चर परिवर्तन

गणित में, चरों का परिवर्तन एक बुनियादी तकनीक है जिसका प्रयोग समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है जिसमें मूल चर (गणित) को अन्य चरों के कार्यों (गणित) से बदल दिया जाता है। तो समस्या हल हो सकती है, यह बेहतर समझी जाने वाली प्रक्रिया है।

चरों का परिवर्तन एक संक्रिया है जो प्रतिस्थापन (बीजगणित) से संबंधित है। जबकि ये अलग-अलग क्षेत्र में हैं, जैसा कि श्रृंखला नियम को अलग-अलग प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण पर विचार करते समय देखा जा सकता है।

उपयोगी चर परिवर्तन का एक बहुत ही सरल उदाहरण है।जो छठी डिग्री बहुपद की जड़ों को खोजने की समस्या में बदल दिया जाता है।

$x^{6}-9x^{3}+8=0.$

मूल परिवर्तनवादी में छठी-डिग्री के बहुपद समीकरणों को हल करना सामान्यतः असंभव है (एबेल-रफिनी प्रमेय देखें)। जबकि यह विशेष समीकरण है।

$(x^{3})^{2}-9(x^{3})+8=0$

यह बहुपद अपघटन की एक साधारण स्थित है। जो एक नए चर को परिभाषित करके समीकरण को सरल बनाया जा सकता है। $u=x^{3}$ द्वारा एक्स को प्रतिस्थापित करके ${\sqrt[{3}]{u}}$ बहुपद में बदल जाता है।

$u^{2}-9u+8=0,$

दो निराकरणों के साथ एक द्विघात समीकरण होती है।

$u=1\quad {\text{and}}\quad u=8.$

मूल चर के संदर्भ में एक्स को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है। जो बैक इन फॉर यू देता है।

$x^{3}=1\quad {\text{and}}\quad x^{3}=8.$

जबकि वास्तविक समस्या निराकरण पर बल देती है।

वास्तविक संख्या निराकरण में रुचि रखता है, यह मूल समीकरण है।

$x=(1)^{1/3}=1\quad {\text{and}}\quad x=(8)^{1/3}=2.$

सरल उदाहरण

समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें-

$xy+x+y=71$

$x^{2}y+xy^{2}=880$

जहां एक्स और वाई धनात्मक पूर्णांक हैं। एक्स>वाई

(स्रोत: 1991 अमेरिकी साधारणंत्रण गणित परीक्षा)

इसे सामान्य रूप से हल करना बहुत कठिन नहीं है, यह थोड़ा कठिन हो सकता है। जबकि, हम दूसरे समीकरण को फिर से लिख सकते हैं।$xy(x+y)=880$. प्रतिस्थापन बनाना $s=x+y$ और $t=xy$ प्रणाली को कम कर देता है तथा $s+t=71,st=880$. इसका समाधान देता है, $(s,t)=(16,55)$ और $(s,t)=(55,16)$. पहले क्रमित युग्म का पिछला-प्रतिस्थापन हमें देता है। $x+y=16,xy=55,x>y$, जो समाधान देता है $(x,y)=(11,5).$ दूसरी ओर जोड़ी को पिछला-प्रतिस्थापन करना होता है $x+y=55,xy=16,x>y$