गुणा: Difference between revisions

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=== कंप्यूटर एल्गोरिदम ===
=== कंप्यूटर एल्गोरिदम ===
{{main|गुणन एल्गोरिथ्म बड़े इनपुट के लिए तेजी से गुणा एल्गोरिदम}}
{{main|गुणन एल्गोरिथ्म बड़े इनपुट के लिए तेजी से गुणा एल्गोरिदम}}
दो n-अंकीय संख्याओं को गुणा करने की शास्त्रीय विधि के लिए  ''n''<sup>2</sup> अंकों के गुणन की आवश्यकता होती है।  बड़ी संख्या को गुणा करते समय गणना समय को काफी कम  करने के लिए गुणन एल्गोरिदम को डिज़ाइन किया गया है । बड़े पूर्णांकों का गुणन असतत फूरियर रूपांतरण पर आधारित विधियाँ कम्प्यूटेशनल जटिलता को कम करता है {{math|''O''(''n'' log ''n'' log log ''n'')}}. 2016 में, कारक {{math|log log ''n''}} एक फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था जो बहुत धीमी गति से बढ़ता है, हालांकि अभी भी स्थिर नहीं है। मार्च 2019 में, डेविड हार्वे और जोरिस वैन डेर होवेन ने एक जटिलता के साथ एक पूर्णांक गुणन एल्गोरिथ्म प्रस्तुत करते हुए एक पेपर प्रस्तुत किया <math>O(n\log n).</math>एल्गोरिथम, फास्ट फूरियर परिवर्तन पर भी आधारित है, जिसे एसिम्प्टोटिक रूप से इष्टतम माना जाता है। एल्गोरिथ्म व्यावहारिक रूप से उपयोगी नहीं है, क्योंकि यह केवल बहुत बड़ी संख्याओं को (इससे अधिक होने पर {{math|2<sup>1729<sup>12</sup></sup>}} बिट्स।) को गुणा करने के लिए तेज़ हो जाता है ।  
दो n-अंकीय संख्याओं को गुणा करने की शास्त्रीय विधि के लिए  ''n''<sup>2</sup> अंकों के गुणन की आवश्यकता होती है।  बड़ी संख्या को गुणा करते समय गणना समय को काफी कम  करने के लिए गुणन एल्गोरिदम को डिज़ाइन किया गया है । बड़े पूर्णांकों का गुणन असतत फूरियर रूपांतरण पर आधारित विधियाँ कम्प्यूटेशनल जटिलता को कम करता है {{math|''O''(''n'' log ''n'' log log ''n'')}}. 2016 में, कारक {{math|log log ''n''}} एक फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था जो बहुत धीमी गति से बढ़ता है, हालांकि अभी भी स्थिर नहीं है। मार्च 2019 में, डेविड हार्वे और जोरिस वैन डेर होवेन ने एक जटिलता के साथ एक पूर्णांक गुणन एल्गोरिथ्म प्रस्तुत करते हुए एक पेपर प्रस्तुत किया <math>O(n\log n).</math>एल्गोरिथम, फास्ट फूरियर परिवर्तन पर भी आधारित है, जिसे एसिम्प्टोटिक रूप से इष्टतम माना जाता है। एल्गोरिथ्म व्यावहारिक रूप से उपयोगी नहीं है, क्योंकि यह केवल बहुत बड़ी संख्याओं को (इससे अधिक होने पर {{math|2<sup>1729<sup>12</sup></sup>}} बिट्स।) को गुणा करने के लिए तेज़ हो जाता है ।  




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जब दो मापों को एक साथ गुणा किया जाता है, तो गुणन माप के प्रकार के आधार पर एक प्रकार का होता है। इसे सामान्य सिद्धांत आयामी विश्लेषण द्वारा दिया गया है। यह विश्लेषण भौतिकी में नियमित रूप से लागू होता है, लेकिन इसमें वित्त और अन्य अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में भी अनुप्रयोग हैं।


