Nवे मूल - Revision history

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	[[File:3rd roots of unity.svg\|thumb\|right\|1 की तीन तीसरी मूल ]]		[[File:3rd roots of unity.svg\|thumb\|right\|1 की तीन तीसरी मूल ]]
	{{Main article\|एकता का मूल }}		{{Main article\|एकता का मूल }}
	संख्या 1 की सम्मिश्र तल में भिन्न -भिन्न ~~nth मूल~~ हैं, अर्थात्		संख्या 1 की सम्मिश्र तल में nth मूल भिन्न -भिन्न हैं, अर्थात्
	:<math>1,\;\omega,\;\omega^2,\;\ldots,\;\omega^{n-1},</math>		:<math>1,\;\omega,\;\omega^2,\;\ldots,\;\omega^{n-1},</math>
	~~कहाँ~~ पे		जहाँ पे
	:<math>\omega = e^\frac{2\pi i}{n} = \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)</math>		:<math>\omega = e^\frac{2\pi i}{n} = \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)</math>
	इन मूलों को समान रूप से सम्मिश्र विमान में यूनिट सर्कल के चारों ओर कोणों पर फैलाया जाता है, जो गुणक ~~होते हैं~~ <math>2\pi/n</math>. उदाहरण के लिए, एकता का वर्गमूल 1 और -1 है, और एकता का चौथा मूल 1 है, <math>i</math>, -1, और <math>-i</math>.		इन मूलों को समान रूप से सम्मिश्र विमान में यूनिट सर्कल के चारों ओर कोणों पर फैलाया जाता है, जो गुणक <math>2\pi/n</math> होते हैं. उदाहरण के लिए, एकता का वर्गमूल 1 और -1 है, और एकता का चौथा मूल 1 है, <math>i</math>, -1, और <math>-i</math>.

	===nth मूल ===		===nth मूल ===
	{{visualisation_complex_number_roots.svg}}		{{visualisation_complex_number_roots.svg}}
	प्रत्येक सम्मिश्र संख्या के सम्मिश्र तल में n भिन्न nवें मूल होते हैं। य़े हैं		प्रत्येक सम्मिश्र संख्या के सम्मिश्र तल में n भिन्न nवें मूल होते हैं। य़े हैं
Line 243:		Line 243:

	:<math>\sqrt[4]{2},\quad i\sqrt[4]{2},\quad -\sqrt[4]{2},\quad\text{and}\quad -i\sqrt[4]{2}.</math>		:<math>\sqrt[4]{2},\quad i\sqrt[4]{2},\quad -\sqrt[4]{2},\quad\text{and}\quad -i\sqrt[4]{2}.</math>
	ध्रुवीय रूप में, सूत्र द्वारा अकेला nवां मूल पाया जा सकता है		ध्रुवीय रूप में, सूत्र द्वारा अकेला nवां मूल पाया जा सकता है

	:<math>\sqrt[n]{re^{i\theta}} = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i\theta/n}.</math>		:<math>\sqrt[n]{re^{i\theta}} = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i\theta/n}.</math>
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	वर्गमूलों की तरह, ऊपर दिया गया सूत्र पूरे सम्मिश्र तल पर निरंतर कार्य को परिभाषित नहीं करता है, बल्कि इसके अतिरिक्त उन बिंदुओं पर शाखा को काटता है जहां θ / n असतत है।		वर्गमूलों की तरह, ऊपर दिया गया सूत्र पूरे सम्मिश्र तल पर निरंतर कार्य को परिभाषित नहीं करता है, बल्कि इसके अतिरिक्त उन बिंदुओं पर शाखा को काटता है जहां θ / n असतत है।

	== बहुपदों को हल करना ==		== बहुपदों को हल करना ==
	{{see also\|मूल-फाइंडिंग एल्गोरिदम }}		{{see also\|मूल-फाइंडिंग एल्गोरिदम }}
	एक बार यह अनुमान लगाया गया था कि सभी बहुपद समीकरण बीजगणितीय समाधान हो सकते हैं (अर्थात, बहुपद की सभी मूलों को मूलांक और प्राथमिक अंकगणित की सीमित संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है)। चूंकि , जबकि यह तीसरी डिग्री बहुपद (क्यूबिक फ़ंक्शन) और चौथी डिग्री बहुपद (क्वार्टिक फ़ंक्शन) के लिए सही है, एबेल-रफ़िनी प्रमेय (1824) से पता चलता है कि यह डिग्री 5 या उससे अधिक होने पर सामान्य रूप से सच नहीं है। उदाहरण के लिए, समीकरण के समाधान		एक बार यह अनुमान लगाया गया था कि सभी बहुपद समीकरण बीजगणितीय समाधान हो सकते हैं (अर्थात, बहुपद की सभी मूलों को मूलांक और प्राथमिक अंकगणित की सीमित संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है)। चूंकि , जबकि यह तीसरी डिग्री बहुपद (क्यूबिक फ़ंक्शन) और चौथी डिग्री बहुपद (क्वार्टिक फ़ंक्शन) के लिए सही है, एबेल-रफ़िनी प्रमेय (1824) से पता चलता है कि यह डिग्री 5 या उससे अधिक होने पर सामान्य रूप से सच नहीं है। उदाहरण के लिए, समीकरण के समाधान

alpha>Saurabh at 07:54, 25 July 2023

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	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>

