स्क्विर्कल: Difference between revisions

Revision as of 22:10, 13 February 2023

उद्गम पर केन्द्रित वर्गाकार (

a = b = 0

) सामान्य त्रिज्या के साथ

r = 1

:

x 4 + y 4 = 1

वर्गाकार वृत्त के वर्ग (ज्यामिति) और वृत्त के बीच का मध्यवर्ती आकार का होता है। उपयोग में स्क्विर्कल की कम से कम दो परिभाषाएँ होती हैं, जिनमें से सबसे आम सुपेरेल्लिप्से पर आधारित होती है। स्क्विर्कल शब्द वर्ग और वृत्त शब्दों का मेल होती है। डिज़ाइन और प्रकाशिकी में स्क्वायरल्स प्रयुक्त किया गया हैं।

सुपरलिप्स-आधारित स्क्विर्कल

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, सुपरलिप्स को समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है

\left|{\frac {x-a}{r_{a}}}\right|^{n}+\left|{\frac {y-b}{r_{b}}}\right|^{n}=1,

कहाँ

r a

और

r b

सेमीमेजर एक्सिस होता हैं| सेमी-मेजर और अर्ध-लघु अक्ष सेमी-माइनर एक्सिस,

a

और

b

हैं

x

और

y

अंडाकार के केंद्र के निर्देशांक, और

n

धनात्मक संख्या होती है। स्क्विर्कल को तब सुपरलिप्स के रूप में परिभाषित किया जाता है

r a = r b

और

n = 4

. इसका समीकरण होता है: ^[1]

\left(x-a\right)^{4}+\left(y-b\right)^{4}=r^{4}

कहाँ

r

वर्गाकार की लघु त्रिज्या है। इसकी तुलना वृत्त या समीकरण से करें। जब स्क्विर्कल मूल पर केंद्रित होता है, तब

a = b = 0

, और इसे लेमे का विशेष क्वार्टिक कहा जाता है।

गामा समारोह के संदर्भ में स्क्वायरल के अंदर का क्षेत्र व्यक्त किया जा सकता है $Γ$ जैसा ^[1]

\mathrm {Area} =4r^{2}{\frac {\left(\operatorname {\Gamma } \left(1+{\frac {1}{4}}\right)\right)^{2}}{\operatorname {\Gamma } \left(1+{\frac {2}{4}}\right)}}={\frac {8r^{2}\left(\operatorname {\Gamma } \left({\frac {5}{4}}\right)\right)^{2}}{\sqrt {\pi }}}=\varpi {\sqrt {2}}\,r^{2}\approx 3.708149\,r^{2},

कहाँ

r

वर्गाकार की सामान्य त्रिज्या होती है, और

\varpi

लेमनिसकेट स्थिरांक होती है।

पी-मानक संकेतन

एलपी स्पेस के संदर्भ में या परिमित आयामों में पी-नॉर्म | $p$ -आदर्श $‖ \cdot ‖ p$ पर $R 2$ , स्क़ुइर्क्ले के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{c}\right\|_{p}=r

कहाँ

p = 4

,

x c = (a, b)

वेक्टर वर्ग के केंद्र को दर्शाता जाता है, और

x = (x, y)

. प्रभावी रूप से,यह अभी भी दूरी पर बिंदुओं का चक्र होती है

r

केंद्र से, किन्तु दूरी को अलग तरह से परिभाषित किया गया है। तुलना के लिए, सामान्य चक्र की स्थिति है

p = 2

, जबकि वर्ग द्वारा दिया जाता है

p \to \infty

स्थिति (समान मानदंड), और घुमाया हुआ वर्ग द्वारा दिया गया है

p = 1

(टैक्सीकैब मानदंड)। यह गोलाकार घन, या स्फूब के लिए सीधा सामान्यीकरण की अनुमति देता है

R 3

, या उच्च आयामों में हाइपरस्पूब होता है। ^[2]

