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	फिर भी, सांस्थितिक वक्रों का वर्गीकरण बहुत व्यापक होता है, तथा इसमें कुछ वक्र होते हैं जो किसी वक्र की अपेक्षा के अनुरूप नहीं दिखते हैं, या यहां तक कि खींचे नहीं जा सकते। यह [[ अंतरिक्ष भरने वाला वक्र \|स्थान-पूरक वक्र]] तथा [[ भग्न वक्र \|भग्न वक्रों]] की स्थितियाँ है। अधिक नियमितता सुनिश्चित करने के लिए, वक्र को परिभाषित करने वाले फलन को प्रायः अवकलनीय माना जाता है, तथा वक्र को एक अवकलनीय वक्र कहा जाता है।		फिर भी, सांस्थितिक वक्रों का वर्गीकरण बहुत व्यापक होता है, तथा इसमें कुछ वक्र होते हैं जो किसी वक्र की अपेक्षा के अनुरूप नहीं दिखते हैं, या यहां तक कि खींचे नहीं जा सकते। यह [[ अंतरिक्ष भरने वाला वक्र \|स्थान-पूरक वक्र]] तथा [[ भग्न वक्र \|भग्न वक्रों]] की स्थितियाँ है। अधिक नियमितता सुनिश्चित करने के लिए, वक्र को परिभाषित करने वाले फलन को प्रायः अवकलनीय माना जाता है, तथा वक्र को एक अवकलनीय वक्र कहा जाता है।

	[[ समतल बीजीय वक्र \|समतल बीजगणितीय वक्र]] दो अनिर्धारकों में [[ बहुपद \|बहुपद]] का शून्य समुच्चय होता है। सामान्यतः~~, एक~~ बीजगणितीय वक्र बहुपदों के परिमित समुच्चय का शून्य समुच्चय होता है, जो एक आयाम के [[ बीजीय किस्म \|बीजगणितीय विविधता]] होने की आगे की स्थिति को पूरा करता है। यदि बहुपदों के गुणांक एक [[ क्षेत्र (गणित) \|क्षेत्र]] {{mvar\|k}} से संबंधित हैं, तो वक्र को {{mvar\|k}} पर परिभाषित किया जाता है। एक [[ वास्तविक बीजीय वक्र \|वास्तविक बीजगणितीय वक्र]] के सामान्य स्थिति में, जहाँ {{mvar\|k}} [[ वास्तविक संख्या \|वास्तविक संख्याओं]] का क्षेत्र है, बीजगणितीय वक्र सांस्थितिक वक्रों का एक परिमित संघ है। जब जटिल शून्यों पर विचार किया जाता है, तो एक ''[[ जटिल संख्या \|जटिल]] बीजगणितीय वक्र'' होता है, जो [[ टोपोलॉजी \|सांस्थितिक]] दृष्टिकोण से, एक वक्र नहीं है, बल्कि एक [[ सतह (गणित) \|सतह]] है, तथा प्रायः इसे [[ रीमैन सतह \|रीमैन सतह]] कहा जाता है। हालांकि सामान्य ज्ञान में वक्र नहीं होने के बावजूद, अन्य क्षेत्रों में परिभाषित बीजगणितीय वक्रों का व्यापक अध्ययन किया गया है। विशेष रूप से, आधुनिक [[ क्रिप्टोग्राफी \|क्रिप्टोग्राफी]] में [[ परिमित क्षेत्र \|सीमित क्षेत्र]] पर बीजगणितीय वक्रों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।		[[ समतल बीजीय वक्र \|समतल बीजगणितीय वक्र]] दो अनिर्धारकों में [[ बहुपद \|बहुपद]] का शून्य समुच्चय होता है। सामान्यतः बीजगणितीय वक्र बहुपदों के परिमित समुच्चय का शून्य समुच्चय होता है, जो एक आयाम के [[ बीजीय किस्म \|बीजगणितीय विविधता]] होने की आगे की स्थिति को पूरा करता है। यदि बहुपदों के गुणांक एक [[ क्षेत्र (गणित) \|क्षेत्र]] {{mvar\|k}} से संबंधित हैं, तो वक्र को {{mvar\|k}} पर परिभाषित किया जाता है। [[ वास्तविक बीजीय वक्र \|वास्तविक बीजगणितीय वक्र]] के सामान्य स्थिति में, जहाँ {{mvar\|k}} [[ वास्तविक संख्या \|वास्तविक संख्याओं]] का क्षेत्र है, बीजगणितीय वक्र सांस्थितिक वक्रों का एक परिमित संघ है। जब जटिल शून्यों पर विचार किया जाता है, तो ''[[ जटिल संख्या \|जटिल]] बीजगणितीय वक्र'' होता है, जो [[ टोपोलॉजी \|सांस्थितिक]] दृष्टिकोण से, एक वक्र नहीं है, बल्कि एक [[ सतह (गणित) \|सतह]] है, तथा प्रायः इसे [[ रीमैन सतह \|रीमैन सतह]] कहा जाता है। हालांकि सामान्य ज्ञान में वक्र नहीं होने के बावजूद, अन्य क्षेत्रों में परिभाषित बीजगणितीय वक्रों का व्यापक अध्ययन किया गया है। विशेष रूप से, आधुनिक [[ क्रिप्टोग्राफी \|क्रिप्टोग्राफी]] में [[ परिमित क्षेत्र \|सीमित क्षेत्र]] पर बीजगणितीय वक्रों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

