समीकरण - Revision history

Manidh at 12:28, 31 October 2022

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Neeraja at 05:10, 19 September 2022

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Neeraja at 05:09, 19 September 2022

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Admin at 04:15, 30 August 2022

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	== संदर्भ ==		== संदर्भ ==

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	[[Category:गणित]]		[[Category:गणित]]
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	[[Category:बीजगणित]]		[[Category:बीजगणित]]
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	~~[[Category:Vigyan Ready]]~~

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alpha>Manidh at 04:25, 18 August 2022

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	ब्रह्मगुप्त (628) कहते हैं: "अवशेषों के अंतर के वर्ग के योग का वर्गमूल और अवशेषों के गुणनफल का दो वर्ग गुना, अवशेषों के अंतर से जोड़ा और घटाया जाता है, और आधा (देता है) वांछित अवशेष क्रम से किया जाता है ।"		ब्रह्मगुप्त (628) कहते हैं: "अवशेषों के अंतर के वर्ग के योग का वर्गमूल और अवशेषों के गुणनफल का दो वर्ग गुना, अवशेषों के अंतर से जोड़ा और घटाया जाता है, और आधा (देता है) वांछित अवशेष क्रम से किया जाता है ।"

	[[गणित का विकास\|नारायण]] (1357) लिखते हैं: "दो ~~मात्राओं~~ के अंतर के वर्ग का वर्गमूल ~~और उनके गुणनफल का चार गुना~~ उनका योग होता है।"		[[गणित का विकास\|नारायण]] (1357) लिखते हैं: "दो राशियों के गुणनफल के चार गुना के अंतर के वर्ग का वर्गमूल, उनका योग होता है।"

	"मात्राओं के अंतर का वर्ग उनके गुणनफल के दुगुने के साथ उनके वर्गों के योग के बराबर होता है। इस परिणाम का वर्गमूल गुणनफल का दोगुना योग होता है।"		"मात्राओं के अंतर का वर्ग, उनके गुणनफल के दुगुने के साथ, उनके वर्गों के योग के बराबर होता है। इस परिणाम का वर्गमूल, गुणनफल का दोगुना योग होता है।"

	(2) के समाधान के लिए [[महावीर]] (850) द्वारा निम्नलिखित नियम दिया गया है: "अर्ध-परिधि के वर्ग से क्षेत्रफल (एक आयत का) का चार गुना घटाएँ, फिर उस (शेष) के वर्गमूल और अर्ध-परिधि के बीच ''संक्रमण'' द्वारा आधार/समतल और उर्ध्वाधर प्राप्त होते हैं।"		(2) के समाधान के लिए, [[महावीर]] (850) द्वारा निम्नलिखित नियम दिया गया है: "अर्ध-परिधि के वर्ग से क्षेत्रफल (एक आयत का) का चार गुना घटाएँ, फिर उस (शेष) के वर्गमूल और अर्ध-परिधि के बीच ''संक्रमण'' द्वारा आधार/समतल और उर्ध्वाधर प्राप्त होते हैं।"

	<math>{\displaystyle x = {\frac{1}{2}}}(a + {\sqrt{a^2-4b}})</math>		<math>{\displaystyle x = {\frac{1}{2}}}(a + {\sqrt{a^2-4b}})</math>
Line 814:		Line 814:
	<math>{\displaystyle y = {\frac{1}{2}}}(a - {\sqrt{a^2-4b}})</math>		<math>{\displaystyle y = {\frac{1}{2}}}(a - {\sqrt{a^2-4b}})</math>

	नारायण कहते हैं: "योग के वर्ग का वर्गमूल ~~घटा गुणनफल के चार गुना का~~ अंतर है।"		नारायण कहते हैं:"गुणन के चार गुना योग के वर्ग का वर्गमूल अंतर है।"

