गुणा: Difference between revisions

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=== अनंत उत्पाद ===
=== अनंत उत्पाद ===
{{Main|अनंत उत्पाद}}
{{Main|अनंत उत्पाद}}
कोई अपरिमित रूप से अनेक पदों के गुणनफलों पर भी विचार कर सकता है; इन्हें [[ अनंत उत्पाद ]] कहा जाता है। उल्लेखनीय रूप से, इसमें ऊपर n को इन्फिनिटी प्रतीक द्वारा प्रतिस्थापित करना शामिल है। इस तरह के एक अनंत अनुक्रम के उत्पाद को पहले n शर्तों के उत्पाद के [[ अनुक्रम की सीमा ]] के रूप में परिभाषित किया जाता है, क्योंकि n बिना सीमा के बढ़ता  है,
अपरिमित रूप से अनेक पदों के गुणनफलों पर भी विचार कर सकता है ,अत: इन्हें [[ अनंत उत्पाद ]] कहा जाता है। उलेखनीय रूप से, इसमें n को अनंत प्रतीक ∞ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। अनंत अनुक्रम के उत्पाद को पहले n शर्तों के उत्पाद के [[ अनुक्रम की सीमा ]] के रूप में परिभाषित किया जाता है, क्योंकि n के बढ़ने की कोई सीमा ही नही है,
:<math>\prod_{i=m}^\infty x_i = \lim_{n\to\infty} \prod_{i=m}^n x_i.</math>
:<math>\prod_{i=m}^\infty x_i = \lim_{n\to\infty} \prod_{i=m}^n x_i.</math>
कोई इसी तरह m को नकारात्मक अनंतता से बदल सकता है, और परिभाषित कर सकता है:
इसी तरह m को नकारात्मक से अनंतता में बदल सकता है, और परिभाषित कर सकता है:
:<math>\prod_{i=-\infty}^\infty x_i = \left(\lim_{m\to-\infty}\prod_{i=m}^0 x_i\right) \cdot \left(\lim_{n\to\infty} \prod_{i=1}^n x_i\right),</math>
:<math>\prod_{i=-\infty}^\infty x_i = \left(\lim_{m\to-\infty}\prod_{i=m}^0 x_i\right) \cdot \left(\lim_{n\to\infty} \prod_{i=1}^n x_i\right),</math>
बशर्ते दोनों सीमाएं मौजूद हों।{{Citation needed|date=December 2021}}
बशर्ते दोनों की सीमाएं मौजूद हों।{{Citation needed|date=December 2021}}




== घातांक ==
== घातांक ==
{{Main|घातांक}}
{{Main|घातांक}}
जब गुणन दोहराया जाता है, तो परिणामी संक्रिया घातांक कहलाती है। उदाहरण के लिए, दो (2×2×2) के तीन कारकों का गुणनफल दो को तीसरी शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है, और इसे 2 से दर्शाया जाता है।<sup>3</sup>, एक दो [[ ऊपर की ओर लिखा हुआ ]] तीन के साथ। इस उदाहरण में, संख्या दो आधार है, और तीन घातांक है।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=घातांक|url=https://mathworld.wolfram.com/घातांक.html|access-date=2021-12-29|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> सामान्य तौर पर, एक्सपोनेंट (या सुपरस्क्रिप्ट) इंगित करता है कि अभिव्यक्ति में आधार कितनी बार प्रकट होता है, ताकि अभिव्यक्ति
जब गुणन दोहराया जाता है, तो परिणामी संक्रिया घातांक प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, दो (2×2×2) के तीन कारकों का गुणनफल दो को तीसरी घात तक बढ़ा दिया जाता है, और इसे 2 घात 3 से दर्शाया जाता है।, एक दो [[ ऊपर की ओर लिखा हुआ | सुपरस्क्रिप्ट]] तीन के साथ लिखा जाता है,
 
उदाहरण में, संख्या दो आधार है, और तीन घातांक है।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=घातांक|url=https://mathworld.wolfram.com/घातांक.html|access-date=2021-12-29|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> सामान्य तौर परप्रतिपादक तिपादकंट (या सुपस्क्रिप्ट) इंगि ताकिकव्यंजक (गणित)अभिव्यक्ति में आधार कितनी बार प्रकट होत निम्न है :ा है, ताकि अभिव्यक्ति
:<math>a^n = \underbrace{a\times a \times \cdots  \times a}_n</math>
:<math>a^n = \underbrace{a\times a \times \cdots  \times a}_n</math>
इंगित करता है कि आधार की n प्रतियां एक साथ गुणा की जानी हैं। इस अंकन का उपयोग तब भी किया जा सकता है जब गुणन को शक्ति सहयोगीता के रूप में जाना जाता है।
घातांक यह इंगित करता है, कि आधार की n प्रतियां एक साथ गुणा की जाती हैं। और इस अंकन का उपयोग तब भी किया जाता है जब गुणन को घात सहयोगीता के रूप में जाना जाता है।
 