	==इतिहास==		==इतिहास==
	[[File:Newgrange Entrance Stone.jpg\|thumb\|225px\|न्यूग्रेंज की [[ महापाषाण कला \|महापाषाण कला]] घटता में प्रारंभिक रुचि दिखाती है]]वक्रों में रुचि गणितीय अध्ययन का विषय होने से बहुत पहले से ही ~~शुरू~~ हो गई थी। इसे कला में तथा प्रागैतिहासिक काल की रोजमर्रा की वस्तुओं में उनके सजावटी उपयोग के कई उदाहरणों में देखा जा सकता है।<ref name="Lockwood">Lockwood p. ix</ref> वक्र, या कम से कम उनके चित्रमय निरूपण, बनाने में सरल हैं, उदाहरण के लिए समुद्र तट पर रेत पर एक छड़ी के साथ।		[[File:Newgrange Entrance Stone.jpg\|thumb\|225px\|न्यूग्रेंज की [[ महापाषाण कला \|महापाषाण कला]] घटता में प्रारंभिक रुचि दिखाती है]]वक्रों में रुचि गणितीय अध्ययन का विषय होने से बहुत पहले से ही आरम्भ हो गई थी। इसे कला में तथा प्रागैतिहासिक काल की रोजमर्रा की वस्तुओं में उनके सजावटी उपयोग के कई उदाहरणों में देखा जा सकता है।<ref name="Lockwood">Lockwood p. ix</ref> वक्र, या कम से कम उनके चित्रमय निरूपण, बनाने में सरल हैं, उदाहरण के लिए समुद्र तट पर रेत पर एक छड़ी के साथ।

	ऐतिहासिक रूप से, शब्द ''रेखा'' का प्रयोग अधिक आधुनिक शब्द ''वक्र'' के स्थान पर किया जाता था। इसलिए ''सीधी रेखा'' तथा ''दाहिनी रेखा'' शब्दों का उपयोग वक्र रेखाओं से आज की रेखा को अलग करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक I में, एक रेखा को "चौड़ाई रहित लंबाई" (डिफ. 2) के रूप में परिभाषित किया गया है, जबकि एक सीधी रेखा को "एक ऐसी रेखा के रूप में परिभाषित किया गया है जो समान रूप से अपने आप पर स्थित बिंदुओं के साथ स्थित है" (डिफ। 4)। रेखा के बारे में यूक्लिड के विचार को शायद इस कथन से स्पष्ट किया गया है "एक रेखा के सिरे बिंदु होते हैं," (डिफ. 3)।<ref>Heath p. 153</ref> बाद में टिप्पणीकारों ने विभिन्न योजनाओं के अनुसार पंक्तियों को वर्गीकृत किया। उदाहरण के लिए:<ref>Heath p. 160</ref>		ऐतिहासिक रूप से, शब्द ''रेखा'' का प्रयोग अधिक आधुनिक शब्द ''वक्र'' के स्थान पर किया जाता था। इसलिए ''सीधी रेखा'' तथा ''दाहिनी रेखा'' शब्दों का उपयोग वक्र रेखाओं से आज की रेखा को अलग करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक I में, एक रेखा को "चौड़ाई रहित लंबाई" (डिफ. 2) के रूप में परिभाषित किया गया है, जबकि एक सीधी रेखा को "एक ऐसी रेखा के रूप में परिभाषित किया गया है जो समान रूप से अपने आप पर स्थित बिंदुओं के साथ स्थित है" (डिफ। 4)। रेखा के बारे में यूक्लिड के विचार को शायद इस कथन से स्पष्ट किया गया है "एक रेखा के सिरे बिंदु होते हैं," (डिफ. 3)।<ref>Heath p. 153</ref> बाद में टिप्पणीकारों ने विभिन्न योजनाओं के अनुसार पंक्तियों को वर्गीकृत किया। उदाहरण के लिए:<ref>Heath p. 160</ref>
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	एक समतल सरल बंद वक्र को '''जॉर्डन वक्र''' भी कहते हैं। इसे तल में एक गैर-स्व-प्रतिच्छेदन सतत लूप के रूप में भी परिभाषित किया गया है।<ref>{{Cite book\|url=https://books.google.com/books?id=0Q9mbXCQRyoC&pg=PA7\|title=असतत ज्यामिति में गहराई, क्रॉसिंग और संघर्ष\|last=Sulovský\|first=Marek\|date=2012\|publisher=Logos Verlag Berlin GmbH\| isbn=9783832531195\|page=7\|language=en}}</ref> जॉर्डन वक्र प्रमेय में कहा गया है कि जॉर्डन वक्र के एक तल में समुच्चय पूरक में दो जुड़े घटक होते हैं (अर्थात वक्र तल को दो गैर-प्रतिच्छेदन [[ क्षेत्र (गणित) \|क्षेत्रों]] में विभाजित करता है जो दोनों जुड़े हुए हैं)।		एक समतल सरल बंद वक्र को '''जॉर्डन वक्र''' भी कहते हैं। इसे तल में एक गैर-स्व-प्रतिच्छेदन सतत लूप के रूप में भी परिभाषित किया गया है।<ref>{{Cite book\|url=https://books.google.com/books?id=0Q9mbXCQRyoC&pg=PA7\|title=असतत ज्यामिति में गहराई, क्रॉसिंग और संघर्ष\|last=Sulovský\|first=Marek\|date=2012\|publisher=Logos Verlag Berlin GmbH\| isbn=9783832531195\|page=7\|language=en}}</ref> जॉर्डन वक्र प्रमेय में कहा गया है कि जॉर्डन वक्र के एक तल में समुच्चय पूरक में दो जुड़े घटक होते हैं (अर्थात वक्र तल को दो गैर-प्रतिच्छेदन [[ क्षेत्र (गणित) \|क्षेत्रों]] में विभाजित करता है जो दोनों जुड़े हुए हैं)।