	(3) के लिए महावीर नियम देते हैं: "विकर्ण के वर्ग से (एक आयत के) क्षेत्र को दो बार जोड़ें और घटाएं और वर्गमूल निकालें। इनमें से बड़े और छोटे (मूलों) के बीच ''संक्रमण'' द्वारा, आधार/समतल और उर्ध्वाधर पाए जाते हैं।		(3) के लिए महावीर नियम देते हैं: "विकर्ण के वर्ग से (एक आयत के) क्षेत्र को दो बार जोड़ें और घटाएं और वर्गमूल निकालें। इनमें से बड़े और छोटे (मूलों) के बीच ''संक्रमण'' द्वारा, आधार/समतल और उर्ध्वाधर पाए जाते हैं।

alpha>Manidh at 11:53, 17 August 2022

2022-08-17T11:53:24Z

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	x = 7, Y = 8, Z = 9		x = 7, Y = 8, Z = 9

	'''ब्रह्मगुप्त का नियम''': ब्रह्मगुप्त (628) कई अज्ञात से जुड़े रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए निम्नलिखित नियम बताते हैं :		'''ब्रह्मगुप्त का नियम''': ब्रह्मगुप्त (628), कई अज्ञात से जुड़े रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए निम्नलिखित नियम बताते हैं :

	"पहले अज्ञात के पक्ष से अन्य अज्ञात को हटाकर और पहले अज्ञात के गुणांक से विभाजित करके, पहले अज्ञात का मान प्राप्त किया जाता है।पहले अज्ञात के अधिक मूल्यों के मामले में, दो और दो (उनमें से) चाहिए उन्हें आम भाजक में कम करने के बाद विचार किया जाना चाहिए। और इसी तरह बार-बार किया जाना चाहिए। यदि अंतिम समीकरण में अधिक अज्ञात रहते हैं, तो चूर्णित्र(pulveriser) की विधि को नियोजित किया जाना चाहिए। फिर विपरीत तरीके से आगे बढ़ने पर अन्य अज्ञात के मान मिल सकते हैं।"		"पहले अज्ञात के पक्ष से अन्य अज्ञात को हटाकर और पहले अज्ञात के गुणांक से विभाजित करके, पहले अज्ञात का मान प्राप्त किया जाता है।पहले अज्ञात के अधिक मूल्यों के मामले में, दो और दो (उनमें से) चाहिए, उन्हें आम भाजक में कम करने के बाद विचार किया जाना चाहिए। और इसी तरह बार-बार किया जाना चाहिए। यदि अंतिम समीकरण में अधिक अज्ञात रहते हैं, तो चूर्णित्र(pulveriser) की विधि को नियोजित किया जाना चाहिए। फिर विपरीत तरीके से आगे बढ़ने पर, अन्य अज्ञात के मान मिल सकते हैं।"

