चर परिवर्तन: Difference between revisions

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=== स्केन करना और भेजना ===
=== स्केन करना और भेजना ===
सबसे सरल परिवर्तन सत्यापन योग स्कैन करके भेजना होता है जो उन्हें नए सत्यापन के साथ बदल देता है जो निरंतर मात्रा में फैले और स्थानांतरित होते हैं। तथा भौतिक मापदंडों की समस्याओं से बाहर निकलने के लिए व्यावहारिक अनुप्रयोगों में यह बहुत साधारण होते हैं। इन के लिए व्यूत्पन्न, परिवर्तन केवल परिणाम देता है।
सबसे सरल परिवर्तन सत्यापन योग स्कैन करके भेजना होता है जो उन्हें नए सत्यापन के साथ बदल देता है तथा जो निरंतर मात्रा में फैले और स्थानांतरित होते हैं और भौतिक मापदंडों की समस्याओं से बाहर निकलने के लिए व्यावहारिक अनुप्रयोगों में यह बहुत साधारण होते हैं इसलिए  व्यूत्पन्न परिवर्तन केवल परिणाम देता है जो इस प्रकार है-


:<math>\frac{d^n y}{d x^n} = \frac{y_\text{scale}}{x_\text{scale}^n} \frac{d^n \hat y}{d \hat x^n}</math>
:<math>\frac{d^n y}{d x^n} = \frac{y_\text{scale}}{x_\text{scale}^n} \frac{d^n \hat y}{d \hat x^n}</math>
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:<math>x = \hat x x_\text{scale} + x_\text{shift}</math>
:<math>x = \hat x x_\text{scale} + x_\text{shift}</math>
:<math>y = \hat y y_\text{scale} + y_\text{shift}.</math>
:<math>y = \hat y y_\text{scale} + y_\text{shift}.</math>
यह श्रृंखला नियम और विभेदीकरण की रैखिकता के माध्यम से आसानी से दिखाई जा सकती है। भौतिक मापदंडों की समस्याओं से बाहर निकालने के लिए व्यावहारिक अनुप्रयोगों में यह परिवर्तन हुआ उदाहरण के लिए, सीमा मान समस्या
यह श्रृंखला नियम और विभेदीकरण की रैखिकता के माध्यम से आसानी से दिखाई जा सकती है जबकि भौतिक मापदंडों की समस्याओं से बाहर निकलने के लिए व्यावहारिक अनुप्रयोगों में यह परिवर्तन हुआ उदाहरण  


:<math>\mu \frac{d^2 u}{d y^2} = \frac{d p}{d x} \quad ; \quad u(0) = u(L) = 0</math>
:<math>\mu \frac{d^2 u}{d y^2} = \frac{d p}{d x} \quad ; \quad u(0) = u(L) = 0</math>
दूरी सिग्मा द्वारा अलग की गई सपाट ठोस दीवारों के बीच समानांतर द्रव प्रवाह का वर्णन म्यू करता है और <math>d p/d x</math> [[दाब प्रवणता]], दोनों स्थिरांक चरों को स्केल करके समस्या बन जाता है।
दूरी सिग्मा द्वारा अलग की गई सपाट ठोस दीवारों के बीच समानांतर द्रव प्रवाह का वर्णन म्यू करता है और <math>d p/d x</math> [[दाब प्रवणता]] तथा दोनों स्थिरांक चरों को स्केल करके समस्या सरल करता है।


:<math>\frac{d^2 \hat u}{d \hat y^2} = 1 \quad ; \quad \hat u(0) = \hat u(1) = 0</math>
:<math>\frac{d^2 \hat u}{d \hat y^2} = 1 \quad ; \quad \hat u(0) = \hat u(1) = 0</math>
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:<math>y = \hat y L \qquad \text{and} \qquad u = \hat u \frac{L^2}{\mu} \frac{d p}{d x}.</math>
:<math>y = \hat y L \qquad \text{and} \qquad u = \hat u \frac{L^2}{\mu} \frac{d p}{d x}.</math>
स्केलिंग कई कारणों से उपयोगी है यह मापदंडों की संख्या को कम करके और समस्या को सरल बनाकर विश्लेषण को सरल बनाता है। जो उचित स्केलिंग वेरिएबल्स को सामान्य कर सकती है, जो 0 से 1 इकाई रहित श्रेणी बनाती है। अंत में यदि कोई समस्या संख्यात्मक निराकरण को अनिवार्य करती है, तो पैरामीटर की संख्या कम होती है।
स्केलिंग कई कारणों से उपयोगी है जबकि यह मापदंडों की संख्या को कम करके और समस्या को सरल बनाकर विश्लेषण को सरल बनाता है जो उचित स्केलिंग सत्यापन योग को सामान्य करती है जो शून्य से एक इकाई रहित श्रेणी बनाती है अंत में यदि कोई समस्या संख्यात्मक निराकरण को अनिवार्य करती है तो पैरामीटर की संख्या कम होती है।


