गुणा: Difference between revisions

× ⋅
× ⋅
Multiplication signs
In Unicode	U+00D7 × MULTIPLICATION SIGN (×); U+22C5 ⋅ DOT OPERATOR (⋅)
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<डिव क्लास = राइट>

File:Multiply 4 bags 3 marbles.svg

3 मार्बल्स के साथ 4 बैग/बैग बारह मार्बल्स (4 × 3 = 12) देते हैं।

File:Multiply scaling.svg

गुणन को पैमाने के कारक भी माना जा सकता है। यहां हम देखते हैं कि स्केलिंग का उपयोग करके 2 को 3 से गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 6 मिलता है।

File:Multiplication as scaling integers.gif

गुणा 2 × 3 = 6 के लिए एनिमेशन।

File:Multiplication scheme 4 by 5.jpg

4 × 5 = 20। बड़ा आयत 20 वर्गों से बना है, प्रत्येक 1 इकाई 1 इकाई है।

File:Multiply field fract.svg

एक कपड़े का क्षेत्रफल 4.5m × 2.5m = 11.25m²; 412 × 212 = 1114

गुणन अक्सर गुणन चिन्ह द्वारा निरूपित किया जाता है ×, मध्य-पंक्ति संकेत और शब्दावली द्वारा ⋅, तुलना द्वारा, या, संगणक पर, तारक द्वारा * अंकगणित के चार प्राथमिक अंकगणितीय कार्य विधि में से एक है, अन्य जोड़, घटाव और भाग गणित हैं। गुणन संक्रिया के परिणाम को गुणनफल गणित कहा जाता है।

प्राकृतिक संख्या के गुणन को गुणन और बार-बार जोड़ के रूप में जाना जाता है; अर्थात्, दो संख्याओं का गुणन उनमें से एक की कई प्रतियों को जोड़ने के बराबर है, गुण्य, दूसरे की मात्रा के रूप में, गुणक होता है। दोनों संख्याओं को कारकों के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।

a\times b=\underbrace {b+\cdots +b} _{a{\text{ times}}}

उदाहरण के लिए, 4 का 3 से गुणा किया जाता है, जिसे अक्सर इस रूप में $3\times 4$ लिखा जाता है और 3 गुना 4 के रूप में बोला जाता है, इसकी गणना 4 की 3 प्रतियों को एक साथ जोड़कर भी की जा सकती है:

3\times 4=4+4+4=12

यहाँ, 3 गुणक और 4 गुणक गुणनखंड हैं, और 12 गुणनफल है।

गुणन के मुख्य गुणों में से एक क्रमचयी गुणधर्म है, जो इस स्थिति में बताता है कि 4 की 3 प्रतियां जोड़ने से 3 की 4 प्रतियां जोड़ने के समान परिणाम मिलता है:

4\times 3=3+3+3+3=12

इस प्रकार गुणक और गुणक का पदनाम गुणन के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।इस मूल परिभाषा के व्यवस्थित सामान्यीकरण पूर्णांकों ऋणात्मक संख्याओं सहित, परिमेय संख्याओं के अंशों और वास्तविक संख्याओं के गुणन को परिभाषित करता हैं।

गुणन के एक आयत में पूर्ण संख्याओं के लिए व्यवस्थित वस्तुओं की गिनती के रूप में भी देखा जा सकता है या आयत के क्षेत्रफल को खोज के रूप में देखा जा सकता है, जिनके पक्षों में कुछ दी गई लंबाई है। एक आयत का क्षेत्रफल इस बात पर निर्भर नहीं करता है,कि किस पक्ष को पहले मापा जाता है,यह क्रमविनिमेय विशेषता का एक परिणाम है।

दो मापों का गुणन एक नए प्रकार का मापन है। उदाहरण के लिए, किसी आयत की दोनों भुजाओं की लंबाइयों को गुणा करने पर उसका क्षेत्रफल प्राप्त होता है। ऐसा गुणनआयामी विश्लेषण का विषय है।

गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया विभाजन है। उदाहरण के लिए, 4 को 3 से गुणा करने पर 12 प्राप्त होता है, तो 12 को 3 से विभाजित करने पर भी 4 प्राप्त होता है। वास्तव में, 3 से गुणा करने पर 3 से भाग करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। 0 के अलावा किसी अन्य संख्या का विभाजन 1 के बराबर होता है।

गुणन को अन्य प्रकार की संख्याओं के लिए भी परिभाषित किया गया है, जैसे कि सम्मिश्र संख्याएँ , और अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए मैट्रिक्स गणित हैं। इनमें से कुछ अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए,यह मायने रखता है जिस क्रम में ऑपरेंड को एक साथ गुणा किया जाय ।गणित में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न प्रकार के गुणन की सूची गुणन गणित में दी गई है।^{[verification needed]}

संकेतन और शब्दावली

अंकगणित में, गुणन को अक्सर गुणन चिह्न को या तो × या $\times$

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 आगे सामान्यीकरण
-: ऊपर समूह सिद्धांत में गुणा देखें, और [[ गुणक समूह ]], जिसमें उदाहरण के लिए मैट्रिक्स गुणन शामिल है। एक बहुत ही सामान्य, और अमूर्त, गुणन की अवधारणा एक रिंग गणित में गुणात्मक रूप से निरूपित दूसरा बाइनरी ऑपरेशन के रूप में है। रिंग का एक उदाहरण जो उपरोक्त संख्या प्रणालियों में से कोई नहीं है, एक बहुपद वलय है आप बहुपदों को जोड़ और गुणा कर सकते हैं, लेकिन बहुपद किसी भी सामान्य अर्थ में संख्या नहीं हैं।
+: ऊपर समूह सिद्धांत में गुणा देखें, और [[ गुणक समूह ]], जिसमें उदाहरण के लिए मैट्रिक्स गुणन शामिल है। एक बहुत ही सामान्य, और अमूर्त, गुणन की अवधारणा एक रिंग गणित में गुणात्मक रूप से निरूपित दूसरा बाइनरी संक्रिया के रूप में है। वलय का एक उदाहरण जो उपरोक्त संख्या प्रणालियों में से कोई नहीं है, एक बहुपद वलय है आप बहुपदों को जोड़ और गुणा कर सकते हैं, लेकिन बहुपद किसी भी सामान्य अर्थ में संख्या नहीं हैं।
 ;विभाजन
-: अक्सर विभाजन, <math>\frac{x}{y}</math>, व्युत्क्रम से गुणा के समान है, <math>x\left(\frac{1}{y}\right)</math>. कुछ प्रकार की संख्याओं के गुणन में बिना व्युत्क्रम के समान विभाजन हो सकता है; पूर्णांकीय प्रांत में x का कोई व्युत्क्रम नहीं हो सकता है<math>\frac{1}{x}</math>लेकिन <math>\frac{x}{y}</math> परिभाषित किया जा सकता है। एक विभाजन वलय में व्युत्क्रम होते हैं, लेकिन <math>\frac{x}{y}</math> गैर-कम्यूटेटिव रिंगों में अस्पष्ट हो सकता है क्योंकि <math>x\left(\frac{1}{y}\right)</math> के समान नहीं होना चाहिए <math>\left(\frac{1}{y}\right)x</math>.{{Citation needed|date=December 2021}}
+: विभाजन, <math>\frac{x}{y}</math>, व्युत्क्रम से गुणा के <math>x\left(\frac{1}{y}\right)</math> समान है.  समान  प्रकार की संख्याओं के गुणन के बिना व्युत्क्रम में  विभाजन हो सकता है; पूर्णांकीय डोमेन  में x का कोई व्युत्क्रम नहीं हो सकता है<math>\frac{1}{x}</math>लेकिन <math>\frac{x}{y}</math> परिभाषित किया जा सकता है। एक विभाजन वलय के व्युत्क्रम होते हैं, लेकिन <math>\frac{x}{y}</math> गैर-कम्यूटेटिव  वलय  में अस्पष्ट हो सकता है क्योंकि <math>x\left(\frac{1}{y}\right)</math>और <math>\left(\frac {1}{y}\right)x </math>के समान नहीं होना चाहिए

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