	चतुर्वेद पृथुदका स्वामी (860) ने इसे इस प्रकार समझाया है: "एक ऐसे उदाहरण में जिसमें दो या दो से अधिक अज्ञात मात्राएँ, रंगों जैसे हों ''यावत्-तावत्'' , आदि को उनके मूल्यों के लिए ग्रहण किया जाना चाहिए। उन पर उदाहरण के कथन के अनुरूप सभी संचालन किए जाने चाहिए और इस प्रकार दो या दो से अधिक पक्षों और समीकरणों को भी ध्यान से तैयार किया जाना ~~चाहिए।पहले~~ दो और दो के बीच सम-निकासी( Equi-clearance) की जानी चाहिए और इसी तरह अंतिम तक: एक तरफ से एक अज्ञात को हटा देना चाहिए, अन्य अज्ञात को एक सामान्य भाजक में घटाया जाना चाहिए और साथ ही विपरीत पक्ष से निरपेक्ष संख्या को हटा देना चाहिए।अन्य अज्ञात के अवशेषों को पहले अज्ञात के अवशिष्ट गुणांक से विभाजित किया जा रहा है, जो पहले अज्ञात का मान ~~देगा।यदि~~ ऐसे कई मान प्राप्त हों, तो उनमें से दो और दो के साथ, सामान्य हर में कमी के बाद समीकरण बनाए जाने ~~चाहिए।इस~~ तरह से अंत तक आगे बढ़ते हुए एक अज्ञात के मूल्य का पता लगाएं। यदि वह मान किसी अन्य अज्ञात के पदों में हो तो उन दोनों के गुणांक पारस्परिक रूप से दो अज्ञात के मान ~~होंगे।यदि~~, हालांकि, उस मूल्य में और अधिक अज्ञात मौजूद हैं, तो चूर्णित्र(pulveriser) की विधि को नियोजित किया जाना चाहिए। कुछ अज्ञातों के लिए मनमाना मूल्य तब माना जा सकता है। "उपरोक्त नियम अनिश्चित और साथ ही निर्धारित समीकरणों को स्वीकार करता है। नियम के चित्रण में ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए सभी उदाहरण अनिश्चित चरित्र के हैं।		चतुर्वेद पृथुदका स्वामी (860) ने इसे इस प्रकार समझाया है: "एक ऐसे उदाहरण में जिसमें दो या दो से अधिक अज्ञात मात्राएँ, रंगों जैसे हों ''यावत्-तावत्'' , आदि को उनके मूल्यों के लिए ग्रहण किया जाना चाहिए। उन पर उदाहरण के कथन के अनुरूप सभी संचालन किए जाने चाहिए और इस प्रकार दो या दो से अधिक पक्षों और समीकरणों को भी ध्यान से तैयार किया जाना चाहिए। पहले दो और दो के बीच सम-निकासी( Equi-clearance) की जानी चाहिए और इसी तरह अंतिम तक: एक तरफ से एक अज्ञात को हटा देना चाहिए, अन्य अज्ञात को एक सामान्य भाजक में घटाया जाना चाहिए और साथ ही विपरीत पक्ष से निरपेक्ष संख्या को हटा देना चाहिए।अन्य अज्ञात के अवशेषों को पहले अज्ञात के अवशिष्ट गुणांक से विभाजित किया जा रहा है, जो पहले अज्ञात का मान देगा। यदि ऐसे कई मान प्राप्त हों, तो उनमें से दो और दो के साथ, सामान्य हर में कमी के बाद समीकरण बनाए जाने चाहिए। इस तरह से अंत तक आगे बढ़ते हुए एक अज्ञात के मूल्य का पता लगाएं। यदि वह मान किसी अन्य अज्ञात के पदों में हो तो, उन दोनों के गुणांक पारस्परिक रूप से दो अज्ञात के मान होंगे। यदि, हालांकि, उस मूल्य में और अधिक अज्ञात मौजूद हैं, तो चूर्णित्र(pulveriser) की विधि को नियोजित किया जाना चाहिए। कुछ अज्ञातों के लिए मनमाना मूल्य तब माना जा सकता है। "उपरोक्त नियम अनिश्चित और साथ ही निर्धारित समीकरणों को स्वीकार करता है। नियम के चित्रण में ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए सभी उदाहरण अनिश्चित चरित्र के हैं।


Line 683:		Line 683:

	== द्विघातीय समीकरण ==		== द्विघातीय समीकरण ==
	जैनियों (500-300 ईसा पूर्व) के प्रारंभिक विहित कार्यों में हम सरल द्विघात समीकरण का ज्यामितीय समाधान देखते हैं[[File:Quadratic equation.gif\|alt=समीकरण\|thumb\|समीकरण ]]		जैनियों (500-300 ईसा पूर्व) के प्रारंभिक विहित कार्यों में, हम सरल द्विघात समीकरण का ज्यामितीय समाधान देखते हैं[[File:Quadratic equation.gif\|alt=समीकरण\|thumb\|समीकरण ]]

	<math>4h^2 -4dh =- c^2</math> और इसके अलावा उमास्वती (सी 150 ई.पू.) के ''तत्त्वाधिगमा-सूत्र'' के रूप में भी पाया जाता है।		<math>4h^2 -4dh =- c^2</math> और इसके अलावा उमास्वती (सी 150 ई.पू.) के ''तत्त्वाधिगमा-सूत्र'' के रूप में भी पाया जाता है।
Line 689:		Line 689:
	<math>{\displaystyle h = {\frac {1}{2}} (d-\sqrt{d^2-c^2})}</math>		<math>{\displaystyle h = {\frac {1}{2}} (d-\sqrt{d^2-c^2})}</math>