	[[ समतल वक्र \|''समतल वक्र'']] एक वक्र होता है जिसके लिए <math>X</math> [[ यूक्लिडियन विमान \|यूक्लिडियन तल]] है - ये ऐसे उदाहरण हैं जो पहली बार मिले हैं - या कुछ मामलों में प्रक्षेपी तल। '''''स्पेस वक्र''''' एक ऐसा वक्र होता है जिसके लिए <math>X</math> कम से कम त्रि-आयामी है; '''''तिर्यक् वक्र''''' एक अंतरिक्ष वक्र है जो किसी तल में नहीं होता है। समतल, स्थान तथा तिरछा वक्रों की ये परिभाषाएँ वास्तविक बीजगणितीय वक्रों पर भी लागू होती हैं, हालाँकि वक्र की उपरोक्त परिभाषा लागू नहीं होती है (एक वास्तविक बीजगणितीय वक्र डिस्कनेक्ट हो सकता है)।		[[ समतल वक्र \|''समतल वक्र'']] वह वक्र होता है जिसके लिए <math>X</math> [[ यूक्लिडियन विमान \|यूक्लिडियन तल]] है - ये ऐसे उदाहरण हैं जो पहली बार मिले हैं - या कुछ मामलों में प्रक्षेपी तल। '''''स्पेस वक्र''''' - एक ऐसा वक्र होता है जिसके लिए <math>X</math> कम से कम त्रि-आयामी है; '''''तिर्यक् वक्र''''' एक अंतरिक्ष वक्र है जो किसी तल में नहीं होता है। समतल, स्थान तथा तिरछा वक्रों की ये परिभाषाएँ वास्तविक बीजगणितीय वक्रों पर भी लागू होती हैं, हालाँकि वक्र की उपरोक्त परिभाषा लागू नहीं होती है (एक वास्तविक बीजगणितीय वक्र डिस्कनेक्ट हो सकता है)।

