समूह वलय - Revision history

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	* D.S. Passman, [https://books.google.com/books/about/The_Algebraic_Structure_of_Group_Rings.html?id=2xrSHX-rpGMC ''The algebraic structure of group rings''], Wiley (1977)		* D.S. Passman, [https://books.google.com/books/about/The_Algebraic_Structure_of_Group_Rings.html?id=2xrSHX-rpGMC ''The algebraic structure of group rings''], Wiley (1977)

	{{DEFAULTSORT:Group Ring}}[[Category: रिंग थ्योरी]] [[Category: समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] [[Category: हार्मोनिक विश्लेषण]]		{{DEFAULTSORT:Group Ring}}

	[[de:Monoidring]]		[[de:Monoidring]]

			[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page\|Group Ring]]
			[[Category:Created On 13/02/2023\|Group Ring]]
	[[Category: ~~Machine Translated Page~~]]		[[Category:Machine Translated Page\|Group Ring]]
	[[Category:Created On 13/02/2023]]		[[Category:Pages with script errors\|Group Ring]]
	[[Category:Vigyan Ready]]		[[Category:Templates Vigyan Ready\|Group Ring]]
			[[Category:रिंग थ्योरी\|Group Ring]]
			[[Category:समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत\|Group Ring]]
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	[[Category: Machine Translated Page]]		[[Category: Machine Translated Page]]
	[[Category:Created On 13/02/2023]]		[[Category:Created On 13/02/2023]]
			[[Category:Vigyan Ready]]

alpha>Ayushidixit: /* एक समूह बीजगणित का केंद्र */

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एक समूह बीजगणित का केंद्र

alpha>Ayushidixit: /* संलग्नक */

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संलग्नक

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alpha>Ayushidixit: /* परिभाषा */

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परिभाषा

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	== परिभाषा ==		== परिभाषा ==
	जहाँ जी एक वलय का समूह है जिसे गुणात्मक रूप में लिखा जा सकता है और आर को एक समूह वलय होने का रूप दिया जा जाता है। तथा आर समूह व जी वलय होता है जिसे हम आर या जी (आर जी) द्वारा निरूपित करते हैं जो कार्य करने का सेट है एफ ,जी तथा आर का गणित में सामान्यीकरण होता है जहाँ जी जैसे बहुत से तत्वों को शून्य लिख सकते हैं तथा‌ आर स्केेैलर व एल्फा मैपिंग के रूप में परिभाषित करते हैं। एल्फा तथा एफ -एक्स कार्य करते हैं और एफ व जी के मॉडुलेटर समूह योग को कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है जो इस प्रकार हैं-<math>x \mapsto f(x) + g(x)</math>योगात्मक समूह आर व जी को एक वलय में बदलने के लिए हम एफ और जी ~~के उत्पाद~~ को कार्य के रूप में परिभाषित करते हैं।		जहाँ जी एक वलय का समूह है जिसे गुणात्मक रूप में लिखा जा सकता है और आर को एक समूह वलय होने का रूप दिया जा जाता है। तथा आर समूह व जी वलय होता है जिसे हम आर या जी (आर जी) द्वारा निरूपित करते हैं जो कार्य करने का सेट है एफ ,जी तथा आर का गणित में सामान्यीकरण होता है जहाँ जी जैसे बहुत से तत्वों को शून्य लिख सकते हैं तथा‌ आर स्केेैलर व एल्फा मैपिंग के रूप में परिभाषित करते हैं। एल्फा तथा एफ -एक्स कार्य करते हैं और एफ व जी के मॉडुलेटर समूह योग को कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है जो इस प्रकार हैं-<math>x \mapsto f(x) + g(x)</math>योगात्मक समूह आर व जी को एक समूह वलय में बदलने के लिए हम एफ और जी को कार्य के रूप में परिभाषित करते हैं।
	:<math>x\mapsto\sum_{uv=x}f(u)g(v)=\sum_{u\in G}f(u)g(u^{-1}x).</math>		:<math>x\mapsto\sum_{uv=x}f(u)g(v)=\sum_{u\in G}f(u)g(u^{-1}x).</math>
	यहाँ एफ और जी परिमित समूह हैं और वलय को आसानी से सत्यापित कर सकता है।		यहाँ एफ और जी परिमित समूह हैं जो समूह वलय को आसानी से सत्यापित कर सकता है।

	जो इस प्रकार है जैसे एफ: जी -आर तथा जी के तत्वों को आर के गुणांक को औपचारिक रैखिक संयोजनों के रूप ~~मेंते~~ हैं।		जो इस प्रकार है जैसे एफ: जी -आर तथा जी के तत्वों को आर के गुणांक को औपचारिक रैखिक संयोजनों के रूप में लिखते हैं।
	:		:

	:		:
	<ref name="Polcino">श</ref> यदि वलय आर एक क्षेत्र में हैं तो समूह वलय संरचना मॉडुलेटर संरचना 'के' के ऊपर एक सदिश स्थान लेता है।		<ref name="Polcino">श</ref> यदि वलय आर एक क्षेत्र में हैं तो समूह वलय संरचना मॉडुलेटर संरचना 'के' ऊपर एक सदिश स्थान लेता है।

	== उदाहरण ==		== उदाहरण ==

alpha>Ayushidixit: /* परिभाषा */

2023-03-01T01:52:15Z

परिभाषा

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Line 170:		Line 170:
	जहां आर (-) एक समूह उसके वलय में ले जाता है और <math>(-)^\times</math>इकाइयों को अपने समूह के लिए आर वलय में ले जाता है।		जहां आर (-) एक समूह उसके वलय में ले जाता है और <math>(-)^\times</math>इकाइयों को अपने समूह के लिए आर वलय में ले जाता है।

	जहाँ आर=जेड [[समूहों की श्रेणी]] और वलय की श्रेणी के बीच एक संयोजन देता है और संयोजन की इकाई समूह जी को उस समूह में ले जाता है जिसमें सत्वरहित इकाइयाँ होती हैं जी×(+_1)=(+जी) समूह के छल्ले में भी ~~सत्वरहित~~ इकाइयां होती हैं। यदि जी में तत्व ए और बी हैं जैसे कि <math>a^n=1</math> ~~और बी~~ सामान्य नहीं है ।		जहाँ आर=जेड [[समूहों की श्रेणी]] और वलय की श्रेणी के बीच एक संयोजन देता है और संयोजन की इकाई समूह जी को उस समूह में ले जाता है जिसमें सत्वरहित इकाइयाँ होती हैं जी×(+_1)=(+जी) समूह के छल्ले में भी सत्व अनुपयोगी इकाइयां होती हैं। यदि वलय समूह जी में तत्व ए और बी हैं जैसे कि <math>a^n=1</math> सामान्य नहीं है ।

	:<math>x=(a-1)b \left (1+a+a^2+...+a^{n-1} \right )</math>		:<math>x=(a-1)b \left (1+a+a^2+...+a^{n-1} \right )</math>
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	=== वैश्विक संपत्ति ===		=== वैश्विक संपत्ति ===
	उपरोक्त संयोजन समूह के छल्ले सार्वभौमिक संपत्ति को व्यक्त करता है <ref name="Polcino" /> तथा आर ~~समूह~~ वलय पर बने और जी समूह ~~वलय पर~~ बने व बीजगणित किसी भी समूह समरूपता के लिए एफ:जी-एस और आर बीजगणित की समरूपता <math>\overline{f}:R[G]\to S</math> है तो <math>\overline{f}\circ i=f</math>{{var\|i}} समावेशन है।		उपरोक्त संयोजन समूह के छल्ले सार्वभौमिक संपत्ति को व्यक्त करता है।<ref name="Polcino" /> तथा आर वलय बने और जी समूह बने व बीजगणित किसी भी समूह समरूपता के लिए एफ:जी-एस और आर बीजगणित की समरूपता <math>\overline{f}:R[G]\to S</math> है तो <math>\overline{f}\circ i=f</math>{{var\|i}} यह समावेशन है।

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
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	g &\longmapsto 1_Rg		g &\longmapsto 1_Rg
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	दूसरे शब्दों में, <math>\overline{f}</math> अद्वितीय समाकारिता है जो निम्न रेखाचित्र को ~~गणना~~ करती है।		दूसरे शब्दों में, <math>\overline{f}</math> अद्वितीय समाकारिता है जो निम्न रेखाचित्र को कम्यूट करती है।

	:[[Image:Group ring UMP.svg\|200px]]इस लाभदायक वस्तु में छल्लो के लिए गणितीय शब्दावली आइसोमोर्फिक की सूची सम्मिलित है।		:[[Image:Group ring UMP.svg\|200px]]इस लाभदायक वस्तु में छल्लो के लिए गणितीय शब्दावली आइसोमोर्फिक की सूची सम्मिलित है।

	=== आशा बीजगणित ===		=== आशा बीजगणित ===
	~~यदि~~ समूह ~~वलय~~ बीजगणित आशा ~~वलय~~ बीजगणित की एक प्राकृतिक संरचना है जो सहगुणन द्वारा परिभाषित की जाती ~~है।~~		समूह बीजगणित आशा बीजगणित की एक प्राकृतिक संरचना है। जो सहगुणन द्वारा परिभाषित की जाती है कि त्रिभुज जी=जी×जी रूप से विस्तारित और एंटीपोड है ।

	~~उदाहरण- यदि~~ त्रिभुज जी=जी×जी के रूप से विस्तारित और एंटीपोड है ।

	=== सामान्यीकरण ===		=== सामान्यीकरण ===
	~~यदि~~ कोई समूह [[मोनॉइड रिंग\|मोनोलोड छल्ले]] के लिए सामान्यीकरण करता है ~~। उदाहरण~~[[श्रेणी बीजगणित]] [[घटना बीजगणित\|घटना]]।		कोई समूह [[मोनॉइड रिंग\|मोनोलोड छल्ले]] के लिए सामान्यीकरण करता है जो [[श्रेणी बीजगणित]] [[घटना बीजगणित\|घटना]] का उदाहरण है।

	== छानने का कार्य ==		== छानने का कार्य ==
	यदि किसी समूह ~~वलय~~ का कार्य लम्बाई ~~होता~~ है तो उदाहरण के लिए- ~~जेनरेटर ।यदि समूह वलय~~ कोई आव्यूह शब्द लेता है तथा यह विपरीत ~~वलय~~ [[कॉक्सेटर समूह\|~~समूहों~~]] में होता है तो यह समूह ~~का समूह वलय~~ एक [[फ़िल्टर्ड बीजगणित\|बीजगणित]] बन जाती है।		यदि किसी समूह का कार्य लम्बाई है, उदाहरण के लिए- यदि जेनरेटर विकल्प है और यह कोई आव्यूह शब्द लेता है तथा विपरीत [[कॉक्सेटर समूह\|समूहो]] में होता है तो यह समूह की अंगूठी एक [[फ़िल्टर्ड बीजगणित\|बीजगणित]] बन जाती है।

	== यह भी देखें ==		== यह भी देखें ==
	* स्थानीय रूप से समूह ~~बीजगणित।~~		* स्थानीय रूप से सम्पर्क समूह बीजगणित
	*		* मोनोलोड वलय
	* मोनोलोड ~~वलय।~~		* कपलान्सकी के अनुमान
	* कपलान्सकी के ~~अनुसार।~~

	=== प्रतिनिधित्व सिद्धांत ===		=== प्रतिनिधित्व सिद्धांत ===
	* समूह प्रतिनिधित्व ~~का सिद्धांत।~~		* समूह का प्रतिनिधित्व किया
	* नियमित प्रतिनिधित्व ~~का सिद्धांत।~~		* नियमित प्रतिनिधित्व

	=== श्रेणी सिद्धांत ===		=== श्रेणी सिद्धांत ===
	* स्पष्ट बीजगणित।		* स्पष्ट बीजगणित।
	* इकाइयों का वलय।		* इकाइयों का वलय।
			*
	* घटना बीजगणित।		* घटना बीजगणित।
	* [[तरकश (गणित)~~\|तरकश (गणित)।~~]]		* [[तरकश (गणित)]]

	== टिप्पणियाँ ==		== टिप्पणियाँ ==

alpha>Ayushidixit: /* सामान्यीकरण */

2023-03-01T01:46:23Z

सामान्यीकरण

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Line 176:		Line 176:

	=== वैश्विक संपत्ति ===		=== वैश्विक संपत्ति ===
	उपरोक्त संयोजन समूह के छल्ले सार्वभौमिक संपत्ति को व्यक्त करता ~~है।~~<ref name="Polcino" /> तथा आर वलय बने और जी समूह बने व बीजगणित किसी भी समूह समरूपता के लिए एफ:जी-एस और आर बीजगणित की समरूपता <math>\overline{f}:R[G]\to S</math> है तो <math>\overline{f}\circ i=f</math>{{var\|i}} यह समावेशन है।		उपरोक्त संयोजन समूह के छल्ले सार्वभौमिक संपत्ति को व्यक्त करता है <ref name="Polcino" /> तथा आर समूह वलय पर बने और जी समूह वलय पर बने व बीजगणित किसी भी समूह समरूपता के लिए एफ:जी-एस और आर बीजगणित की समरूपता <math>\overline{f}:R[G]\to S</math> है तो <math>\overline{f}\circ i=f</math>{{var\|i}} समावेशन है।

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Line 182:		Line 182:
	g &\longmapsto 1_Rg		g &\longmapsto 1_Rg
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	दूसरे शब्दों में, <math>\overline{f}</math> अद्वितीय समाकारिता है जो निम्न रेखाचित्र को ~~कम्यूट~~ करती है।		दूसरे शब्दों में, <math>\overline{f}</math> अद्वितीय समाकारिता है जो निम्न रेखाचित्र को गणना करती है।

	:[[Image:Group ring UMP.svg\|200px]]इस लाभदायक वस्तु में छल्लो के लिए गणितीय शब्दावली आइसोमोर्फिक की सूची सम्मिलित है।		:[[Image:Group ring UMP.svg\|200px]]इस लाभदायक वस्तु में छल्लो के लिए गणितीय शब्दावली आइसोमोर्फिक की सूची सम्मिलित है।

	=== आशा बीजगणित ===		=== आशा बीजगणित ===
	समूह बीजगणित आशा बीजगणित की एक प्राकृतिक संरचना ~~है।~~ जो सहगुणन द्वारा परिभाषित की जाती ~~है कि~~ त्रिभुज जी=जी×जी रूप से विस्तारित और एंटीपोड है ।		यदि समूह वलय बीजगणित आशा वलय बीजगणित की एक प्राकृतिक संरचना है जो सहगुणन द्वारा परिभाषित की जाती है।

			उदाहरण- यदि त्रिभुज जी=जी×जी के रूप से विस्तारित और एंटीपोड है ।

	=== सामान्यीकरण ===		=== सामान्यीकरण ===
	कोई समूह [[मोनॉइड रिंग\|मोनोलोड छल्ले]] के लिए सामान्यीकरण करता है जो [[श्रेणी बीजगणित]] [[घटना बीजगणित\|घटना]] ~~का उदाहरण है।~~		यदि कोई समूह [[मोनॉइड रिंग\|मोनोलोड छल्ले]] के लिए सामान्यीकरण करता है । उदाहरण[[श्रेणी बीजगणित]] [[घटना बीजगणित\|घटना]]।

	== छानने का कार्य ==		== छानने का कार्य ==
	यदि किसी समूह का कार्य लम्बाई है, उदाहरण के लिए- ~~यदि~~ जेनरेटर ~~विकल्प है और यह~~ कोई आव्यूह शब्द लेता है तथा विपरीत [[कॉक्सेटर समूह\|~~समूहो~~]] में होता है तो यह समूह ~~की अंगूठी~~ एक [[फ़िल्टर्ड बीजगणित\|बीजगणित]] बन जाती है।		यदि किसी समूह वलय का कार्य लम्बाई होता है तो उदाहरण के लिए- जेनरेटर ।यदि समूह वलय कोई आव्यूह शब्द लेता है तथा यह विपरीत वलय [[कॉक्सेटर समूह\|समूहों]] में होता है तो यह समूह का समूह वलय एक [[फ़िल्टर्ड बीजगणित\|बीजगणित]] बन जाती है।

	== यह भी देखें ==		== यह भी देखें ==

alpha>Ayushidixit: /* श्रेणी सिद्धांत */

2023-03-01T01:36:16Z

श्रेणी सिद्धांत

← Older revision		Revision as of 07:06, 1 March 2023
Line 196:		Line 196:

	== यह भी देखें ==		== यह भी देखें ==
	* स्थानीय रूप से ~~सम्पर्क~~ समूह ~~बीजगणित~~		* स्थानीय रूप से समूह बीजगणित।
	* मोनोलोड ~~वलय~~		*
	* कपलान्सकी के ~~अनुमान~~		* मोनोलोड वलय।
			* कपलान्सकी के अनुसार।

	=== प्रतिनिधित्व सिद्धांत ===		=== प्रतिनिधित्व सिद्धांत ===
	* समूह का ~~प्रतिनिधित्व किया~~		* समूह प्रतिनिधित्व का सिद्धांत।
	* नियमित प्रतिनिधित्व		* नियमित प्रतिनिधित्व का सिद्धांत।

	=== श्रेणी सिद्धांत ===		=== श्रेणी सिद्धांत ===
	* स्पष्ट ~~बीजगणित~~		* स्पष्ट बीजगणित।
	* इकाइयों का ~~समूह~~		* इकाइयों का वलय।
	* घटना ~~बीजगणित~~		* घटना बीजगणित।
	* [[तरकश (गणित)]]		* [[तरकश (गणित)\|तरकश (गणित)।]]

	== टिप्पणियाँ ==		== टिप्पणियाँ ==

alpha>Ayushidixit at 01:28, 1 March 2023

2023-03-01T01:28:37Z

← Older revision		Revision as of 06:58, 1 March 2023
Line 1:		Line 1:
	[[बीजगणित]] में वलय तथा एक मुक्त मॉडुलेटर है जो वलय किसी [[समूह (गणित)]] में प्राकृतिक तरीके से निर्मित होता है। यह नि: शुल्क मॉडरेटर के रूप में अदिश रॉशि पर ~~वलय~~ होता है और इसके आधार दिए गए समूह के तत्वों का सेट होता है। जो वलय योग के नियम का मॉडुलेटर है और इसका गुणन रैखिकता द्वारा विस्तारित ~~होता~~ है। ~~औपचारिक रूप~~ का वह समूह जो वलय के प्रत्येक तत्व में दिये गये वलय के भार को ~~जोड़कर~~ समूह का सामान्यीकरण करता है।		[[बीजगणित]] में वलय तथा एक मुक्त मॉडुलेटर होता है जो वलय किसी [[समूह (गणित)]] में प्राकृतिक तरीके से निर्मित होता है। यह नि: शुल्क मॉडरेटर के रूप में अदिश रॉशि में वलय पर स्थित होता है और इसके आधार पर दिए गए समूह के तत्वों का सेट भी स्थित होता है। जो वलय योग के नियम का मॉडुलेटर तत्व है और इसका गुणन रैखिकता द्वारा विस्तारित किया जाता है। औपचारिकता का वह रूप जो समूह में वलय के प्रत्येक तत्व में दिये गये वलय के भार को एकत्र कर समूह का सामान्यीकरण करता है।

	यहां वलय क्रमविनिमेय ~~है जिसे~~ वलय का बीजगणित भी कहा जाता है समूह वलय की संरचना ~~बीजगणित~~ पर आधारित होती है बीजगणित [[हॉफ बीजगणित]] की एक संरचना होती है जिसे [[समूह हॉफ बीजगणित]] ~~कहा जाता है।~~		यदि यहां वलय क्रमविनिमेय हो तो इसे वलय का बीजगणित भी कहा जाता है समूह वलय की संरचना कुछ तत्वों पर आधारित होती है जो बीजगणित [[हॉफ बीजगणित\|(हॉफ बीजगणित)]] की एक संरचना होती है जिसे [[समूह हॉफ बीजगणित]] कहते हैं।

	समूह के छल्ले का प्रयोग [[समूह प्रतिनिधित्व]] के सिद्धांत में किया जाता है।		समूह के छल्ले का प्रयोग [[समूह प्रतिनिधित्व]] के सिद्धांत में किया जाता है।

	== परिभाषा ==		== परिभाषा ==
	जी एक समूह है जिसे गुणात्मक रूप में लिखा जा ~~जाता~~ है और आर को एक वलय होने का रूप दिया जा जाता है। तथा आर समूह व जी वलय होता है जिसे हम आर या जी (आर जी) द्वारा निरूपित करते हैं जो कार्य करने का सेट ~~है।~~ एफ जी तथा आर का (गणित) सामान्यीकरण होता है जहाँ (जी) बहुत से तत्वों को शून्य ~~लिखा जाता है~~ तथा‌ आर स्केेैलर व एल्फा मैपिंग के रूप में परिभाषित ~~किया जाता है एक्स~~ एल्फा तथा एफ -एक्स ~~कार्यरत है~~ एफ और जी के मॉडुलेटर समूह योग को कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है जो इस प्रकार हैं-<math>x \mapsto f(x) + g(x)</math>. योगात्मक समूह आर व जी को एक वलय में बदलने के लिए हम एफ और जी के उत्पाद को कार्य के रूप में परिभाषित करते हैं।		जहाँ जी एक वलय का समूह है जिसे गुणात्मक रूप में लिखा जा सकता है और आर को एक समूह वलय होने का रूप दिया जा जाता है। तथा आर समूह व जी वलय होता है जिसे हम आर या जी (आर जी) द्वारा निरूपित करते हैं जो कार्य करने का सेट है एफ ,जी तथा आर का गणित में सामान्यीकरण होता है जहाँ जी जैसे बहुत से तत्वों को शून्य लिख सकते हैं तथा‌ आर स्केेैलर व एल्फा मैपिंग के रूप में परिभाषित करते हैं। एल्फा तथा एफ -एक्स कार्य करते हैं और एफ व जी के मॉडुलेटर समूह योग को कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है जो इस प्रकार हैं-<math>x \mapsto f(x) + g(x)</math>योगात्मक समूह आर व जी को एक वलय में बदलने के लिए हम एफ और जी के उत्पाद को कार्य के रूप में परिभाषित करते हैं।
	:<math>x\mapsto\sum_{uv=x}f(u)g(v)=\sum_{u\in G}f(u)g(u^{-1}x).</math>		:<math>x\mapsto\sum_{uv=x}f(u)g(v)=\sum_{u\in G}f(u)g(u^{-1}x).</math>
	यहाँ एफ और जी परिमित हैं और वलय को आसानी से सत्यापित ~~करता~~ सकता है।		यहाँ एफ और जी परिमित समूह हैं और वलय को आसानी से सत्यापित कर सकता है।

	जो इस प्रकार है जैसे एफ:जी -आर तथा जी के तत्वों को आर के गुणांक को औपचारिक रैखिक संयोजनों के रूप ~~में लिख सकते~~ हैं।		जो इस प्रकार है जैसे एफ: जी -आर तथा जी के तत्वों को आर के गुणांक को औपचारिक रैखिक संयोजनों के रूप मेंते हैं।
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	जब 'के' विशेषता पी का एक क्षेत्र होता है जो जी के क्रम को विभाजित करता है तो समूह का वलय अर्ध-सरल नहीं होत है इसमें एक गैर-शून्य [[जैकबसन कट्टरपंथी]] होता है जो यह [[मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] से संबंधित विषय को अपना, गहरा चरित्र देता है।		जब 'के' विशेषता पी का एक क्षेत्र होता है जो जी के क्रम को विभाजित करता है तो समूह का वलय अर्ध-सरल नहीं होत है इसमें एक गैर-शून्य [[जैकबसन कट्टरपंथी]] होता है जो यह [[मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] से संबंधित विषय को अपना, गहरा चरित्र देता है।

	=== एक समूह बीजगणित का केंद्र ===		=== एक समूह वलय बीजगणित का केंद्र ===
	समूह बीजगणित [[एक समूह का केंद्र]] है जो समूह बीजगणित के सभी तत्वों के साथ आवागमन करते हैं।		समूह बीजगणित [[एक समूह का केंद्र]] है जो समूह बीजगणित के सभी तत्वों के साथ आवागमन करते हैं।
	:<math>\mathrm{Z}(K[G]) := \left\{ z \in K[G] : \forall r \in K[G], zr = rz \right\}.</math>		:<math>\mathrm{Z}(K[G]) := \left\{ z \in K[G] : \forall r \in K[G], zr = rz \right\}.</math>
	केंद्र वर्ग कार्यों के समुच्चय के बराबर ~~है अर्थात~~ उन तत्वों का समुच्चय जो प्रत्येक संयुग्मन वर्ग पर स्थिर होते हैं।		केंद्र के वर्ग में कार्यों के समुच्चय बराबर हैं अर्थात् उन तत्वों का समुच्चय जो प्रत्येक संयुग्मन वर्ग पर स्थिर होते हैं।
	:<math>\mathrm{Z}(K[G]) = \left\{ \sum_{g \in G} a_g g : \forall g,h \in G, a_g = a_{h^{-1}gh}\right\}.</math>		:<math>\mathrm{Z}(K[G]) = \left\{ \sum_{g \in G} a_g g : \forall g,h \in G, a_g = a_{h^{-1}gh}\right\}.</math>
	यदि के बराबर सी जी के अलघुकरणीय चरित्र सिद्धांत का सेट आंतरिक उत्पाद के संबंध में जेड के जी का एक असामान्य आधार है।		यदि सिग्मा समूह वलय के बराबर है तो सी , जी के अलघुकरणीय चरित्र सिद्धांत का सेट आंतरिक उत्पाद के संबंध में जेड , जी का एक असामान्य आधार है।
	:<math>\left \langle \sum_{g \in G} a_g g, \sum_{g \in G} b_g g \right \rangle = \frac{1}{\|G\|} \sum_{g \in G} \bar{a}_g b_g.</math>		:<math>\left \langle \sum_{g \in G} a_g g, \sum_{g \in G} b_g g \right \rangle = \frac{1}{\|G\|} \sum_{g \in G} \bar{a}_g b_g.</math>



	समूह एक अनंत समूह पर बनता है जो उस ~~जगहों~~ में बहुत कम जाना जाता है और यह सक्रिय शोध का एक क्षेत्र है।<ref>{{cite journal\|author=Passman, Donald S.\|author-link=Donald S. Passman\|title=What is a group ring?\|journal=Amer. Math. Monthly\|volume=83\|year=1976\|pages=173–185\|url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/what-is-a-group-ring\|doi=10.2307/2977018}}</ref> ~~तथा~~ आर जटिल संख्याओं का क्षेत्र है ~~जहाँ~~ सबसे अच्छा अध्ययन किया ~~गया है।~~ इन जगहों में, [[इरविंग कपलान्स्की]] ने द्रढ़ किया कि यदि ए और बी 'सी' [जी] के तत्व हैं {{nowrap\|1=''ab'' = 1}}, तब {{nowrap\|1=''ba'' = 1}} आर सकारात्मक विशेषता का क्षेत्र है जो अज्ञात रहता है।		समूह वलय एक अनंत समूह पर बनता है जो उस स्थित में बहुत कम जाना जाता है और यह सक्रिय शोध का एक क्षेत्र है।<ref>{{cite journal\|author=Passman, Donald S.\|author-link=Donald S. Passman\|title=What is a group ring?\|journal=Amer. Math. Monthly\|volume=83\|year=1976\|pages=173–185\|url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/what-is-a-group-ring\|doi=10.2307/2977018}}</ref> जहाँ आर जटिल संख्याओं का क्षेत्र है तथा जिसका सबसे अच्छा अध्ययन किया जाता हो इन जगहों में[[इरविंग कपलान्स्की]] ने द्रढ़ किया कि यदि ए और बी 'सी' [जी] के तत्व हैं {{nowrap\|1=''ab'' = 1}}, तब {{nowrap\|1=''ba'' = 1}} आर सकारात्मक विशेषता का क्षेत्र है जो अज्ञात रहता है।

	कप्लान्स्की के अनुमान (1940) कहते हैं कि यदि जी एक मरोड़-[[मुक्त समूह]] है और के एक क्षेत्र है तो समूह वलय के(जी) में कोई गैर-तुच्छ शून्य विभाजक नहीं है। यह अनुमान के (जी) के समतुल्य है जिसमें के और जी के लिए समान परिकल्पना है।		कप्लान्स्की के अनुमान (1940) कहते हैं कि यदि जी एक मरोड़-[[मुक्त समूह]] है और के एक क्षेत्र है तो समूह वलय के(जी) में कोई गैर-तुच्छ शून्य विभाजक नहीं है। यह अनुमान के (जी) के समतुल्य है जिसमें के और जी के लिए समान परिकल्पना है।
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	जबकि मरोड़-मुक्त समूहों के कुछ विशेष जगहों को शून्य विभाजक में दिखाया गया है जो इसमें सम्मिलित है।		जबकि मरोड़-मुक्त समूहों के कुछ विशेष जगहों को शून्य विभाजक में दिखाया गया है जो इसमें सम्मिलित है।

	* ~~अनोखा~~ उत्पाद समूह।		* अनन्य उत्पाद समूह।
	* प्राथमिक अनुमन्य समूह (जैसे [[वस्तुतः एबेलियन समूह]])।		* प्राथमिक अनुमन्य समूह (जैसे [[वस्तुतः एबेलियन समूह]])।
	* विशेष रूप से समूह जो स्वतंत्र रूप से आर पर असममित रूप से कार्य करते हैं और प्रक्षेपी विमान की एक दो या तीन प्रतियों के प्रत्यक्ष योगों के मूलभूत समूहों को छोड़कर सतह समूहों के मूलभूत समूह हैं।		* विशेष रूप से समूह जो स्वतंत्र रूप से आर पर असममित रूप से कार्य करते हैं और प्रक्षेपी विमान की तरह एक, दो या तीन प्रतियों के प्रत्यक्ष योगों के मूलभूत समूहों को छोड़कर सतह समूहों के मूलभूत समूह से जुड़े होते हैं।

	स्थानीय ~~रूप~~ से कॉम्पैक्ट समूह के लेख समूह बीजगणित में अधिक विस्तार हैं।		स्थानीय समूह से कॉम्पैक्ट समूह वलय के लेख में समूह वलय बीजगणित में अधिक विस्तार हैं।

	== श्रेणी सिद्धांत ==		== श्रेणी सिद्धांत ==