घ गुणन मानक एल्गोरिथम , ग्रेड-स्कूल गुणन  दिखाता है:
+[[file:צעצוע מכני משנת 1918 לחישובי לוח הכפל The Educated Monkey.jpg|200px|right|thumb|शिक्षित बंदर - 1918 का एक [[ टिन का खिलौना ]], जिसका उपयोग गुणन कैलकुलेटर के रूप में किया जाता है। उदाहरण के लिए: बंदर के पैर को 4 और 9 पर सेट करें, और उत्पाद - 36 - उसके हाथों में प्राप्त करें।]]पेंसिल और कागज का उपयोग करके संख्याओं को गुणा करने के कई सामान्य तरीके बहुत हैं ,  परंतु छोटी संख्याओं आमतौर पर 0 से 9 तक कोई भी दो संख्या के याद किए गए या परामर्शित गुणन की गुणन तालिका की आवश्यकता होती है। हालाँकि, यह विधि, प्राचीन मिस्री गुणन एल्गोरिथम, नहीं है। नीचे दिया गया उदाहरण दीर्घ गुणन मानक एल्गोरिथम ,प्राथमिक विद्यालय गुणन  दिखाता है:
         23958233
@@ Line 129: / Line 131: @@
   ————————————————
     139676498390 (= 139,676,498,390)
-[[ जर्मनी ]] जैसे कुछ देशों में, उपरोक्त गुणन को समान रूप से दर्शाया गया है, लेकिन मूल उत्पाद को क्षैतिज रखा गया है और गणना गुणक के पहले अंक से शुरू होती है:
+[[ जर्मनी ]] जैसे कुछ देशों में,गुणन को समान उपरोक्त रूप से दर्शाया गया है, लेकिन मूल उत्पाद को क्षैतिज रखा गया है और गणना गुणक के पहले अंक से शुरू होती है:
   23958233 · 5830                                                                                            ————————————————
      119791165
@@ Line 137: / Line 139: @@
   ————————————————
      139676498390
-संख्याओं को दशमलव स्थानों के एक जोड़े से अधिक हाथ से गुणा करना थकाऊ और त्रुटि-प्रवण है। ऐसी गणनाओं को सरल बनाने के लिए [[ सामान्य लघुगणक ]] का आविष्कार किया गया था, क्योंकि लघुगणक जोड़ना गुणा करने के बराबर है। [[ स्लाइड नियम ]] ने संख्याओं को सटीकता के लगभग तीन स्थानों पर त्वरित रूप से गुणा करने की अनुमति दी। 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में, यांत्रिक [[ कैलकुलेटर ]], जैसे कि [[ मर्चेंट कैलकुलेटर ]], 10-अंकों की संख्या का स्वचालित गुणन। आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर और कैलकुलेटर ने हाथ से गुणा करने की आवश्यकता को बहुत कम कर दिया है।
+संख्याओं को दशमलव स्थानों के एक जोड़ से अधिक हाथ से गुणा करना थकाऊ और त्रुटि-प्रवण है। ऐसी गणनाओं को सरल बनाने के लिए [[ सामान्य लघुगणक ]] का आविष्कार किया गया था, क्योंकि लघुगणक जोड़ना गुणा करने के बराबर है। [[ स्लाइड नियम ]] ने संख्याओं को सटीकता के लगभग तीन स्थानों पर त्वरित रूप से गुणा करने की अनुमति दी। 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में, यांत्रिक [[ कैलकुलेटर |गणक]], जैसे कि [[ मर्चेंट कैलकुलेटर | मर्चेंट गणक]]  , 10 अंकों की संख्या का स्वचालित गुणन है। आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक संगणक और [[ कैलकुलेटर |गणक]] ने हाथ से गुणा करने की आवश्यकता को बहुत कम कर दी है।
 === ऐतिहासिक एल्गोरिदम ===
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 ==== चीनी ====
 {{see also|चीनी गुणा तालिका}}
-[[File:Multiplication algorithm.GIF|thumb|right|250px|{{nowrap|1=38 × 76 = 2888}}]]300 ईसा पूर्व के गणितीय पाठ झोउबी सुआंजिंग, और गणितीय कला पर नौ अध्यायों में, गुणन गणना को शब्दों में लिखा गया था ,हालांकि प्रारंभिक चीनी गणितज्ञों ने स्थानीय मूल्य वृद्धि, घटाव, गुणा और भाग को शामिल करते हुए [[ रॉड कैलकुलस ]] को नियोजित किया था। [[ युद्धरत राज्य ]] की अवधि के अंत तक चीनी पहले से ही एक चीनी गुणन तालिका का उपयोग कर रहे थे।