भौतिकी में एक सामान्य उदाहरण यह तथ्य है कि भौतिकी में गति को समय से गुणा करने पर [[ दूरी ]] मिलती है। उदाहरण के लिए:
जब दो मापों को एक साथ गुणा किया जाता है, तो गुणन माप के प्रकार के आधार पर एक प्रकार का होता है। इसे सामान्य सिद्धांत आयामी विश्लेषण द्वारा दिया गया है। यह विश्लेषण भौतिकी में नियमित रूप से लागू होता है, लेकिन इसमें वित्त और अन्य अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में भी से सम्मिलित हैं।
 
भौतिकी में एक सामान्य तथ्य यह है कि भौतिकी में गति को समय से गुणा करने पर [[ दूरी ]] मिलती है। उदाहरण के लिए:
:50 किलोमीटर प्रति घंटा × 3 घंटे = 150 किलोमीटर।
:50 किलोमीटर प्रति घंटा × 3 घंटे = 150 किलोमीटर।
इस मामले में, घंटे की इकाइयां रद्द हो जाती हैं, उत्पाद को केवल किलोमीटर इकाइयों के साथ छोड़ दिया जाता है।
इस मामले में, घंटे की मापन की इकाई रद्द हो जाती हैं, उत्पाद को केवल किलोमीटर मापन की इकाई के साथ रहने दिया जाता है।


इकाइयों से जुड़े गुणन के अन्य उदाहरणों में शामिल हैं:
मापन इकाइयों से जुड़े गुणन के अन्य उदाहरणों में शामिल हैं:
: 2.5 मीटर × 4.5 मीटर = 11.25 वर्ग मीटर
: 2.5 मीटर × 4.5 मीटर = 11.25 वर्ग मीटर
: 11 मीटर/सेकंड × 9 सेकंड = 99 मीटर
: 11 मीटर/सेकंड × 9 सेकंड = 99 मीटर
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=== कैपिटल पाई नोटेशन===<!--This section is linked from [[Pi (letter)]], [[Capital Pi notation]], [[Capital pi notation]]-->
=== कैपिटल पाई अंकन===<!--This section is linked from [[Pi (letter)]], [[Capital Pi notation]], [[Capital pi notation]]-->
{{Further information|
{{Further information|
पुनरावृत्त बाइनरी ऑपरेशन #  नोटेशन}}
पुनरावृत्त बाइनरी ऑपरेशन #  नोटेशन}}
गुणनखंडों के अनुक्रम के गुणनफल को गुणन चिह्न के साथ लिखा जा सकता है <math>\textstyle \prod</math>, जो [[ ग्रीक वर्णमाला ]] के बड़े अक्षर Π (पाई) से निकला है बिल्कुल उसी तरह जैसे [[ योग प्रतीक ]] <math>\textstyle \sum</math> ग्रीक अक्षर सिग्मा से लिया गया है। इस अंकन का अर्थ द्वारा दिया गया है
गुणनखंडों के अनुक्रम के गुणनफल को गुणन चिह्न के साथ लिखा जा सकता है <math>\textstyle \prod</math>, जो [[ ग्रीक वर्णमाला ]] के बड़े अक्षर Π (पाई) से निकला है बिल्कुल उसी तरह जैसे [[ योग प्रतीक ]] <math>\textstyle \sum</math> ग्रीक अक्षर सिग्मा से लिया गया है। इस अंकन का अर्थ  
 
