G2 (गणित) - Revision history

Manidh at 12:18, 19 March 2023

2023-03-19T12:18:11Z

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alpha>Alokchanchal at 07:18, 14 March 2023

2023-03-14T07:18:55Z

@@ Line 135: / Line 135: @@
 *{{Citation | last1=Ree | first1=Rimhak | title=A family of simple groups associated with the simple Lie algebra of type (G<sub>2</sub>) | doi=10.1090/S0002-9904-1960-10523-X  | mr=0125155 | year=1960 | journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9904 | volume=66 | pages=508–510 | issue=6| doi-access=free }}
 *{{Citation | last1=Vogan | first1=David A. Jr. | title=The unitary dual of G<sub>2</sub> | doi=10.1007/BF01231578 | year=1994 | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | issn=0020-9910 | volume=116 | issue=1 | pages=677–791 | mr=1253210| bibcode=1994InMat.116..677V | s2cid=120845135 }}
 [[Category:Created On 01/03/2023]]

alpha>Alokchanchal at 07:18, 14 March 2023

2023-03-14T07:18:47Z

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	{{DISPLAYTITLE:G<sub>2</sub> (mathematics)}}		{{DISPLAYTITLE:G<sub>2</sub> (mathematics)}}
	{{Group theory sidebar \|Topological}}		{{Group theory sidebar \|Topological}}
	~~{{Lie groups \|Simple}}~~

	गणित में, G<sub>2</sub> तीन सरल [[झूठ समूह\|अपरिभाषित समूह]] (एक जटिल रूप, एक कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप और एक विभाजित वास्तविक रूप) का नाम है, उनके अपरिभाषिते बीजगणित <math>\mathfrak{g}_2,</math> साथ ही साथ कुछ [[बीजगणितीय समूह]] है। वे पाँच असाधारण [[सरल झूठ समूह\|सरल अपरिभाषित समूह]] में से सबसे छोटे हैं। G<sub>2</sub> का रैंक 2 और आयाम 14 है। इसके दो [[मौलिक प्रतिनिधित्व]] हैं, जिसमें आयाम 7 और 14 है।		गणित में, G<sub>2</sub> तीन सरल [[झूठ समूह\|अपरिभाषित समूह]] (एक जटिल रूप, एक कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप और एक विभाजित वास्तविक रूप) का नाम है, उनके अपरिभाषिते बीजगणित <math>\mathfrak{g}_2,</math> साथ ही साथ कुछ [[बीजगणितीय समूह]] है। वे पाँच असाधारण [[सरल झूठ समूह\|सरल अपरिभाषित समूह]] में से सबसे छोटे हैं। G<sub>2</sub> का रैंक 2 और आयाम 14 है। इसके दो [[मौलिक प्रतिनिधित्व]] हैं, जिसमें आयाम 7 और 14 है।

alpha>Anuradhasingh at 16:29, 13 March 2023

2023-03-13T16:29:06Z

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	1900 में, एंगेल ने पाया कि 7-आयामी जटिल सदिश स्थान पर एक सामान्य एंटीसिमेट्रिक ट्रिलिनियर फॉर्म (या 3-फॉर्म) G<sub>2</sub> के जटिल रूप के लिए एक समूह आइसोमोर्फिक द्वारा संरक्षित है।<ref>{{cite journal\|author=Friedrich Engel\|title=रैखिक परिसर के अनुरूप एक नई संरचना\|journal=Leipz. Ber.\|volume=52\|year=1900\|pages=63–76,220–239}}</ref>		1900 में, एंगेल ने पाया कि 7-आयामी जटिल सदिश स्थान पर एक सामान्य एंटीसिमेट्रिक ट्रिलिनियर फॉर्म (या 3-फॉर्म) G<sub>2</sub> के जटिल रूप के लिए एक समूह आइसोमोर्फिक द्वारा संरक्षित है।<ref>{{cite journal\|author=Friedrich Engel\|title=रैखिक परिसर के अनुरूप एक नई संरचना\|journal=Leipz. Ber.\|volume=52\|year=1900\|pages=63–76,220–239}}</ref>
	1908 में कार्टन ने उल्लेख किया कि ऑक्टोनियंस का ऑटोमोर्फिज़्म समूह एक 14-आ*यामी सरल अपरिभाषित समूह है।<ref>{{cite book\|author=Élie Cartan\|chapter= Nombres complexes\|title=गणितीय विज्ञान का विश्वकोश\|publisher=Gauthier-Villars\|location=Paris\|year= 1908\|pages = 329–468}}</ref> 1914 में उन्होंने कहा कि यह G<sub>2</sub>का सघन वास्तविक रूप है। <ref>{{citation\|author=Élie Cartan\|title=Les groupes reels simples finis et continus\|journal=Ann. Sci. École Norm. Sup.\|volume=31\|year=1914\|pages=255–262}}</ref>		1908 में कार्टन ने उल्लेख किया कि ऑक्टोनियंस का ऑटोमोर्फिज़्म समूह एक 14-आ*यामी सरल अपरिभाषित समूह है।<ref>{{cite book\|author=Élie Cartan\|chapter= Nombres complexes\|title=गणितीय विज्ञान का विश्वकोश\|publisher=Gauthier-Villars\|location=Paris\|year= 1908\|pages = 329–468}}</ref> 1914 में उन्होंने कहा कि यह G<sub>2</sub>का सघन वास्तविक रूप है। <ref>{{citation\|author=Élie Cartan\|title=Les groupes reels simples finis et continus\|journal=Ann. Sci. École Norm. Sup.\|volume=31\|year=1914\|pages=255–262}}</ref>
	पुरानी किताबों और पत्रों में, G<sub>2</sub> को कभी-कभी E<sub>2</sub> द्वारा निरूपित किया जाता है।		पुरानी किताबों और पत्रों में, G<sub>2</sub> को कभी-कभी E<sub>2</sub> द्वारा निरूपित किया जाता है।सार बीजगणित में, एक परिमित समूह एक समूह है जिसका अंतर्निहित सेट परिमित है। गणितीय या भौतिक वस्तुओं की समरूपता पर विचार करते समय परिमित समूह अक्सर उत्पन्न होते हैं, जब वे वस्तुएँ संरचना-संरक्षण परिवर्तनों की एक सीमित संख्या को स्वीकार करती हैं। परिमित समूहों के महत्वपूर्ण उदाहरणों में चक्रीय समूह और क्रमपरिवर्तन समूह शामिल हैं।