+[[File:Multiplication algorithm.GIF|thumb|right|250px|{{nowrap|1=38 × 76 = 2888}}]]300 ईसा पूर्व के गणितीय पाठ झोउबी सुआंजिंग, और गणितीय कला पर नौ अध्यायों में, गुणन गणना को शब्दों में लिखा गया था ,हालांकि प्रारंभिक चीनी गणितज्ञों ने स्थानीय मूल्य वृद्धि, घटाव, गुणा और भाग को शामिल करते हुए [[ रॉड कैलकुलस | रॉड  गणना]] को नियोजित किया था। [[ युद्धरत राज्य ]] की अवधि के अंत तक चीनी पहले से ही एक चीनी गुणन तालिका का उपयोग कर रहे थे।
 === आधुनिक तरीके ===
 [[Image:Gelosia multiplication 45 256.png|right|250px|thumb|45 और 256 का गुणनफल। ध्यान दें कि 45 में अंकों का क्रम बाएँ कॉलम में उल्टा है। गुणन का कैरी स्टेप गणना के अंतिम चरण में (बोल्ड में) किया जा सकता है, का अंतिम उत्पाद लौटाता है {{nowrap|1=45 × 256 = 11520}}. यह [[ जाली गुणन ]] का एक रूप है।]]हिंदू-अरबी अंक प्रणाली पर आधारित गुणन की आधुनिक विधि का वर्णन सर्वप्रथम [[ ब्रह्मगुप्त ]] ने किया था। ब्रह्मगुप्त ने जोड़, घटाव, गुणा और भाग के नियम दिए। [[ प्रिंसटन विश्वविद्यालय ]] में गणित के तत्कालीन प्रोफेसर [[ हेनरी बर्चर्ड फाइन ]] ने निम्नलिखित लिखा :
-:भारतीय न केवल स्थितीय दशमलव प्रणाली के आविष्कारक हैं, बल्कि प्रणाली के साथ प्राथमिक गणना में शामिल अधिकांश प्रक्रियाओं के भी आविष्कारक हैं। जोड़ और घटाव उन्होंने वैसा ही किया जैसा आजकल किया जाता है; वे बहुत प्रकार से गुणा करते थे, उन में हमारा भी,परन्तु विभाजन उन्होंने बड़ी चतुराई से किया
+:भारतीय न केवल स्थितीय दशमलव प्रणाली के आविष्कारक हैं, बल्कि प्रणाली के साथ प्राथमिक गणना में शामिल अधिकांश प्रक्रियाओं के भी आविष्कारक हैं। जोड़ और घटाव उन्होंने वैसा ही किया जैसा आजकल किया जाता है | वे बहुत प्रकार से गुणा करते थे, उन में हमारा भी,परन्तु विभाजन उन्होंने बड़ी चतुराई से किया जाता है |
 ये स्थानीय मान दशमलव अंकगणितीय एल्गोरिदम 9वीं शताब्दी की शुरुआत में [[ अलखावरिज़मी ]] द्वारा अरब देशों में प्रस्तुत किया गया था,और 13 वीं शताब्दी में [[ फिबोनैकी ]] द्वारा पश्चिमी दुनिया में लोकप्रिय हो गया था।
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 और अन्य प्रविष्टियाँ जोड़ सकते हैं।
-=== कंप्यूटर एल्गोरिदम ===
+=== संगणक एल्गोरिदम ===
-{{main|गुणन एल्गोरिथ्म बड़े इनपुट के लिए तेजी से गुणा एल्गोरिदम}}
+{{main|गुणन एल्गोरिथ्म बड़े आगत के लिए तेजी से गुणा एल्गोरिदम}}
-दो n-अंकीय संख्याओं को गुणा करने की शास्त्रीय विधि के लिए  ''n''<sup>2</sup> अंकों के गुणन की आवश्यकता होती है।   बड़ी संख्या को गुणा करते समय गणना समय को काफी कम  करने के लिए गुणन एल्गोरिदम को डिज़ाइन किया गया है । बड़े पूर्णांकों का गुणन असतत फूरियर रूपांतरण पर आधारित विधियाँ कम्प्यूटेशनल जटिलता  को कम करता है {{math|''O''(''n'' log ''n'' log log ''n'')}}. 2016 में, कारक {{math|log log ''n''}} एक फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था जो बहुत धीमी गति से बढ़ता है, हालांकि अभी भी स्थिर नहीं है। मार्च 2019 में, डेविड हार्वे और जोरिस वैन डेर होवेन ने एक जटिलता के साथ एक पूर्णांक गुणन एल्गोरिथ्म प्रस्तुत करते हुए एक पेपर प्रस्तुत किया <math>O(n\log n).</math>एल्गोरिथम, फास्ट फूरियर परिवर्तन पर भी आधारित है, जिसे एसिम्प्टोटिक रूप से इष्टतम माना जाता है। एल्गोरिथ्म व्यावहारिक रूप से उपयोगी नहीं है, क्योंकि यह केवल बहुत बड़ी संख्याओं को (इससे अधिक होने पर {{math|2<sup>1729<sup>12</sup></sup>}} बिट्स।) को गुणा करने के लिए तेज़ हो जाता है ।