	वक्र की परिभाषा में ऐसे आंकड़े सम्मिलित होते हैं जिन्हें आम उपयोग में शायद ही वक्र कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक साधारण वक्र का प्रतिबिम्ब समतल (अंतरिक्ष-भरने वाले वक्र) में एक [[ वर्ग (ज्यामिति) \|वर्ग]] को कवर कर सकती है तथा इस प्रकार एक सकारात्मक क्षेत्र हो सकता है।<ref>{{cite journal\|last=Osgood\|first=William F.\|date=January 1903\|title=सकारात्मक क्षेत्र का जॉर्डन वक्र\|journal=Transactions of the American Mathematical Society\|publisher=[[American Mathematical Society]]\|volume=4\|issue=1\|pages=107–112\|doi=10.2307/1986455\|issn=0002-9947\|jstor=1986455\|author-link1=William Fogg Osgood\|doi-access=free}}<!--\|access-date=2008-06-04--></ref> फ्रैक्टल वक्रों में ऐसे गुण हो सकते हैं जो सामान्य ज्ञान के लिए अजीब हों। उदाहरण के लिए, फ्रैक्टल वक्र का [[ हॉसडॉर्फ आयाम \|हॉसडॉर्फ आयाम]] एक से बड़ा हो सकता है ([[ कोच हिमपात \|कोच स्नोफ्लेक]] देखें) तथा यहां तक कि एक सकारात्मक क्षेत्र भी। एक उदाहरण ड्रैगन वक्र है, जिसमें कई अन्य असामान्य गुण होते हैं।		वक्र की परिभाषा में ऐसे आंकड़े सम्मिलित होते हैं जिन्हें आम उपयोग में शायद ही वक्र कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक साधारण वक्र का प्रतिबिम्ब समतल (अंतरिक्ष-भरने वाले वक्र) में एक [[ वर्ग (ज्यामिति) \|वर्ग]] को कवर कर सकती है तथा इस प्रकार एक सकारात्मक क्षेत्र हो सकता है।<ref>{{cite journal\|last=Osgood\|first=William F.\|date=January 1903\|title=सकारात्मक क्षेत्र का जॉर्डन वक्र\|journal=Transactions of the American Mathematical Society\|publisher=[[American Mathematical Society]]\|volume=4\|issue=1\|pages=107–112\|doi=10.2307/1986455\|issn=0002-9947\|jstor=1986455\|author-link1=William Fogg Osgood\|doi-access=free}}<!--\|access-date=2008-06-04--></ref> फ्रैक्टल वक्रों में ऐसे गुण हो सकते हैं जो सामान्य ज्ञान के लिए अजीब हों। उदाहरण के लिए, फ्रैक्टल वक्र का [[ हॉसडॉर्फ आयाम \|हॉसडॉर्फ आयाम]] एक से बड़ा हो सकता है ([[ कोच हिमपात \|कोच स्नोफ्लेक]] देखें) तथा यहां तक कि एक सकारात्मक क्षेत्र भी। एक उदाहरण ड्रैगन वक्र है, जिसमें कई अन्य असामान्य गुण होते हैं।
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	==बीजगणितीय वक्र==		==बीजगणितीय वक्र==
	{{main\|बीजगणितीय वक्र}}		{{main\|बीजगणितीय वक्र}}
	बीजगणितीय वक्र वे वक्र हैं जिन्हें [[ बीजगणितीय ज्यामिति \|बीजगणितीय ज्यामिति]] में माना जाता है। एक समतल बीजगणितीय वक्र निर्देशांक {{math\|''x'', ''y''}} के बिंदुओं का समुच्चय होता है, जैसे कि {{math\|1=''f''(''x'', ''y'') = 0}}, जहां {{math\|''f''}} किसी क्षेत्र {{math\|''F''}} पर परिभाषित दो चरों में एक बहुपद है। एक कहता है कि वक्र {{math\|''F''}} ''पर परिभाषित है''। बीजगणितीय ज्यामिति सामान्यतः न केवल {{math\|''F''}} में निर्देशांक वाले बिंदुओं पर विचार करती है बल्कि [[ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र \|बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र]] {{math\|''K''}} में निर्देशांक वाले सभी बिंदुओं पर विचार करती है।		बीजगणितीय वक्र वह वक्र हैं जिन्हें [[ बीजगणितीय ज्यामिति \|बीजगणितीय ज्यामिति]] में माना जाता है। एक समतल बीजगणितीय वक्र निर्देशांक {{math\|''x'', ''y''}} के बिंदुओं का समुच्चय होता है, जैसे कि {{math\|1=''f''(''x'', ''y'') = 0}}, जहां {{math\|''f''}} किसी क्षेत्र {{math\|''F''}} पर परिभाषित दो चरों में एक बहुपद है। एक कहता है कि वक्र {{math\|''F''}} ''पर परिभाषित है''। बीजगणितीय ज्यामिति सामान्यतः न केवल {{math\|''F''}} में निर्देशांक वाले बिंदुओं पर विचार करती है बल्कि [[ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र \|बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र]] {{math\|''K''}} में निर्देशांक वाले सभी बिंदुओं पर विचार करती है।

	यदि C, F में गुणांकों वाले बहुपद {{math\|''f''}} द्वारा परिभाषित एक वक्र है, तो वक्र को {{math\|''F''}} के ऊपर परिभाषित किया गया है।		यदि C, F में गुणांकों वाले बहुपद {{math\|''f''}} द्वारा परिभाषित एक वक्र है, तो वक्र को {{math\|''F''}} के ऊपर परिभाषित किया गया है।

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	~~==इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची==~~