	=== लघुगणकीय गणना ===		=== लघुगणकीय गणना ===

	एक धनात्मक संख्या का मूल nवाँ मूल लघुगणक का उपयोग करके परिकलित किया जा सकता है। उस समीकरण से प्रारंभ करना जो r को x के nवें मूल के रूप में परिभाषित करता है, अर्थात् <math>r^n=x,</math> x धनात्मक के साथ और इसलिए इसकी प्रमुख मूल भी धनात्मक हैं, प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों का लघुगणक (कोई भी लघुगणक # विशेष आधार करेगा) लेते हैं		एक धनात्मक संख्या का मूल nवाँ मूल लघुगणक का उपयोग करके परिकलित किया जा सकता है। उस समीकरण से प्रारंभ करना जो r को x के nवें मूल के रूप में परिभाषित करता है, अर्थात् <math>r^n=x,</math> x धनात्मक के साथ और इसलिए इसकी प्रमुख मूल भी धनात्मक हैं, प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों का लघुगणक (कोई भी लघुगणक या विशेष आधार करेगा) लेते हैं
	:<math>n \log_b r = \log_b x \quad \quad \text{hence} \quad \quad \log_b r = \frac{\log_b x}{n}.</math>		:<math>n \log_b r = \log_b x \quad \quad \text{hence} \quad \quad \log_b r = \frac{\log_b x}{n}. </math>
	एंटीलॉग लेकर इससे मूल r प्राप्त किया जाता है:		एंटीलॉग लेकर इससे मूल r प्राप्त किया जाता है:

	:<math>r = b^{\frac{1}{n}\log_b x}.</math>		:<math>r = b^{\frac{1}{n}\log_b x}.</math>
	(ध्यान दें: वह सूत्र b को विभाजन के परिणाम की घात दिखाता है, न कि b को विभाजन के परिणाम से गुणा करता है।)		(ध्यान दें: वह सूत्र b को विभाजन के परिणाम की घात दिखाता है, न कि b को विभाजन के परिणाम से गुणा करता है।)

	उस स्थिति के लिए जिसमें x ऋणात्मक है और n विषम है, वास्तविक मूल r है जो ऋणात्मक भी है। यह पहले परिभाषित समीकरण के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करके ~~प्राप्त किया जा सकता है~~ <math>\|r\|^n = \|x\|,</math> फिर \|r\| खोजने के लिए पहले की तरह आगे बढ़ें, और ~~उपयोग करें~~ {{nowrap\|''r'' {{=}} −{{!}}''r''{{!}}}}.		उस स्थिति के लिए जिसमें x ऋणात्मक है और n विषम है, वास्तविक मूल r है जो ऋणात्मक भी है। यह पहले परिभाषित समीकरण के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करके <math>\|r\|^n = \|x\|,</math> प्राप्त किया जा सकता है फिर \|r\| खोजने के लिए पहले की तरह आगे बढ़ें, और {{nowrap\|''r'' {{=}} −{{!}}''r''{{!}}}} उपयोग करें .

	== ज्यामितीय निर्माण ==		== ज्यामितीय निर्माण ==

	प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ जानते थे कि दी गई लंबाई के वर्गमूल के सामान्तर लंबाई का निर्माण करने के लिए कम्पास-एंड-सीधा निर्माण कैसे किया जाता है, जब इकाई लंबाई की सहायक रेखा दी जाती है। 1837 में पियरे वांजेल ने सिद्ध किया कि यदि n 2 की शक्ति नहीं है तब दी गई लंबाई की nवीं मूल का निर्माण नहीं किया जा सकता है।<ref>{{Citation\|first = [[Monsieur\|M.]] L.\|last = Wantzel\|title = Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas \|journal = Journal de Mathématiques Pures et Appliquées\|year = 1837\|volume = 1\|issue = 2\|pages = 366–372\|url = http://visualiseur.bnf.fr/ConsulterElementNum?O=NUMM-16381&Deb=374&Fin=380&E=PDF}}.</ref>		प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ जानते थे कि दी गई लंबाई के वर्गमूल के सामान्तर लंबाई का निर्माण करने के लिए कम्पास-एंड-सीधा निर्माण कैसे किया जाता है, जब इकाई लंबाई की सहायक रेखा दी जाती है। 1837 में पियरे वांजेल ने सिद्ध किया कि यदि n 2 की शक्ति नहीं है तब दी गई लंबाई की nवीं मूल का निर्माण नहीं किया जा सकता है।<ref>{{Citation\|first = [[Monsieur\|M.]] L.\|last = Wantzel\|title = Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas \|journal = Journal de Mathématiques Pures et Appliquées\|year = 1837\|volume = 1\|issue = 2\|pages = 366–372\|url = http://visualiseur.bnf.fr/ConsulterElementNum?O=NUMM-16381&Deb=374&Fin=380&E=PDF}}.</ref>