+दो n-अंकीय संख्याओं को गुणा करने की शास्त्रीय विधि के लिए  ''n''<sup>2</sup> अंकों के गुणन की आवश्यकता होती है।   बड़ी संख्या को गुणा करते समय गणना समय को काफी कम  करने के लिए गुणन एल्गोरिदम को डिज़ाइन किया गया है । बड़े पूर्णांकों का गुणन असतत फूरियर रूपांतरण पर आधारित विधियाँ कम्प्यूटेशनल  सम्मिश्रणता  को कम करता है {{math|''O''(''n'' log ''n'' log log ''n'')}}. 2016 में, कारक {{math|log log ''n''}} एक फलन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था जो बहुत धीमी गति से बढ़ता है, हालांकि अभी भी स्थिर नहीं है। मार्च 2019 में, डेविड हार्वे और जोरिस वैन डेर होवेन ने एक सम्मिश्र के साथ एक पूर्णांक गुणन एल्गोरिथ्म प्रस्तुत करते हुए एक पेपर प्रस्तुत किया <math>O(n\log n).</math>एल्गोरिथम, फास्ट फूरियर परिवर्तन पर भी आधारित है, जिसे एसिम्प्टोटिक रूप से इष्टतम माना जाता है। एल्गोरिथ्म व्यावहारिक रूप से उपयोगी नहीं है, क्योंकि यह केवल बहुत बड़ी संख्याओं को (इससे अधिक होने पर {{math|2<sup>1729<sup>12</sup></sup>}} बिट्स।) को गुणा करने के लिए तेज़ हो जाता है ।
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 === कैपिटल पाई अंकन===<!--This section is linked from [[Pi (letter)]], [[Capital Pi notation]], [[Capital pi notation]]-->
 {{Further information|
-पुनरावृत्त बाइनरी ऑपरेशन #  नोटेशन}}
+पुनरावृत्त बाइनरी  संक्रिया  # अंकन}}
-गुणनखंडों के अनुक्रम के गुणनफल को गुणन चिह्न के साथ लिखा जा सकता है <math>\textstyle \prod</math>, जो [[ ग्रीक वर्णमाला ]] के बड़े अक्षर Π (पाई) से निकला है बिल्कुल उसी तरह जैसे [[ योग प्रतीक ]] <math>\textstyle \sum</math> ग्रीक अक्षर सिग्मा से लिया गया है। इस अंकन का अर्थ
+गुणनखंडों के अनुक्रम के गुणनफल को गुणन चिह्न के साथ लिखा जा सकता है <math>\textstyle \prod</math>, जो [[ ग्रीक वर्णमाला ]] के बड़े अक्षर Π (पाई) से निकला है बिल्कुल उसी तरह जैसे [[ योग प्रतीक ]] <math>\textstyle \sum</math> ग्रीक अक्षर सिग्मा से लिया गया है। इस अंकन का अर्थ है :-
-है
 :<math>\prod_{i=1}^4 (i+1) = (1+1)\,(2+1)\,(3+1)\, (4+1),</math>
 जिसके परिणामस्वरूप
 :<math>\prod_{i=1}^4 (i+1) = 120.</math>
-ऐसे अंकन में, चर गणित  {{mvar|i}} एक भिन्न [[ पूर्णांक ]] का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे गुणन सूचकांक कहा जाता है, जो निम्न मान  {{math|1}} से चलता है तथा ऊपरी मूल्य के लिए {{math|4}} संकेत दिया गया है सुपरस्क्रिप्ट सबस्क्रिप्ट द्वारा दिया गया है। उत्पाद ऑपरेटर के द्वारा निचले और ऊपरी मूल्यों में  शामिल सीमा के बीच एक पूर्णांक के लिए गुणन सूचकांक को प्रतिस्थापित करके प्राप्त सभी कारकों को एक साथ गुणा करके उत्पाद प्राप्त किया जाता है।