	*अवकलनीय वक्र
	*निरंतर कार्य
	*एक बीजीय किस्म का आयाम
	*अनिश्चित (परिवर्तनीय)
	*शून्य सेट
	*अवकलनीय कार्य
	*कम्पास और सीधा
	*पेर्गा का अपोलोनियस
	*Diocles . का सिसोइड
	*जियोमीटर
	*घन दुगना
	*कोण ट्रिसेक्शन
	*आर्किमिडीयन सर्पिल
	*वृत्त को चुकता करना
	*डेसकार्टेस का फोलियम
	*स्पिरिक सेक्शन
	*पारलौकिक वक्र
	*बीजीय किस्में
	*अंतर कलन
	*विविधताओं की गणना
	*निरंतर कार्य (टोपोलॉजी)
	*पीनो कर्व्स
	*जुड़ा घटक (टोपोलॉजी)
	*पूरक सेट करें
	*प्रक्षेप्य विमान
	*वास्तविक बीजीय ज्यामिति
	*कनेक्टेड स्पेस
	*भिन्नरूपता
	*महान चक्र
	*उपगोल
	*जुड़ा सेट
	*पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति)
	*एक समारोह का ग्राफ
	*लिप्सचिट्ज़ निरंतरता
	*अलग करने योग्य कई गुना
	*चिकना कई गुना
	*लगातार अलग-अलग
	*बिजली की श्रृंखला
	*यौगिक
	*द्विभाजन
	*सेट (गणित)
	*फ़र्मेट वक्र
	*पुच्छ (विलक्षण)
	*पूरा चौराहा
	*दोहरा बिंदु
	*जाति (गणित)
	*निर्देशांक वक्र
	*क्रिंकल्ड आर्क
	*घटता की गैलरी
	==बाहरी संबंध==		==बाहरी संबंध==
	{{Commons category\|Curves}}		{{Commons category\|Curves}}

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	फिर भी, सांस्थितिक वक्रों का वर्गीकरण बहुत व्यापक होता है, तथा इसमें कुछ वक्र होते हैं जो किसी वक्र की अपेक्षा के अनुरूप नहीं दिखते हैं, या यहां तक कि खींचे नहीं जा सकते। यह [[ अंतरिक्ष भरने वाला वक्र \|स्थान-पूरक वक्र]] तथा [[ भग्न वक्र \|भग्न वक्रों]] की स्थितियाँ है। अधिक नियमितता सुनिश्चित करने के लिए, वक्र को परिभाषित करने वाले फलन को प्रायः अवकलनीय माना जाता है, तथा वक्र को एक अवकलनीय वक्र कहा जाता है।		फिर भी, सांस्थितिक वक्रों का वर्गीकरण बहुत व्यापक होता है, तथा इसमें कुछ वक्र होते हैं जो किसी वक्र की अपेक्षा के अनुरूप नहीं दिखते हैं, या यहां तक कि खींचे नहीं जा सकते। यह [[ अंतरिक्ष भरने वाला वक्र \|स्थान-पूरक वक्र]] तथा [[ भग्न वक्र \|भग्न वक्रों]] की स्थितियाँ है। अधिक नियमितता सुनिश्चित करने के लिए, वक्र को परिभाषित करने वाले फलन को प्रायः अवकलनीय माना जाता है, तथा वक्र को एक अवकलनीय वक्र कहा जाता है।

	[[ समतल बीजीय वक्र \|समतल बीजगणितीय वक्र]] दो अनिर्धारकों में [[ बहुपद \|बहुपद]] का शून्य समुच्चय होता है। सामान्यतः~~, एक~~ बीजगणितीय वक्र बहुपदों के परिमित समुच्चय का शून्य समुच्चय होता है, जो एक आयाम के [[ बीजीय किस्म \|बीजगणितीय विविधता]] होने की आगे की स्थिति को पूरा करता है। यदि बहुपदों के गुणांक एक [[ क्षेत्र (गणित) \|क्षेत्र]] {{mvar\|k}} से संबंधित हैं, तो वक्र को {{mvar\|k}} पर परिभाषित किया जाता है। एक [[ वास्तविक बीजीय वक्र \|वास्तविक बीजगणितीय वक्र]] के सामान्य स्थिति में, जहाँ {{mvar\|k}} [[ वास्तविक संख्या \|वास्तविक संख्याओं]] का क्षेत्र है, बीजगणितीय वक्र सांस्थितिक वक्रों का एक परिमित संघ है। जब जटिल शून्यों पर विचार किया जाता है, तो एक ''[[ जटिल संख्या \|जटिल]] बीजगणितीय वक्र'' होता है, जो [[ टोपोलॉजी \|सांस्थितिक]] दृष्टिकोण से, एक वक्र नहीं है, बल्कि एक [[ सतह (गणित) \|सतह]] है, तथा प्रायः इसे [[ रीमैन सतह \|रीमैन सतह]] कहा जाता है। हालांकि सामान्य ज्ञान में वक्र नहीं होने के बावजूद, अन्य क्षेत्रों में परिभाषित बीजगणितीय वक्रों का व्यापक अध्ययन किया गया है। विशेष रूप से, आधुनिक [[ क्रिप्टोग्राफी \|क्रिप्टोग्राफी]] में [[ परिमित क्षेत्र \|सीमित क्षेत्र]] पर बीजगणितीय वक्रों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।		[[ समतल बीजीय वक्र \|समतल बीजगणितीय वक्र]] दो अनिर्धारकों में [[ बहुपद \|बहुपद]] का शून्य समुच्चय होता है। सामान्यतः बीजगणितीय वक्र बहुपदों के परिमित समुच्चय का शून्य समुच्चय होता है, जो एक आयाम के [[ बीजीय किस्म \|बीजगणितीय विविधता]] होने की आगे की स्थिति को पूरा करता है। यदि बहुपदों के गुणांक एक [[ क्षेत्र (गणित) \|क्षेत्र]] {{mvar\|k}} से संबंधित हैं, तो वक्र को {{mvar\|k}} पर परिभाषित किया जाता है। [[ वास्तविक बीजीय वक्र \|वास्तविक बीजगणितीय वक्र]] के सामान्य स्थिति में, जहाँ {{mvar\|k}} [[ वास्तविक संख्या \|वास्तविक संख्याओं]] का क्षेत्र है, बीजगणितीय वक्र सांस्थितिक वक्रों का एक परिमित संघ है। जब जटिल शून्यों पर विचार किया जाता है, तो ''[[ जटिल संख्या \|जटिल]] बीजगणितीय वक्र'' होता है, जो [[ टोपोलॉजी \|सांस्थितिक]] दृष्टिकोण से, एक वक्र नहीं है, बल्कि एक [[ सतह (गणित) \|सतह]] है, तथा प्रायः इसे [[ रीमैन सतह \|रीमैन सतह]] कहा जाता है। हालांकि सामान्य ज्ञान में वक्र नहीं होने के बावजूद, अन्य क्षेत्रों में परिभाषित बीजगणितीय वक्रों का व्यापक अध्ययन किया गया है। विशेष रूप से, आधुनिक [[ क्रिप्टोग्राफी \|क्रिप्टोग्राफी]] में [[ परिमित क्षेत्र \|सीमित क्षेत्र]] पर बीजगणितीय वक्रों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