	== सम्मिश्र मूल ==		== सम्मिश्र मूल ==
	0 के अलावा हर सम्मिश्र संख्या के n भिन्न nवें मूल होते हैं।		0 के अलावा हर सम्मिश्र संख्या n भिन्न के nवें मूल होते हैं।

	===वर्गमूल===		===वर्गमूल===
	[[Image:Imaginary2Root.svg\|thumb\|right\|''मैं'' का वर्गमूल]]एक सम्मिश्र संख्या के दो वर्गमूल सदैव दूसरे के ऋणात्मक होते हैं। उदाहरण के लिए, ~~के वर्गमूल~~ {{math\|−4}} ~~हैं~~ {{math\|2''i''}} तथा {{math\|−2''i''}}, और ~~का वर्गमूल~~ {{math\|''i''}} हैं		[[Image:Imaginary2Root.svg\|thumb\|right\|''मैं'' का वर्गमूल]]एक सम्मिश्र संख्या के दो वर्गमूल सदैव दूसरे के ऋणात्मक होते हैं। उदाहरण के लिए, {{math\|−4}} के वर्गमूल {{math\|2''i''}} तथा {{math\|−2''i''}} होते है , और {{math\|''i''}} का वर्गमूल हैं
	:<math>\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1 + i) \quad\text{and}\quad -\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1 + i).</math>		:<math>\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1 + i) \quad\text{and}\quad -\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1 + i) </math>
	यदि हम सम्मिश्र संख्या को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करते हैं, तब त्रिज्या का वर्गमूल लेकर और कोण को आधा करके वर्गमूल प्राप्त किया जा सकता है:		यदि हम सम्मिश्र संख्या को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करते हैं, तब त्रिज्या का वर्गमूल लेकर और कोण को आधा करके वर्गमूल प्राप्त किया जा सकता है:
	:<math>\sqrt{re^{i\theta}} = \pm\sqrt{r} \cdot e^{i\theta/2}.</math>		:<math>\sqrt{re^{i\theta}} = \pm\sqrt{r} \cdot e^{i\theta/2}.</math>
	उदाहरण के लिए, सम्मिश्र संख्या का मुख्य मूल विभिन्न विधियों से चुना जा सकता है		उदाहरण के लिए, सम्मिश्र संख्या का मुख्य मूल विभिन्न विधियों से चुना जा सकता है
	:<math>\sqrt{re^{i\theta}} = \sqrt{r} \cdot e^{i\theta/2}</math>		:<math>\sqrt{re^{i\theta}} = \sqrt{r} \cdot e^{i\theta/2}</math>
	जो स्थिति के साथ धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ सम्मिश्र विमान में शाखा का परिचय देता है {{math\|0 ≤ ''θ'' < 2{{pi}}}}~~, या ऋणात्मक~~ वास्तविक अक्ष के साथ {{math\|−{{pi}} < ''θ'' ≤ {{pi}}}}.		जो स्थिति {{math\|0 ≤ ''θ'' < 2{{pi}}}} के साथ धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ, या {{math\|−{{pi}} < ''θ'' ≤ {{pi}}}} के साथ ऋणात्मक वास्तविक अक्ष के साथ सम्मिश्र विमान में शाखा कटौती का परिचय देता है , .

	पहली (अंतिम) शाखा का उपयोग करते हुए मुख्य वर्गमूल को काटें <math>\scriptstyle \sqrt z</math> एमएपीएस <math>\scriptstyle z</math> गैर-ऋणात्मक काल्पनिक (वास्तविक) भाग के साथ आधा विमान। मैटलैब या साइलैब जैसे गणितीय सॉफ़्टवेयर में अंतिम ब्रांच कट को माना जाता है।		पहली (अंतिम) शाखा का उपयोग करते हुए मुख्य वर्गमूल को काटें <math>\scriptstyle \sqrt z</math> एमएपीएस <math>\scriptstyle z</math> गैर-ऋणात्मक काल्पनिक (वास्तविक) भाग के साथ आधा विमान। मैटलैब या साइलैब जैसे गणितीय सॉफ़्टवेयर में अंतिम ब्रांच कट को माना जाता है।

	=== एकता की मूल ===		=== एकता की मूल ===
	[[File:3rd roots of unity.svg\|thumb\|right\|1 की तीन तीसरी मूल ]]		[[File:3rd roots of unity.svg\|thumb\|right\|1 की तीन तीसरी मूल ]]
	{{Main article\|एकता का मूल }}		{{Main article\|एकता का मूल }}

alpha>Saurabh at 07:36, 25 July 2023

2023-07-25T07:36:06Z

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