है
:<math>\prod_{i=1}^4 (i+1) = (1+1)\,(2+1)\,(3+1)\, (4+1),</math>
:<math>\prod_{i=1}^4 (i+1) = (1+1)\,(2+1)\,(3+1)\, (4+1),</math>
जिसके परिणामस्वरूप
जिसके परिणामस्वरूप
:<math>\prod_{i=1}^4 (i+1) = 120.</math>
:<math>\prod_{i=1}^4 (i+1) = 120.</math>
ऐसे अंकन में, चर गणित  {{mvar|i}} एक भिन्न [[ पूर्णांक ]] का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे गुणन सूचकांक कहा जाता है, जो निम्न मान से चलता है {{math|1}} सबस्क्रिप्ट में ऊपरी मूल्य के लिए संकेत दिया गया है {{math|4}} सुपरस्क्रिप्ट द्वारा दिया गया। उत्पाद ऑपरेटर का अनुसरण करने वाली अभिव्यक्ति में निचले और ऊपरी मूल्यों में  शामिल सीमा के बीच एक पूर्णांक के लिए गुणन सूचकांक को प्रतिस्थापित करके प्राप्त सभी कारकों को एक साथ गुणा करके उत्पाद प्राप्त किया जाता है।
ऐसे अंकन में, चर गणित  {{mvar|i}} एक भिन्न [[ पूर्णांक ]] का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे गुणन सूचकांक कहा जाता है, जो निम्न मान {{math|1}} से चलता है तथा ऊपरी मूल्य के लिए {{math|4}} संकेत दिया गया है सुपरस्क्रिप्ट सबस्क्रिप्ट द्वारा दिया गया है। उत्पाद ऑपरेटर के द्वारा निचले और ऊपरी मूल्यों में  शामिल सीमा के बीच एक पूर्णांक के लिए गुणन सूचकांक को प्रतिस्थापित करके प्राप्त सभी कारकों को एक साथ गुणा करके उत्पाद प्राप्त किया जाता है।
 
सामान्यतः आम तौर पर अंकन के रूप में परिभाषित किया गया है
 


अधिक सामान्यतः, अंकन के रूप में परिभाषित किया गया है
:<math>\prod_{i=m}^n x_i = x_m \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \,\,\cdots\,\, \cdot x_{n-1} \cdot x_n,</math>
:<math>\prod_{i=m}^n x_i = x_m \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \,\,\cdots\,\, \cdot x_{n-1} \cdot x_n,</math>
जहाँ m और n पूर्णांक या व्यंजक हैं जो पूर्णांकों का मूल्यांकन करते हैं। मामले में जहां {{nowrap|1=''m'' = ''n''}}, गुणनफल का मान वही है जो एकल कारक x का है<sub>''m''</sub>; यदि {{nowrap|''m'' > ''n''}}, उत्पाद एक [[ खाली उत्पाद ]] है जिसका मान 1 है—कारकों के लिए व्यंजक पर ध्यान दिए बिना।
जहाँ m और n पूर्णांक या व्यंजक हैं जो पूर्णांकों का मूल्यांकन करते हैं। जहां स्थिति में {{nowrap|1=''m'' = ''n''}}, गुणनफल का मान वही है जो एकल कारक xm; का है यदि {{nowrap|''m'' > ''n''}}, उत्पाद एक [[ खाली उत्पाद | खाली उत्पाद (]]कारकों के लिए व्यंजक पर ध्यान दिए बिना।) है जिसका मान 1 है—