	==इतिहास==		==इतिहास==
	[[File:Newgrange Entrance Stone.jpg\|thumb\|225px\|न्यूग्रेंज की [[ महापाषाण कला \|महापाषाण कला]] घटता में प्रारंभिक रुचि दिखाती है]]वक्रों में रुचि गणितीय अध्ययन का विषय होने से बहुत पहले से ही ~~शुरू~~ हो गई थी। इसे कला में तथा प्रागैतिहासिक काल की रोजमर्रा की वस्तुओं में उनके सजावटी उपयोग के कई उदाहरणों में देखा जा सकता है।<ref name="Lockwood">Lockwood p. ix</ref> वक्र, या कम से कम उनके चित्रमय निरूपण, बनाने में सरल हैं, उदाहरण के लिए समुद्र तट पर रेत पर एक छड़ी के साथ।		[[File:Newgrange Entrance Stone.jpg\|thumb\|225px\|न्यूग्रेंज की [[ महापाषाण कला \|महापाषाण कला]] घटता में प्रारंभिक रुचि दिखाती है]]वक्रों में रुचि गणितीय अध्ययन का विषय होने से बहुत पहले से ही आरम्भ हो गई थी। इसे कला में तथा प्रागैतिहासिक काल की रोजमर्रा की वस्तुओं में उनके सजावटी उपयोग के कई उदाहरणों में देखा जा सकता है।<ref name="Lockwood">Lockwood p. ix</ref> वक्र, या कम से कम उनके चित्रमय निरूपण, बनाने में सरल हैं, उदाहरण के लिए समुद्र तट पर रेत पर एक छड़ी के साथ।