+ऐसे अंकन में, चर गणित  {{mvar|i}} एक भिन्न [[ पूर्णांक ]] का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे गुणन सूचकांक कहा जाता है, जो निम्न मान  {{math|1}} से चलता है तथा ऊपरी मूल्य के लिए {{math|4}} संकेत दिया गया है सुपरस्क्रिप्ट सबस्क्रिप्ट द्वारा दिया गया है।  गुणन ऑपरेटर के द्वारा निचले और ऊपरी मूल्यों में  शामिल सीमा के बीच एक पूर्णांक के लिए गुणन सूचकांक को प्रतिस्थापित करके प्राप्त सभी कारकों को एक साथ गुणा करके उत्पाद प्राप्त किया जाता है।
 सामान्यतः आम तौर पर अंकन के रूप में परिभाषित किया गया है
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 :<math>\prod_{i=m}^n x_i = x_m \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \,\,\cdots\,\, \cdot x_{n-1} \cdot x_n,</math>
-जहाँ m और n पूर्णांक या व्यंजक हैं जो पूर्णांकों का मूल्यांकन करते हैं। जहां स्थिति में  {{nowrap|1=''m'' = ''n''}}, गुणनफल का मान वही है जो एकल कारक xm; का है यदि {{nowrap|''m'' > ''n''}}, उत्पाद एक [[ खाली उत्पाद | खाली उत्पाद (]]कारकों के लिए व्यंजक पर ध्यान दिए बिना।) है जिसका मान 1 है—
+जहाँ m और n पूर्णांक या व्यंजक हैं जो पूर्णांकों का मूल्यांकन करते हैं। जहां स्थिति में  {{nowrap|1=''m'' = ''n''}}, गुणनफल का मान वही है जो एकल कारक ''x<sub>m</sub>'' का है यदि {{nowrap|''m'' > ''n''}}, उत्पाद एक [[ खाली उत्पाद | खाली उत्पाद (]]कारकों के लिए व्यंजक पर ध्यान दिए बिना।) है जिसका मान 1 है—
-==== पूंजी पाई संकेतन के गुण ====
+==== कैपिटल पाई नोटेशन के गुण ====
 परिभाषा से,
 :<math>\prod_{i=1}^{n}x_i=x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_n.</math>
-यदि सभी कारक समान हैं, तो  उत्पाद  के एक बराबर {{mvar|n}} कारक [[ घातांक | घातांक]] है:
+यदि सभी कारक समान हैं, तो गुणन के एक बराबर {{mvar|n}} कारक [[ घातांक | घातांक]] है:
 :<math>\prod_{i=1}^{n}x=x\cdot x\cdot\ldots\cdot x=x^n.</math>
 गुणन की साहचर्यता और [[ क्रमविनिमेयता ]] का अर्थ है
 :<math>\prod_{i=1}^{n}{x_iy_i} =\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)\left(\prod_{i=1}^{n}y_i\right)</math> तथा
 :<math>\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^a =\prod_{i=1}^{n}x_i^a</math>
-यदि {{mvar|a}} एक ऋणात्मक पूर्णांक है, या यदि सभी <math>x_i</math> धनात्मक [[ वास्तविक संख्या |वास्तविक संख्याए]]
+यदि {{mvar|a}} एक ऋणात्मक पूर्णांक है, या यदि सभी <math>x_i</math> धनात्मक [[ वास्तविक संख्या |वास्तविक संख्याए]] हैं, और
-हैं,
+<math>\prod_{i=1}^{n}x^{a_i} =x^{\sum_{i=1}^{n}a_i}</math>
-:हैं, और <math>\prod_{i=1}^{n}x^{a_i} =x^{\sum_{i=1}^{n}a_i}</math>
 सभी <math>a_i</math> गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, या यदि {{mvar|x}} एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।
 === अनंत उत्पाद ===
-{{Main|अनंत उत्पाद}}
+{{Main|अनंत गुणन}}
-अपरिमित रूप से अनेक पदों के गुणनफलों पर भी विचार कर सकता है ,अत: इन्हें [[ अनंत उत्पाद ]] कहा जाता है। उलेखनीय रूप से, इसमें  n को अनंत प्रतीक ∞ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। अनंत अनुक्रम के उत्पाद को पहले n शर्तों के उत्पाद के [[ अनुक्रम की सीमा ]] के रूप में परिभाषित किया जाता है, क्योंकि n के बढ़ने की कोई सीमा ही नही है,