	== वास्तविक रूप ==		== वास्तविक रूप ==

alpha>Alokchanchal at 08:45, 10 March 2023

2023-03-10T08:45:09Z

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alpha>Anuradhasingh: /* जी की जड़ें2 */

2023-03-09T15:34:17Z

जी की जड़ें2

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	\|[[Image:G2Coxeter.svg\|160px]]<BR>F4 और E8 के उपसमूह के रूप में G<sub>2</sub> का ग्राफ कॉक्सेटर विमान में प्रक्षेपित किया गया।		\|[[Image:G2Coxeter.svg\|160px]]<BR>F4 और E8 के उपसमूह के रूप में G<sub>2</sub> का ग्राफ कॉक्सेटर विमान में प्रक्षेपित किया गया।
	\|}		\|}
	के लिए सरल जड़ों का एक सेट {{Dynkin2\|node_n1\|6a\|node_n2}} ऊपर कार्टन मैट्रिक्स से सीधे पढ़ा जा सकता है। ये (2,−3) और (−1, 2) हैं, हालांकि ~~उनके~~ द्वारा ~~फैलाए~~ गए पूर्णांक जाली ऊपर चित्रित नहीं ~~हैं~~ (स्पष्ट कारण से: विमान पर हेक्सागोनल जाली पूर्णांक वैक्टर द्वारा उत्पन्न नहीं की जा ~~सकती~~)~~। उपरोक्त~~ आरेख एक अलग जोड़ी जड़ों से प्राप्त किया ~~गया~~ है: <math>\alpha = \left( \sqrt{2}, 0 \right)</math> और <math display="inline">\beta = \left(\sqrt{2}\cos{\frac{5\pi}{6}},\sin{\frac{5\pi}{6}}\right) = \frac{1}{2}\left(\sqrt{6},1 \right)</math>. शेष धनात्मक जड़ें \| (~~सकारात्मक~~) ~~जड़ें~~ A = α + β, B = 3α + β, α + A = 2α + β, और A + B = 3α + 2β ~~हैं। यद्यपि~~ वे एक 2-आयामी स्थान को रैखिक रूप से ~~फैलाते~~ हैं, जैसा कि खींचा गया है, यह ~~तीन~~-आयामी अंतरिक्ष के 2-आयामी उप-स्थान में [[सदिश स्थल]] के रूप में विचार करने के लिए अधिक सममित है। इस पहचान में α e₁−e₂, β से −e₁ + 2e₂−e₃, A से e₂−e₃ और इसी तरह से मेल खाता है। यूक्लिडियन निर्देशांक में ये वैक्टर इस प्रकार दिखते हैं:		के लिए सरल जड़ों का एक सेट {{Dynkin2\|node_n1\|6a\|node_n2}} सीधे ऊपर दिए गए कार्टन मैट्रिक्स से सीधे पढ़ा जा सकता है। ये (2,−3) और (−1, 2) हैं, हालांकि उन लोगों द्वारा स्पैन किए गए पूर्णांक जाली ऊपर चित्रित नहीं है (स्पष्ट कारण से: विमान पर हेक्सागोनल जाली को पूर्णांक वैक्टर द्वारा उत्पन्न नहीं किया जा सकता है)।ऊपर दिया गया आरेख एक अलग जोड़ी जड़ों से प्राप्त किया जाता है: <math>\alpha = \left( \sqrt{2}, 0 \right)</math> और <math display="inline">\beta = \left(\sqrt{2}\cos{\frac{5\pi}{6}},\sin{\frac{5\pi}{6}}\right) = \frac{1}{2}\left(\sqrt{6},1 \right)</math>. शेष धनात्मक जड़ें \|