	ऐतिहासिक रूप से, शब्द ''रेखा'' का प्रयोग अधिक आधुनिक शब्द ''वक्र'' के स्थान पर किया जाता था। इसलिए ''सीधी रेखा'' तथा ''दाहिनी रेखा'' शब्दों का उपयोग वक्र रेखाओं से आज की रेखा को अलग करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक I में, एक रेखा को "चौड़ाई रहित लंबाई" (डिफ. 2) के रूप में परिभाषित किया गया है, जबकि एक सीधी रेखा को "एक ऐसी रेखा के रूप में परिभाषित किया गया है जो समान रूप से अपने आप पर स्थित बिंदुओं के साथ स्थित है" (डिफ। 4)। रेखा के बारे में यूक्लिड के विचार को शायद इस कथन से स्पष्ट किया गया है "एक रेखा के सिरे बिंदु होते हैं," (डिफ. 3)।<ref>Heath p. 153</ref> बाद में टिप्पणीकारों ने विभिन्न योजनाओं के अनुसार पंक्तियों को वर्गीकृत किया। उदाहरण के लिए:<ref>Heath p. 160</ref>		ऐतिहासिक रूप से, शब्द ''रेखा'' का प्रयोग अधिक आधुनिक शब्द ''वक्र'' के स्थान पर किया जाता था। इसलिए ''सीधी रेखा'' तथा ''दाहिनी रेखा'' शब्दों का उपयोग वक्र रेखाओं से आज की रेखा को अलग करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक I में, एक रेखा को "चौड़ाई रहित लंबाई" (डिफ. 2) के रूप में परिभाषित किया गया है, जबकि एक सीधी रेखा को "एक ऐसी रेखा के रूप में परिभाषित किया गया है जो समान रूप से अपने आप पर स्थित बिंदुओं के साथ स्थित है" (डिफ। 4)। रेखा के बारे में यूक्लिड के विचार को शायद इस कथन से स्पष्ट किया गया है "एक रेखा के सिरे बिंदु होते हैं," (डिफ. 3)।<ref>Heath p. 153</ref> बाद में टिप्पणीकारों ने विभिन्न योजनाओं के अनुसार पंक्तियों को वर्गीकृत किया। उदाहरण के लिए:<ref>Heath p. 160</ref>
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	एक समतल सरल बंद वक्र को '''जॉर्डन वक्र''' भी कहते हैं। इसे तल में एक गैर-स्व-प्रतिच्छेदन सतत लूप के रूप में भी परिभाषित किया गया है।<ref>{{Cite book\|url=https://books.google.com/books?id=0Q9mbXCQRyoC&pg=PA7\|title=असतत ज्यामिति में गहराई, क्रॉसिंग और संघर्ष\|last=Sulovský\|first=Marek\|date=2012\|publisher=Logos Verlag Berlin GmbH\| isbn=9783832531195\|page=7\|language=en}}</ref> जॉर्डन वक्र प्रमेय में कहा गया है कि जॉर्डन वक्र के एक तल में समुच्चय पूरक में दो जुड़े घटक होते हैं (अर्थात वक्र तल को दो गैर-प्रतिच्छेदन [[ क्षेत्र (गणित) \|क्षेत्रों]] में विभाजित करता है जो दोनों जुड़े हुए हैं)।		एक समतल सरल बंद वक्र को '''जॉर्डन वक्र''' भी कहते हैं। इसे तल में एक गैर-स्व-प्रतिच्छेदन सतत लूप के रूप में भी परिभाषित किया गया है।<ref>{{Cite book\|url=https://books.google.com/books?id=0Q9mbXCQRyoC&pg=PA7\|title=असतत ज्यामिति में गहराई, क्रॉसिंग और संघर्ष\|last=Sulovský\|first=Marek\|date=2012\|publisher=Logos Verlag Berlin GmbH\| isbn=9783832531195\|page=7\|language=en}}</ref> जॉर्डन वक्र प्रमेय में कहा गया है कि जॉर्डन वक्र के एक तल में समुच्चय पूरक में दो जुड़े घटक होते हैं (अर्थात वक्र तल को दो गैर-प्रतिच्छेदन [[ क्षेत्र (गणित) \|क्षेत्रों]] में विभाजित करता है जो दोनों जुड़े हुए हैं)।

	[[ समतल वक्र \|''समतल वक्र'']] एक वक्र होता है जिसके लिए <math>X</math> [[ यूक्लिडियन विमान \|यूक्लिडियन तल]] है - ये ऐसे उदाहरण हैं जो पहली बार मिले हैं - या कुछ मामलों में प्रक्षेपी तल। '''''स्पेस वक्र''''' एक ऐसा वक्र होता है जिसके लिए <math>X</math> कम से कम त्रि-आयामी है; '''''तिर्यक् वक्र''''' एक अंतरिक्ष वक्र है जो किसी तल में नहीं होता है। समतल, स्थान तथा तिरछा वक्रों की ये परिभाषाएँ वास्तविक बीजगणितीय वक्रों पर भी लागू होती हैं, हालाँकि वक्र की उपरोक्त परिभाषा लागू नहीं होती है (एक वास्तविक बीजगणितीय वक्र डिस्कनेक्ट हो सकता है)।		[[ समतल वक्र \|''समतल वक्र'']] वह वक्र होता है जिसके लिए <math>X</math> [[ यूक्लिडियन विमान \|यूक्लिडियन तल]] है - ये ऐसे उदाहरण हैं जो पहली बार मिले हैं - या कुछ मामलों में प्रक्षेपी तल। '''''स्पेस वक्र''''' - एक ऐसा वक्र होता है जिसके लिए <math>X</math> कम से कम त्रि-आयामी है; '''''तिर्यक् वक्र''''' एक अंतरिक्ष वक्र है जो किसी तल में नहीं होता है। समतल, स्थान तथा तिरछा वक्रों की ये परिभाषाएँ वास्तविक बीजगणितीय वक्रों पर भी लागू होती हैं, हालाँकि वक्र की उपरोक्त परिभाषा लागू नहीं होती है (एक वास्तविक बीजगणितीय वक्र डिस्कनेक्ट हो सकता है)।