== गुण ==
== गुण ==
[[Image:Multiplication chart.svg|thumb|right|संख्याओं का गुणन 0-10। रेखा लेबल = गुणन। एक्स-अक्ष = गुणक। Y-अक्ष = उत्पाद।<br>अन्य चतुर्थांशों में इस पैटर्न का विस्तार कारण बताता है कि एक ऋणात्मक संख्या गुणा एक ऋणात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या उत्पन्न करती है।<br>ध्यान दें कि कैसे शून्य से गुणा करने से आयामीता में कमी आती है, जैसा कि गुणन करता है एक एकल मैट्रिक्स द्वारा जहां निर्धारक 0 है। इस प्रक्रिया में, जानकारी खो जाती है और उसे वापस नहीं लाया जा सकता है।]]वास्तविक संख्या और जटिल संख्या संख्याओं के लिए, जिसमें शामिल हैं, उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याएं, पूर्णांक और परिमेय संख्या, गुणन में कुछ गुण होते हैं:
[[Image:Multiplication chart.svg|thumb|right|संख्याओं का गुणन 0-10। रेखा लेबल = गुणन। एक्स-अक्ष = गुणक। Y-अक्ष = उत्पाद।<br>अन्य चतुर्थांशों में इस पैटर्न का विस्तार कारण बताता है कि एक ऋणात्मक संख्या गुणा एक ऋणात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या उत्पन्न करती है।<br>ध्यान दें कि कैसे शून्य से गुणा करने से आयामीता में कमी आती है, जैसा कि गुणन करता है एक एकल मैट्रिक्स द्वारा जहां निर्धारक 0 है। इस प्रक्रिया में, जानकारी खो जाती है और उसे वापस नहीं लाया जा सकता है।]]वास्तविक संख्या और जटिल संख्या संख्याओं में शामिल हैं, उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याएं, पूर्णांक और परिमेय संख्या, गुणन में कुछ गुण होते हैं:


;क्रमचयी गुणधर्म
;क्रमचयी गुणधर्म

Revision as of 23:29, 21 February 2023

This article is about गणितीय कार्य विधि. For other uses, see गुणा (disambiguation).

<डिव क्लास = राइट>

Arithmetic operations
Addition (+)
Subtraction (−)
Multiplication (×)
Division (÷)
Exponentiation (^)
nth root (√)
Logarithm (log)
3 मार्बल्स के साथ 4 बैग/बैग बारह मार्बल्स (4 × 3 = 12) देते हैं।
गुणन को पैमाने के कारक भी माना जा सकता है। यहां हम देखते हैं कि स्केलिंग का उपयोग करके 2 को 3 से गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 6 मिलता है।
गुणा 2 × 3 = 6 के लिए एनिमेशन।
4 × 5 = 20। बड़ा आयत 20 वर्गों से बना है, प्रत्येक 1 इकाई 1 इकाई है।
एक कपड़े का क्षेत्रफल 4.5m × 2.5m = 11.25m2; 41/2 × 21/2 = 111/4

गुणन अक्सर गुणन चिन्ह द्वारा निरूपित किया जाता है ×, मध्य-पंक्ति संकेत और शब्दावली द्वारा ⋅, तुलना द्वारा, या, संगणक पर, तारक द्वारा * अंकगणित के चार प्राथमिक अंकगणितीय कार्य विधि में से एक है, अन्य जोड़, घटाव और भाग गणित हैं। गुणन संक्रिया के परिणाम को गुणनफल गणित कहा जाता है।

प्राकृतिक संख्या के गुणन को गुणन और बार-बार जोड़ के रूप में जाना जाता है; अर्थात्, दो संख्याओं का गुणन उनमें से एक की कई प्रतियों को जोड़ने के बराबर है, गुण्य, दूसरे की मात्रा के रूप में, गुणक होता है। दोनों संख्याओं को कारकों के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, 4 का 3 से गुणा किया जाता है, जिसे अक्सर इस रूप में लिखा जाता है और 3 गुना 4 के रूप में बोला जाता है, इसकी गणना 4 की 3 प्रतियों को एक साथ जोड़कर भी की जा सकती है:

यहाँ, 3 गुणक और 4 गुणक गुणनखंड हैं, और 12 गुणनफल है।

गुणन के मुख्य गुणों में से एक क्रमचयी गुणधर्म है, जो इस स्थिति में बताता है कि 4 की 3 प्रतियां जोड़ने से 3 की 4 प्रतियां जोड़ने के समान परिणाम मिलता है:

इस प्रकार गुणक और गुणक का पदनाम गुणन के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।इस मूल परिभाषा के व्यवस्थित सामान्यीकरण पूर्णांकों ऋणात्मक संख्याओं सहित, परिमेय संख्याओं के अंशों और वास्तविक संख्याओं के गुणन को परिभाषित करता हैं।

गुणन के एक आयत में पूर्ण संख्याओं के लिए व्यवस्थित वस्तुओं की गिनती के रूप में भी देखा जा सकता है या आयत के क्षेत्रफल को खोज के रूप में देखा जा सकता है, जिनके पक्षों में कुछ दी गई लंबाई है। एक आयत का क्षेत्रफल इस बात पर निर्भर नहीं करता है,कि किस पक्ष को पहले मापा जाता है,यह क्रमविनिमेय विशेषता का एक परिणाम है।

दो मापों का गुणन एक नए प्रकार का मापन है। उदाहरण के लिए, किसी आयत की दोनों भुजाओं की लंबाइयों को गुणा करने पर उसका क्षेत्रफल प्राप्त होता है। ऐसा गुणनआयामी विश्लेषण का विषय है।

गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया विभाजन है। उदाहरण के लिए, 4 को 3 से गुणा करने पर 12 प्राप्त होता है, तो 12 को 3 से विभाजित करने पर भी 4 प्राप्त होता है। वास्तव में, 3 से गुणा करने पर 3 से भाग करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। 0 के अलावा किसी अन्य संख्या का विभाजन 1 के बराबर होता है।

गुणन को अन्य प्रकार की संख्याओं के लिए भी परिभाषित किया गया है, जैसे कि सम्मिश्र संख्याएँ , और अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए मैट्रिक्