			शेष (धनात्मक) मूल हैं A = α + β, B = 3α + β, α + A = 2α + β, और A + B = 3α + 2β । हालांकि वे एक 2-आयामी स्थान को रैखिक रूप से फैले हुए हैं, जैसा कि खींचा गया है, यह त्रि-आयामी अंतरिक्ष के 2-आयामी उप-स्थान में [[सदिश स्थल]] के रूप में विचार करने के लिए अधिक सममित है। इस पहचान में α e₁−e₂, β से −e₁ + 2e₂−e₃, A से e₂−e₃ और इसी तरह से मेल खाता है। यूक्लिडियन निर्देशांक में ये वैक्टर इस प्रकार दिखते हैं:
	{\|		{\|
	\|		\|
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	=== विशेष पवित्रता ===		=== विशेष पवित्रता ===
	G<sub>2</sub> संभावित विशेष समूहों में से एक है जो एक [[रिमेंनियन मीट्रिक]] के [[ holonomi ]] समूह के रूप में प्रकट हो सकता है। G के [[कई गुना]]<sub>2</sub> होलोनॉमी को G<sub>2</sub> मैनिफोल्ड भी कहा जाता ~~है , G<sub>2</sub>-कई गुना।~~		G<sub>2</sub> संभावित विशेष समूहों में से एक है जो एक [[रिमेंनियन मीट्रिक]] के [[ holonomi ]] (समग्र )समूह के रूप में प्रकट हो सकता है। G के [[कई गुना]]<sub>2</sub> होलोनॉमी को G<sub>2</sub> मैनिफोल्ड भी कहा जाता है।

	== बहुपद अपरिवर्तनीय ==		== बहुपद अपरिवर्तनीय ==

alpha>Anuradhasingh: /* परिमित समूह */

2023-03-09T15:25:27Z

परिमित समूह

← Older revision		Revision as of 20:55, 9 March 2023
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	== परिमित समूह ==		== परिमित समूह ==
	समूह जी<sub>2</sub>(q) ~~बीजगणितीय समूह G के बिंदु हैं<sub>2</sub>~~ [[परिमित क्षेत्र]] ~~F पर~~<sub>~~''q''~~</sub>. इन परिमित समूहों को ~~पहली बार~~ [[लियोनार्ड यूजीन डिक्सन]] ~~द्वारा 1990 में पेश किया गया था~~ {{harvtxt\|Dickson\|1901}} विषम ~~क्ष और~~ के लिए {{harvtxt\|Dickson\|1905}} ~~भी क्यू~~ के ~~लिए। जी. का आदेश~~<sub>2</sub>(~~क्यू~~) है {{nowrap\|''q''<sup>6</sup>(''q''<sup>6</sup> − 1)(''q''<sup>2</sup> − 1)}}~~. कब~~ {{nowrap\|''q'' ≠ 2}}, समूह सरल समूह है, और कब {{nowrap\|1=''q'' = 2}}, इसमें ~~उपसमूह 2 आइसोमोर्फिक के सूचकांक का एक साधारण उपसमूह है <sup>2</सुप>ए~~<sub>2</sub>(~~3<sup>~~2~~</sup>)~~, और ऑक्टोनियंस के अधिकतम क्रम का ऑटोमोर्फिज्म समूह है। जांको समूह ~~जांको समूह जे1\|जे~~<sub>1</sub>~~जी के एक उपसमूह के रूप में पहली बार बनाया गया था~~<sub>2</sub>(11). {{harvtxt\|Ree\|1960}} ने ~~ट्विस्टेड [[ री समूह ]] पेश किए~~ <sup>2<~~/सुप~~>जी<~~sub~~>2</~~sub~~>~~(क्यू)~~ आदेश {{nowrap\|''q''<sup>3</sup>(''q''<sup>3</sup> + 1)(''q'' − 1)}} के ~~लिए {{nowrap~~\|~~1=''q'' = 3~~<~~sup~~>2~~''n''+1~~</~~sup~~>~~}}, 3~~ की ~~एक विषम शक्ति।~~		समूह G<sub>2</sub>(q) [[परिमित क्षेत्र]] Fq बीजगणितीय समूह G<sub>2</sub> के बिंदु हैं । इन परिमित समूहों को सर्वप्रथम [[लियोनार्ड यूजीन डिक्सन]] {{harvtxt\|Dickson\|1901}} विषम q के लिए {{harvtxt\|Dickson\|1905}} के लिए सम q के लिए पेश किया गया था। G<sub>2</sub> (q) की कोटि {{nowrap\|''q''<sup>6</sup>(''q''<sup>6</sup> − 1)(''q''<sup>2</sup> − 1)}} है। जब {{nowrap\|''q'' ≠ 2}}, समूह सरल समूह है, और जब {{nowrap\|1=''q'' = 2}} होता है, तो इसमें 2A<sub>2</sub>(32) के सूचकांक 2 आइसोमॉर्फिक का एक सरल उपसमूह होता है, और ऑक्टोनियंस के एक अधिकतम क्रम का ऑटोमोर्फिज्म समूह होता है। जांको समूह J<sub>2</sub> का निर्माण सबसे पहले G<sub>2</sub>(11) के उपसमूह के रूप में किया गया था।<sup>{{harvtxt\|Ree\|1960}} (1960) ने <sup><sup>{{nowrap\|1=''q'' = 3<sup>2''n''+1</sup>}}, 3 की एक विषम शक्ति के लिए आदेश <sup><sup>{{nowrap\|''q''<sup>3</sup>(''q''<sup>3</sup> + 1)(''q'' − 1)}}के मुड़ <sup>[[ री समूह \|री समूह]] 2 G<sub>2</sub>(q) की शुरुआत की।