	'''श्रीधर का शासन:''' श्रीधर (~~सी।~~ 750) द्विघात समीकरण को हल करने की उनकी विधि को स्पष्ट रूप से इंगित करते हैं ।		'''श्रीधर का शासन:''' श्रीधर (सी 750) द्विघात समीकरण को हल करने की उनकी विधि को स्पष्ट रूप से इंगित करते हैं ।

	बीजगणित पर उनका ग्रंथ अब खो गया है। लेकिन इसका प्रासंगिक अंश भास्कर द्वितीय और अन्य के उद्धरणों में संरक्षित है।		बीजगणित पर उनका ग्रंथ अब खो गया है। लेकिन इसका प्रासंगिक अंश भास्कर द्वितीय और अन्य के उद्धरणों में संरक्षित है।

	श्रीधर की विधि है:		श्रीधर की विधि निम्नलिखित प्रकार से है:

	"दोनों पक्षों (एक समीकरण के) को अज्ञात के वर्ग के गुणांक के चार गुणा के बराबर ज्ञात मात्रा से गुणा करें; दोनों पक्षों में अज्ञात के (मूल) गुणांक के वर्ग के बराबर एक ज्ञात मात्रा जोड़ें: फिर मूल निकालें ।"		"दोनों पक्षों (एक समीकरण के) को अज्ञात के वर्ग के गुणांक के चार गुणा के बराबर ज्ञात मात्रा से गुणा करें; दोनों पक्षों में अज्ञात के (मूल) गुणांक के वर्ग के बराबर एक ज्ञात मात्रा जोड़ें: फिर मूल निकालें ।"
Line 715:		Line 715:
	"अज्ञात के वर्ग के गुणांक से चार गुना गुणा करें और अज्ञात के गुणांक के वर्ग को जोड़ें; फिर अज्ञात के वर्ग के गुणांक के दोगुने से विभाजित वर्गमूल निकालें, इसे अज्ञात का मूल्य कहा जाता है।"		"अज्ञात के वर्ग के गुणांक से चार गुना गुणा करें और अज्ञात के गुणांक के वर्ग को जोड़ें; फिर अज्ञात के वर्ग के गुणांक के दोगुने से विभाजित वर्गमूल निकालें, इसे अज्ञात का मूल्य कहा जाता है।"

	"या अज्ञात के वर्ग के गुणांक से गुणा करके और अज्ञात के गुणांक के आधे के वर्ग को जोड़कर, वर्गमूल निकालें। फिर पहले की तरह आगे बढ़ते हुए, यह अज्ञात के गुणांक के आधे से कम हो जाता है और गुणांक से विभाजित हो जाता ~~है अज्ञात के वर्ग का।~~ इस भागफल को अज्ञात का मान कहा जाता है।"		"या अज्ञात के वर्ग के गुणांक से गुणा करके और अज्ञात के गुणांक के आधे के वर्ग को जोड़कर, वर्गमूल निकालें। फिर पहले की तरह आगे बढ़ते हुए, यह अज्ञात के गुणांक के आधे से कम हो जाता है और अज्ञात के वर्ग के गुणांक से विभाजित हो जाता है। इस भागफल को अज्ञात का मान कहा जाता है।"

	<math>ax^2 + bx = c</math>		<math>ax^2 + bx = c</math>

alpha>Manidh at 07:29, 17 August 2022

2022-08-17T07:29:34Z

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	==== असत्य स्थिति से समाधान ====		==== असत्य स्थिति से समाधान ====
	इस प्रकार के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली बख्शाली ग्रंथ में हल की गई है जैसा कि नीचे दिखाया गया है।		इस प्रकार के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली बख्शाली ग्रंथ में हल की गई है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है।

	x₁ के लिए एक स्वेच्छ मान(arbitrary value) p मान लें और फिर उसके अनुरूप x₂, x₃, ... के मानों की गणना करें। अंत में x<sub>n</sub> + x₁ का परिकलित मान b के बराबर होने दें		x₁ के लिए एक स्वेच्छ मान(arbitrary value) p मान लें और फिर उसके अनुरूप x₂, x₃, ... के मानों की गणना करें। अंत में x<sub>n</sub> + x₁ का परिकलित मान b के बराबर होने दें
Line 598:		Line 598:
	जहाँ Σx का अर्थ है x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub> +....+x<sub>n</sub>		जहाँ Σx का अर्थ है x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub> +....+x<sub>n</sub>

	लेकिन यह कहना उचित नहीं होगा कि बख्शिली ग्रंथ में इस प्रकार के समीकरणों का उपचार किया गया है। हालाँकि, आर्यभट्ट (499) और महावीर (850) द्वारा उन्हें हल किया गया है।		लेकिन, यह कहना उचित नहीं होगा कि बख्शिली ग्रंथ में इस प्रकार के समीकरणों का उपचार किया गया है। हालाँकि, आर्यभट्ट (499) और महावीर (850) द्वारा उन्हें हल किया गया है।

	आर्यभट कहते हैं: "कुछ (अज्ञात) संख्याओं के योग (दिए गए) अलग-अलग जोड़ दिए जाते हैं,अनुक्रम में एक संख्या को छोड़कर, और एक से कम पदों की संख्या से विभाजित किए जाते हैं; वह (भागफल) संपूर्ण का मान होगा।		आर्यभट कहते हैं: "कुछ (अज्ञात) संख्याओं के योग (दिए गए) अलग-अलग जोड़ दिए जाते हैं,अनुक्रम में एक संख्या को छोड़कर, और एक से कम पदों की संख्या से विभाजित किए जाते हैं; वह (भागफल) संपूर्ण का मान होगा।
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	r = I, 2, 3..... n		r = I, 2, 3..... n

	इस प्रकार की एक विशिष्ट स्थिति महावीर के निम्नलिखित उदाहरण द्वारा प्रस्तुत कि गयी है:		इस प्रकार की एक विशिष्ट स्थिति महावीर के निम्नलिखित उदाहरण द्वारा प्रस्तुत की गयी है:

	"तीन व्यापारी आपस में एक-दूसरे से भीख माँगते थे। पहला दूसरे से 4 और तीसरे से 5 भीख माँगने पर दूसरे की तुलना में दुगना धनी हो गया। दूसरा पहले से 4 और तीसरे से 6 होने पर तीन गुना धनी हो गया। तीसरा आदमी पहले से 5 और दूसरे से 6 भीख माँगने पर दूसरों की तुलना में पाँच गुना अमीर बन गया। हे गणितज्ञ, यदि आप ''चित्रा-कुट्टाक-मिश्रा'' जानते हैं तो मुझे जल्दी से बताओ कि प्रत्येक के हाथ में कितनी राशि थी। "		"तीन व्यापारी आपस में एक-दूसरे से भीख माँगते थे। पहला दूसरे से 4 और तीसरे से 5 भीख माँगने पर दूसरे की तुलना में दुगना धनी हो गया। दूसरा पहले से 4 और तीसरे से 6 होने पर तीन गुना धनी हो गया। तीसरा आदमी पहले से 5 और दूसरे से 6 भीख माँगने पर दूसरों की तुलना में पाँच गुना अमीर बन गया। हे गणितज्ञ, यदि आप ''चित्रा-कुट्टाक-मिश्रा'' जानते हैं तो मुझे जल्दी से बताओ कि प्रत्येक के हाथ में कितनी राशि थी। "

alpha>Manidh at 06:28, 17 August 2022

2022-08-17T06:28:13Z

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	== बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण ==		== बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण ==
	बीजीय व्यंजक को निम्न उदाहरण <ref>''A Primer to Bhāratīya Gaṇitam , Bhāratīya-Gaṇita-Praveśa- Part-1''. Samskrit Promotion Foundation. 2021. [[ISBN (identifier)\|ISBN]] [[Special:BookSources/978-81-951757-2-7\|<bdi>978-81-951757-2-7</bdi>]].</ref>से समझा जा सकता है।		बीजीय व्यंजक को निम्न उदाहरण <ref>भारतीय गणितम के लिए एक प्राइमर, भारतीय-गणित-प्रवेश- भाग -1। संस्कृत प्रमोशन फाउंडेशन।''(A Primer to Bhāratīya Gaṇitam , Bhāratīya-Gaṇita-Praveśa- Part-1''. Samskrit Promotion Foundation.) 2021. [[ISBN (identifier)\|ISBN]] [[Special:BookSources/978-81-951757-2-7\|<bdi>978-81-951757-2-7</bdi>]].</ref>से समझा जा सकता है।

	राम कहता है कि उसके पास श्याम से 10 सिक्के ज्यादा हैं। हम ठीक से नहीं जानते कि श्याम के पास कितने सिक्के हैं। उसके पास कितने भी सिक्के हो सकते हैं। लेकिन हम जानते हैं कि राम के सिक्कों की संख्या = श्याम के सिक्कों की संख्या + 10		राम कहता है कि उसके पास श्याम से 10 सिक्के ज्यादा हैं। हम ठीक से नहीं जानते कि श्याम के पास कितने सिक्के हैं। उसके पास कितने भी सिक्के हो सकते हैं। लेकिन हम जानते हैं कि राम के सिक्कों की संख्या = श्याम के सिक्कों की संख्या + 10
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	''वधे तु तद्वर्गघनादयः स्युस्तद्भावितं चासमजातिघाते।''		''वधे तु तद्वर्गघनादयः स्युस्तद्भावितं चासमजातिघाते।''

	''भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥''<ref>Bījagaṇita, ch. Avyaktādi-guṇana, vs.6,7, p.8</ref>		''भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥''<ref>बीजगणित, अध्या. अव्यक्तदि-गुणन , बनाम 6,7, पृ.8(Bījagaṇita, ch. Avyaktādi-guṇana, vs.6,7, p.8)</ref>

	"एक संख्यात्मक स्थिरांक और एक अज्ञात मात्रा का गुणनफल एक अज्ञात मात्रा है। दो या तीन समान पदों के गुणनफल उनके वर्ग या घन (क्रमशः) होते हैं। विषम पदों का गुणनफल ''भाविता'' है। भिन्न आदि ज्ञात की स्थति में हैं। अन्य (प्रक्रियाएं) वही हैं जो अंकगणित में बताए गए हैं।"		"एक संख्यात्मक स्थिरांक और एक अज्ञात मात्रा का गुणनफल एक अज्ञात मात्रा है। दो या तीन समान पदों के गुणनफल उनके वर्ग या घन (क्रमशः) होते हैं। विषम पदों का गुणनफल ''भाविता'' है। भिन्न आदि ज्ञात की स्थति में हैं। अन्य (प्रक्रियाएं) वही हैं जो अंकगणित में बताए गए हैं।"
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	भास्कर द्वितीय अज्ञात मात्राओं के जोड़ और घटाव का नियम इस प्रकार देते हैं:		भास्कर द्वितीय अज्ञात मात्राओं के जोड़ और घटाव का नियम इस प्रकार देते हैं:

	''योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च।''<ref>Bījagaṇita ch. Avyakta-saṅkalana-vyavakalana, vs.6, p.7</ref>		''योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च।''<ref>बीजगणित अध्या. अव्यक्त-संकलन-व्यवकलन, बनाम 6, पृ.7(Bījagaṇita ch. Avyakta-saṅkalana-vyavakalana, vs.6, p.7)</ref>

	"जोड़ और घटाव समान पदों के बीच किया जाता है। विपरीत/विषम शब्दों को अलग रखा जाना चाहिए।"		"जोड़ और घटाव समान पदों के बीच किया जाता है। विपरीत/विषम शब्दों को अलग रखा जाना चाहिए।"
Line 213:		Line 213:
	''गुण्यः पृथग्गुणकखण्डसमो निवेश्यस्तैः खण्डकैः क्रमहतः सहितो यथोक्त्या।''		''गुण्यः पृथग्गुणकखण्डसमो निवेश्यस्तैः खण्डकैः क्रमहतः सहितो यथोक्त्या।''

	''अव्यक्तवर्गकरणीगणनास चिन्त्यो व्यक्तोक्तखण्डगुणनाविधिरेवमत्र॥''<ref>Bījagaṇita ch. Avyaktādi-guṇana, vs.8, p.8</ref>		''अव्यक्तवर्गकरणीगणनास चिन्त्यो व्यक्तोक्तखण्डगुणनाविधिरेवमत्र॥''<ref>बीजगणित अध्या. अव्यक्तदि-गुणन , बनाम.8, पृ.8(Bījagaṇita ch. Avyaktādi-guṇana, vs.8, p.8)</ref>

	"गुण्य को गुणक के पदों के रूप में कई स्थानों पर रखें। गुणक के पदों को अलग-अलग क्रम से गुणा करें और प्रश्न में निर्देशानुसार परिणाम जोड़ें। यह अज्ञात संख्याओं और करणी (surd/सर्ड) के वर्गों कि स्थिति में भी लागू होता है। अंकगणितीय संख्याओं के स्थिति में बताई गई आंशिक गुणनफलों (partial products) की विधि यहां भी लागू होती है।"		"गुण्य को गुणक के पदों के रूप में कई स्थानों पर रखें। गुणक के पदों को अलग-अलग क्रम से गुणा करें और प्रश्न में निर्देशानुसार परिणाम जोड़ें। यह अज्ञात संख्याओं और करणी (surd/सर्ड) के वर्गों कि स्थिति में भी लागू होता है। अंकगणितीय संख्याओं के स्थिति में बताई गई आंशिक गुणनफलों (partial products) की विधि यहां भी लागू होती है।"
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	''अव्यक्तान्तरभक्तं व्यस्ततां समानऽव्यक्तं।''		''अव्यक्तान्तरभक्तं व्यस्ततां समानऽव्यक्तं।''

	''कक्षा व्यक्ताः शोध यशद्रूपाणी तदधस्तात II ''<ref>Brāhma-sphuṭa-siddhānta, Ch 18, vs.43,p.314</ref>		''कक्षा व्यक्ताः शोध यशद्रूपाणी तदधस्तात II ''<ref>ब्रह्म-स्फूट-सिद्धांत, अध्याय 18, बनाम 43, पृष्ठ 314(Brāhma-sphuṭa-siddhānta, Ch 18, vs.43,p.314)</ref>

	"पूर्ण संख्याओं का अंतर, उत्क्रम और अज्ञात के अंतर से विभाजित, एक समीकरण में अज्ञात का [मान] है।"		"पूर्ण संख्याओं का अंतर, उत्क्रम और अज्ञात के अंतर से विभाजित, एक समीकरण में अज्ञात का [मान] है।"
Line 393:		Line 393:
	''एकाव्यक्तं शोधयेदन्यपक्षाद्रूपाण्यन्यस्येतरस्माच्च पक्षात्''		''एकाव्यक्तं शोधयेदन्यपक्षाद्रूपाण्यन्यस्येतरस्माच्च पक्षात्''

	''शेषाव्यक्तेनोद्धरेद्रूपशेषं व्यक्तं मानं जायतेऽव्यक्तराशेः''॥<ref>(Bijagaṇita, ch. Ekavarṇa-samīkaraṇa, vs.1, 2, pp.43,44)</ref>		''शेषाव्यक्तेनोद्धरेद्रूपशेषं व्यक्तं मानं जायतेऽव्यक्तराशेः''॥<ref>बीजगणित, अध्या. एकवर्ण-समीकरण, बनाम 1, 2, पीपी.43,44(Bijagaṇita, ch. Ekavarṇa-samīkaraṇa, vs.1, 2, pp.43,44)</ref>

	"अज्ञात मात्रा (x) मान लें। रद्द करने या कम करने या गुणा करने या विभाजित करने के बाद अज्ञात शब्दों से जुड़े कारकों को एक तरफ और स्थिर शब्दों को दूसरी तरफ स्थानांतरित करके वांछित प्रक्रिया करें। अज्ञात के गुणांक से पदों को विभाजित करें और अज्ञात कारक के मान की गणना करें।"		"अज्ञात मात्रा (x) मान लें। रद्द करने या कम करने या गुणा करने या विभाजित करने के बाद अज्ञात शब्दों से जुड़े कारकों को एक तरफ और स्थिर शब्दों को दूसरी तरफ स्थानांतरित करके वांछित प्रक्रिया करें। अज्ञात के गुणांक से पदों को विभाजित करें और अज्ञात कारक के मान की गणना करें।"