	वक्र की परिभाषा में ऐसे आंकड़े सम्मिलित होते हैं जिन्हें आम उपयोग में शायद ही वक्र कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक साधारण वक्र का प्रतिबिम्ब समतल (अंतरिक्ष-भरने वाले वक्र) में एक [[ वर्ग (ज्यामिति) \|वर्ग]] को कवर कर सकती है तथा इस प्रकार एक सकारात्मक क्षेत्र हो सकता है।<ref>{{cite journal\|last=Osgood\|first=William F.\|date=January 1903\|title=सकारात्मक क्षेत्र का जॉर्डन वक्र\|journal=Transactions of the American Mathematical Society\|publisher=[[American Mathematical Society]]\|volume=4\|issue=1\|pages=107–112\|doi=10.2307/1986455\|issn=0002-9947\|jstor=1986455\|author-link1=William Fogg Osgood\|doi-access=free}}<!--\|access-date=2008-06-04--></ref> फ्रैक्टल वक्रों में ऐसे गुण हो सकते हैं जो सामान्य ज्ञान के लिए अजीब हों। उदाहरण के लिए, फ्रैक्टल वक्र का [[ हॉसडॉर्फ आयाम \|हॉसडॉर्फ आयाम]] एक से बड़ा हो सकता है ([[ कोच हिमपात \|कोच स्नोफ्लेक]] देखें) तथा यहां तक कि एक सकारात्मक क्षेत्र भी। एक उदाहरण ड्रैगन वक्र है, जिसमें कई अन्य असामान्य गुण होते हैं।		वक्र की परिभाषा में ऐसे आंकड़े सम्मिलित होते हैं जिन्हें आम उपयोग में शायद ही वक्र कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक साधारण वक्र का प्रतिबिम्ब समतल (अंतरिक्ष-भरने वाले वक्र) में एक [[ वर्ग (ज्यामिति) \|वर्ग]] को कवर कर सकती है तथा इस प्रकार एक सकारात्मक क्षेत्र हो सकता है।<ref>{{cite journal\|last=Osgood\|first=William F.\|date=January 1903\|title=सकारात्मक क्षेत्र का जॉर्डन वक्र\|journal=Transactions of the American Mathematical Society\|publisher=[[American Mathematical Society]]\|volume=4\|issue=1\|pages=107–112\|doi=10.2307/1986455\|issn=0002-9947\|jstor=1986455\|author-link1=William Fogg Osgood\|doi-access=free}}<!--\|access-date=2008-06-04--></ref> फ्रैक्टल वक्रों में ऐसे गुण हो सकते हैं जो सामान्य ज्ञान के लिए अजीब हों। उदाहरण के लिए, फ्रैक्टल वक्र का [[ हॉसडॉर्फ आयाम \|हॉसडॉर्फ आयाम]] एक से बड़ा हो सकता है ([[ कोच हिमपात \|कोच स्नोफ्लेक]] देखें) तथा यहां तक कि एक सकारात्मक क्षेत्र भी। एक उदाहरण ड्रैगन वक्र है, जिसमें कई अन्य असामान्य गुण होते हैं।
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	==बीजगणितीय वक्र==		==बीजगणितीय वक्र==
	{{main\|बीजगणितीय वक्र}}		{{main\|बीजगणितीय वक्र}}
	बीजगणितीय वक्र वे वक्र हैं जिन्हें [[ बीजगणितीय ज्यामिति \|बीजगणितीय ज्यामिति]] में माना जाता है। एक समतल बीजगणितीय वक्र निर्देशांक {{math\|''x'', ''y''}} के बिंदुओं का समुच्चय होता है, जैसे कि {{math\|1=''f''(''x'', ''y'') = 0}}, जहां {{math\|''f''}} किसी क्षेत्र {{math\|''F''}} पर परिभाषित दो चरों में एक बहुपद है। एक कहता है कि वक्र {{math\|''F''}} ''पर परिभाषित है''। बीजगणितीय ज्यामिति सामान्यतः न केवल {{math\|''F''}} में निर्देशांक वाले बिंदुओं पर विचार करती है बल्कि [[ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र \|बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र]] {{math\|''K''}} में निर्देशांक वाले सभी बिंदुओं पर विचार करती है।		बीजगणितीय वक्र वह वक्र हैं जिन्हें [[ बीजगणितीय ज्यामिति \|बीजगणितीय ज्यामिति]] में माना जाता है। एक समतल बीजगणितीय वक्र निर्देशांक {{math\|''x'', ''y''}} के बिंदुओं का समुच्चय होता है, जैसे कि {{math\|1=''f''(''x'', ''y'') = 0}}, जहां {{math\|''f''}} किसी क्षेत्र {{math\|''F''}} पर परिभाषित दो चरों में एक बहुपद है। एक कहता है कि वक्र {{math\|''F''}} ''पर परिभाषित है''। बीजगणितीय ज्यामिति सामान्यतः न केवल {{math\|''F''}} में निर्देशांक वाले बिंदुओं पर विचार करती है बल्कि [[ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र \|बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र]] {{math\|''K''}} में निर्देशांक वाले सभी बिंदुओं पर विचार करती है।

	यदि C, F में गुणांकों वाले बहुपद {{math\|''f''}} द्वारा परिभाषित एक वक्र है, तो वक्र को {{math\|''F''}} के ऊपर परिभाषित किया गया है।		यदि C, F में गुणांकों वाले बहुपद {{math\|''f''}} द्वारा परिभाषित एक वक्र है, तो वक्र को {{math\|''F''}} के ऊपर परिभाषित किया गया है।