	== यह भी देखें ==		== यह भी देखें ==

alpha>Anuradhasingh: /* प्रतिनिधित्व */

2023-03-09T15:11:14Z

प्रतिनिधित्व

← Older revision		Revision as of 20:41, 9 March 2023
Line 102:		Line 102:

	== प्रतिनिधित्व ==		== प्रतिनिधित्व ==
	वास्तविक और जटिल ~~लाई~~ बीजगणित और लाई समूहों के परिमित-आयामी अभ्यावेदन के वर्ण [[वेइल वर्ण सूत्र]] द्वारा दिए गए हैं। सबसे छोटे अलघुकरणीय अभ्यावेदन के आयाम हैं {{OEIS\|id=A104599}}:		वास्तविक और जटिल झूठ बीजगणित और लाई (झूठ) समूहों के परिमित-आयामी अभ्यावेदन के वर्ण [[वेइल वर्ण सूत्र]] द्वारा दिए गए हैं। सबसे छोटे अलघुकरणीय अभ्यावेदन के आयाम हैं {{OEIS\|id=A104599}}:

	:1, 7, 14, 27, 64, 77 (दो बार), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (दो बार) , 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (दो बार), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 1156, 11648 .		:1, 7, 14, 27, 64, 77 (दो बार), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (दो बार) , 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (दो बार), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 1156, 11648 .

	14-आयामी प्रतिनिधित्व झूठ बीजगणित का आसन्न प्रतिनिधित्व है, और 7-आयामी ~~एक जी की क्रिया है~~<sub>2</sub> ~~काल्पनिक ऑक्टोनियंस पर।~~		14-आयामी प्रतिनिधित्व झूठ बीजगणित का आसन्न प्रतिनिधित्व है, और 7-आयामी प्रतिनिधित्व काल्पनिक ऑक्टोनियंस पर G<sub>2</sub> की क्रिया है।

	आयाम 77, 2079, 4928, 30107, आदि के दो गैर-आइसोमॉर्फिक इर्रेड्यूबल निरूपण हैं। मौलिक प्रतिनिधित्व वे हैं जो आयाम 14 और 7 के साथ हैं (~~#Dynkin~~ आरेख में दो नोड्स के ~~अनुरूप~~ इस क्रम में कि ट्रिपल तीर बिंदु पहले से दूसरे तक)।		आयाम 77, 2079, 4928, 30107, आदि के दो गैर-आइसोमॉर्फिक इर्रेड्यूबल निरूपण हैं। मौलिक प्रतिनिधित्व वे हैं जो आयाम 14 और 7 के साथ हैं (डाइनकिन आरेख में दो नोड्स के अनुसार इस क्रम में कि ट्रिपल तीर बिंदु पहले से दूसरे तक इंगित करता है)।

	{{harvtxt\|Vogan\|1994}} जी के विभाजित वास्तविक रूप के (अनंत-आयामी) एकात्मक इरेड्यूसबल निरूपण का वर्णन किया~~<sub>2</sub>.~~		{{harvtxt\|Vogan\|1994}} ने G<sub>2</sub> के विभाजित वास्तविक रूप के (अनंत-आयामी) एकात्मक इरेड्यूसबल निरूपण का वर्णन किया ।

	== परिमित समूह ==		== परिमित समूह ==