फर्नांडीज-गुआस्टी स्क्विर्कल

ऑप्टिक्स में काम से और स्क्विर्कल आता है।^[3]^[4] इसके लेखक के नाम पर इसे फर्नांडीज-गुआस्टी स्क्विर्कल कहा जा सकता है, जिससे इसे ऊपर के सुपरलिप्स-संबंधित स्क्विर्कल से अलग किया जा सके।^[2] इस प्रकार की चक्कर के मूल पर केंद्रित किया जाता है,समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:

x^{2}+y^{2}-{\frac {s^{2}}{r^{2}}}x^{2}y^{2}=r^{2}

कहाँ

r

वर्गाकार की सामान्य त्रिज्या होती है,

s

चौकोरपन पैरामीटर होती है, और

x

और

y

अंतराल में हैं (गणित)

[- r, r]

. यदि

s = 0

, समीकरण वृत्त है; यदि

s = 1

, यह वर्ग है। यह समीकरण अनंतता को सम्मिलित किए बिना वृत्त से वर्ग तक संक्रमण के सहज पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति) की अनुमति देता है।

समान आकार

स्क्विर्कल (नीला) गोल वर्ग की तुलना में (लाल). (बड़ी छवि)

स्क्विर्कल के समान आकार, जिसे ए कहा जाता है गोलाकार वर्ग,वृत्त के चार चौथाई हिस्सों को अलग करके और उनके ढीले सिरों को सीधी रेखा (ज्यामिति) से जोड़कर,या वर्ग के चारों पक्षों को अलग करके और उन्हें चौथाई-वृत्तों से जोड़कर उत्पन्न किया जा सकता है। इस तरह की आकृति बहुत मिलती-जुलती होती है किन्तु स्क्विर्कल के समान नहीं है। चूंकि गोलाकार वर्ग का निर्माण अवधारणात्मक और शारीरिक रूप से सरल हो सकता है, स्क्वायरकल में सरल समीकरण होता है और इसे अधिक आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है। इसका परिणाम यह है कि स्क्विर्कल और अन्य सुपरलिप्स को आसानी से ऊपर या नीचे बढ़ाया जा सकता है। यह उपयोगी होती है, उदाहरण के लिए, कोई नेस्टेड स्क्वायर बनाना चाहता है।

काटे गए वृत्त के विभिन्न रूप

अन्य समान आकार ट्रंकेशन (ज्यामिति) सर्कल है, वर्ग से घिरे क्षेत्रों के चौराहे (सेट सिद्धांत) की सीमा और केंद्रित सर्कल द्वारा जिसका व्यास वर्ग के किनारे की लंबाई से अधिक होती है और इससे कम है वर्ग के विकर्ण की लंबाई (जिससे प्रत्येक आकृति में आंतरिक बिंदु हों जो दूसरे के आंतरिक भाग में न हों)। इस तरह की आकृतियों में सुपरएलिप्सिड और गोल वर्गों दोनों के पास स्पर्शरेखा निरंतरता का अभाव होता है।

गोलाकार घन को सुपरेलिप्सोइड्स के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है।

उपयोग करता है

प्रकाशिकी में स्क्विर्कल्स उपयोगी होते हैं। यदि प्रकाश द्वि-आयामी स्क्वायर एपर्चर के माध्यम से पारित किया जाता है, तो विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय स्थान को स्क्वायरकल या सुपरसर्कल द्वारा बारीकी से तैयार किया जा सकता है। यदि आयताकार एपर्चर का उपयोग किया जाता है, तो स्पॉट को सुपरलिप्स द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।^[4]

प्लेट (डिशवेयर) के निर्माण के लिए स्क्वायरल्स का भी उपयोग किया गया है। वर्गाकार प्लेट में समान त्रिज्या वाले गोलाकार प्लेट की तुलना में बड़ा क्षेत्र होता है (और इस प्रकार अधिक भोजन रखा जा सकता है), किन्तु फिर भी आयताकार या चौकोर अलमारी में समान मात्रा में स्थान घेरता है।^[5] कई नोकिया फोन मॉडलों को चौकोर आकार के टचपैड बटन के साथ डिजाइन किया गया है,^[6]^[7] जैसा कि दूसरी पीढ़ी का ज़ून पैड था।^[8] एप्पल इंक आईओएस, इपैडऑस, मैकऑस, और कुछ एप्पल हार्डवेयर के होम बटन में आइकन के लिए स्क्विर्कल (वास्तव में क्विंटिक सुपरलिप्स) के सन्निकटन का उपयोग करता है।^[9] एंड्रॉइड ओरियो एंड्रॉइड ओरियो ऑपरेटिंग प्रणाली /पद्धति में प्रस्तुत किए गए अनुकूली आइकन के लिए आकृतियों में से स्क्विर्कल है।^[10] सैमसंग अपने एंड्रॉइड सॉफ़्टवेयर ओवरले

[1]

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 {{Short description|Shape between a square and a circle}}
 {{Use British English|date=September 2013}}
-[[File:Superellipse chamfered square.svg|thumb|200px|right|उद्गम पर केन्द्रित वर्गाकार ({{math|''a'' {{=}} ''b'' {{=}} 0}}) सामान्य त्रिज्या के साथ {{math|1=''r''&nbsp;=&thinsp;1}}: {{math|''x''<sup>4</sup> + ''y''<sup>4</sup> {{=}} 1}}]]वर्गाकार के [[वर्ग (ज्यामिति)]] और वृत्त के बीच का मध्यवर्ती [[आकार]] है। उपयोग में स्क्विर्कल की कम से कम दो परिभाषाएँ होती हैं, जिनमें से सबसे आम [[superellipse|सुपेरेल्लिप्से]] पर आधारित होती है। स्क्विर्कल शब्द वर्ग और वृत्त शब्दों का मेल होती है। [[डिज़ाइन]] और [[प्रकाशिकी]] में स्क्वायरल्स प्रयुक्त किए गए हैं।
+[[File:Superellipse chamfered square.svg|thumb|200px|right|उद्गम पर केन्द्रित वर्गाकार ({{math|''a'' {{=}} ''b'' {{=}} 0}}) सामान्य त्रिज्या के साथ {{math|1=''r''&nbsp;=&thinsp;1}}: {{math|''x''<sup>4</sup> + ''y''<sup>4</sup> {{=}} 1}}]]वर्गाकार वृत्त के [[वर्ग (ज्यामिति)]] और वृत्त के बीच का मध्यवर्ती [[आकार]] का होता है। उपयोग में स्क्विर्कल की कम से कम दो परिभाषाएँ होती हैं, जिनमें से सबसे आम [[superellipse|सुपेरेल्लिप्से]] पर आधारित होती है। स्क्विर्कल शब्द वर्ग और वृत्त शब्दों का मेल होती है। [[डिज़ाइन]] और [[प्रकाशिकी]] में स्क्वायरल्स प्रयुक्त किया गया हैं।
 == सुपरलिप्स-आधारित स्क्विर्कल ==
 कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, सुपरलिप्स को समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है
 <math display="block">\left|\frac{x - a}{r_a}\right|^n + \left|\frac{y - b}{r_b}\right|^n = 1,</math>
-कहाँ {{math|''r''<sub>''a''</sub>}} और {{math|''r''<sub>''b''</sub>}} [[सेमीमेजर एक्सिस]] हैं| सेमी-मेजर और [[अर्ध-लघु अक्ष]] सेमी-माइनर एक्सिस, {{mvar|a}} और {{mvar|b}} हैं {{math|''x''}} और {{math|''y''}} अंडाकार के केंद्र के निर्देशांक, और {{mvar|n}} धनात्मक संख्या होती है। स्क्विर्कल को तब सुपरलिप्स के रूप में परिभाषित किया जाता है {{math|1=''r''<sub>''a''</sub> = ''r''<sub>''b''</sub>}} और {{math|1=''n'' = 4}}. इसका समीकरण  होता है: <ref name=Weisstein>{{MathWorld|Squircle}}</ref>
+कहाँ {{math|''r''<sub>''a''</sub>}} और {{math|''r''<sub>''b''</sub>}} [[सेमीमेजर एक्सिस]] होता हैं| सेमी-मेजर और [[अर्ध-लघु अक्ष]] सेमी-माइनर एक्सिस, {{mvar|a}} और {{mvar|b}} हैं {{math|''x''}} और {{math|''y''}} अंडाकार के केंद्र के निर्देशांक, और {{mvar|n}} धनात्मक संख्या होती है। स्क्विर्कल को तब सुपरलिप्स के रूप में परिभाषित किया जाता है {{math|1=''r''<sub>''a''</sub> = ''r''<sub>''b''</sub>}} और {{math|1=''n'' = 4}}. इसका समीकरण होता है: <ref name=Weisstein>{{MathWorld|Squircle}}</ref>
 <math display="block">\left(x - a\right)^4 + \left(y - b\right)^4 = r^4</math>
 कहाँ {{math|''r''}} वर्गाकार की लघु त्रिज्या है। इसकी तुलना वृत्त या समीकरण से करें। जब स्क्विर्कल मूल पर केंद्रित होता है, तब {{math|1=''a'' = ''b'' = 0}}, और इसे लेमे का विशेष क्वार्टिक कहा जाता है।
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 एलपी स्पेस के संदर्भ में या परिमित आयामों में पी-नॉर्म |{{math|''p''}}-आदर्श {{math|‖ · ‖<sub>''p''</sub>}} पर {{math|'''R'''<sup>2</sup>}}, स्क़ुइर्क्ले के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
 <math display="block"> \left\|\mathbf{x} - \mathbf{x}_c\right\|_p = r </math>
-कहाँ {{math|1=''p'' = 4}}, {{math|1='''x'''<sub>''c''</sub> = (''a'', ''b'')}} वेक्टर वर्ग के केंद्र को दर्शाता जाता है, और {{math|1='''x''' = (''x'', ''y'')}}. प्रभावी रूप से,यह अभी भी दूरी पर बिंदुओं का चक्र होती है {{mvar|r}} केंद्र से, किन्तु दूरी को अलग तरह से परिभाषित किया गया है। तुलना के लिए, सामान्य चक्र कीस्थिति है {{math|1=''p'' = 2}}, जबकि वर्ग द्वारा दिया जाता है {{math|''p'' → ∞}} स्थिति ([[समान मानदंड]]), और घुमाया हुआ वर्ग द्वारा दिया गया है {{math|1=''p'' = 1}} (टैक्सीकैब मानदंड)। {{anchor|Sphube}}यह गोलाकार घन, या स्फूब के लिए सीधा सामान्यीकरण की अनुमति देता है {{math|'''R'''<sup>3</sup>}}, या उच्च आयामों में हाइपरस्पूब होता है। <ref name="fong">{{cite journal|title=Squircular Calculations|author=Chamberlain Fong|arxiv=1604.02174|year=2016|bibcode=2016arXiv160402174F}}</ref>
+कहाँ {{math|1=''p'' = 4}}, {{math|1='''x'''<sub>''c''</sub> = (''a'', ''b'')}} वेक्टर वर्ग के केंद्र को दर्शाता जाता है, और {{math|1='''x''' = (''x'', ''y'')}}. प्रभावी रूप से,यह अभी भी दूरी पर बिंदुओं का चक्र होती है {{mvar|r}} केंद्र से, किन्तु दूरी को अलग तरह से परिभाषित किया गया है। तुलना के लिए, सामान्य चक्र की स्थिति है {{math|1=''p'' = 2}}, जबकि वर्ग द्वारा दिया जाता है {{math|''p'' → ∞}} स्थिति ([[समान मानदंड]]), और घुमाया हुआ वर्ग द्वारा दिया गया है {{math|1=''p'' = 1}} (टैक्सीकैब मानदंड)। {{anchor|Sphube}}यह गोलाकार घन, या स्फूब के लिए सीधा सामान्यीकरण की अनुमति देता है {{math|'''R'''<sup>3</sup>}}, या उच्च आयामों में हाइपरस्पूब होता है। <ref name="fong">{{cite journal|title=Squircular Calculations|author=Chamberlain Fong|arxiv=1604.02174|year=2016|bibcode=2016arXiv160402174F}}</ref>
 == फर्नांडीज-गुआस्टी स्क्विर्कल ==
-ऑप्टिक्स में काम से और स्क्विर्कल आता है।<ref>{{cite journal|journal=Int. J. Educ. Sci. Technol.| volume = 23|author = M. Fernández Guasti | title= Analytic Geometry of Some Rectilinear Figures| pages=895–901 |year=1992}}</ref><ref name="optik">{{cite journal |journal=[[Optik (journal)|Optik]] |volume=116 |pages=265–269 |year=2005 |url=http://investigacion.izt.uam.mx/mfg/pub/lcdpix_optik05.pdf |accessdate=20 November 2006 |doi=10.1016/j.ijleo.2005.01.018 |title=LCD pixel shape and far-field diffraction patterns |issue=6 |author1=M. Fernández Guasti |author2=A. Meléndez Cobarrubias |author3=F.J. Renero Carrillo |author4=A. Cornejo Rodríguez|bibcode=2005Optik.116..265F }}</ref> इसके लेखक के नाम पर इसे फर्नांडीज-गुआस्टी स्क्विर्कल कहा जा सकता है, जिससे इसे ऊपर के सुपरलिप्स-संबंधित स्क्विर्कल से अलग किया जा सके।<ref name="fong" /> इस प्रकार की चक्कर, मूल पर केंद्रित है,समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:
+ऑप्टिक्स में काम से और स्क्विर्कल आता है।<ref>{{cite journal|journal=Int. J. Educ. Sci. Technol.| volume = 23|author = M. Fernández Guasti | title= Analytic Geometry of Some Rectilinear Figures| pages=895–901 |year=1992}}</ref><ref name="optik">{{cite journal |journal=[[Optik (journal)|Optik]] |volume=116 |pages=265–269 |year=2005 |url=http://investigacion.izt.uam.mx/mfg/pub/lcdpix_optik05.pdf |accessdate=20 November 2006 |doi=10.1016/j.ijleo.2005.01.018 |title=LCD pixel shape and far-field diffraction patterns |issue=6 |author1=M. Fernández Guasti |author2=A. Meléndez Cobarrubias |author3=F.J. Renero Carrillo |author4=A. Cornejo Rodríguez|bibcode=2005Optik.116..265F }}</ref> इसके लेखक के नाम पर इसे फर्नांडीज-गुआस्टी स्क्विर्कल कहा जा सकता है, जिससे इसे ऊपर के सुपरलिप्स-संबंधित स्क्विर्कल से अलग किया जा सके।<ref name="fong" /> इस प्रकार की चक्कर के मूल पर केंद्रित किया जाता है,समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:
 <math display="block"> x^2 + y^2 - \frac{s^2}{r^2} x^2 y^2 = r^2 </math>
-कहाँ {{mvar|r}} वर्गाकार की सामान्य त्रिज्या है, {{mvar|s}} चौकोरपन पैरामीटर है, और {{mvar|x}} और {{mvar|y}} अंतराल में हैं (गणित) {{closed-closed|−''r'', ''r''}}. यदि {{math|1=''s'' = 0}}, समीकरण वृत्त है; यदि {{math|1=''s'' = 1}}, यह वर्ग है। यह समीकरण [[अनंतता]] को सम्मिलित किए बिना वृत्त से वर्ग तक संक्रमण के सहज [[पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति)]] की अनुमति देता है।
+कहाँ {{mvar|r}} वर्गाकार की सामान्य त्रिज्या होती है, {{mvar|s}} चौकोरपन पैरामीटर होती है, और {{mvar|x}} और {{mvar|y}} अंतराल में हैं (गणित) {{closed-closed|−''r'', ''r''}}. यदि {{math|1=''s'' = 0}}, समीकरण वृत्त है; यदि {{math|1=''s'' = 1}}, यह वर्ग है। यह समीकरण [[अनंतता]] को सम्मिलित किए बिना वृत्त से वर्ग तक संक्रमण के सहज [[पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति)]] की अनुमति देता है।
 == समान आकार ==
-[[File:squircle rounded square.svg|thumb|स्क्विर्कल ({{color|नीला|नीला}}) गोल वर्ग की तुलना में ({{color|लाल|लाल}}). [{{filepath:squircle rounded square.svg}} (बड़ी छवि)]]]स्क्विर्कल के समान आकार, जिसे ए कहा जाता है गोलाकार वर्ग,वृत्त के चार चौथाई हिस्सों को अलग करके और उनके ढीले सिरों को सीधी [[रेखा (ज्यामिति)]] से जोड़कर,या वर्ग के चारों पक्षों को अलग करके और उन्हें चौथाई-वृत्तों से जोड़कर उत्पन्न किया जा सकता है। इस तरह की आकृति बहुत मिलती-जुलती है किन्तु स्क्विर्कल के समान नहीं है। चूंकि गोलाकार वर्ग का निर्माण अवधारणात्मक और शारीरिक रूप से सरल हो सकता है, स्क्वायरकल में सरल समीकरण होता है और इसे अधिक आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है। इसका परिणाम यह है कि स्क्विर्कल और अन्य सुपरलिप्स को आसानी से ऊपर या नीचे बढ़ाया जा सकता है। यह उपयोगी है, उदाहरण के लिए, कोई नेस्टेड स्क्वायर बनाना चाहता है।
+[[File:squircle rounded square.svg|thumb|स्क्विर्कल ({{color|नीला|नीला}}) गोल वर्ग की तुलना में ({{color|लाल|लाल}}). [{{filepath:squircle rounded square.svg}} (बड़ी छवि)]]]स्क्विर्कल के समान आकार, जिसे ए कहा जाता है गोलाकार वर्ग,वृत्त के चार चौथाई हिस्सों को अलग करके और उनके ढीले सिरों को सीधी [[रेखा (ज्यामिति)]] से जोड़कर,या वर्ग के चारों पक्षों को अलग करके और उन्हें चौथाई-वृत्तों से जोड़कर उत्पन्न किया जा सकता है। इस तरह की आकृति बहुत मिलती-जुलती होती है किन्तु स्क्विर्कल के समान नहीं है। चूंकि गोलाकार वर्ग का निर्माण अवधारणात्मक और शारीरिक रूप से सरल हो सकता है, स्क्वायरकल में सरल समीकरण होता है और इसे अधिक आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है। इसका परिणाम यह है कि स्क्विर्कल और अन्य सुपरलिप्स को आसानी से ऊपर या नीचे बढ़ाया जा सकता है। यह उपयोगी होती है, उदाहरण के लिए, कोई नेस्टेड स्क्वायर बनाना चाहता है।
-[[File:Truncated circles.svg|thumb|काटे गए वृत्त के विभिन्न रूप]]अन्य समान आकार [[ट्रंकेशन (ज्यामिति)]] सर्कल है, वर्ग से घिरे क्षेत्रों के चौराहे (सेट सिद्धांत) की सीमा और केंद्रित सर्कल द्वारा जिसका [[व्यास]] वर्ग के किनारे की लंबाई से अधिक है और इससे कम है वर्ग के विकर्ण की लंबाई (जिससे प्रत्येक आकृति में आंतरिक बिंदु हों जो दूसरे के आंतरिक भाग में न हों)। इस तरह की आकृतियों में [[सुपरएलिप्सिड]] और गोल वर्गों दोनों के पास स्पर्शरेखा निरंतरता का अभाव है।
+[[File:Truncated circles.svg|thumb|काटे गए वृत्त के विभिन्न रूप]]अन्य समान आकार [[ट्रंकेशन (ज्यामिति)]] सर्कल है, वर्ग से घिरे क्षेत्रों के चौराहे (सेट सिद्धांत) की सीमा और केंद्रित सर्कल द्वारा जिसका [[व्यास]] वर्ग के किनारे की लंबाई से अधिक होती है और इससे कम है वर्ग के विकर्ण की लंबाई (जिससे प्रत्येक आकृति में आंतरिक बिंदु हों जो दूसरे के आंतरिक भाग में न हों)। इस तरह की आकृतियों में [[सुपरएलिप्सिड]] और गोल वर्गों दोनों के पास स्पर्शरेखा निरंतरता का अभाव होता है।
 गोलाकार घन को सुपरेलिप्सोइड्स के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है।

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सुपरलिप्स-आधारित स्क्विर्कल

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फर्नांडीज-गुआस्टी स्क्विर्कल

समान आकार

उपयोग करता है