==== पूंजी पाई संकेतन के गुण ====
==== पूंजी पाई संकेतन के गुण ====
परिभाषा से,
परिभाषा से,
:<math>\prod_{i=1}^{n}x_i=x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_n.</math>
:<math>\prod_{i=1}^{n}x_i=x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_n.</math>
यदि सभी कारक समान हैं, तो का एक उत्पाद {{mvar|n}} कारक [[ घातांक ]] के बराबर है:
यदि सभी कारक समान हैं, तो उत्पाद  के एक बराबर {{mvar|n}} कारक [[ घातांक | घातांक]] है:
:<math>\prod_{i=1}^{n}x=x\cdot x\cdot\ldots\cdot x=x^n.</math>
:<math>\prod_{i=1}^{n}x=x\cdot x\cdot\ldots\cdot x=x^n.</math>
गुणन की साहचर्यता और [[ क्रमविनिमेयता ]] का अर्थ है
गुणन की साहचर्यता और [[ क्रमविनिमेयता ]] का अर्थ है
:<math>\prod_{i=1}^{n}{x_iy_i} =\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)\left(\prod_{i=1}^{n}y_i\right)</math> तथा
:<math>\prod_{i=1}^{n}{x_iy_i} =\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)\left(\prod_{i=1}^{n}y_i\right)</math> तथा
:<math>\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^a =\prod_{i=1}^{n}x_i^a</math>
:<math>\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^a =\prod_{i=1}^{n}x_i^a</math>
यदि {{mvar|a}} एक ऋणात्मक पूर्णांक है, या यदि सभी <math>x_i</math> धनात्मक [[ वास्तविक संख्या ]]एँ हैं, और
यदि {{mvar|a}} एक ऋणात्मक पूर्णांक है, या यदि सभी <math>x_i</math> धनात्मक [[ वास्तविक संख्या |वास्तविक संख्याए]]
:<math>\prod_{i=1}^{n}x^{a_i} =x^{\sum_{i=1}^{n}a_i}</math>
 
मैं गिरा <math>a_i</math> गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, या यदि {{mvar|x}} एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।
 
 
हैं,
 
 
:हैं, और <math>\prod_{i=1}^{n}x^{a_i} =x^{\sum_{i=1}^{n}a_i}</math>
सभी <math>a_i</math> गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, या यदि {{mvar|x}} एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।


=== अनंत उत्पाद ===
=== अनंत उत्पाद ===

Revision as of 10:29, 21 February 2023

This article is about गणितीय कार्य विधि. For other uses, see गुणा (disambiguation).

<डिव क्लास = राइट>

Arithmetic operations
Addition (+)
Subtraction (−)
Multiplication (×)
Division (÷)
Exponentiation (^)
nth root (√)
Logarithm (log)
3 मार्बल्स के साथ 4 बैग/बैग बारह मार्बल्स (4 × 3 = 12) देते हैं।
File:Multiply scaling.svg
गुणन को पैमाने के कारक भी माना जा सकता है। यहां हम देखते हैं कि स्केलिंग का उपयोग करके 2 को 3 से गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 6 मिलता है।
Error creating thumbnail:
गुणा 2 × 3 = 6 के लिए एनिमेशन।
File:Multiplication scheme 4 by 5.jpg
4 × 5 = 20। बड़ा आयत 20 वर्गों से बना है, प्रत्येक 1 इकाई 1 इकाई है।
File:Multiply field fract.svg
एक कपड़े का क्षेत्रफल 4.5m × 2.5m = 11.25m2; 41/2 × 21/2 = 111/4

गुणन अक्सर गुणन चिन्ह द्वारा निरूपित किया जाता है ×, मध्य-पंक्ति संकेत और शब्दावली द्वारा ⋅, तुलना द्वारा, या, संगणक पर, तारक द्वारा * अंकगणित के चार प्राथमिक अंकगणितीय कार्य विधि में से एक है, अन्य जोड़, घटाव और भाग गणित हैं। गुणन संक्रिया के परिणाम को गुणनफल गणित कहा जाता है।

प्राकृतिक संख्या के गुणन को गुणन और बार-बार जोड़ के रूप में जाना जाता है; अर्थात्, दो संख्याओं का गुणन उनमें से एक की कई प्रतियों को जोड़ने के बराबर है, गुण्य, दूसरे की मात्रा के रूप में, गुणक होता है। दोनों संख्याओं को कारकों के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, 4 का 3 से गुणा किया जाता है, जिसे अक्सर इस रूप में लिखा जाता है और 3 गुना 4 के रूप में बोला जाता है, इसकी गणना 4 की 3 प्रतियों को एक साथ जोड़कर भी की जा सकती है: