वर्सोर - Revision history

Manidh at 13:35, 19 April 2023

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	* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Versor ''Versor''] at [[Encyclopedia of Mathematics]].		* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Versor ''Versor''] at [[Encyclopedia of Mathematics]].
	* Luis Ibáñez [http://www.itk.org/CourseWare/Training/QuaternionsI.pdf Quaternion tutorial] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20120204055438/http://www.itk.org/CourseWare/Training/QuaternionsI.pdf \|date=2012-02-04 }} from [[National Library of Medicine]]		* Luis Ibáñez [http://www.itk.org/CourseWare/Training/QuaternionsI.pdf Quaternion tutorial] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20120204055438/http://www.itk.org/CourseWare/Training/QuaternionsI.pdf \|date=2012-02-04 }} from [[National Library of Medicine]]
	[[Category: गोलाकार त्रिकोणमिति]] [[Category: quaternions]] [[Category: तीन आयामों में घूमना]] [[Category: विलियम रोवन हैमिल्टन]]

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	{{short description\|Quaternion of norm 1 (unit quaternion), whose multiplication group is isomorphic to SU(2)}}		{{short description\|Quaternion of norm 1 (unit quaternion), whose multiplication group is isomorphic to SU(2)}}
	{{about\|मानक एक के चतुष्कोण}}		{{about\|मानक एक के चतुष्कोण}}
	गणित में एक वर्सोर आदर्श एक ''[[यूनिट (रिंग थ्योरी)]]'' का चतुर्भुज है। यह शब्द लैटिन ''वर्सारे'' = प्रत्यय ''-''या के साथ क्रिया से संज्ञा बनाने के लिए लिया गया है (अर्थात् ''वर्सर'' = टर्नर)। इसे [[विलियम रोवन हैमिल्टन]] ने अपने चतुष्कोणीय सिद्धांत के संदर्भ में प्रस्तुत किया था।		गणित में एक '''वर्सोर''' आदर्श एक ''[[यूनिट (रिंग थ्योरी)]]'' का चतुर्भुज है। यह शब्द लैटिन ''वर्सारे'' = प्रत्यय ''-''या के साथ क्रिया से संज्ञा बनाने के लिए लिया गया है (अर्थात् ''वर्सर'' = टर्नर)। इसे [[विलियम रोवन हैमिल्टन]] ने अपने चतुष्कोणीय सिद्धांत के संदर्भ में प्रस्तुत किया था।

	प्रत्येक वर्सोर का रूप है:		प्रत्येक '''वर्सोर''' का रूप है:
	:<math>q = \exp(a\mathbf{r}) = \cos a + \mathbf{r} \sin a, \quad \mathbf{r}^2 = -1, \quad a \in [0,\pi],</math>		:<math>q = \exp(a\mathbf{r}) = \cos a + \mathbf{r} \sin a, \quad \mathbf{r}^2 = -1, \quad a \in [0,\pi],</math>
	जहां r<sup>2</sup> = -1 स्थिति का अर्थ है कि r एक इकाई-लम्बाई सदिश चतुर्भुज है (अथवा r का पहला घटक शून्य है और r के अंतिम तीन घटक 3 आयामों में एक इकाई सदिश हैं)। संबंधित [[त्रि-आयामी स्थान]] 3-आयामी घुमाव में अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व में अक्ष r के बारे में कोण 2''a'' है। यदि {{nowrap\|''a'' {{=}} π/2}} (एक [[समकोण]]), फिर <math>q = \mathbf{r}</math> और परिणामी इकाई वेक्टर को सही वर्सोर कहा जाता है।		जहां r<sup>2</sup> = -1 स्थिति का अर्थ है कि r एक इकाई-लम्बाई सदिश चतुर्भुज है (अथवा r का पहला घटक शून्य है और r के अंतिम तीन घटक 3 आयामों में एक इकाई सदिश हैं)। संबंधित [[त्रि-आयामी स्थान]] 3-आयामी घुमाव में अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व में अक्ष r के बारे में कोण 2''a'' है। यदि {{nowrap\|''a'' {{=}} π/2}} (एक [[समकोण]]), फिर <math>q = \mathbf{r}</math> और परिणामी इकाई वेक्टर को सही वर्सोर कहा जाता है।

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	इस वर्सोर का उपयोग होमर्शम कॉक्स (गणितज्ञ) (1882/83) द्वारा चतुष्कोण गुणन के संबंध में किया गया था।<ref>{{Cite journal\|author=Cox, H.\|year=1883\|orig-year=1882\|title=विभिन्न प्रकार के यूनिफ़ॉर्म स्पेस के लिए क्वाटरनियंस और ग्रासमैन के ऑस्देहनुंगस्लेह्रे के अनुप्रयोग पर\|journal=[[Transactions of the Cambridge Philosophical Society]]\|volume=13\|pages=69–143\|url=https://archive.org/details/transactions13camb/page/68}}</ref><ref>{{Cite journal\|author=Cox, H.\|year=1883\|orig-year=1882\|title=विभिन्न प्रकार के यूनिफ़ॉर्म स्पेस के लिए क्वाटरनियंस और ग्रासमैन के ऑस्देहनुंगस्लेह्रे के अनुप्रयोग पर\|journal=Proc. Camb. Phil. Soc.\|volume=4\|pages=194–196\|url=https://archive.org/details/proceedingsofcam4188083camb}}</ref> हाइपरबोलिक वर्सोर के प्राथमिक प्रतिपादक [[अलेक्जेंडर मैकफर्लेन]] थे क्योंकि उन्होंने भौतिक विज्ञान की सेवा के लिए चतुष्कोणीय सिद्धांत को आकार देने के लिए काम किया था।<ref>[[Alexander Macfarlane]] (1894) [https://archive.org/details/principlesalgeb01macfgoog Papers on Space Analysis], especially papers #2, 3, & 5, B. Westerman, New York, weblink from [[archive.org]]</ref> उन्होंने स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स नंबर प्लेन पर काम करने वाले हाइपरबोलिक वर्सर्स की मॉडलिंग शक्ति को देखा और 1891 में उन्होंने अवधारणा को 4-स्पेस तक विस्तारित करने के लिए हाइपरबोलिक [[biquaternion\|द्वि चतुष्कोण]] को प्रारम्भ किया। उस बीजगणित में समस्याओं के कारण 1900 के बाद बाईक्वाटरनियंस का उपयोग हुआ। 1899 की एक व्यापक परिचालित समीक्षा में मैकफर्लेन ने कहा:		इस वर्सोर का उपयोग होमर्शम कॉक्स (गणितज्ञ) (1882/83) द्वारा चतुष्कोण गुणन के संबंध में किया गया था।<ref>{{Cite journal\|author=Cox, H.\|year=1883\|orig-year=1882\|title=विभिन्न प्रकार के यूनिफ़ॉर्म स्पेस के लिए क्वाटरनियंस और ग्रासमैन के ऑस्देहनुंगस्लेह्रे के अनुप्रयोग पर\|journal=[[Transactions of the Cambridge Philosophical Society]]\|volume=13\|pages=69–143\|url=https://archive.org/details/transactions13camb/page/68}}</ref><ref>{{Cite journal\|author=Cox, H.\|year=1883\|orig-year=1882\|title=विभिन्न प्रकार के यूनिफ़ॉर्म स्पेस के लिए क्वाटरनियंस और ग्रासमैन के ऑस्देहनुंगस्लेह्रे के अनुप्रयोग पर\|journal=Proc. Camb. Phil. Soc.\|volume=4\|pages=194–196\|url=https://archive.org/details/proceedingsofcam4188083camb}}</ref> हाइपरबोलिक वर्सोर के प्राथमिक प्रतिपादक [[अलेक्जेंडर मैकफर्लेन]] थे क्योंकि उन्होंने भौतिक विज्ञान की सेवा के लिए चतुष्कोणीय सिद्धांत को आकार देने के लिए काम किया था।<ref>[[Alexander Macfarlane]] (1894) [https://archive.org/details/principlesalgeb01macfgoog Papers on Space Analysis], especially papers #2, 3, & 5, B. Westerman, New York, weblink from [[archive.org]]</ref> उन्होंने स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स नंबर प्लेन पर काम करने वाले हाइपरबोलिक वर्सर्स की मॉडलिंग शक्ति को देखा और 1891 में उन्होंने अवधारणा को 4-स्पेस तक विस्तारित करने के लिए हाइपरबोलिक [[biquaternion\|द्वि चतुष्कोण]] को प्रारम्भ किया। उस बीजगणित में समस्याओं के कारण 1900 के बाद बाईक्वाटरनियंस का उपयोग हुआ। 1899 की एक व्यापक परिचालित समीक्षा में मैकफर्लेन ने कहा:
	:...किसी द्विघात समीकरण का मूल वर्सर प्रकृति का या अदिश प्रकृति का हो सकता है। यदि यह प्रकृति में वर्सर है। तो रेडिकल से प्रभावित भाग में संदर्भ के विमान के लंबवत धुरी सम्मिलित है और यह ऐसा है कि रेडिकल में माइनस एक का वर्गमूल सम्मिलित हो या नहीं। पूर्व स्थितियां में वर्सोर परिपत्र है और बाद के [[अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोण\|हाइपरबोलिक चतुष्कोण]] भी इस स्थिति में सम्मिलित हैं।<ref>[[Science (journal)\|Science]], 9:326 (1899)</ref>		:...किसी द्विघात समीकरण का मूल वर्सर प्रकृति का या अदिश प्रकृति का हो सकता है। यदि यह प्रकृति में वर्सर है। तो रेडिकल से प्रभावित भाग में संदर्भ के विमान के लंबवत धुरी सम्मिलित है और यह ऐसा है कि रेडिकल में माइनस एक का वर्गमूल सम्मिलित हो या नहीं। पूर्व स्थितियां में वर्सोर परिपत्र है और बाद के [[अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोण\|हाइपरबोलिक चतुष्कोण]] भी इस स्थिति में सम्मिलित हैं।<ref>[[Science (journal)\|Science]], 9:326 (1899)</ref>
	आज [[एक-पैरामीटर समूह]] की अवधारणा वर्सोर और हाइपरबोलिक वर्सोर की अवधारणाओं को ग्रहण करती है क्योंकि [[सोफस झूठ\|सोफस लाई]] की शब्दावली ने हैमिल्टन और मैकफर्लेन की शब्दावली को बदल दिया है। विशेष रूप से प्रत्येक के लिए {{math\|r}} ऐसा है कि {{nowrap\|'''{{math\|r r}}''' {{=}} +1}} या {{nowrap\|'''{{math\|r r}}''' {{=}} −1}}, मैपिंग <math>a \mapsto \exp(a\,\mathbf{r})</math> वास्तविक रेखा बीजगणित में हाइपरबोलिक या साधारण वर्सोर के समूह में ले जाता है। सामान्य स्थितियां में, कब {{math\|r}} और -{{math\|r}} एक गोले पर [[एंटीपोडल बिंदु]] हैं, एक-पैरामीटर समूहों के समान बिंदु हैं। किन्तु ये विपरीत दिशा में निर्देशित हैं। भौतिकी में घूर्णी सममिति के इस तथ्य को द्विक (भौतिकी) कहा जाता है।		आज [[एक-पैरामीटर समूह]] की अवधारणा वर्सोर और हाइपरबोलिक वर्सोर की अवधारणाओं को ग्रहण करती है क्योंकि [[सोफस झूठ\|सोफस लाई]] की शब्दावली ने हैमिल्टन और मैकफर्लेन की शब्दावली को बदल दिया है। विशेष रूप से प्रत्येक के लिए {{math\|r}} ऐसा है कि {{nowrap\|'''{{math\|r r}}''' {{=}} +1}} या {{nowrap\|'''{{math\|r r}}''' {{=}} −1}}, मैपिंग <math>a \mapsto \exp(a\,\mathbf{r})</math> वास्तविक रेखा बीजगणित में हाइपरबोलिक या साधारण वर्सोर के समूह में ले जाता है। सामान्य स्थितियां में, जब {{math\|r}} और -{{math\|r}} एक गोले पर [[एंटीपोडल बिंदु]] हैं, एक-पैरामीटर समूहों के समान बिंदु हैं। किन्तु ये विपरीत दिशा में निर्देशित हैं। भौतिकी में घूर्णी सममिति के इस तथ्य को द्विक (भौतिकी) कहा जाता है।

	1911 में [[अल्फ्रेड रॉब]] ने अपनी 'ऑप्टिकल ज्योमेट्री ऑफ मोशन' प्रकाशित की। जिसमें उन्होंने पैरामीटर [[ तेज़ी \|तेज़ी]] की पहचान की। जो संदर्भ के फ्रेम में बदलाव को निर्दिष्ट करता है। यह रैपिडिटी पैरामीटर हाइपरबोलिक वर्सोर के एक-पैरामीटर समूह में वास्तविक चर से मिलता है। विशेष आपेक्षिकता के और विकास के साथ एक हाइपरबोलिक वर्सोर की क्रिया को [[लोरेंत्ज़ बूस्ट]] कहा जाने लगा था।		1911 में [[अल्फ्रेड रॉब]] ने अपनी 'ऑप्टिकल ज्योमेट्री ऑफ मोशन' प्रकाशित की। जिसमें उन्होंने पैरामीटर [[ तेज़ी \|तेज़ी]] की पहचान की। जो संदर्भ के फ्रेम में बदलाव को निर्दिष्ट करता है। यह रैपिडिटी पैरामीटर हाइपरबोलिक वर्सोर के एक-पैरामीटर समूह में वास्तविक चर से मिलता है। विशेष आपेक्षिकता के और विकास के साथ एक हाइपरबोलिक वर्सोर की क्रिया को [[लोरेंत्ज़ बूस्ट]] कहा जाने लगा था।
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	* चतुष्कोण और स्थानिक घुमाव		* चतुष्कोण और स्थानिक घुमाव
	* 4-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घूर्णन		* 4-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घूर्णन
	* ~~मुड़ें~~ (ज्यामिति)		* घुमाव (ज्यामिति)

	==टिप्पणियाँ==		==टिप्पणियाँ==

alpha>Saurabh at 11:30, 15 March 2023

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	1911 में [[अल्फ्रेड रॉब]] ने अपनी 'ऑप्टिकल ज्योमेट्री ऑफ मोशन' प्रकाशित की। जिसमें उन्होंने पैरामीटर [[ तेज़ी \|तेज़ी]] की पहचान की। जो संदर्भ के फ्रेम में बदलाव को निर्दिष्ट करता है। यह रैपिडिटी पैरामीटर हाइपरबोलिक वर्सोर के एक-पैरामीटर समूह में वास्तविक चर से मिलता है। विशेष आपेक्षिकता के और विकास के साथ एक हाइपरबोलिक वर्सोर की क्रिया को [[लोरेंत्ज़ बूस्ट]] कहा जाने लगा था।		1911 में [[अल्फ्रेड रॉब]] ने अपनी 'ऑप्टिकल ज्योमेट्री ऑफ मोशन' प्रकाशित की। जिसमें उन्होंने पैरामीटर [[ तेज़ी \|तेज़ी]] की पहचान की। जो संदर्भ के फ्रेम में बदलाव को निर्दिष्ट करता है। यह रैपिडिटी पैरामीटर हाइपरबोलिक वर्सोर के एक-पैरामीटर समूह में वास्तविक चर से मिलता है। विशेष आपेक्षिकता के और विकास के साथ एक हाइपरबोलिक वर्सोर की क्रिया को [[लोरेंत्ज़ बूस्ट]] कहा जाने लगा था।

	== ~~झूठ~~ सिद्धांत ==		== लाई सिद्धांत ==
	{{main\|~~Lie theory}}~~		{{main\|लाई सिद्धांत}}
	सोफस ली एक वर्ष से भी कम उम्र के थे जब हैमिल्टन ने पहली बार चतुष्कोणों का वर्णन किया था, किन्तु ली का नाम घातांक द्वारा उत्पन्न सभी समूहों के साथ जुड़ गया है। उनके गुणन के साथ वर्सोर के सेट को रॉबर्ट गिलमोर द्वारा लाई थ्योरी पर अपने पाठ में Sl(1,q) निरूपित किया गया है।<ref name=RG>Robert Gilmore (1974) ''Lie Groups, Lie Algebras and some of their Applications'', chapter 5: Some simple examples, pages 120–35, [[Wiley (publisher)\|Wiley]] {{ISBN\|0-471-30179-5}} Gilmore denotes the real, complex, and quaternion division algebras by r, c, and q, rather than the more common R, C, and H.</ref> एसएल (1, क्यू) चतुष्कोणों पर एक आयाम का [[विशेष रैखिक समूह]] है, विशेष इंगित करता है कि सभी तत्व मानक एक हैं। समूह एसयू (2, सी) के लिए आइसोमोर्फिक है, एक विशेष एकात्मक समूह, अक्सर इस्तेमाल किया जाने वाला पदनाम है क्योंकि चतुष्कोणों और वर्सोर को कभी-कभी समूह सिद्धांत के लिए कालानुक्रमिक माना जाता है। घूर्णन समूह SO(3)\|तीन आयामों में घूर्णन का विशेष लांबिक समूह SO(3,r) निकटता से संबंधित है: यह SU(2,c) की 2:1 समरूपी छवि है।

	~~उपस्थान~~ <~~math~~>\{~~x i + y j + z k: x~~, y, ~~z \in~~ R ~~\} \subset~~ H </~~math~~> ~~वर्सोर के समूह~~ का [[~~झूठ बीजगणित~~]] ~~कहा जाता~~ है। ~~कम्यूटेटर उत्पाद <math>[u~~ , ~~v] = uv~~ - ~~vu \ ,</math> बस दो सदिशों~~ के ~~क्रॉस उत्पाद को दोगुना करें, लाई बीजगणित में गुणन बनाता~~ है। SU(~~1,c~~) और SO(3,r) ~~के बीच घनिष्ठ संबंध उनके झूठ बीजगणित के समरूपता में स्पष्ट~~ है।~~<ref name=RG/>~~		सोफस ली एक वर्ष से भी कम उम्र के थे। जब हैमिल्टन ने पहली बार चतुष्कोणों का वर्णन किया था। किन्तु ली का नाम घातांक द्वारा उत्पन्न सभी समूहों के साथ जुड़ गया है। उनके गुणन के साथ वर्सोर के समूब को रॉबर्ट गिलमोर द्वारा लाई थ्योरी पर अपने पाठ में Sl(1,q) के रूप में निरूपित किया गया है।<ref name=RG>Robert Gilmore (1974) ''Lie Groups, Lie Algebras and some of their Applications'', chapter 5: Some simple examples, pages 120–35, [[Wiley (publisher)\|Wiley]] {{ISBN\|0-471-30179-5}} Gilmore denotes the real, complex, and quaternion division algebras by r, c, and q, rather than the more common R, C, and H.</ref> Sl(1,q) चतुष्कोणों पर आयाम का [[विशेष रैखिक समूह]] है। यह विशेष निर्देशित करता है कि सभी तत्व मानक एक हैं। समूह SU(2,c) के लिए आइसोमोर्फिक है। एक विशेष एकात्मक समूह प्रायः प्रयोग किया जाने वाला पदनाम है क्योंकि चतुष्कोणों और वर्सोर को कभी-कभी समूह सिद्धांत के लिए कालानुक्रमिक माना जाता है। घूर्णन समूह SO(3)\|तीन आयामों में घूर्णन का विशेष लांबिक समूह SO(3,r) निकटता से संबंधित है। यह SU(2,c) की 2:1 समरूपी छवि है।

	~~अतिशयोक्तिपूर्ण~~ वर्सोर वाले ~~झूठे~~ समूहों में [[इकाई अतिपरवलय]] पर समूह और विशेष एकात्मक समूह SU(1,1) सम्मिलित हैं।		उपस्थान <math>\{x i + y j + z k: x, y, z \in R \} \subset H </math> वर्सोर के समूह का [[झूठ बीजगणित\|लाई बीजगणित]] कहा जाता है। कम्यूटेटर उत्पाद <math>[u , v] = uv - vu \ ,</math> बस दो सदिशों के क्रॉस उत्पाद को दोगुना करें, लाई बीजगणित में गुणन बनाता है। SU(1,c) और SO(3,r) के बीच घनिष्ठ संबंध उनके लाई बीजगणित के समरूपता में स्पष्ट है।<ref name=RG/>

			हाइपरबोलिक वर्सोर वाले लाई समूहों में [[इकाई अतिपरवलय\|इकाई हाइपरबोलिक]] पर समूह और विशेष एकात्मक समूह SU(1,1) सम्मिलित हैं।

	== यह भी देखें ==		== यह भी देखें ==

alpha>Saurabh at 11:25, 15 March 2023

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	{{short description\|Quaternion of norm 1 (unit quaternion), whose multiplication group is isomorphic to SU(2)}}		{{short description\|Quaternion of norm 1 (unit quaternion), whose multiplication group is isomorphic to SU(2)}}
	{{about\|~~the quaternions of norm one~~}}		{{about\|मानक एक के चतुष्कोण}}
	गणित में एक वर्सोर आदर्श एक ''[[यूनिट (रिंग थ्योरी)]]'' का चतुर्भुज है। यह शब्द लैटिन ''वर्सारे'' = प्रत्यय ''-''या के साथ क्रिया से संज्ञा बनाने के लिए लिया गया है (अर्थात् ''वर्सर'' = टर्नर)। इसे [[विलियम रोवन हैमिल्टन]] ने अपने चतुष्कोणीय सिद्धांत के संदर्भ में प्रस्तुत किया था।		गणित में एक वर्सोर आदर्श एक ''[[यूनिट (रिंग थ्योरी)]]'' का चतुर्भुज है। यह शब्द लैटिन ''वर्सारे'' = प्रत्यय ''-''या के साथ क्रिया से संज्ञा बनाने के लिए लिया गया है (अर्थात् ''वर्सर'' = टर्नर)। इसे [[विलियम रोवन हैमिल्टन]] ने अपने चतुष्कोणीय सिद्धांत के संदर्भ में प्रस्तुत किया था।

alpha>Saurabh at 11:25, 15 March 2023

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	आज [[एक-पैरामीटर समूह]] की अवधारणा वर्सोर और हाइपरबोलिक वर्सोर की अवधारणाओं को ग्रहण करती है क्योंकि [[सोफस झूठ\|सोफस लाई]] की शब्दावली ने हैमिल्टन और मैकफर्लेन की शब्दावली को बदल दिया है। विशेष रूप से प्रत्येक के लिए {{math\|r}} ऐसा है कि {{nowrap\|'''{{math\|r r}}''' {{=}} +1}} या {{nowrap\|'''{{math\|r r}}''' {{=}} −1}}, मैपिंग <math>a \mapsto \exp(a\,\mathbf{r})</math> वास्तविक रेखा बीजगणित में हाइपरबोलिक या साधारण वर्सोर के समूह में ले जाता है। सामान्य स्थितियां में, कब {{math\|r}} और -{{math\|r}} एक गोले पर [[एंटीपोडल बिंदु]] हैं, एक-पैरामीटर समूहों के समान बिंदु हैं। किन्तु ये विपरीत दिशा में निर्देशित हैं। भौतिकी में घूर्णी सममिति के इस तथ्य को द्विक (भौतिकी) कहा जाता है।		आज [[एक-पैरामीटर समूह]] की अवधारणा वर्सोर और हाइपरबोलिक वर्सोर की अवधारणाओं को ग्रहण करती है क्योंकि [[सोफस झूठ\|सोफस लाई]] की शब्दावली ने हैमिल्टन और मैकफर्लेन की शब्दावली को बदल दिया है। विशेष रूप से प्रत्येक के लिए {{math\|r}} ऐसा है कि {{nowrap\|'''{{math\|r r}}''' {{=}} +1}} या {{nowrap\|'''{{math\|r r}}''' {{=}} −1}}, मैपिंग <math>a \mapsto \exp(a\,\mathbf{r})</math> वास्तविक रेखा बीजगणित में हाइपरबोलिक या साधारण वर्सोर के समूह में ले जाता है। सामान्य स्थितियां में, कब {{math\|r}} और -{{math\|r}} एक गोले पर [[एंटीपोडल बिंदु]] हैं, एक-पैरामीटर समूहों के समान बिंदु हैं। किन्तु ये विपरीत दिशा में निर्देशित हैं। भौतिकी में घूर्णी सममिति के इस तथ्य को द्विक (भौतिकी) कहा जाता है।

	1911 में [[अल्फ्रेड रॉब]] ने अपनी 'ऑप्टिकल ज्योमेट्री ऑफ मोशन' प्रकाशित की जिसमें उन्होंने पैरामीटर [[ तेज़ी ]] की पहचान की जो संदर्भ के फ्रेम में बदलाव को निर्दिष्ट करता है। यह रैपिडिटी पैरामीटर हाइपरबोलिक ~~वर्सर्स~~ के एक-पैरामीटर समूह में वास्तविक चर से ~~मेल खाता~~ है। विशेष आपेक्षिकता के और विकास के साथ एक ~~अतिशयोक्तिपूर्ण~~ वर्सोर की क्रिया को [[लोरेंत्ज़ बूस्ट]] कहा जाने ~~लगा।~~		1911 में [[अल्फ्रेड रॉब]] ने अपनी 'ऑप्टिकल ज्योमेट्री ऑफ मोशन' प्रकाशित की। जिसमें उन्होंने पैरामीटर [[ तेज़ी \|तेज़ी]] की पहचान की। जो संदर्भ के फ्रेम में बदलाव को निर्दिष्ट करता है। यह रैपिडिटी पैरामीटर हाइपरबोलिक वर्सोर के एक-पैरामीटर समूह में वास्तविक चर से मिलता है। विशेष आपेक्षिकता के और विकास के साथ एक हाइपरबोलिक वर्सोर की क्रिया को [[लोरेंत्ज़ बूस्ट]] कहा जाने लगा था।

	== झूठ सिद्धांत ==		== झूठ सिद्धांत ==

alpha>Saurabh at 11:23, 15 March 2023

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	इस वर्सोर का उपयोग होमर्शम कॉक्स (गणितज्ञ) (1882/83) द्वारा चतुष्कोण गुणन के संबंध में किया गया था।<ref>{{Cite journal\|author=Cox, H.\|year=1883\|orig-year=1882\|title=विभिन्न प्रकार के यूनिफ़ॉर्म स्पेस के लिए क्वाटरनियंस और ग्रासमैन के ऑस्देहनुंगस्लेह्रे के अनुप्रयोग पर\|journal=[[Transactions of the Cambridge Philosophical Society]]\|volume=13\|pages=69–143\|url=https://archive.org/details/transactions13camb/page/68}}</ref><ref>{{Cite journal\|author=Cox, H.\|year=1883\|orig-year=1882\|title=विभिन्न प्रकार के यूनिफ़ॉर्म स्पेस के लिए क्वाटरनियंस और ग्रासमैन के ऑस्देहनुंगस्लेह्रे के अनुप्रयोग पर\|journal=Proc. Camb. Phil. Soc.\|volume=4\|pages=194–196\|url=https://archive.org/details/proceedingsofcam4188083camb}}</ref> हाइपरबोलिक वर्सोर के प्राथमिक प्रतिपादक [[अलेक्जेंडर मैकफर्लेन]] थे क्योंकि उन्होंने भौतिक विज्ञान की सेवा के लिए चतुष्कोणीय सिद्धांत को आकार देने के लिए काम किया था।<ref>[[Alexander Macfarlane]] (1894) [https://archive.org/details/principlesalgeb01macfgoog Papers on Space Analysis], especially papers #2, 3, & 5, B. Westerman, New York, weblink from [[archive.org]]</ref> उन्होंने स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स नंबर प्लेन पर काम करने वाले हाइपरबोलिक वर्सर्स की मॉडलिंग शक्ति को देखा और 1891 में उन्होंने अवधारणा को 4-स्पेस तक विस्तारित करने के लिए हाइपरबोलिक [[biquaternion\|द्वि चतुष्कोण]] को प्रारम्भ किया। उस बीजगणित में समस्याओं के कारण 1900 के बाद बाईक्वाटरनियंस का उपयोग हुआ। 1899 की एक व्यापक परिचालित समीक्षा में मैकफर्लेन ने कहा:		इस वर्सोर का उपयोग होमर्शम कॉक्स (गणितज्ञ) (1882/83) द्वारा चतुष्कोण गुणन के संबंध में किया गया था।<ref>{{Cite journal\|author=Cox, H.\|year=1883\|orig-year=1882\|title=विभिन्न प्रकार के यूनिफ़ॉर्म स्पेस के लिए क्वाटरनियंस और ग्रासमैन के ऑस्देहनुंगस्लेह्रे के अनुप्रयोग पर\|journal=[[Transactions of the Cambridge Philosophical Society]]\|volume=13\|pages=69–143\|url=https://archive.org/details/transactions13camb/page/68}}</ref><ref>{{Cite journal\|author=Cox, H.\|year=1883\|orig-year=1882\|title=विभिन्न प्रकार के यूनिफ़ॉर्म स्पेस के लिए क्वाटरनियंस और ग्रासमैन के ऑस्देहनुंगस्लेह्रे के अनुप्रयोग पर\|journal=Proc. Camb. Phil. Soc.\|volume=4\|pages=194–196\|url=https://archive.org/details/proceedingsofcam4188083camb}}</ref> हाइपरबोलिक वर्सोर के प्राथमिक प्रतिपादक [[अलेक्जेंडर मैकफर्लेन]] थे क्योंकि उन्होंने भौतिक विज्ञान की सेवा के लिए चतुष्कोणीय सिद्धांत को आकार देने के लिए काम किया था।<ref>[[Alexander Macfarlane]] (1894) [https://archive.org/details/principlesalgeb01macfgoog Papers on Space Analysis], especially papers #2, 3, & 5, B. Westerman, New York, weblink from [[archive.org]]</ref> उन्होंने स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स नंबर प्लेन पर काम करने वाले हाइपरबोलिक वर्सर्स की मॉडलिंग शक्ति को देखा और 1891 में उन्होंने अवधारणा को 4-स्पेस तक विस्तारित करने के लिए हाइपरबोलिक [[biquaternion\|द्वि चतुष्कोण]] को प्रारम्भ किया। उस बीजगणित में समस्याओं के कारण 1900 के बाद बाईक्वाटरनियंस का उपयोग हुआ। 1899 की एक व्यापक परिचालित समीक्षा में मैकफर्लेन ने कहा:
	:...किसी द्विघात समीकरण का मूल वर्सर प्रकृति का या अदिश प्रकृति का हो सकता है। यदि यह प्रकृति में वर्सर है। तो रेडिकल से प्रभावित भाग में संदर्भ के विमान के लंबवत धुरी सम्मिलित है और यह ऐसा है कि रेडिकल में माइनस एक का वर्गमूल सम्मिलित हो या नहीं। पूर्व स्थितियां में वर्सोर परिपत्र है और बाद के [[अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोण\|हाइपरबोलिक चतुष्कोण]] भी इस स्थिति में सम्मिलित हैं।<ref>[[Science (journal)\|Science]], 9:326 (1899)</ref>		:...किसी द्विघात समीकरण का मूल वर्सर प्रकृति का या अदिश प्रकृति का हो सकता है। यदि यह प्रकृति में वर्सर है। तो रेडिकल से प्रभावित भाग में संदर्भ के विमान के लंबवत धुरी सम्मिलित है और यह ऐसा है कि रेडिकल में माइनस एक का वर्गमूल सम्मिलित हो या नहीं। पूर्व स्थितियां में वर्सोर परिपत्र है और बाद के [[अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोण\|हाइपरबोलिक चतुष्कोण]] भी इस स्थिति में सम्मिलित हैं।<ref>[[Science (journal)\|Science]], 9:326 (1899)</ref>
	आज [[एक-पैरामीटर समूह]] की अवधारणा वर्सोर और ~~अतिपरवलयिक~~ वर्सोर की अवधारणाओं को ग्रहण करती है क्योंकि [[सोफस झूठ]] की शब्दावली ने हैमिल्टन और मैकफर्लेन की शब्दावली को बदल दिया है।		आज [[एक-पैरामीटर समूह]] की अवधारणा वर्सोर और हाइपरबोलिक वर्सोर की अवधारणाओं को ग्रहण करती है क्योंकि [[सोफस झूठ\|सोफस लाई]] की शब्दावली ने हैमिल्टन और मैकफर्लेन की शब्दावली को बदल दिया है। विशेष रूप से प्रत्येक के लिए {{math\|r}} ऐसा है कि {{nowrap\|'''{{math\|r r}}''' {{=}} +1}} या {{nowrap\|'''{{math\|r r}}''' {{=}} −1}}, मैपिंग <math>a \mapsto \exp(a\,\mathbf{r})</math> वास्तविक रेखा बीजगणित में हाइपरबोलिक या साधारण वर्सोर के समूह में ले जाता है। सामान्य स्थितियां में, कब {{math\|r}} और -{{math\|r}} एक गोले पर [[एंटीपोडल बिंदु]] हैं, एक-पैरामीटर समूहों के समान बिंदु हैं। किन्तु ये विपरीत दिशा में निर्देशित हैं। भौतिकी में घूर्णी सममिति के इस तथ्य को द्विक (भौतिकी) कहा जाता है।
	विशेष रूप से, प्रत्येक के लिए{{math\|r}} ऐसा है कि {{nowrap\|'''{{math\|r r}}''' {{=}} +1}} या {{nowrap\|'''{{math\|r r}}''' {{=}} −1}}, मैपिंग <math>a \mapsto \exp(a\,\mathbf{r})</math> वास्तविक रेखा ~~# वास्तविक~~ बीजगणित में ~~अतिशयोक्तिपूर्ण~~ या साधारण वर्सोर के समूह में ले जाता है। सामान्य स्थितियां में, कब{{math\|r}} और -{{math\|r}} एक गोले पर [[एंटीपोडल बिंदु]] हैं, एक-पैरामीटर समूहों के समान बिंदु ~~हैं~~ किन्तु विपरीत दिशा में निर्देशित हैं। भौतिकी में, घूर्णी सममिति के इस ~~पहलू~~ को द्विक (भौतिकी) कहा जाता है।

	1911 में [[अल्फ्रेड रॉब]] ने अपनी 'ऑप्टिकल ज्योमेट्री ऑफ मोशन' प्रकाशित की जिसमें उन्होंने पैरामीटर [[ तेज़ी ]] की पहचान की जो संदर्भ के फ्रेम में बदलाव को निर्दिष्ट करता है। यह रैपिडिटी पैरामीटर हाइपरबोलिक वर्सर्स के एक-पैरामीटर समूह में वास्तविक चर से मेल खाता है। विशेष आपेक्षिकता के और विकास के साथ एक अतिशयोक्तिपूर्ण वर्सोर की क्रिया को [[लोरेंत्ज़ बूस्ट]] कहा जाने लगा।		1911 में [[अल्फ्रेड रॉब]] ने अपनी 'ऑप्टिकल ज्योमेट्री ऑफ मोशन' प्रकाशित की जिसमें उन्होंने पैरामीटर [[ तेज़ी ]] की पहचान की जो संदर्भ के फ्रेम में बदलाव को निर्दिष्ट करता है। यह रैपिडिटी पैरामीटर हाइपरबोलिक वर्सर्स के एक-पैरामीटर समूह में वास्तविक चर से मेल खाता है। विशेष आपेक्षिकता के और विकास के साथ एक अतिशयोक्तिपूर्ण वर्सोर की क्रिया को [[लोरेंत्ज़ बूस्ट]] कहा जाने लगा।