=== संवेग बनाम वेग ===
=== संवेग बनाम वेग ===
समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें-
समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें-
: <math>
:
\begin{align}
m \dot v & = - \frac{ \partial H }{ \partial x } \\[5pt]
m \dot x & = \frac{ \partial H }{ \partial v }
\end{align}
</math>
किसी दिए गए चर को <math>H(x, v)</math> प्रतिस्थापन द्वारा समाप्त किया जा सकता है <math>\Phi(p) = 1/m \cdot p</math> स्पष्ट रूप से यह एक विशेषण मानचित्र आर को आर प्रतिस्थापन के तहत वी = थीटा प्रणाली कहा जाता है।
किसी दिए गए चर को <math>H(x, v)</math> प्रतिस्थापन द्वारा समाप्त किया जा सकता है <math>\Phi(p) = 1/m \cdot p</math> स्पष्ट रूप से यह एक विशेषण मानचित्र आर को आर प्रतिस्थापन के तहत वी = थीटा प्रणाली कहा जाता है।


Revision as of 19:43, 1 March 2023

गणित में चरों का परिवर्तन एक मूलभूत तकनीक है जिसका उपयोग समस्याओं को सरल बनाने के लिए किया जाता है जिसमें मूल चर को अन्य चर में बदल दिया जाता है इसका उद्देश्य यह है कि जब नए चरों को किसी अचर शब्दों में व्यक्त किया जाता है तो समस्या सरल हो सकती है तथा यह बेहतर समझी जाने वाली समस्या के बराबर मानी जाती है।

चरों का परिवर्तन एक संक्रिया है जो प्रतिस्थापन से संबंधित है जबकि ये अलग-अलग संक्रिया पर कार्य करती है तथा एक जैसा भेदभाव श्रृंखला नियम या एकीकरण तथा प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण पर विचार करते समय देखा गया है।

उपयोगी चर परिवर्तन का एक बहुत ही सरल उदाहरण है यह छठी डिग्री पर बहुपद की जड़ों को खोजने की समस्या में सहायता करता है जैसे-

रेडिकल के संदर्भ में छठी-डिग्री बहुपद समीकरणों को हल करना असंभव है एबेल-रफिनी प्रमेय जबकि यह विशेष समीकरण है

यह बहुपद अपघटन की एक साधारण स्थित है। जो एक नए चर को परिभाषित करके समीकरण को सरल बना सकती है तथा एक्स को प्रतिस्थापित करके बहुपद में बदल दिया जाता है।

दो निराकरणों के साथ एक दिघात समीकरण इस प्रकार है।

मूल चर के संदर्भ में एक्स को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है।

जबकि वास्तविक समस्या निराकरण पर बल देती है तथा

वास्तविक संख्या निराकरण में रुचि रखता है जिसका मूल समीकरण यह है।


सरल उदाहरण

समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें जो इस प्रकार है

जहां एक्स और वाई धनात्मक पूर्णांक है

स्रोत 1991 में अमेरिकी साधारण गणित परीक्षा

इसे सामान्य रूप से हल करना बहुत कठिन नहीं है जबकि हम दूसरे समीकरण को इस प्रकार लिखते हैं जो और प्रणाली को कम कर देता है तथा इसका समाधान करते हैं और पहले क्रमित युग्म का पिछला-प्रतिस्थापन हमें यह बताता है कि, तथा दूसरी ओर हमें पिछला-प्रतिस्थापन यह होता है , जिसका कोई निराकरण नहीं होता है इसलिए प्रणाली को हल करने वाला निराकरण इस प्रकार है।

अधिकृत परिचय

ए, बी का कई गुना है थीटा:ए>बी के बीच भिन्नता है।थीटा एक आर निरंतर अवकलनीय, विशेषण मानचित्र से ए को बी के साथ और लगातार अवकलनीय प्रतिलोम में ए या बी तथाआर भी प्राकृतिक संख्या (या शून्य) हो सकती है, सिग्मा या ओमेगा (विश्लेषणात्मक कार्य) है।

नक्शा थीटा एक नियमित समन्वय या नियमित चर प्रतिस्थापन कहा जाता है, जहां नियमित रूप से हल है कि को सामान्यतः थीटा लिखा जा सकता है।