+अपरिमित रूप से अनेक पदों के गुणनफलों पर भी विचार कर सकता है ,अत: इन्हें [[ अनंत उत्पाद | अनंत गुणन]] कहा जाता है। उलेखनीय रूप से, इसमें  n को अनंत प्रतीक ∞ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। अनंत अनुक्रम के  गुणन को पहले n शर्तों के  गुणन के [[ अनुक्रम की सीमा ]] के रूप में परिभाषित किया जाता है, क्योंकि n के बढ़ने की कोई सीमा ही नही है,
 :<math>\prod_{i=m}^\infty x_i = \lim_{n\to\infty} \prod_{i=m}^n x_i.</math>
-इसी तरह m को नकारात्मक से अनंतता में बदल सकता है, और परिभाषित कर सकता है:
+इसी तरह m को नकारात्मक से अनंतता में बदला जा सकता है, और परिभाषित कर सकता है:
 :<math>\prod_{i=-\infty}^\infty x_i = \left(\lim_{m\to-\infty}\prod_{i=m}^0 x_i\right) \cdot \left(\lim_{n\to\infty} \prod_{i=1}^n x_i\right),</math>
 बशर्ते दोनों की सीमाएं मौजूद हों।{{Citation needed|date=December 2021}}
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 जब गुणन दोहराया जाता है, तो परिणामी संक्रिया घातांक प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, दो (2×2×2) के तीन कारकों का गुणनफल दो को तीसरी घात तक बढ़ा दिया जाता है, और इसे 2 घात 3 से दर्शाया जाता है।, एक दो [[ ऊपर की ओर लिखा हुआ | सुपरस्क्रिप्ट]] तीन के साथ लिखा जाता है,
-उदाहरण में, संख्या दो आधार है, और तीन घातांक है।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=घातांक|url=https://mathworld.wolfram.com/घातांक.html|access-date=2021-12-29|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> सामान्य तौर परप्रतिपादक तिपादकंट (या सुपस्क्रिप्ट) इंगि ताकिकव्यंजक (गणित)अभिव्यक्ति में आधार कितनी बार प्रकट होत निम्न है :ा है, ताकि अभिव्यक्ति
+उदाहरण में, संख्या दो आधार है, और तीन घातांक है। सामान्य तौर परप्रतिपादक तिपादकंटइंगि (या सुपस्क्रिप्ट)  ताकिकव्यंजक (गणित) व्यंजक में आधार कितनी बार निम्न प्रकट  होता  है, ताकि व्यंजक
 :<math>a^n = \underbrace{a\times a \times \cdots  \times a}_n</math>
 घातांक यह इंगित करता है, कि आधार की n प्रतियां एक साथ गुणा की जाती हैं। और इस अंकन का उपयोग तब भी किया जाता है जब गुणन को घात सहयोगीता के रूप में जाना जाता है।
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 == गुण ==
-[[Image:Multiplication chart.svg|thumb|right|संख्याओं का गुणन 0-10। रेखा लेबल = गुणन। एक्स-अक्ष = गुणक। Y-अक्ष = उत्पाद।<br>अन्य चतुर्थांशों में इस पैटर्न का विस्तार कारण बताता है कि एक ऋणात्मक संख्या गुणा एक ऋणात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या उत्पन्न करती है।<br>ध्यान दें कि कैसे शून्य से गुणा करने से आयामीता में कमी आती है, जैसा कि गुणन करता है एक एकल मैट्रिक्स द्वारा जहां निर्धारक 0 है। इस प्रक्रिया में, जानकारी खो जाती है और उसे वापस नहीं लाया जा सकता है।]]वास्तविक संख्या और जटिल संख्या संख्याओं में शामिल हैं, उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याएं, पूर्णांक और परिमेय संख्या, गुणन में कुछ गुण होते हैं:
+[[Image:Multiplication chart.svg|thumb|right|संख्याओं का गुणन 0-10। रेखा लेबल = गुणन। एक्स-अक्ष = गुणक। Y-अक्ष = गुणन।<br>अन्य चतुर्थांशों में इस पैटर्न का विस्तार कारण बताता है कि एक ऋणात्मक संख्या का गुणा एक ऋणात्मक संख्या के साथ एक धनात्मक